Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0fmul Structured version   Unicode version

Theorem dchrisum0fmul 24072
 Description: The function , the divisor sum of a Dirichlet character, is a multiplicative function (but not completely multiplicative). Equation 9.4.27 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum2.g DChr
rpvmasum2.d
rpvmasum2.1
dchrisum0f.f
dchrisum0f.x
dchrisum0fmul.a
dchrisum0fmul.b
dchrisum0fmul.m
Assertion
Ref Expression
dchrisum0fmul
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   ()   (,)   ()   (,,)

Proof of Theorem dchrisum0fmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum0fmul.a . . 3
2 dchrisum0fmul.b . . 3
3 dchrisum0fmul.m . . 3
4 eqid 2402 . . 3
5 eqid 2402 . . 3
6 eqid 2402 . . 3
7 rpvmasum2.g . . . 4 DChr
8 rpvmasum.z . . . 4 ℤ/n
9 rpvmasum2.d . . . 4
10 rpvmasum.l . . . 4 RHom
11 dchrisum0f.x . . . . 5
1211adantr 463 . . . 4
13 elrabi 3204 . . . . . 6
1413nnzd 11007 . . . . 5
1514adantl 464 . . . 4
167, 8, 9, 10, 12, 15dchrzrhcl 23901 . . 3
1711adantr 463 . . . 4
18 elrabi 3204 . . . . . 6
1918nnzd 11007 . . . . 5
2019adantl 464 . . . 4
217, 8, 9, 10, 17, 20dchrzrhcl 23901 . . 3
2214, 19anim12i 564 . . . 4
2311adantr 463 . . . . . 6
24 simprl 756 . . . . . 6
25 simprr 758 . . . . . 6
267, 8, 9, 10, 23, 24, 25dchrzrhmul 23902 . . . . 5
2726eqcomd 2410 . . . 4
2822, 27sylan2 472 . . 3
29 fveq2 5849 . . . 4
3029fveq2d 5853 . . 3
311, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 21, 28, 30fsumdvdsmul 23852 . 2
32 rpvmasum.a . . . . 5
33 rpvmasum2.1 . . . . 5
34 dchrisum0f.f . . . . 5
358, 10, 32, 7, 9, 33, 34dchrisum0fval 24071 . . . 4
361, 35syl 17 . . 3
378, 10, 32, 7, 9, 33, 34dchrisum0fval 24071 . . . 4
382, 37syl 17 . . 3
3936, 38oveq12d 6296 . 2
401, 2nnmulcld 10624 . . 3
418, 10, 32, 7, 9, 33, 34dchrisum0fval 24071 . . 3
4240, 41syl 17 . 2
4331, 39, 423eqtr4rd 2454 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  crab 2758   class class class wbr 4395   cmpt 4453  cfv 5569  (class class class)co 6278  c1 9523   cmul 9527  cn 10576  cz 10905  csu 13657   cdvds 14195   cgcd 14353  cbs 14841  c0g 15054  RHomczrh 18837  ℤ/nℤczn 18840  DChrcdchr 23888 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-ec 7350  df-qs 7354  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-dvds 14196  df-gcd 14354  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-0g 15056  df-imas 15122  df-qus 15123  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mulg 16384  df-subg 16522  df-nsg 16523  df-eqg 16524  df-ghm 16589  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-oppr 17592  df-dvdsr 17610  df-unit 17611  df-rnghom 17684  df-subrg 17747  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-lsp 17938  df-sra 18138  df-rgmod 18139  df-lidl 18140  df-rsp 18141  df-2idl 18200  df-cnfld 18741  df-zring 18809  df-zrh 18841  df-zn 18844  df-dchr 23889 This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  24075
 Copyright terms: Public domain W3C validator