Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flblem2 Structured version   Unicode version

Theorem dchrisum0flblem2 24077
 Description: Lemma for dchrisum0flb 24078. Induction over relatively prime factors, with the prime power case handled in dchrisum0flblem1 . (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum2.g DChr
rpvmasum2.d
rpvmasum2.1
dchrisum0f.f
dchrisum0f.x
dchrisum0flb.r
dchrisum0flb.1
dchrisum0flb.2
dchrisum0flb.3
dchrisum0flb.4 ..^
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,,)   ()   (,)   ()   (,,)

Proof of Theorem dchrisum0flblem2
StepHypRef Expression
1 breq1 4400 . . 3
2 breq1 4400 . . 3
3 1t1e1 10726 . . . 4
4 dchrisum0flb.2 . . . . . . . . . . . . . . 15
54adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
6 nnq 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15
76adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
8 nnne0 10611 . . . . . . . . . . . . . . 15
98adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
10 2z 10939 . . . . . . . . . . . . . . 15
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
12 pcexp 14594 . . . . . . . . . . . . . 14
135, 7, 9, 11, 12syl121anc 1237 . . . . . . . . . . . . 13
14 dchrisum0flb.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15 eluz2nn 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1716nncnd 10594 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918sqsqrtd 13421 . . . . . . . . . . . . . 14
2019oveq2d 6296 . . . . . . . . . . . . 13
21 2cnd 10651 . . . . . . . . . . . . . 14
22 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
235, 22pccld 14585 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423nn0cnd 10897 . . . . . . . . . . . . . 14
2521, 24mulcomd 9649 . . . . . . . . . . . . 13
2613, 20, 253eqtr3rd 2454 . . . . . . . . . . . 12
2726oveq2d 6296 . . . . . . . . . . 11
28 prmnn 14431 . . . . . . . . . . . . . 14
295, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
3029nncnd 10594 . . . . . . . . . . . 12
31 2nn0 10855 . . . . . . . . . . . . 13
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
3330, 32, 23expmuld 12359 . . . . . . . . . . 11
3427, 33eqtr3d 2447 . . . . . . . . . 10
3534fveq2d 5855 . . . . . . . . 9
3629, 23nnexpcld 12377 . . . . . . . . . . . 12
3736nnrpd 11304 . . . . . . . . . . 11
3837rprege0d 11313 . . . . . . . . . 10
39 sqrtsq 13254 . . . . . . . . . 10
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9
4135, 40eqtrd 2445 . . . . . . . 8
4241, 36eqeltrd 2492 . . . . . . 7
4342iftrued 3895 . . . . . 6
44 rpvmasum.z . . . . . . . 8 ℤ/n
45 rpvmasum.l . . . . . . . 8 RHom
46 rpvmasum.a . . . . . . . 8
47 rpvmasum2.g . . . . . . . 8 DChr
48 rpvmasum2.d . . . . . . . 8
49 rpvmasum2.1 . . . . . . . 8
50 dchrisum0f.f . . . . . . . 8
51 dchrisum0f.x . . . . . . . 8
52 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8
534, 16pccld 14585 . . . . . . . 8
5444, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 4, 53dchrisum0flblem1 24076 . . . . . . 7
5554adantr 465 . . . . . 6
5643, 55eqbrtrrd 4419 . . . . 5
57 pcdvds 14598 . . . . . . . . . . . . 13
584, 16, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
594, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
6059, 53nnexpcld 12377 . . . . . . . . . . . . 13
61 nndivdvds 14203 . . . . . . . . . . . . 13
6216, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
6358, 62mpbid 212 . . . . . . . . . . 11
6463nnzd 11009 . . . . . . . . . 10
6564adantr 465 . . . . . . . . 9
6616adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
6766nnrpd 11304 . . . . . . . . . . . 12
6867rprege0d 11313 . . . . . . . . . . 11
6960adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
7069nnrpd 11304 . . . . . . . . . . 11
71 sqrtdiv 13250 . . . . . . . . . . 11
7268, 70, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
73 nnz 10929 . . . . . . . . . . . 12
7473adantl 466 . . . . . . . . . . 11
75 znq 11233 . . . . . . . . . . 11
7674, 42, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
7772, 76eqeltrd 2492 . . . . . . . . 9
78 zsqrtelqelz 14502 . . . . . . . . 9
7965, 77, 78syl2anc 661 . . . . . . . 8
8063adantr 465 . . . . . . . . . 10
8180nnrpd 11304 . . . . . . . . 9
8281sqrtgt0d 13395 . . . . . . . 8
83 elnnz 10917 . . . . . . . 8
8479, 82, 83sylanbrc 664 . . . . . . 7
8584iftrued 3895 . . . . . 6
86 nnuz 11164 . . . . . . . . . 10
8763, 86syl6eleq 2502 . . . . . . . . 9
8816nnzd 11009 . . . . . . . . 9
8959nnred 10593 . . . . . . . . . . . 12
90 dchrisum0flb.3 . . . . . . . . . . . . 13
91 pcelnn 14604 . . . . . . . . . . . . . 14
924, 16, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
9390, 92mpbird 234 . . . . . . . . . . . 12
94 prmuz2 14446 . . . . . . . . . . . . 13
95 eluz2b2 11201 . . . . . . . . . . . . . 14
9695simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13
974, 94, 963syl 18 . . . . . . . . . . . 12
98 expgt1 12250 . . . . . . . . . . . 12
9989, 93, 97, 98syl3anc 1232 . . . . . . . . . . 11
