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Theorem dchrisum0fno1 24341
Description: The sum  sum_ k  <_  x ,  F ( x )  /  sqr k is divergent (i.e. not eventually bounded). Equation 9.4.30 of [Shapiro], p. 383. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum0f.f  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
dchrisum0f.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum0flb.r  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
dchrisum0fno1.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( F `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) )  e.  O(1) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0fno1  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    x, k,  .1.    k, F, x    k,
b, q, v, x   
k, N, q, x    ph, k, x    k, Z, x    D, k, x    L, b, k, v, x    X, b, k, v, x
Allowed substitution hints:    ph( v, q, b)    D( v, q, b)    .1. ( v, q, b)    F( v, q, b)    G( x, v, k, q, b)    L( q)    N( v, b)    X( q)    Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0fno1
Dummy variables  m  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logno1 23573 . 2  |-  -.  (
x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )  e.  O(1)
2 relogcl 23517 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
32adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
43recnd 9671 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
5 2cnd 10684 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
6 2ne0 10704 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  =/=  0 )
84, 5, 7divcan2d 10387 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( ( log `  x )  /  2
) )  =  ( log `  x ) )
98mpteq2dva 4508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  (
( log `  x
)  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) ) )
103rehalfcld 10861 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  / 
2 )  e.  RR )
1110recnd 9671 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  / 
2 )  e.  CC )
12 rpssre 11314 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
13 2cn 10682 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
14 o1const 13676 . . . . . 6  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  2  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  2 )  e.  O(1) )
1512, 13, 14mp2an 677 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  2 )  e.  O(1)
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  2 )  e.  O(1) )
17 1red 9660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
18 dchrisum0fno1.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( F `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) )  e.  O(1) )
19 sumex 13747 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( F `  k )  /  ( sqr `  k ) )  e.  _V
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( F `  k )  /  ( sqr `  k ) )  e.  _V )
2110adantrr 722 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  /  2 )  e.  RR )
222ad2antrl 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  x
)  e.  RR )
23 log1 23527 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  1 )  =  0
24 simprr 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
25 1rp 11308 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
26 simprl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
27 logleb 23544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  x  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  x ) ) )
2825, 26, 27sylancr 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  <_  x  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  x
) ) )
2924, 28mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  1
)  <_  ( log `  x ) )
3023, 29syl5eqbrr 4456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <_  ( log `  x ) )
31 2re 10681 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
2  e.  RR )
33 2pos 10703 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
3433a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <  2 )
35 divge0 10476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( log `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( log `  x
) )  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  0  <_  (
( log `  x
)  /  2 ) )
3622, 30, 32, 34, 35syl22anc 1266 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <_  ( ( log `  x )  / 
2 ) )
3721, 36absidd 13478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( log `  x
)  /  2 ) )  =  ( ( log `  x )  /  2 ) )
38 fzfid 12187 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin )
39 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
40 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
41 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
42 rpvmasum2.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  (DChr `  N )
43 rpvmasum2.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( Base `  G
)
44 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
45 dchrisum0f.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
46 dchrisum0f.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
47 dchrisum0flb.r . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
4839, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47dchrisum0ff 24337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
4948adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  F : NN --> RR )
50 elfznn 11830 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  k  e.  NN )
51 ffvelrn 6033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  RR )
5249, 50, 51syl2an 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
5350adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  NN )
5453nnrpd 11341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  RR+ )
5554rpsqrtcld 13467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  k
)  e.  RR+ )
5652, 55rerpdivcld 11371 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( F `
 k )  / 
( sqr `  k
) )  e.  RR )
5738, 56fsumrecl 13793 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( F `  k
)  /  ( sqr `  k ) )  e.  RR )
5857recnd 9671 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( F `  k
)  /  ( sqr `  k ) )  e.  CC )
5958abscld 13491 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( F `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) )  e.  RR )
60 fzfid 12187 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x
) ) )  e. 
