MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flblem2 Structured version   Unicode version

Theorem dchrisum0flblem2 22758
Description: Lemma for dchrisum0flb 22759. Induction over relatively prime factors, with the prime power case handled in dchrisum0flblem1 . (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum0f.f  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
dchrisum0f.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum0flb.r  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
dchrisum0flb.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
dchrisum0flb.2  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
dchrisum0flb.3  |-  ( ph  ->  P  ||  A )
dchrisum0flb.4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1..^ A ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem2  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  A ) )
Distinct variable groups:    y,  .1.    y, F    q, b, v, y, A    N, q,
y    P, b, q, v, y    y, Z    y, D    L, b, v, y    X, b, v, y
Allowed substitution hints:    ph( y, v, q, b)    D( v, q, b)    .1. ( v,
q, b)    F( v,
q, b)    G( y,
v, q, b)    L( q)    N( v, b)    X( q)    Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0flblem2
StepHypRef Expression
1 breq1 4295 . . 3  |-  ( 1  =  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  -> 
( 1  <_  (
( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )  <->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) ) )
2 breq1 4295 . . 3  |-  ( 0  =  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )  <->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) ) )
3 1t1e1 10469 . . . 4  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
4 dchrisum0flb.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  P  e.  Prime )
6 nnq 10966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( sqr `  A )  e.  NN  ->  ( sqr `  A )  e.  QQ )
76adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  A
)  e.  QQ )
8 nnne0 10354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( sqr `  A )  e.  NN  ->  ( sqr `  A )  =/=  0 )
98adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  A
)  =/=  0 )
10 2z 10678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
12 pcexp 13926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( sqr `  A
)  e.  QQ  /\  ( sqr `  A )  =/=  0 )  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( P  pCnt  (
( sqr `  A
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) ) )
135, 7, 9, 11, 12syl121anc 1223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( sqr `  A
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) ) )
14 dchrisum0flb.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
15 eluz2b2 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
1615simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
1714, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
1817nncnd 10338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
2019sqsqrd 12925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  A ) ^ 2 )  =  A )
2120oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( sqr `  A
) ^ 2 ) )  =  ( P 
pCnt  A ) )
22 2cnd 10394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
23 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  A
)  e.  NN )
245, 23pccld 13917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( sqr `  A ) )  e.  NN0 )
2524nn0cnd 10638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( sqr `  A ) )  e.  CC )
2622, 25mulcomd 9407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( sqr `  A ) )  x.  2 ) )
2713, 21, 263eqtr3rd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( ( P 
pCnt  ( sqr `  A
) )  x.  2 )  =  ( P 
pCnt  A ) )
2827oveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( ( P  pCnt  ( sqr `  A ) )  x.  2 ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )
29 prmnn 13766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
305, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  P  e.  NN )
3130nncnd 10338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  P  e.  CC )
32 2nn0 10596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  2  e.  NN0 )
3431, 33, 24expmuld 12011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( ( P  pCnt  ( sqr `  A ) )  x.  2 ) )  =  ( ( P ^ ( P 
pCnt  ( sqr `  A
) ) ) ^
2 ) )
3528, 34eqtr3d 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( P  pCnt  A
) )  =  ( ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) ^
2 ) )
3635fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  =  ( sqr `  (
( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) ^
2 ) ) )
3730, 24nnexpcld 12029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) )  e.  NN )
3837nnrpd 11026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) )  e.  RR+ )
3938rprege0d 11034 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) ) ) )
40 sqrsq 12759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) )  ->  ( sqr `  (
( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) ^
2 ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  (
( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) ^
2 ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) )
4236, 41eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) )
4342, 37eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN )
44 iftrue 3797 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN  ->  if (
( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  =  1 )
4543, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  =  1 )
46 rpvmasum.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
47 rpvmasum.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
48 rpvmasum.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
49 rpvmasum2.g . . . . . . . 8  |-  G  =  (DChr `  N )
50 rpvmasum2.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( Base `  G
)
51 rpvmasum2.1 . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
52 dchrisum0f.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
53 dchrisum0f.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
54 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
554, 17pccld 13917 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  A
)  e.  NN0 )
5646, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 4, 55dchrisum0flblem1 22757 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) ) )
5756adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )
5845, 57eqbrtrrd 4314 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  1  <_  ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )
59 pcdvds 13930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  ||  A
)
604, 17, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) 
||  A )
614, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
6261, 55nnexpcld 12029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  e.  NN )
63 nndivdvds 13541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) )  e.  NN )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) 
||  A  <->  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) )  e.  NN ) )
6417, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( P  pCnt  A
