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Theorem dchrisum0flblem2 24077
Description: Lemma for dchrisum0flb 24078. Induction over relatively prime factors, with the prime power case handled in dchrisum0flblem1 . (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum0f.f  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
dchrisum0f.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum0flb.r  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
dchrisum0flb.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
dchrisum0flb.2  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
dchrisum0flb.3  |-  ( ph  ->  P  ||  A )
dchrisum0flb.4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1..^ A ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem2  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  A ) )
Distinct variable groups:    y,  .1.    y, F    q, b, v, y, A    N, q,
y    P, b, q, v, y    y, Z    y, D    L, b, v, y    X, b, v, y
Allowed substitution hints:    ph( y, v, q, b)    D( v, q, b)    .1. ( v,
q, b)    F( v,
q, b)    G( y,
v, q, b)    L( q)    N( v, b)    X( q)    Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0flblem2
StepHypRef Expression
1 breq1 4400 . . 3  |-  ( 1  =  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  -> 
( 1  <_  (
( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )  <->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) ) )
2 breq1 4400 . . 3  |-  ( 0  =  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )  <->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) ) )
3 1t1e1 10726 . . . 4  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
4 dchrisum0flb.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  P  e.  Prime )
6 nnq 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( sqr `  A )  e.  NN  ->  ( sqr `  A )  e.  QQ )
76adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  A
)  e.  QQ )
8 nnne0 10611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( sqr `  A )  e.  NN  ->  ( sqr `  A )  =/=  0 )
98adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  A
)  =/=  0 )
10 2z 10939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
12 pcexp 14594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( sqr `  A
)  e.  QQ  /\  ( sqr `  A )  =/=  0 )  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( P  pCnt  (
( sqr `  A
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) ) )
135, 7, 9, 11, 12syl121anc 1237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( sqr `  A
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) ) )
14 dchrisum0flb.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
15 eluz2nn 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
1716nncnd 10594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
1918sqsqrtd 13421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  A ) ^ 2 )  =  A )
2019oveq2d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( sqr `  A
) ^ 2 ) )  =  ( P 
pCnt  A ) )
21 2cnd 10651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
22 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  A
)  e.  NN )
235, 22pccld 14585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( sqr `  A ) )  e.  NN0 )
2423nn0cnd 10897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( sqr `  A ) )  e.  CC )
2521, 24mulcomd 9649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( sqr `  A ) )  x.  2 ) )
2613, 20, 253eqtr3rd 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( ( P 
pCnt  ( sqr `  A
) )  x.  2 )  =  ( P 
pCnt  A ) )
2726oveq2d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( ( P  pCnt  ( sqr `  A ) )  x.  2 ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )
28 prmnn 14431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
295, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  P  e.  NN )
3029nncnd 10594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  P  e.  CC )
31 2nn0 10855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  2  e.  NN0 )
3330, 32, 23expmuld 12359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( ( P  pCnt  ( sqr `  A ) )  x.  2 ) )  =  ( ( P ^ ( P 
pCnt  ( sqr `  A
) ) ) ^
2 ) )
3427, 33eqtr3d 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( P  pCnt  A
) )  =  ( ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) ^
2 ) )
3534fveq2d 5855 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  =  ( sqr `  (
( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) ^
2 ) ) )
3629, 23nnexpcld 12377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) )  e.  NN )
3736nnrpd 11304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) )  e.  RR+ )
3837rprege0d 11313 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) ) ) )
39 sqrtsq 13254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) )  ->  ( sqr `  (
( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) ^
2 ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  (
( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) ^
2 ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) )
4135, 40eqtrd 2445 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) )
4241, 36eqeltrd 2492 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN )
4342iftrued 3895 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  =  1 )
44 rpvmasum.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
45 rpvmasum.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
46 rpvmasum.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
47 rpvmasum2.g . . . . . . . 8  |-  G  =  (DChr `  N )
48 rpvmasum2.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( Base `  G
)
49 rpvmasum2.1 . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
50 dchrisum0f.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
51 dchrisum0f.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
52 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
534, 16pccld 14585 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  A
)  e.  NN0 )
5444, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 4, 53dchrisum0flblem1 24076 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) ) )
5554adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )
5643, 55eqbrtrrd 4419 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  1  <_  ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )
57 pcdvds 14598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  ||  A
)
584, 16, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) 
||  A )
594, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
6059, 53nnexpcld 12377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  e.  NN )
61 nndivdvds 14203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) )  e.  NN )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) 
||  A  <->  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) )  e.  NN ) )
6216, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( P  pCnt  A
) )  ||  A  <->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ) )
6358, 62mpbid 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN )
6463nnzd 11009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ )
6564adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ )
6616adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  A  e.  NN )