Fin )
61 elfznn 11830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  ->  i  e.  NN )
6261adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
i  e.  NN )
6362nnrecred 10657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( 1  /  i
)  e.  RR )
6460, 63fsumrecl 13793 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) ( 1  /  i )  e.  RR )
65 logsqrt 23641 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  ( sqr `  x
) )  =  ( ( log `  x
)  /  2 ) )
6665ad2antrl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  ( sqr `  x ) )  =  ( ( log `  x )  /  2
) )
67 rpsqrtcl 13322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
6867ad2antrl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  RR+ )
69 harmoniclbnd 23926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  x )  e.  RR+  ->  ( log `  ( sqr `  x
) )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x
) ) ) ( 1  /  i ) )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  ( sqr `  x ) )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) ) ( 1  /  i ) )
7166, 70eqbrtrrd 4444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  /  2 )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) ) ( 1  /  i ) )
72 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^
2 ) )  =  ( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) )
73 ovex 6331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m ^ 2 )  e. 
_V
7472, 73elrnmpti 5102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^
2 ) )  <->  E. m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x
) ) ) k  =  ( m ^
2 ) )
75 elfznn 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
7675adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
7776nnrpd 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
7877rprege0d 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( m  e.  RR  /\  0  <_  m )
)
79 sqrtsq 13327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  RR  /\  0  <_  m )  -> 
( sqr `  (
m ^ 2 ) )  =  m )
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( sqr `  (
m ^ 2 ) )  =  m )
8180, 76eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( sqr `  (
m ^ 2 ) )  e.  NN )
82 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( m ^
2 )  ->  ( sqr `  k )  =  ( sqr `  (
m ^ 2 ) ) )
8382eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( m ^
2 )  ->  (
( sqr `  k
)  e.  NN  <->  ( sqr `  ( m ^ 2 ) )  e.  NN ) )
8481, 83syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( k  =  ( m ^ 2 )  ->  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )
8584rexlimdva 2918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( E. m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x
) ) ) k  =  ( m ^
2 )  ->  ( sqr `  k )  e.  NN ) )
8674, 85syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( k  e.  ran  ( m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )
8786imp 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^
2 ) ) )  ->  ( sqr `  k
)  e.  NN )
8887iftrued 3918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^
2 ) ) )  ->  if ( ( sqr `  k )  e.  NN ,  1 ,  0 )  =  1 )
8988oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^
2 ) ) )  ->  ( if ( ( sqr `  k
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  /  ( sqr `  k
) )  =  ( 1  /  ( sqr `  k ) ) )
9089sumeq2dv 13762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ k  e.  ran  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) ( if ( ( sqr `  k )  e.  NN ,  1 ,  0 )  / 
( sqr `  k
) )  =  sum_ k  e.  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^
2 ) ) ( 1  /  ( sqr `  k ) ) )
91 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( i ^
2 )  ->  ( sqr `  k )  =  ( sqr `  (
i ^ 2 ) ) )
9291oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( i ^
2 )  ->  (
1  /  ( sqr `  k ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  ( i ^
2 ) ) ) )
9376nnsqcld 12437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( m ^ 2 )  e.  NN )
9468rpred 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  RR )
95 fznnfl 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( sqr `  x )  e.  RR  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  m  <_ 
( sqr `  x
) ) ) )
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) )  <->  ( m  e.  NN  /\  m  <_ 
( sqr `  x
) ) ) )
9796simplbda 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  m  <_  ( sqr `  x
) )
9868adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  RR+ )
9998rprege0d 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( ( sqr `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  x
) ) )
100 le2sq 12350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  0  <_  m )  /\  ( ( sqr `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  x
) ) )  -> 
( m  <_  ( sqr `  x )  <->  ( m ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  x
) ^ 2 ) ) )
10178, 99, 100syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( m  <_  ( sqr `  x )  <->  ( m ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  x
) ^ 2 ) ) )
10297, 101mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( m ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  x ) ^
2 ) )
10326rpred 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
104103adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
