Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flblem1 Unicode version

Theorem dchrisum0flblem1 21155
 Description: Lemma for dchrisum0flb 21157. Base case, prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum2.g DChr
rpvmasum2.d
rpvmasum2.1
dchrisum0f.f
dchrisum0f.x
dchrisum0flb.r
dchrisum0flblem1.1
dchrisum0flblem1.2
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem1
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   ()   (,)   ()   (,,)

Proof of Theorem dchrisum0flblem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9046 . . . . . 6
21a1i 11 . . . . 5
3 0re 9047 . . . . . 6
43a1i 11 . . . . 5
52, 4ifclda 3726 . . . 4
61a1i 11 . . . 4
7 fzfid 11267 . . . . . 6
8 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8
9 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11
109nnnn0d 10230 . . . . . . . . . 10
11 rpvmasum.z . . . . . . . . . . 11 ℤ/n
12 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11
13 rpvmasum.l . . . . . . . . . . 11 RHom
1411, 12, 13znzrhfo 16783 . . . . . . . . . 10
15 fof 5612 . . . . . . . . . 10
1610, 14, 153syl 19 . . . . . . . . 9
17 dchrisum0flblem1.1 . . . . . . . . . 10
18 prmz 13038 . . . . . . . . . 10
1917, 18syl 16 . . . . . . . . 9
2016, 19ffvelrnd 5830 . . . . . . . 8
218, 20ffvelrnd 5830 . . . . . . 7
22 elfznn0 11039 . . . . . . 7
23 reexpcl 11353 . . . . . . 7
2421, 22, 23syl2an 464 . . . . . 6
257, 24fsumrecl 12483 . . . . 5
2625adantr 452 . . . 4
27 breq1 4175 . . . . . 6
28 breq1 4175 . . . . . 6
29 1le1 9606 . . . . . 6
30 0le1 9507 . . . . . 6
3127, 28, 29, 30keephyp 3753 . . . . 5
3231a1i 11 . . . 4
33 dchrisum0flblem1.2 . . . . . . . . . 10
34 nn0uz 10476 . . . . . . . . . 10
3533, 34syl6eleq 2494 . . . . . . . . 9
36 fzn0 11026 . . . . . . . . 9
3735, 36sylibr 204 . . . . . . . 8
38 hashnncl 11600 . . . . . . . . 9
397, 38syl 16 . . . . . . . 8
4037, 39mpbird 224 . . . . . . 7
4140adantr 452 . . . . . 6
4241nnge1d 9998 . . . . 5
43 simpr 448 . . . . . . . . 9
4443oveq1d 6055 . . . . . . . 8
45 elfzelz 11015 . . . . . . . . 9
46 1exp 11364 . . . . . . . . 9
4745, 46syl 16 . . . . . . . 8
4844, 47sylan9eq 2456 . . . . . . 7
4948sumeq2dv 12452 . . . . . 6
50 fzfid 11267 . . . . . . 7
51 ax-1cn 9004 . . . . . . 7
52 fsumconst 12528 . . . . . . 7
5350, 51, 52sylancl 644 . . . . . 6
5441nncnd 9972 . . . . . . 7
5554mulid1d 9061 . . . . . 6
5649, 53, 553eqtrd 2440 . . . . 5
5742, 56breqtrrd 4198 . . . 4
585, 6, 26, 32, 57letrd 9183 . . 3
59 oveq1 6047 . . . . . . 7
6059breq1d 4182 . . . . . 6
61 oveq1 6047 . . . . . . 7
6261breq1d 4182 . . . . . 6
6321adantr 452 . . . . . . . . . 10
64 resubcl 9321 . . . . . . . . . 10
651, 63, 64sylancr 645 . . . . . . . . 9
6665adantr 452 . . . . . . . 8
6766leidd 9549 . . . . . . 7
6865recnd 9070 . . . . . . . . 9
6968adantr 452 . . . . . . . 8
7069mulid2d 9062 . . . . . . 7
71 nn0p1nn 10215 . . . . . . . . . . . . 13
7233, 71syl 16 . . . . . . . . . . . 12
7372ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11
74730expd 11494 . . . . . . . . . 10
75 simpr 448 . . . . . . . . . . 11
7675oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10
7774, 76, 753eqtr4d 2446 . . . . . . . . 9
78 neg1cn 10023 . . . . . . . . . . . . 13
7933ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13
80 expp1 11343 . . . . . . . . . . . . 13
8178, 79, 80sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12
