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Theorem dchrisum0flblem2 23415
Description: Lemma for dchrisum0flb 23416. Induction over relatively prime factors, with the prime power case handled in dchrisum0flblem1 . (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum0f.f  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
dchrisum0f.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum0flb.r  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
dchrisum0flb.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
dchrisum0flb.2  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
dchrisum0flb.3  |-  ( ph  ->  P  ||  A )
dchrisum0flb.4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1..^ A ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem2  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  A ) )
Distinct variable groups:    y,  .1.    y, F    q, b, v, y, A    N, q,
y    P, b, q, v, y    y, Z    y, D    L, b, v, y    X, b, v, y
Allowed substitution hints:    ph( y, v, q, b)    D( v, q, b)    .1. ( v,
q, b)    F( v,
q, b)    G( y,
v, q, b)    L( q)    N( v, b)    X( q)    Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0flblem2
StepHypRef Expression
1 breq1 4443 . . 3  |-  ( 1  =  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  -> 
( 1  <_  (
( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )  <->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) ) )
2 breq1 4443 . . 3  |-  ( 0  =  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )  <->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) ) )
3 1t1e1 10672 . . . 4  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
4 dchrisum0flb.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  P  e.  Prime )
6 nnq 11184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( sqr `  A )  e.  NN  ->  ( sqr `  A )  e.  QQ )
76adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  A
)  e.  QQ )
8 nnne0 10557 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( sqr `  A )  e.  NN  ->  ( sqr `  A )  =/=  0 )
98adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  A
)  =/=  0 )
10 2z 10885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
12 pcexp 14231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( sqr `  A
)  e.  QQ  /\  ( sqr `  A )  =/=  0 )  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( P  pCnt  (
( sqr `  A
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) ) )
135, 7, 9, 11, 12syl121anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( sqr `  A
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) ) )
14 dchrisum0flb.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
15 eluz2b2 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
1615simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
1714, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
1817nncnd 10541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
2019sqsqrd 13219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  A ) ^ 2 )  =  A )
2120oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( sqr `  A
) ^ 2 ) )  =  ( P 
pCnt  A ) )
22 2cnd 10597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
23 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  A
)  e.  NN )
245, 23pccld 14222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( sqr `  A ) )  e.  NN0 )
2524nn0cnd 10843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( sqr `  A ) )  e.  CC )
2622, 25mulcomd 9606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( sqr `  A ) )  x.  2 ) )
2713, 21, 263eqtr3rd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( ( P 
pCnt  ( sqr `  A
) )  x.  2 )  =  ( P 
pCnt  A ) )
2827oveq2d 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( ( P  pCnt  ( sqr `  A ) )  x.  2 ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )
29 prmnn 14068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
305, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  P  e.  NN )
3130nncnd 10541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  P  e.  CC )
32 2nn0 10801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  2  e.  NN0 )
3431, 33, 24expmuld 12268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( ( P  pCnt  ( sqr `  A ) )  x.  2 ) )  =  ( ( P ^ ( P 
pCnt  ( sqr `  A
) ) ) ^
2 ) )
3528, 34eqtr3d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( P  pCnt  A
) )  =  ( ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) ^
2 ) )
3635fveq2d 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  =  ( sqr `  (
( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) ^
2 ) ) )
3730, 24nnexpcld 12286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) )  e.  NN )
3837nnrpd 11244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) )  e.  RR+ )
3938rprege0d 11252 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A ) ) ) ) )
40 sqrsq 13053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) )  ->  ( sqr `  (
( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) ^
2 ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  (
( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) ^
2 ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) )
4236, 41eqtrd 2501 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( sqr `  A
) ) ) )
4342, 37eqeltrd 2548 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN )
44 iftrue 3938 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN  ->  if (
( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  =  1 )
4543, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  =  1 )
46 rpvmasum.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
47 rpvmasum.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
48 rpvmasum.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
49 rpvmasum2.g . . . . . . . 8  |-  G  =  (DChr `  N )
50 rpvmasum2.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( Base `  G
)
51 rpvmasum2.1 . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
52 dchrisum0f.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
53 dchrisum0f.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
54 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
554, 17pccld 14222 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  A
)  e.  NN0 )
5646, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 4, 55dchrisum0flblem1 23414 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) ) )
5756adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )
5845, 57eqbrtrrd 4462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  1  <_  ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )
59 pcdvds 14235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  ||  A
)
604, 17, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) 
||  A )
614, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
6261, 55nnexpcld 12286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  e.  NN )
63 nndivdvds 13842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) )  e.  NN )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) 
||  A  <->  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) )  e.  NN ) )
6417, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( P  pCnt  A
) )  ||  A  <->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ) )
