Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0fno1 Structured version   Unicode version

Theorem dchrisum0fno1 23424
 Description: The sum is divergent (i.e. not eventually bounded). Equation 9.4.30 of [Shapiro], p. 383. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum2.g DChr
rpvmasum2.d
rpvmasum2.1
dchrisum0f.f
dchrisum0f.x
dchrisum0flb.r
dchrisum0fno1.a
Assertion
Ref Expression
dchrisum0fno1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,,,)   ()   (,)   ()   (,,)

Proof of Theorem dchrisum0fno1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logno1 22745 . 2
2 relogcl 22691 . . . . . . 7
32adantl 466 . . . . . 6
43recnd 9618 . . . . 5
5 2cnd 10604 . . . . 5
6 2ne0 10624 . . . . . 6
76a1i 11 . . . . 5
84, 5, 7divcan2d 10318 . . . 4
98mpteq2dva 4533 . . 3
103rehalfcld 10781 . . . . 5
1110recnd 9618 . . . 4
12 rpssre 11226 . . . . . 6
13 2cn 10602 . . . . . 6
14 o1const 13401 . . . . . 6
1512, 13, 14mp2an 672 . . . . 5
1615a1i 11 . . . 4
17 1red 9607 . . . . 5
18 dchrisum0fno1.a . . . . 5
19 sumex 13469 . . . . . 6
2019a1i 11 . . . . 5
2110adantrr 716 . . . . . . 7
222ad2antrl 727 . . . . . . . 8
23 log1 22698 . . . . . . . . 9
24 simprr 756 . . . . . . . . . 10
25 1rp 11220 . . . . . . . . . . 11
26 simprl 755 . . . . . . . . . . 11
27 logleb 22716 . . . . . . . . . . 11
2825, 26, 27sylancr 663 . . . . . . . . . 10
2924, 28mpbid 210 . . . . . . . . 9
3023, 29syl5eqbrr 4481 . . . . . . . 8
31 2re 10601 . . . . . . . . 9
3231a1i 11 . . . . . . . 8
33 2pos 10623 . . . . . . . . 9
3433a1i 11 . . . . . . . 8
35 divge0 10407 . . . . . . . 8
3622, 30, 32, 34, 35syl22anc 1229 . . . . . . 7
3721, 36absidd 13213 . . . . . 6
38 fzfid 12047 . . . . . . . 8
39 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . 12 ℤ/n
40 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . 12 RHom
41 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . 12
42 rpvmasum2.g . . . . . . . . . . . 12 DChr
43 rpvmasum2.d . . . . . . . . . . . 12
44 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . 12
45 dchrisum0f.f . . . . . . . . . . . 12
46 dchrisum0f.x . . . . . . . . . . . 12
47 dchrisum0flb.r . . . . . . . . . . . 12
4839, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47dchrisum0ff 23420 . . . . . . . . . . 11
4948adantr 465 . . . . . . . . . 10
50 elfznn 11710 . . . . . . . . . 10
51 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . 10
5249, 50, 51syl2an 477 . . . . . . . . 9
5350adantl 466 . . . . . . . . . . 11
5453nnrpd 11251 . . . . . . . . . 10
5554rpsqrtcld 13202 . . . . . . . . 9
5652, 55rerpdivcld 11279 . . . . . . . 8
5738, 56fsumrecl 13515 . . . . . . 7
5857recnd 9618 . . . . . . . 8
5958abscld 13226 . . . . . . 7
60 fzfid 12047 . . . . . . . . 9
61 elfznn 11710 . . . . . . . . . . 11
6261adantl 466 . . . . . . . . . 10
6362nnrecred 10577 . . . . . . . . 9
6460, 63fsumrecl 13515 . . . . . . . 8
65 logsqrt 22813 . . . . . . . . . 10
6665ad2antrl 727 . . . . . . . . 9
67 rpsqrtcl 13057 . . . . . . . . . . 11
6867ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10
69 harmoniclbnd 23066 . . . . . . . . . 10
7068, 69syl 16 . . . . . . . . 9
7166, 70eqbrtrrd 4469 . . . . . . . 8
72 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7472, 73elrnmpti 5251 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75 elfznn 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7675adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7776nnrpd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7877rprege0d 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
79 sqrtsq 13062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8180, 76eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
82 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8382eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8481, 83syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8584rexlimdva 2955 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8674, 85syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15
8786imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14
88 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . . 14
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
9089oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . 12
9190sumeq2dv 13484 . . . . . . . . . . 11
92 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . 13
9392oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12
9476nnsqcld 12294 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9568rpred 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96 fznnfl 11953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9795, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9897simplbda 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9968adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10099rprege0d 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101 le2sq 12206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10278, 100, 101syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10398, 102mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10426rpred 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105104adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106105recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107106sqsqrtd 13229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
108103, 107breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109 fznnfl 11953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110105, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11194, 108, 110mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . . . 15
112111ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
11375nnrpd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114113rprege0d 11259 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11561nnrpd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116115rprege0d 11259 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117 sq11 12204 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118114, 116, 117syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
120112, 119dom2lem 7552 . . . . . . . . . . . . 13
121 f1f1orn 5825 . . . . . . . . . . . . 13
122120, 121syl 16 . . . . . . . . . . . 12