82 prmnn 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8317, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8483, 33nnexpcld 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8584nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8685ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8786sqsqrd 12196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8887oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8917ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90 nnq 10543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9190adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
92 nnne0 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9392adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
94 2z 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96 pcexp 13188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9789, 91, 93, 95, 96syl121anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9879nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
99 pcid 13201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10089, 98, 99syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10188, 97, 1003eqtr3rd 2445 . . . . . . . . . . . . . . . 16
102101oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15
10378a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10589, 104pccld 13179 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106 2nn0 10194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108103, 105, 107expmuld 11481 . . . . . . . . . . . . . . 15
109 sqneg 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11051, 109ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111 sq1 11431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112110, 111eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
113112oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114105nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115 1exp 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117113, 116syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15
118102, 108, 1173eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . 14
119118oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13
12078mulid2i 9049 . . . . . . . . . . . . 13
121119, 120syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12
12281, 121eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11
123122adantr 452 . . . . . . . . . 10
12421recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15
125124adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
126125ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13
127126negnegd 9358 . . . . . . . . . . . 12
128 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129128ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130 rpvmasum2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 DChr
131 rpvmasum2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
132 dchrisum0f.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
133132ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Unit Unit
135130, 11, 131, 12, 134, 132, 20dchrn0 20987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Unit
136135ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Unit
137136biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Unit
138130, 131, 133, 11, 134, 137dchrabs 20997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
139 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
140138, 139syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
141140necon3ad 2603 . . . . . . . . . . . . . . . 16
142129, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
14363ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
144143absord 12173 . . . . . . . . . . . . . . . 16
145144ord 367 . . . . . . . . . . . . . . 15
146142, 145mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14
147146, 138eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . 13
148147negeqd 9256 . . . . . . . . . . . 12
149127, 148eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . 11