) )  ||  A  <->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ) )
6560, 64mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN )
6665nnzd 10746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ )
6766adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ )
6817adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  A  e.  NN )
6968nnrpd 11026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  A  e.  RR+ )
7069rprege0d 11034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
7162adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( P  pCnt  A
) )  e.  NN )
7271nnrpd 11026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( P  pCnt  A
) )  e.  RR+ )
73 sqrdiv 12755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  =  ( ( sqr `  A
)  /  ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) )
7470, 72, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  =  ( ( sqr `  A )  /  ( sqr `  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )
75 nnz 10668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  A )  e.  NN  ->  ( sqr `  A )  e.  ZZ )
7675adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  A
)  e.  ZZ )
77 znq 10957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  A
)  e.  ZZ  /\  ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN )  ->  (
( sqr `  A
)  /  ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  QQ )
7876, 43, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  A )  /  ( sqr `  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  QQ )
7974, 78eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  QQ )
80 zsqrelqelz 13836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ  /\  ( sqr `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  QQ )  -> 
( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  ZZ )
8167, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  ZZ )
8265adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN )
8382nnrpd 11026 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  RR+ )
8483sqrgt0d 12899 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  0  <  ( sqr `  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) )
85 elnnz 10656 . . . . . . . 8  |-  ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN  <->  ( ( sqr `  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( sqr `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) ) )
8681, 84, 85sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN )
87 iftrue 3797 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN  ->  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  =  1 )
8886, 87syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  =  1 )
89 nnuz 10896 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9065, 89syl6eleq 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9117nnzd 10746 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
9261nnred 10337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
93 dchrisum0flb.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  ||  A )
94 pcelnn 13936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  A
)  e.  NN  <->  P  ||  A
) )
954, 17, 94syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  A )  e.  NN  <->  P  ||  A
) )
9693, 95mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  A
)  e.  NN )
97 prmuz2 13781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
98 eluz2b2 10927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
9998simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
1004, 97, 993syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <  P )
101 expgt1 11902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  RR  /\  ( P  pCnt  A )  e.  NN  /\  1  <  P )  ->  1  <  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )
10292, 96, 100, 101syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )
103 1re 9385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
10562nnred 10337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  e.  RR )
10617nnred 10337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
107 0lt1 9862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
10962nngt0d 10365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )
11017nngt0d 10365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  A )
111 ltdiv2OLD 10218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  (
0  <  1  /\  0  <  ( P ^
( P  pCnt  A
) )  /\  0  <  A ) )  -> 
( 1  <  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  <->  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) )  < 
( A  /  1
) ) )
112104, 105, 106, 108, 109, 110, 111syl33anc 1233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  <->  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) )  < 
( A  /  1
) ) )
113102, 112mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  < 
( A  /  1
) )
11418div1d 10099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  /  1
)  =  A )
115113, 114breqtrd 4316 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  < 
A )
116 elfzo2 11556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ( 1..^ A )  <-> 
( ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) )  < 
A ) )
11790, 91, 115, 116syl3anbrc 1172 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ( 1..^ A ) )
118 dchrisum0flb.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1..^ A ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) )
119 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )
120119eleq1d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  ->  ( ( sqr `  y )  e.  NN  <->  ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ) )
121120ifbid 3811 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  ->  if (
( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  =  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) )
122 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )
123121, 122breq12d 4305 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  ->  ( if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  if (
( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
124123rspcv 3069 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ( 1..^ A )  ->  ( A. y  e.  ( 1..^ A ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  ->  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
125117, 118, 124sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )
126125adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )
12788, 126eqbrtrrd 4314 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  1  <_  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )
128 0le1 9863 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
129103, 128pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )
130129a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <_ 
1 ) )
13146, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54dchrisum0ff 22756 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
132131, 62ffvelrnd 5844 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  RR )
133132adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  e.  RR )
134131, 65ffvelrnd 5844 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  RR )