105104recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  x  e.  CC )
106105sqsqrtd 13494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( ( sqr `  x
) ^ 2 )  =  x )
107102, 106breqtrd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( m ^ 2 )  <_  x )
108 fznnfl 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( m ^ 2 )  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( (
m ^ 2 )  e.  NN  /\  (
m ^ 2 )  <_  x ) ) )
109104, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( ( m ^
2 )  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  <-> 
( ( m ^
2 )  e.  NN  /\  ( m ^ 2 )  <_  x )
) )
11093, 107, 109mpbir2and 931 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( m ^ 2 )  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
111110ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) )  -> 
( m ^ 2 )  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ) )
11275nnrpd 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
113112rprege0d 11350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  ->  ( m  e.  RR  /\  0  <_  m ) )
11461nnrpd 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  ->  i  e.  RR+ )
115114rprege0d 11350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  ->  ( i  e.  RR  /\  0  <_ 
i ) )
116 sq11 12348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  0  <_  m )  /\  ( i  e.  RR  /\  0  <_  i )
)  ->  ( (
m ^ 2 )  =  ( i ^
2 )  <->  m  =  i ) )
117113, 115, 116syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x
) ) ) )  ->  ( ( m ^ 2 )  =  ( i ^ 2 )  <->  m  =  i
) )
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x
) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( ( m ^
2 )  =  ( i ^ 2 )  <-> 
m  =  i ) ) )
119111, 118dom2lem 7614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) : ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) -1-1-> ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
120 f1f1orn 5840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) : ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) -1-1-> ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) : ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) -1-1-onto-> ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) )
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) : ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) -1-1-onto-> ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) )
122 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  i  ->  (
m ^ 2 )  =  ( i ^
2 ) )
123122, 72, 73fvmpt3i 5967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  ->  ( (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) `
 i )  =  ( i ^ 2 ) )
124123adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) `  i )  =  ( i ^
2 ) )
125 f1f 5794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) : ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) -1-1-> ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) : ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) --> ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )
126 frn 5750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) : ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) --> ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  ran  ( m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )
127119, 125, 1263syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
128127sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^
2 ) ) )  ->  k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )
129 1re 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
130 0re 9645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
131129, 130keepel 3977 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  if ( ( sqr `  k
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  e.  RR
132 rerpdivcl 11332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( if ( ( sqr `  k )  e.  NN ,  1 ,  0 )  e.  RR  /\  ( sqr `  k )  e.  RR+ )  ->  ( if ( ( sqr `  k
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  /  ( sqr `  k
) )  e.  RR )
133131, 55, 132sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( if ( ( sqr `  k
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  /  ( sqr `  k
) )  e.  RR )
134133recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( if ( ( sqr `  k
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  /  ( sqr `  k
) )  e.  CC )
135128, 134syldan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^
2 ) ) )  ->  ( if ( ( sqr `  k
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  /  ( sqr `  k
) )  e.  CC )
13689, 135eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^
2 ) ) )  ->  ( 1  / 
( sqr `  k
) )  e.  CC )
13792, 60, 121, 124, 136fsumf1o 13782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ k  e.  ran  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) ( 1  /  ( sqr `  k ) )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) ) ( 1  /  ( sqr `  ( i ^ 2 ) ) ) )
13890, 137eqtrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ k  e.  ran  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) ( if ( ( sqr `  k )  e.  NN ,  1 ,  0 )  / 
( sqr `  k
) )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  (
i ^ 2 ) ) ) )
139 eldif 3447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  \  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  -.  k  e. 
ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) ) )
14050ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )  ->  k  e.  NN )
141140nncnd 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )  ->  k  e.  CC )
142141sqsqrtd 13494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )  ->  ( ( sqr `  k ) ^
2 )  =  k )
143 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )  ->  ( sqr `  k )  e.  NN )
144 fznnfl 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  RR  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( k  e.  NN  /\  k  <_  x ) ) )
145103, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  <-> 
( k  e.  NN  /\  k  <_  x )
) )
146145simplbda 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  <_  x
)
147146adantrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )  ->  k  <_  x )
148140nnrpd 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )  ->  k  e.  RR+ )
149148rprege0d 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )  ->  ( k  e.  RR  /\  0  <_ 
k ) )
15026adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )  ->  x  e.  RR+ )
151150rprege0d 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
152 sqrtle 13318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <_  k )  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )
)  ->  ( k  <_  x  <->  ( sqr `  k
)  <_  ( sqr `  x ) ) )
153149, 151, 152syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )  ->  ( k  <_  x  <->  ( sqr `  k
)  <_  ( sqr `  x ) ) )
154147, 153mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )  ->  ( sqr `  k )  <_  ( sqr `  x ) )
15568adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
156155rpred 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
157 fznnfl 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( sqr `  x )  e.  RR  ->  (
( sqr `  k
)  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  <->  ( ( sqr `  k )  e.  NN  /\  ( sqr `  k )  <_  ( sqr `  x ) ) ) )
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )  ->  ( ( sqr `  k )  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x
) ) )  <->  ( ( sqr `  k )  e.  NN  /\  ( sqr `  k )  <_  ( sqr `  x ) ) ) )
159143, 154, 158mpbir2and 931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )  ->  ( sqr `  k )  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) ) )
160142, 140eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )  ->  ( ( sqr `  k ) ^
2 )  e.  NN )
161 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  ( sqr `  k
)  ->  ( m ^ 2 )  =  ( ( sqr `  k
) ^ 2 ) )
16272, 161elrnmpt1s 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( sqr `  k
)  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  /\  (
( sqr `  k
) ^ 2 )  e.  NN )  -> 
( ( sqr `  k
) ^ 2 )  e.  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^
2 ) ) )
163159, 160, 162syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )  ->  ( ( sqr `  k ) ^
2 )  e.  ran  ( m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) )
164142, 163eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  ( sqr `  k
)  e.  NN ) )  ->  k  e.  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) )
165164expr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  k )  e.  NN  ->  k  e.  ran  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) ) )
166165con3d 139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) )  ->  -.  ( sqr `  k )  e.  NN ) )
167166impr 624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  -.  k  e. 
ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) ) )  ->  -.  ( sqr `  k
)  e.  NN )
168139, 167sylan2b 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( (
1 ... ( |_ `  x ) )  \  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) ) )  ->  -.  ( sqr `  k
)  e.  NN )
169168iffalsed 3921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( (
1 ... ( |_ `  x ) )  \  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) ) )  ->  if ( ( sqr `  k
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  =  0 )
170169oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( (
1 ... ( |_ `  x ) )  \  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) ) )  -> 
( if ( ( sqr `  k )  e.  NN ,  1 ,  0 )  / 
( sqr `  k
) )  =  ( 0  /  ( sqr `  k ) ) )
171 eldifi 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  \  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) )  ->  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
172171, 55sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( (
1 ... ( |_ `  x ) )  \  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) ) )  -> 
( sqr `  k
)  e.  RR+ )
173172rpcnne0d 11352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( (
1 ... ( |_ `  x ) )  \  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( sqr `  k
)  e.  CC  /\  ( sqr `  k )  =/=  0 ) )
174 div0 10300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  k
)  e.  CC  /\  ( sqr `  k )  =/=  0 )  -> 
( 0  /  ( sqr `  k ) )  =  0 )
175173, 174syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( (
1 ... ( |_ `  x ) )  \  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) ) )  -> 
( 0  /  ( sqr `  k ) )  =  0 )
176170, 175eqtrd 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( (
1 ... ( |_ `  x ) )  \  ran  ( m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) ) )  -> 
( if ( ( sqr `  k )  e.  NN ,  1 ,  0 )  / 
( sqr `  k
) )  =  0 )
177127, 135, 176, 38fsumss 13784 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ k  e.  ran  (