150149oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10
151123, 150, 1493eqtr4d 2446 . . . . . . . . 9
15277, 151pm2.61dane 2645 . . . . . . . 8
153152oveq2d 6056 . . . . . . 7
15467, 70, 1533brtr4d 4202 . . . . . 6
15568mul02d 9220 . . . . . . . 8
156 peano2nn0 10216 . . . . . . . . . . . . 13
15733, 156syl 16 . . . . . . . . . . . 12
15821, 157reexpcld 11495 . . . . . . . . . . 11
159158adantr 452 . . . . . . . . . 10
160159recnd 9070 . . . . . . . . . . 11
161160abscld 12193 . . . . . . . . . 10
1621a1i 11 . . . . . . . . . 10
163159leabsd 12172 . . . . . . . . . 10
164157adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
165125, 164absexpd 12209 . . . . . . . . . . 11
166125abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12
167125absge0d 12201 . . . . . . . . . . . 12
168130, 131, 11, 12, 132, 20dchrabs2 20999 . . . . . . . . . . . . 13
169168adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
170 exple1 11394 . . . . . . . . . . . 12
171166, 167, 169, 164, 170syl31anc 1187 . . . . . . . . . . 11
172165, 171eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . 10
173159, 161, 162, 163, 172letrd 9183 . . . . . . . . 9
174 subge0 9497 . . . . . . . . . 10
1751, 159, 174sylancr 645 . . . . . . . . 9
176173, 175mpbird 224 . . . . . . . 8
177155, 176eqbrtrd 4192 . . . . . . 7
178177adantr 452 . . . . . 6
17960, 62, 154, 178ifbothda 3729 . . . . 5
1801, 3keepel 3756 . . . . . . 7
181180a1i 11 . . . . . 6
182 resubcl 9321 . . . . . . 7
1831, 159, 182sylancr 645 . . . . . 6
184128necomd 2650 . . . . . . . 8
18563leabsd 12172 . . . . . . . . . 10
18663, 166, 162, 185, 169letrd 9183 . . . . . . . . 9
18763, 162, 186leltned 9180 . . . . . . . 8
188184, 187mpbird 224 . . . . . . 7
189 posdif 9477 . . . . . . . 8
19063, 1, 189sylancl 644 . . . . . . 7
191188, 190mpbid 202 . . . . . 6
192 lemuldiv 9845 . . . . . 6
193181, 183, 65, 191, 192syl112anc 1188 . . . . 5
194179, 193mpbid 202 . . . 4
19533nn0zd 10329 . . . . . . . 8
196 fzval3 11135 . . . . . . . 8 ..^
197195, 196syl 16 . . . . . . 7 ..^
198197adantr 452 . . . . . 6 ..^
199198sumeq1d 12450 . . . . 5 ..^
200 0nn0 10192 . . . . . . 7
201200a1i 11 . . . . . 6
202157, 34syl6eleq 2494 . . . . . . 7
203202adantr 452 . . . . . 6
204125, 128, 201, 203geoserg 12600 . . . . 5 ..^
205125exp0d 11472 . . . . . . 7
206205oveq1d 6055 . . . . . 6
207206oveq1d 6055 . . . . 5
208199, 204, 2073eqtrd 2440 . . . 4
209194, 208breqtrrd 4198 . . 3
21058, 209pm2.61dane 2645 . 2
211 rpvmasum2.1 . . . . 5
212 dchrisum0f.f . . . . 5
21311, 13, 9, 130, 131, 211, 212dchrisum0fval 21152 . . . 4
21484, 213syl 16 . . 3
215 fveq2 5687 . . . . 5
216215fveq2d 5691 . . . 4
217 eqid 2404 . . . . . 6
218217dvdsppwf1o 20924 . . . . 5
21917, 33, 218syl2anc 643 . . . 4
220 oveq2 6048 . . . . . 6
221 ovex 6065 . . . . . 6
222220, 217, 221fvmpt3i 5768 . . . . 5
223222adantl 453 . . . 4
2248adantr 452 . . . . . 6
225 elrabi 3050 . . . . . . . 8
226225nnzd 10330 . . . . . . 7
227 ffvelrn 5827 . . . . . . 7
22816, 226, 227syl2an 464 . . . . . 6
229224, 228ffvelrnd 5830 . . . . 5
230229recnd 9070 . . . 4
231216, 7, 219, 223, 230fsumf1o 12472 . . 3
232 zsubrg 16707 . . . . . . . . . . 11 SubRingfld
233 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12 mulGrpfld mulGrpfld
234233subrgsubm 15836 . . . . . . . . . . 11 SubRingfld SubMndmulGrpfld
235232, 234mp1i 12 . . . . . . . . . 10 SubMndmulGrpfld
23622adantl 453 . . . . . . . . . 10
23719adantr 452 . . . . . . . . . 10
238 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
239 cnfldex 16661 . . . . . . . . . . . . 13 fld
240 zex 10247 . . . . . . . . . . . . 13
