Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0fno1 Structured version   Unicode version

Theorem dchrisum0fno1 24341
 Description: The sum is divergent (i.e. not eventually bounded). Equation 9.4.30 of [Shapiro], p. 383. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum2.g DChr
rpvmasum2.d
rpvmasum2.1
dchrisum0f.f
dchrisum0f.x
dchrisum0flb.r
dchrisum0fno1.a
Assertion
Ref Expression
dchrisum0fno1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,,,)   ()   (,)   ()   (,,)

Proof of Theorem dchrisum0fno1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logno1 23573 . 2
2 relogcl 23517 . . . . . . 7
32adantl 468 . . . . . 6
43recnd 9671 . . . . 5
5 2cnd 10684 . . . . 5
6 2ne0 10704 . . . . . 6
76a1i 11 . . . . 5
84, 5, 7divcan2d 10387 . . . 4
98mpteq2dva 4508 . . 3
103rehalfcld 10861 . . . . 5
1110recnd 9671 . . . 4
12 rpssre 11314 . . . . . 6
13 2cn 10682 . . . . . 6
14 o1const 13676 . . . . . 6
1512, 13, 14mp2an 677 . . . . 5
1615a1i 11 . . . 4
17 1red 9660 . . . . 5
18 dchrisum0fno1.a . . . . 5
19 sumex 13747 . . . . . 6
2019a1i 11 . . . . 5
2110adantrr 722 . . . . . . 7
222ad2antrl 733 . . . . . . . 8
23 log1 23527 . . . . . . . . 9
24 simprr 765 . . . . . . . . . 10
25 1rp 11308 . . . . . . . . . . 11
26 simprl 763 . . . . . . . . . . 11
27 logleb 23544 . . . . . . . . . . 11
2825, 26, 27sylancr 668 . . . . . . . . . 10
2924, 28mpbid 214 . . . . . . . . 9
3023, 29syl5eqbrr 4456 . . . . . . . 8
31 2re 10681 . . . . . . . . 9
3231a1i 11 . . . . . . . 8
33 2pos 10703 . . . . . . . . 9
3433a1i 11 . . . . . . . 8
35 divge0 10476 . . . . . . . 8
3622, 30, 32, 34, 35syl22anc 1266 . . . . . . 7
3721, 36absidd 13478 . . . . . 6
38 fzfid 12187 . . . . . . . 8
39 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . 12 ℤ/n
40 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . 12 RHom
41 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . 12
42 rpvmasum2.g . . . . . . . . . . . 12 DChr
43 rpvmasum2.d . . . . . . . . . . . 12
44 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . 12
45 dchrisum0f.f . . . . . . . . . . . 12
46 dchrisum0f.x . . . . . . . . . . . 12
47 dchrisum0flb.r . . . . . . . . . . . 12
4839, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47dchrisum0ff 24337 . . . . . . . . . . 11
4948adantr 467 . . . . . . . . . 10
50 elfznn 11830 . . . . . . . . . 10
51 ffvelrn 6033 . . . . . . . . . 10
5249, 50, 51syl2an 480 . . . . . . . . 9
5350adantl 468 . . . . . . . . . . 11
5453nnrpd 11341 . . . . . . . . . 10
5554rpsqrtcld 13467 . . . . . . . . 9
5652, 55rerpdivcld 11371 . . . . . . . 8
5738, 56fsumrecl 13793 . . . . . . 7
5857recnd 9671 . . . . . . . 8
5958abscld 13491 . . . . . . 7
60 fzfid 12187 . . . . . . . . 9
61 elfznn 11830 . . . . . . . . . . 11
6261adantl 468 . . . . . . . . . 10
6362nnrecred 10657 . . . . . . . . 9
6460, 63fsumrecl 13793 . . . . . . . 8
65 logsqrt 23641 . . . . . . . . . 10
6665ad2antrl 733 . . . . . . . . 9
67 rpsqrtcl 13322 . . . . . . . . . . 11
6867ad2antrl 733 . . . . . . . . . 10
69 harmoniclbnd 23926 . . . . . . . . . 10
7068, 69syl 17 . . . . . . . . 9
7166, 70eqbrtrrd 4444 . . . . . . . 8
72 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73 ovex 6331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7472, 73elrnmpti 5102 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75 elfznn 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7675adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7776nnrpd 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7877rprege0d 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
79 sqrtsq 13327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8180, 76eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
82 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8382eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8481, 83syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8584rexlimdva 2918 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8674, 85syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . 15
8786imp 431 . . . . . . . . . . . . . 14
8887iftrued 3918 . . . . . . . . . . . . 13
8988oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . 12
9089sumeq2dv 13762 . . . . . . . . . . 11
91 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
9291oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . 12
9376nnsqcld 12437 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9468rpred 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
95 fznnfl 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9796simplbda 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9868adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9998rprege0d 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
100 le2sq 12350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10178, 99, 100syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10297, 101mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10326rpred 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104103adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105104recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106105sqsqrtd 13494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107102, 106breqtrd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108 fznnfl 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109104, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11093, 107, 109mpbir2and 931 . . . . . . . . . . . . . . 15
111110ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14
11275nnrpd 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
113112rprege0d 11350 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11461nnrpd 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115114rprege0d 11350 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116 sq11 12348 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117113, 115, 116syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . 15
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
119111, 118dom2lem 7614 . . . . . . . . . . . . 13
120 f1f1orn 5840 . . . . . . . . . . . . 13
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12
122 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . . 14
123122, 72, 73fvmpt3i 5967 . . . . . . . . . . . . 13