6766nnrpd 11304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  A  e.  RR+ )
6867rprege0d 11313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
6960adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( P  pCnt  A
) )  e.  NN )
7069nnrpd 11304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( P  pCnt  A
) )  e.  RR+ )
71 sqrtdiv 13250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  =  ( ( sqr `  A
)  /  ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) )
7268, 70, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  =  ( ( sqr `  A )  /  ( sqr `  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )
73 nnz 10929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  A )  e.  NN  ->  ( sqr `  A )  e.  ZZ )
7473adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  A
)  e.  ZZ )
75 znq 11233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  A
)  e.  ZZ  /\  ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN )  ->  (
( sqr `  A
)  /  ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  QQ )
7674, 42, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  A )  /  ( sqr `  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  QQ )
7772, 76eqeltrd 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  QQ )
78 zsqrtelqelz 14502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ  /\  ( sqr `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  QQ )  -> 
( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  ZZ )
7965, 77, 78syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  ZZ )
8063adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN )
8180nnrpd 11304 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  RR+ )
8281sqrtgt0d 13395 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  0  <  ( sqr `  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) )
83 elnnz 10917 . . . . . . . 8  |-  ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN  <->  ( ( sqr `  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( sqr `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) ) )
8479, 82, 83sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN )
8584iftrued 3895 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  =  1 )
86 nnuz 11164 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8763, 86syl6eleq 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8816nnzd 11009 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
8959nnred 10593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
90 dchrisum0flb.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  ||  A )
91 pcelnn 14604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  A
)  e.  NN  <->  P  ||  A
) )
924, 16, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  A )  e.  NN  <->  P  ||  A
) )
9390, 92mpbird 234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  A
)  e.  NN )
94 prmuz2 14446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
95 eluz2b2 11201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
9695simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
974, 94, 963syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <  P )
98 expgt1 12250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  RR  /\  ( P  pCnt  A )  e.  NN  /\  1  <  P )  ->  1  <  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )
9989, 93, 97, 98syl3anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )
100 1re 9627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
10260nnred 10593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  e.  RR )
10316nnred 10593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
104 0lt1 10117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
10660nngt0d 10622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )
10716nngt0d 10622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  A )
108 ltdiv2OLD 10473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  (
0  <  1  /\  0  <  ( P ^
( P  pCnt  A
) )  /\  0  <  A ) )  -> 
( 1  <  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  <->  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) )  < 
( A  /  1
) ) )
109101, 102, 103, 105, 106, 107, 108syl33anc 1247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  <->  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) )  < 
( A  /  1
) ) )
11099, 109mpbid 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  < 
( A  /  1
) )
11117div1d 10355 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  /  1
)  =  A )
112110, 111breqtrd 4421 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  < 
A )
113 elfzo2 11864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ( 1..^ A )  <-> 
( ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) )  < 
A ) )
11487, 88, 112, 113syl3anbrc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ( 1..^ A ) )
115 dchrisum0flb.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1..^ A ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) )
116 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )
117116eleq1d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  ->  ( ( sqr `  y )  e.  NN  <->  ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ) )
118117ifbid 3909 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  ->  if (
( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  =  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) )
119 fveq2 5851 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )
120118, 119breq12d 4410 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  ->  ( if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  if (
( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
121120rspcv 3158 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ( 1..^ A )  ->  ( A. y  e.  ( 1..^ A ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  ->  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
122114, 115, 121sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )
123122adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )
12485, 123eqbrtrrd 4419 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  1  <_  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )
125 0le1 10118 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
126100, 125pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )
127126a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <_ 
1 ) )
12844, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52dchrisum0ff 24075 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
129128, 60ffvelrnd 6012 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  RR )
130129adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  e.  RR )
131128, 63ffvelrnd 6012 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  RR )
132131adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  RR )
133 lemul12a 10443 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_ 
1 )  /\  ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  RR )  /\  (
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( 1  <_  ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  /\  1  <_  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )  ->  ( 1  x.  1 )  <_ 
( ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) ) ) )