135134adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  RR )
136 lemul12a 10187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_ 
1 )  /\  ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  RR )  /\  (
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( 1  <_  ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  /\  1  <_  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )  ->  ( 1  x.  1 )  <_ 
( ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) ) ) )
137130, 133, 130, 135, 136syl22anc 1219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( ( 1  <_  ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  /\  1  <_  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )  ->  ( 1  x.  1 )  <_ 
( ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) ) ) )
13858, 127, 137mp2and 679 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( 1  x.  1 )  <_  (
( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
1393, 138syl5eqbrr 4326 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  1  <_  (
( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
140 0red 9387 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
141 0re 9386 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
142103, 141keepel 3857 . . . . . . 7  |-  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  e.  RR
143142a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  e.  RR )
144 breq2 4296 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  ->  (
0  <_  1  <->  0  <_  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) ) )
145 breq2 4296 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  ->  (
0  <_  0  <->  0  <_  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) ) )
146 0le0 10411 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
147144, 145, 128, 146keephyp 3854 . . . . . . 7  |-  0  <_  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )
148147a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  if (
( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) )
149140, 143, 132, 148, 56letrd 9528 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )
150103, 141keepel 3857 . . . . . . 7  |-  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  e.  RR
151150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  e.  RR )
152 breq2 4296 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  -> 
( 0  <_  1  <->  0  <_  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) ) )
153 breq2 4296 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) ) )
154152, 153, 128, 146keephyp 3854 . . . . . . 7  |-  0  <_  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )
155154a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  if (
( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) )
156140, 151, 134, 155, 125letrd 9528 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) )
157132, 134, 149, 156mulge0d 9916 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
158157adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) ) )
1591, 2, 139, 158ifbothda 3824 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
16062nncnd 10338 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  e.  CC )
16162nnne0d 10366 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  =/=  0 )
16218, 160, 161divcan2d 10109 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( P  pCnt  A
) )  x.  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  =  A )
163162fveq2d 5695 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( P ^ ( P  pCnt  A ) )  x.  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) )  =  ( F `  A
) )
164 pcndvds2 13934 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  -.  P  ||  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )
1654, 17, 164syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )
166 coprm 13786 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) )  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) )  <->  ( P  gcd  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  =  1 ) )
1674, 66, 166syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -.  P  ||  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  <->  ( P  gcd  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  =  1 ) )
168165, 167mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  gcd  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  =  1 )
169 prmz 13767 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
1704, 169syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
171 rpexp1i 13807 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ  /\  ( P 
pCnt  A )  e.  NN0 )  ->  ( ( P  gcd  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  =  1  ->  ( ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  gcd  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  =  1 ) )
172170, 66, 55, 171syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P  gcd  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  =  1  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  A ) )  gcd  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  =  1 ) )
173168, 172mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( P  pCnt  A
) )  gcd  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  =  1 )
17446, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 62, 65, 173dchrisum0fmul 22755 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( P ^ ( P  pCnt  A ) )  x.  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) )  =  ( ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) ) )
175163, 174eqtr3d 2477 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  ( ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
176159, 175breqtrrd 4318 1  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   {crab 2719   ifcif 3791   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419    / cdiv 9993   NNcn 10322   2c2 10371   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   QQcq 10953   RR+crp 10991  ..^cfzo 11548   ^cexp 11865   sqrcsqr 12722   sum_csu 13163    || cdivides 13535    gcd cgcd 13690   Primecprime 13763    pCnt cpc 13903   Basecbs 14174   0gc0g 14378   ZRHomczrh 17931  ℤ/nczn 17934  DChrcdchr 22571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-er 7101  df-ec 7103  df-qs 7107  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-acn 8112  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-pi 13358  df-dvds 13536  df-gcd 13691  df-prm 13764  df-numer 13813  df-denom 13814  df-pc 13904  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-divs 14447  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-nsg 15679  df-eqg 15680  df-ghm 15745  df-cntz 15835  df-od 16032  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-dvr 16775  df-rnghom 16806  df-drng 16834  df-subrg 16863  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-lidl 17255  df-rsp 17256  df-2idl 17314  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-zring 17884  df-zrh 17935  df-zn 17938  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-log 22008  df-cxp 22009  df-dchr 22572
This theorem is referenced by:  dchrisum0flb  22759
  Copyright terms: Public domain W3C validator