100 1re 9627 . . . . . . . . . . . . 13
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
10260nnred 10593 . . . . . . . . . . . 12
10316nnred 10593 . . . . . . . . . . . 12
104 0lt1 10117 . . . . . . . . . . . . 13
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
10660nngt0d 10622 . . . . . . . . . . . 12
10716nngt0d 10622 . . . . . . . . . . . 12
108 ltdiv2OLD 10473 . . . . . . . . . . . 12
109101, 102, 103, 105, 106, 107, 108syl33anc 1247 . . . . . . . . . . 11
11099, 109mpbid 212 . . . . . . . . . 10
11117div1d 10355 . . . . . . . . . 10
112110, 111breqtrd 4421 . . . . . . . . 9
113 elfzo2 11864 . . . . . . . . 9 ..^
11487, 88, 112, 113syl3anbrc 1183 . . . . . . . 8 ..^
115 dchrisum0flb.4 . . . . . . . 8 ..^
116 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . 12
117116eleq1d 2473 . . . . . . . . . . 11
118117ifbid 3909 . . . . . . . . . 10
119 fveq2 5851 . . . . . . . . . 10
120118, 119breq12d 4410 . . . . . . . . 9
121120rspcv 3158 . . . . . . . 8 ..^ ..^
122114, 115, 121sylc 61 . . . . . . 7
123122adantr 465 . . . . . 6
12485, 123eqbrtrrd 4419 . . . . 5
125 0le1 10118 . . . . . . . 8
126100, 125pm3.2i 455 . . . . . . 7
127126a1i 11 . . . . . 6
12844, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52dchrisum0ff 24075 . . . . . . . 8
129128, 60ffvelrnd 6012 . . . . . . 7
130129adantr 465 . . . . . 6
131128, 63ffvelrnd 6012 . . . . . . 7
132131adantr 465 . . . . . 6
133 lemul12a 10443 . . . . . 6
134127, 130, 127, 132, 133syl22anc 1233 . . . . 5
13556, 124, 134mp2and 679 . . . 4
1363, 135syl5eqbrr 4431 . . 3
137 0red 9629 . . . . . 6
138 0re 9628 . . . . . . . 8
139100, 138keepel 3954 . . . . . . 7
140139a1i 11 . . . . . 6
141 breq2 4401 . . . . . . . 8
142 breq2 4401 . . . . . . . 8
143 0le0 10668 . . . . . . . 8
144141, 142, 125, 143keephyp 3951 . . . . . . 7
145144a1i 11 . . . . . 6
146137, 140, 129, 145, 54letrd 9775 . . . . 5
147100, 138keepel 3954 . . . . . . 7
148147a1i 11 . . . . . 6
149 breq2 4401 . . . . . . . 8
150 breq2 4401 . . . . . . . 8
151149, 150, 125, 143keephyp 3951 . . . . . . 7
152151a1i 11 . . . . . 6
153137, 148, 131, 152, 122letrd 9775 . . . . 5
154129, 131, 146, 153mulge0d 10171 . . . 4
155154adantr 465 . . 3
1561, 2, 136, 155ifbothda 3922 . 2
15760nncnd 10594 . . . . 5
15860nnne0d 10623 . . . . 5
15917, 157, 158divcan2d 10365 . . . 4
160159fveq2d 5855 . . 3
161 pcndvds2 14602 . . . . . . 7
1624, 16, 161syl2anc 661 . . . . . 6
163 coprm 14452 . . . . . . 7
1644, 64, 163syl2anc 661 . . . . . 6
165162, 164mpbid 212 . . . . 5
166 prmz 14432 . . . . . . 7
1674, 166syl 17 . . . . . 6
168 rpexp1i 14473 . . . . . 6
169167, 64, 53, 168syl3anc 1232 . . . . 5
170165, 169mpd 15 . . . 4
17144, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 60, 63, 170dchrisum0fmul 24074 . . 3
172160, 171eqtr3d 2447 . 2
173156, 172breqtrrd 4423 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 186   wa 369   wceq 1407   wcel 1844   wne 2600  wral 2756  crab 2760  cif 3887   class class class wbr 4397   cmpt 4455  wf 5567  cfv 5571  (class class class)co 6280  cc 9522  cr 9523  cc0 9524  c1 9525   cmul 9529   clt 9660   cle 9661   cdiv 10249  cn 10578  c2 10628  cn0 10838  cz 10907  cuz 11129  cq 11229  crp 11267  ..^cfzo 11856  cexp 12212  csqrt 13217  csu 13659   cdvds 14197   cgcd 14355  cprime 14428   cpc 14571  cbs 14843  c0g 15056  RHomczrh 18839  ℤ/nℤczn 18842  DChrcdchr 23890 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-disj 4369  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-tpos 6960  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-omul 7174  df-er 7350  df-ec 7352  df-qs 7356  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-acn 8357  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ioc 11589  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-bc 12427  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-ef 14014  df-sin 14016  df-cos 14017  df-pi 14019  df-dvds 14198  df-gcd 14356  df-prm 14429  df-numer 14479  df-denom 14480  df-pc 14572  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-qus 15125  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mhm 16292  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-mulg 16386  df-subg 16524  df-nsg 16525  df-eqg 16526  df-ghm 16591  df-cntz 16681  df-od 16879  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-cring 17523  df-oppr 17594  df-dvdsr 17612  df-unit 17613  df-invr 17643  df-dvr 17654  df-rnghom 17686  df-drng 17720  df-subrg 17749  df-lmod 17836  df-lss 17901  df-lsp 17940  df-sra 18140  df-rgmod 18141  df-lidl 18142  df-rsp 18143  df-2idl 18202  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-zring 18811  df-zrh 18843  df-zn 18846  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-cncf 21676  df-limc 22564  df-dv 22565  df-log 23238  df-cxp 23239  df-dchr 23891 This theorem is referenced by:  dchrisum0flb  24078
 Copyright terms: Public domain W3C validator