134127, 130, 127, 132, 133syl22anc 1233 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( ( 1  <_  ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  /\  1  <_  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )  ->  ( 1  x.  1 )  <_ 
( ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) ) ) )
13556, 124, 134mp2and 679 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( 1  x.  1 )  <_  (
( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
1363, 135syl5eqbrr 4431 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  1  <_  (
( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
137 0red 9629 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
138 0re 9628 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
139100, 138keepel 3954 . . . . . . 7  |-  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  e.  RR
140139a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  e.  RR )
141 breq2 4401 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  ->  (
0  <_  1  <->  0  <_  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) ) )
142 breq2 4401 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  ->  (
0  <_  0  <->  0  <_  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) ) )
143 0le0 10668 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
144141, 142, 125, 143keephyp 3951 . . . . . . 7  |-  0  <_  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )
145144a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  if (
( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) )
146137, 140, 129, 145, 54letrd 9775 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )
147100, 138keepel 3954 . . . . . . 7  |-  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  e.  RR
148147a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  e.  RR )
149 breq2 4401 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  -> 
( 0  <_  1  <->  0  <_  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) ) )
150 breq2 4401 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) ) )
151149, 150, 125, 143keephyp 3951 . . . . . . 7  |-  0  <_  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )
152151a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  if (
( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) )
153137, 148, 131, 152, 122letrd 9775 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) )
154129, 131, 146, 153mulge0d 10171 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
155154adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) ) )
1561, 2, 136, 155ifbothda 3922 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
15760nncnd 10594 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  e.  CC )
15860nnne0d 10623 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  =/=  0 )
15917, 157, 158divcan2d 10365 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( P  pCnt  A
) )  x.  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  =  A )
160159fveq2d 5855 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( P ^ ( P  pCnt  A ) )  x.  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) )  =  ( F `  A
) )
161 pcndvds2 14602 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  -.  P  ||  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )
1624, 16, 161syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )
163 coprm 14452 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) )  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) )  <->  ( P  gcd  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  =  1 ) )
1644, 64, 163syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -.  P  ||  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  <->  ( P  gcd  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  =  1 ) )
165162, 164mpbid 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  gcd  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  =  1 )
166 prmz 14432 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
1674, 166syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
168 rpexp1i 14473 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ  /\  ( P 
pCnt  A )  e.  NN0 )  ->  ( ( P  gcd  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  =  1  ->  ( ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  gcd  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  =  1 ) )
169167, 64, 53, 168syl3anc 1232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P  gcd  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  =  1  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  A ) )  gcd  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  =  1 ) )
170165, 169mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( P  pCnt  A
) )  gcd  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  =  1 )
17144, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 60, 63, 170dchrisum0fmul 24074 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( P ^ ( P  pCnt  A ) )  x.  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) )  =  ( ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) ) )
172160, 171eqtr3d 2447 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  ( ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
173156, 172breqtrrd 4423 1  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   A.wral 2756   {crab 2760   ifcif 3887   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525    x. cmul 9529    < clt 9660    <_ cle 9661    / cdiv 10249   NNcn 10578   2c2 10628   NN0cn0 10838   ZZcz 10907   ZZ>=cuz 11129   QQcq 11229   RR+crp 11267  ..^cfzo 11856   ^cexp 12212   sqrcsqrt 13217   sum_csu 13659    || cdvds 14197    gcd cgcd 14355   Primecprime 14428    pCnt cpc 14571   Basecbs 14843   0gc0g 15056   ZRHomczrh 18839  ℤ/nczn 18842  DChrcdchr 23890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-disj 4369  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-tpos 6960  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-omul 7174  df-er 7350  df-ec 7352  df-qs 7356  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-acn 8357  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ioc 11589  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-bc 12427  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-ef 14014  df-sin 14016  df-cos 14017  df-pi 14019  df-dvds 14198  df-gcd 14356  df-prm 14429  df-numer 14479  df-denom 14480  df-pc 14572  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-qus 15125  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mhm 16292  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-mulg 16386  df-subg 16524  df-nsg 16525  df-eqg 16526  df-ghm 16591  df-cntz 16681  df-od 16879  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-cring 17523  df-oppr 17594  df-dvdsr 17612  df-unit 17613  df-invr 17643  df-dvr 17654  df-rnghom 17686  df-drng 17720  df-subrg 17749  df-lmod 17836  df-lss 17901  df-lsp 17940  df-sra 18140  df-rgmod 18141  df-lidl 18142  df-rsp 18143  df-2idl 18202  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-zring 18811  df-zrh 18843  df-zn 18846  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-cncf 21676  df-limc 22564  df-dv 22565  df-log 23238  df-cxp 23239  df-dchr 23891
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