6560, 64mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN )
6665nnzd 10954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ )
6766adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ )
6817adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  A  e.  NN )
6968nnrpd 11244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  A  e.  RR+ )
7069rprege0d 11252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
7162adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( P  pCnt  A
) )  e.  NN )
7271nnrpd 11244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( P ^
( P  pCnt  A
) )  e.  RR+ )
73 sqrdiv 13049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  =  ( ( sqr `  A
)  /  ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) )
7470, 72, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  =  ( ( sqr `  A )  /  ( sqr `  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )
75 nnz 10875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  A )  e.  NN  ->  ( sqr `  A )  e.  ZZ )
7675adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  A
)  e.  ZZ )
77 znq 11175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  A
)  e.  ZZ  /\  ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN )  ->  (
( sqr `  A
)  /  ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  QQ )
7876, 43, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  A )  /  ( sqr `  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  QQ )
7974, 78eqeltrd 2548 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  QQ )
80 zsqrelqelz 14139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ  /\  ( sqr `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  QQ )  -> 
( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  ZZ )
8167, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  ZZ )
8265adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN )
8382nnrpd 11244 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  RR+ )
8483sqrgt0d 13193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  0  <  ( sqr `  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) )
85 elnnz 10863 . . . . . . . 8  |-  ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN  <->  ( ( sqr `  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( sqr `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) ) )
8681, 84, 85sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN )
87 iftrue 3938 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN  ->  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  =  1 )
8886, 87syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  =  1 )
89 nnuz 11106 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9065, 89syl6eleq 2558 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9117nnzd 10954 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
9261nnred 10540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
93 dchrisum0flb.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  ||  A )
94 pcelnn 14241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  A
)  e.  NN  <->  P  ||  A
) )
954, 17, 94syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  A )  e.  NN  <->  P  ||  A
) )
9693, 95mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  A
)  e.  NN )
97 prmuz2 14083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
98 eluz2b2 11143 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
9998simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
1004, 97, 993syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <  P )
101 expgt1 12159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  RR  /\  ( P  pCnt  A )  e.  NN  /\  1  <  P )  ->  1  <  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )
10292, 96, 100, 101syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )
103 1re 9584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
10562nnred 10540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  e.  RR )
10617nnred 10540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
107 0lt1 10064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
10962nngt0d 10568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )
11017nngt0d 10568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  A )
111 ltdiv2OLD 10420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  (
0  <  1  /\  0  <  ( P ^
( P  pCnt  A
) )  /\  0  <  A ) )  -> 
( 1  <  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  <->  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) )  < 
( A  /  1
) ) )
112104, 105, 106, 108, 109, 110, 111syl33anc 1238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  <->  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) )  < 
( A  /  1
) ) )
113102, 112mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  < 
( A  /  1
) )
11418div1d 10301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  /  1
)  =  A )
115113, 114breqtrd 4464 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  < 
A )
116 elfzo2 11789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ( 1..^ A )  <-> 
( ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) )  < 
A ) )
11790, 91, 115, 116syl3anbrc 1175 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ( 1..^ A ) )
118 dchrisum0flb.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1..^ A ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) )
119 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )
120119eleq1d 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  ->  ( ( sqr `  y )  e.  NN  <->  ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ) )
121120ifbid 3954 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  ->  if (
( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  =  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) )
122 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )
123121, 122breq12d 4453 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  ->  ( if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  if (
( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
124123rspcv 3203 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ( 1..^ A )  ->  ( A. y  e.  ( 1..^ A ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  ->  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
125117, 118, 124sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )
126125adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )
12788, 126eqbrtrrd 4462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  1  <_  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )
128 0le1 10065 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
129103, 128pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )
130129a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <_ 
1 ) )
13146, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54dchrisum0ff 23413 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
132131, 62ffvelrnd 6013 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  RR )
133132adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  e.  RR )
134131, 65ffvelrnd 6013 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  RR )
135134adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  RR )
136 lemul12a 10389 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_ 