124123adantl 468 . . . . . . . . . . . 12
125 f1f 5794 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126 frn 5750 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127119, 125, 1263syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15
128127sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . 14
129 1re 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
130 0re 9645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131129, 130keepel 3977 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132 rerpdivcl 11332 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133131, 55, 132sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . 15
134133recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . 14
135128, 134syldan 473 . . . . . . . . . . . . 13
13689, 135eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . 12
13792, 60, 121, 124, 136fsumf1o 13782 . . . . . . . . . . 11
13890, 137eqtrd 2464 . . . . . . . . . 10
139 eldif 3447 . . . . . . . . . . . . . . 15
14050ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141140nncnd 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
142141sqsqrtd 13494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144 fznnfl 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
145103, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
146145simplbda 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
147146adantrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
148140nnrpd 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
149148rprege0d 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15026adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
151150rprege0d 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
152 sqrtle 13318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
153149, 151, 152syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
154147, 153mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15568adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
156155rpred 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
157 fznnfl 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
159143, 154, 158mpbir2and 931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
160142, 140eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
161 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
16272, 161elrnmpt1s 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
163159, 160, 162syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
164142, 163eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
165164expr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
166165con3d 139 . . . . . . . . . . . . . . . 16
167166impr 624 . . . . . . . . . . . . . . 15
168139, 167sylan2b 478 . . . . . . . . . . . . . 14
169168iffalsed 3921 . . . . . . . . . . . . 13
170169oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . 12
171 eldifi 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15
172171, 55sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . 14
173172rpcnne0d 11352 . . . . . . . . . . . . 13
174 div0 10300 . . . . . . . . . . . . 13
175173, 174syl 17 . . . . . . . . . . . 12
176170, 175eqtrd 2464 . . . . . . . . . . 11
177127, 135, 176, 38fsumss 13784 . . . . . . . . . 10
17862nnrpd 11341 . . . . . . . . . . . . . 14
179178rprege0d 11350 . . . . . . . . . . . . 13
180 sqrtsq 13327 . . . . . . . . . . . . 13
181179, 180syl 17 . . . . . . . . . . . 12
182181oveq2d 6319 . . . . . . . . . . 11
183182sumeq2dv 13762 . . . . . . . . . 10
184138, 177, 1833eqtr3d 2472 . . . . . . . . 9
185131a1i 11 . . . . . . . . . . 11
18641ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12
18746ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12
18847ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12
18939, 40, 186, 42, 43, 44, 45, 187, 188, 53dchrisum0flb 24340 . . . . . . . . . . 11
190185, 52, 55, 189lediv1dd 11398 . . . . . . . . . 10
19138, 133, 56, 190fsumle 13852 . . . . . . . . 9
192184, 191eqbrtrrd 4444 . . . . . . . 8
19321, 64, 57, 71, 192letrd 9794 . . . . . . 7
19457leabsd 13470 . . . . . . 7
19521, 57, 59, 193, 194letrd 9794 . . . . . 6
19637, 195eqbrtrd 4442 . . . . 5
19717, 18, 20, 11, 196o1le 13709 . . . 4
1985, 11, 16, 197o1mul2 13681 . . 3
1999, 198eqeltrrd 2512 . 2
2001, 199mto 180 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1438   wcel 1869   wne 2619  wrex 2777  crab 2780  cvv 3082   cdif 3434   wss 3437  cif 3910   class class class wbr 4421   cmpt 4480   crn 4852  wf 5595  wf1 5596  wf1o 5598  cfv 5599  (class class class)co 6303  cc 9539  cr 9540  cc0 9541  c1 9542   cmul 9546   clt 9677   cle 9678   cdiv 10271  cn 10611  c2 10661  crp 11304  cfz 11786  cfl 12027  cexp 12273  csqrt 13290  cabs 13291  co1 13543  csu 13745   cdvds 14298  cbs 15114  c0g 15331  RHomczrh 19063  ℤ/nℤczn 19066  clog 23496  DChrcdchr 24152 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-disj 4393  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-tpos 6979  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-omul 7193  df-er 7369  df-ec 7371  df-qs 7375  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-acn 8379  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ioc 11642  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-fac 12461  df-bc 12489  df-hash 12517  df-shft 13124  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-o1 13547  df-lo1 13548  df-sum 13746  df-ef 14114  df-e 14115  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-prm 14616  df-numer 14677  df-denom 14678  df-pc 14780  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-qus 15402  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-nsg 16808  df-eqg 16809  df-ghm 16874  df-cntz 16964  df-od 17165  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-rnghom 17936  df-drng 17970  df-subrg 17999  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-lidl 18390  df-rsp 18391  df-2idl 18449  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-zring 19032  df-zrh 19067  df-zn 19070  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-cncf 21902  df-limc 22813  df-dv 22814  df-log 23498  df-cxp 23499  df-em 23910  df-dchr 24153 This theorem is referenced by:  dchrisum0  24350
 Copyright terms: Public domain W3C validator