241 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14 flds flds
242241, 233mgpress 15614 . . . . . . . . . . . . 13 fld mulGrpflds mulGrpflds
243239, 240, 242mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12 mulGrpflds mulGrpflds
244243eqcomi 2408 . . . . . . . . . . 11 mulGrpflds mulGrpflds
245 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11 .gmulGrpflds .gmulGrpflds
246238, 244, 245submmulg 14880 . . . . . . . . . 10 SubMndmulGrpfld .gmulGrpfld .gmulGrpflds
247235, 236, 237, 246syl3anc 1184 . . . . . . . . 9 .gmulGrpfld .gmulGrpflds
24883nncnd 9972 . . . . . . . . . 10
249 cnfldexp 16689 . . . . . . . . . 10 .gmulGrpfld
250248, 22, 249syl2an 464 . . . . . . . . 9 .gmulGrpfld
251247, 250eqtr3d 2438 . . . . . . . 8 .gmulGrpflds
252251fveq2d 5691 . . . . . . 7 .gmulGrpflds
25311zncrng 16780 . . . . . . . . . . 11
254 crngrng 15629 . . . . . . . . . . 11
25510, 253, 2543syl 19 . . . . . . . . . 10
256241, 13zrhrhm 16748 . . . . . . . . . 10 flds RingHom
257 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11 mulGrpflds mulGrpflds
258 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11 mulGrp mulGrp
259257, 258rhmmhm 15780 . . . . . . . . . 10 flds RingHom mulGrpflds MndHom mulGrp
260255, 256, 2593syl 19 . . . . . . . . 9 mulGrpflds MndHom mulGrp
261260adantr 452 . . . . . . . 8 mulGrpflds MndHom mulGrp
262 subrgsubg 15829 . . . . . . . . . . 11 SubRingfld SubGrpfld
263241subgbas 14903 . . . . . . . . . . 11 SubGrpfld flds
264232, 262, 263mp2b 10 . . . . . . . . . 10 flds
265257, 264mgpbas 15609 . . . . . . . . 9 mulGrpflds
266 eqid 2404 . . . . . . . . 9 .gmulGrp .gmulGrp
267265, 245, 266mhmmulg 14877 . . . . . . . 8 mulGrpflds MndHom mulGrp .gmulGrpflds .gmulGrp
268261, 236, 237, 267syl3anc 1184 . . . . . . 7 .gmulGrpflds .gmulGrp
269252, 268eqtr3d 2438 . . . . . 6 .gmulGrp
270269fveq2d 5691 . . . . 5 .gmulGrp
271130, 11, 131dchrmhm 20978 . . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpfld
272271, 132sseldi 3306 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
273272adantr 452 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
27420adantr 452 . . . . . 6
275258, 12mgpbas 15609 . . . . . . 7 mulGrp
276275, 266, 238mhmmulg 14877 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld .gmulGrp .gmulGrpfld
277273, 236, 274, 276syl3anc 1184 . . . . 5 .gmulGrp .gmulGrpfld
278 cnfldexp 16689 . . . . . 6 .gmulGrpfld
279124, 22, 278syl2an 464 . . . . 5 .gmulGrpfld
280270, 277, 2793eqtrd 2440 . . . 4
281280sumeq2dv 12452 . . 3
282214, 231, 2813eqtrd 2440 . 2
283210, 282breqtrrd 4198 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  crab 2670  cvv 2916  c0 3588  cif 3699   class class class wbr 4172   cmpt 4226  wf 5409  wfo 5411  wf1o 5412  cfv 5413  (class class class)co 6040  cfn 7068  cc 8944  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951   clt 9076   cle 9077   cmin 9247  cneg 9248   cdiv 9633  cn 9956  c2 10005  cn0 10177  cz 10238  cuz 10444  cq 10530  cfz 10999  ..^cfzo 11090  cexp 11337  chash 11573  csqr 11993  cabs 11994  csu 12434   cdivides 12807  cprime 13034   cpc 13165  cbs 13424   ↾s cress 13425  c0g 13678  .gcmg 14644   MndHom cmhm 14691  SubMndcsubmnd 14692  SubGrpcsubg 14893  mulGrpcmgp 15603  crg 15615  ccrg 15616  Unitcui 15699   RingHom crh 15772  SubRingcsubrg 15819  ℂfldccnfld 16658  RHomczrh 16733  ℤ/nℤczn 16736  DChrcdchr 20969 This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  21156  dchrisum0flb  21157 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-divs 13690  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-od 15122  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-dchr 20970
 Copyright terms: Public domain W3C validator