1 )  /\  ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  RR )  /\  (
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( 1  <_  ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  /\  1  <_  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )  ->  ( 1  x.  1 )  <_ 
( ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) ) ) )
137130, 133, 130, 135, 136syl22anc 1224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( ( 1  <_  ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  /\  1  <_  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) )  ->  ( 1  x.  1 )  <_ 
( ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) ) ) )
13858, 127, 137mp2and 679 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  ( 1  x.  1 )  <_  (
( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
1393, 138syl5eqbrr 4474 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  1  <_  (
( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
140 0red 9586 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
141 0re 9585 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
142103, 141keepel 4000 . . . . . . 7  |-  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  e.  RR
143142a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  e.  RR )
144 breq2 4444 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  ->  (
0  <_  1  <->  0  <_  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) ) )
145 breq2 4444 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  ->  (
0  <_  0  <->  0  <_  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) ) )
146 0le0 10614 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
147144, 145, 128, 146keephyp 3997 . . . . . . 7  |-  0  <_  if ( ( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )
148147a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  if (
( sqr `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) )
149140, 143, 132, 148, 56letrd 9727 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )
150103, 141keepel 4000 . . . . . . 7  |-  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  e.  RR
151150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  e.  RR )
152 breq2 4444 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  -> 
( 0  <_  1  <->  0  <_  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) ) )
153 breq2 4444 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) ) )
154152, 153, 128, 146keephyp 3997 . . . . . . 7  |-  0  <_  if ( ( sqr `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )
155154a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  if (
( sqr `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) )
156140, 151, 134, 155, 125letrd 9727 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) )
157132, 134, 149, 156mulge0d 10118 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
158157adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( sqr `  A )  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) ) )
1591, 2, 139, 158ifbothda 3967 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
16062nncnd 10541 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  e.  CC )
16162nnne0d 10569 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  =/=  0 )
16218, 160, 161divcan2d 10311 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( P  pCnt  A
) )  x.  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  =  A )
163162fveq2d 5861 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( P ^ ( P  pCnt  A ) )  x.  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) )  =  ( F `  A
) )
164 pcndvds2 14239 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  -.  P  ||  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )
1654, 17, 164syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )
166 coprm 14089 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) )  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) )  <->  ( P  gcd  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  =  1 ) )
1674, 66, 166syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -.  P  ||  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  <->  ( P  gcd  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  =  1 ) )
168165, 167mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  gcd  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  =  1 )
169 prmz 14069 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
1704, 169syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
171 rpexp1i 14110 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ  /\  ( P 
pCnt  A )  e.  NN0 )  ->  ( ( P  gcd  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  =  1  ->  ( ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  gcd  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  =  1 ) )
172170, 66, 55, 171syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P  gcd  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  =  1  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  A ) )  gcd  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) )  =  1 ) )
173168, 172mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( P  pCnt  A
) )  gcd  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )  =  1 )
17446, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 62, 65, 173dchrisum0fmul 23412 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( P ^ ( P  pCnt  A ) )  x.  ( A  / 
( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) )  =  ( ( F `  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) ) ) ) )
175163, 174eqtr3d 2503 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  ( ( F `  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  x.  ( F `  ( A  /  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) ) ) )
176159, 175breqtrrd 4466 1  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   {crab 2811   ifcif 3932   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    / cdiv 10195   NNcn 10525   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   QQcq 11171   RR+crp 11209  ..^cfzo 11781   ^cexp 12122   sqrcsqr 13016   sum_csu 13457    || cdivides 13836    gcd cgcd 13992   Primecprime 14065    pCnt cpc 14208   Basecbs 14479   0gc0g 14684   ZRHomczrh 18297  ℤ/nczn 18300  DChrcdchr 23228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-disj 4411  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-ec 7303  df-qs 7307  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657  df-pi 13659  df-dvds 13837  df-gcd 13993  df-prm 14066  df-numer 14116  df-denom 14117  df-pc 14209  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-divs 14753  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-nsg 15987  df-eqg 15988  df-ghm 16053  df-cntz 16143  df-od 16342  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-rnghom 17141  df-drng 17174  df-subrg 17203  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-lidl 17596  df-rsp 17597  df-2idl 17655  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-zring 18250  df-zrh 18301  df-zn 18304  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-limc 21998  df-dv 21999  df-log 22665  df-cxp 22666  df-dchr 23229
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