123 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . 14
124123, 72, 73fvmpt3i 5952 . . . . . . . . . . . . 13
125124adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
126 f1f 5779 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127 frn 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128120, 126, 1273syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15
129128sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . 14
130 1re 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131 0re 9592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132130, 131keepel 4007 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133 rerpdivcl 11243 . . . . . . . . . . . . . . . 16
134132, 55, 133sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15
135134recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . 14
136129, 135syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13
13790, 136eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . 12
13893, 60, 122, 125, 137fsumf1o 13504 . . . . . . . . . . 11
13991, 138eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10
140 eldif 3486 . . . . . . . . . . . . . . 15
14150ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
142141nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
143142sqsqrtd 13229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
144 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
145 fznnfl 11953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
146104, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
147146simplbda 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
148147adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
149141nnrpd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
150149rprege0d 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15126adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
152151rprege0d 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
153 sqrtle 13053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
154150, 152, 153syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
155148, 154mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15668adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
157156rpred 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
158 fznnfl 11953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
159157, 158syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
160144, 155, 159mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
161143, 141eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
162 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
16372, 162elrnmpt1s 5248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
164160, 161, 163syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
165143, 164eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
166165expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
167166con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . . 16
168167impr 619 . . . . . . . . . . . . . . 15
169140, 168sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . 14
170 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . . 14
171169, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
172171oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . 12
173 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . . . 15
174173, 55sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14
175174rpcnne0d 11261 . . . . . . . . . . . . 13
176 div0 10231 . . . . . . . . . . . . 13
177175, 176syl 16 . . . . . . . . . . . 12
178172, 177eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11
179128, 136, 178, 38fsumss 13506 . . . . . . . . . 10
18062nnrpd 11251 . . . . . . . . . . . . . 14
181180rprege0d 11259 . . . . . . . . . . . . 13
182 sqrtsq 13062 . . . . . . . . . . . . 13
183181, 182syl 16 . . . . . . . . . . . 12
184183oveq2d 6298 . . . . . . . . . . 11
185184sumeq2dv 13484 . . . . . . . . . 10
186139, 179, 1853eqtr3d 2516 . . . . . . . . 9
187132a1i 11 . . . . . . . . . . 11
18841ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
18946ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
19047ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
19139, 40, 188, 42, 43, 44, 45, 189, 190, 53dchrisum0flb 23423 . . . . . . . . . . 11
192187, 52, 55, 191lediv1dd 11306 . . . . . . . . . 10
19338, 134, 56, 192fsumle 13572 . . . . . . . . 9
194186, 193eqbrtrrd 4469 . . . . . . . 8
19521, 64, 57, 71, 194letrd 9734 . . . . . . 7
19657leabsd 13205 . . . . . . 7
19721, 57, 59, 195, 196letrd 9734 . . . . . 6
19837, 197eqbrtrd 4467 . . . . 5
19917, 18, 20, 11, 198o1le 13434 . . . 4
2005, 11, 16, 199o1mul2 13406 . . 3
2019, 200eqeltrrd 2556 . 2
2021, 201mto 176 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wrex 2815  crab 2818  cvv 3113   cdif 3473   wss 3476  cif 3939   class class class wbr 4447   cmpt 4505   crn 5000  wf 5582  wf1 5583  wf1o 5585  cfv 5586  (class class class)co 6282  cc 9486  cr 9487  cc0 9488  c1 9489   cmul 9493   clt 9624   cle 9625   cdiv 10202  cn 10532  c2 10581  crp 11216  cfz 11668  cfl 11891  cexp 12130  csqrt 13025  cabs 13026  co1 13268  csu 13467   cdivides 13843  cbs 14486  c0g 14691  RHomczrh 18304  ℤ/nℤczn 18307  clog 22670  DChrcdchr 23235 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-o1 13272  df-lo1 13273  df-sum 13468  df-ef 13661  df-e 13662  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-prm 14073  df-numer 14123  df-denom 14124  df-pc 14216  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-divs 14760  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-nsg 15994  df-eqg 15995  df-ghm 16060  df-cntz 16150  df-od 16349  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-dvr 17116  df-rnghom 17148  df-drng 17181  df-subrg 17210  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-lsp 17401  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-lidl 17603  df-rsp 17604  df-2idl 17662  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-zring 18257  df-zrh 18308  df-zn 18311  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-cxp 22673  df-em 23050  df-dchr 23236 This theorem is referenced by:  dchrisum0  23433
 Copyright terms: Public domain W3C validator