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) )  |->  ( m ^ 2 ) ) ( if ( ( sqr `  k )  e.  NN ,  1 ,  0 )  / 
( sqr `  k
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( if ( ( sqr `  k )  e.  NN ,  1 ,  0 )  /  ( sqr `  k ) ) )
17862nnrpd 11341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
i  e.  RR+ )
179178rprege0d 11350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( i  e.  RR  /\  0  <_  i )
)
180 sqrtsq 13327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  RR  /\  0  <_  i )  -> 
( sqr `  (
i ^ 2 ) )  =  i )
181179, 180syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( sqr `  (
i ^ 2 ) )  =  i )
182181oveq2d 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) )  -> 
( 1  /  ( sqr `  ( i ^
2 ) ) )  =  ( 1  / 
i ) )
183182sumeq2dv 13762 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  (
i ^ 2 ) ) )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) ( 1  /  i ) )
184138, 177, 1833eqtr3d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( if ( ( sqr `  k )  e.  NN ,  1 ,  0 )  /  ( sqr `  k ) )  = 
sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( sqr `  x
) ) ) ( 1  /  i ) )
185131a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  if ( ( sqr `  k )  e.  NN ,  1 ,  0 )  e.  RR )
18641ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  N  e.  NN )
18746ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D
)
18847ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X : (
Base `  Z ) --> RR )
18939, 40, 186, 42, 43, 44, 45, 187, 188, 53dchrisum0flb 24340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  if ( ( sqr `  k )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  k
) )
190185, 52, 55, 189lediv1dd 11398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( if ( ( sqr `  k
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  /  ( sqr `  k
) )  <_  (
( F `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) )
19138, 133, 56, 190fsumle 13852 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( if ( ( sqr `  k )  e.  NN ,  1 ,  0 )  /  ( sqr `  k ) )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( F `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) )
192184, 191eqbrtrrd 4444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  x ) ) ) ( 1  /  i )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( F `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) )
19321, 64, 57, 71, 192letrd 9794 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  /  2 )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( F `  k )  /  ( sqr `  k ) ) )
19457leabsd 13470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( F `  k
)  /  ( sqr `  k ) )  <_ 
( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( F `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) ) )
19521, 57, 59, 193, 194letrd 9794 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  /  2 )  <_  ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( F `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) ) )
19637, 195eqbrtrd 4442 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( log `  x
)  /  2 ) )  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( F `  k )  /  ( sqr `  k ) ) ) )
19717, 18, 20, 11, 196o1le 13709 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  2 ) )  e.  O(1) )
1985, 11, 16, 197o1mul2 13681 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  (
( log `  x
)  /  2 ) ) )  e.  O(1) )
1999, 198eqeltrrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )  e.  O(1) )
2001, 199mto 180 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    C_ wss 3437   ifcif 3910   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   ran crn 4852   -->wf 5595   -1-1->wf1 5596   -1-1-onto->wf1o 5598   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    x. cmul 9546    < clt 9677    <_ cle 9678    / cdiv 10271   NNcn 10611   2c2 10661   RR+crp 11304   ...cfz 11786   |_cfl 12027   ^cexp 12273   sqrcsqrt 13290   abscabs 13291   O(1)co1 13543   sum_csu 13745    || cdvds 14298   Basecbs 15114   0gc0g 15331   ZRHomczrh 19063  ℤ/nczn 19066   logclog 23496  DChrcdchr 24152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-disj 4393  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-tpos 6979  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-omul 7193  df-er 7369  df-ec 7371  df-qs 7375  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-acn 8379  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ioc 11642  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-fac 12461  df-bc 12489  df-hash 12517  df-shft 13124  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-o1 13547  df-lo1 13548  df-sum 13746  df-ef 14114  df-e 14115  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-prm 14616  df-numer 14677  df-denom 14678  df-pc 14780  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-qus 15402  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-nsg 16808  df-eqg 16809  df-ghm 16874  df-cntz 16964  df-od 17165  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-rnghom 17936  df-drng 17970  df-subrg 17999  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-lidl 18390  df-rsp 18391  df-2idl 18449  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-zring 19032  df-zrh 19067  df-zn 19070  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-cncf 21902  df-limc 22813  df-dv 22814  df-log 23498  df-cxp 23499  df-em 23910  df-dchr 24153
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