Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flblem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dchrisum0flblem1 24425
 Description: Lemma for dchrisum0flb 24427. Base case, prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum2.g DChr
rpvmasum2.d
rpvmasum2.1
dchrisum0f.f
dchrisum0f.x
dchrisum0flb.r
dchrisum0flblem1.1
dchrisum0flblem1.2
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem1
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   ()   (,)   ()   (,,)

Proof of Theorem dchrisum0flblem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9676 . . . . 5
2 0red 9662 . . . . 5
31, 2ifclda 3904 . . . 4
4 1red 9676 . . . 4
5 fzfid 12224 . . . . . 6
6 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8
7 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11
87nnnn0d 10949 . . . . . . . . . 10
9 rpvmasum.z . . . . . . . . . . 11 ℤ/n
10 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
11 rpvmasum.l . . . . . . . . . . 11 RHom
129, 10, 11znzrhfo 19195 . . . . . . . . . 10
13 fof 5806 . . . . . . . . . 10
148, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9
15 dchrisum0flblem1.1 . . . . . . . . . 10
16 prmz 14705 . . . . . . . . . 10
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9
1814, 17ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8
196, 18ffvelrnd 6038 . . . . . . 7
20 elfznn0 11913 . . . . . . 7
21 reexpcl 12327 . . . . . . 7
2219, 20, 21syl2an 485 . . . . . 6
235, 22fsumrecl 13877 . . . . 5
2423adantr 472 . . . 4
25 breq1 4398 . . . . . 6
26 breq1 4398 . . . . . 6
27 1le1 10262 . . . . . 6
28 0le1 10158 . . . . . 6
2925, 26, 27, 28keephyp 3936 . . . . 5
3029a1i 11 . . . 4
31 dchrisum0flblem1.2 . . . . . . . . . 10
32 nn0uz 11217 . . . . . . . . . 10
3331, 32syl6eleq 2559 . . . . . . . . 9
34 fzn0 11839 . . . . . . . . 9
3533, 34sylibr 217 . . . . . . . 8
36 hashnncl 12585 . . . . . . . . 9
375, 36syl 17 . . . . . . . 8
3835, 37mpbird 240 . . . . . . 7
3938adantr 472 . . . . . 6
4039nnge1d 10674 . . . . 5
41 simpr 468 . . . . . . . . 9
4241oveq1d 6323 . . . . . . . 8
43 elfzelz 11826 . . . . . . . . 9
44 1exp 12339 . . . . . . . . 9
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8
4642, 45sylan9eq 2525 . . . . . . 7
4746sumeq2dv 13846 . . . . . 6
48 fzfid 12224 . . . . . . 7
49 ax-1cn 9615 . . . . . . 7
50 fsumconst 13928 . . . . . . 7
5148, 49, 50sylancl 675 . . . . . 6
5239nncnd 10647 . . . . . . 7
5352mulid1d 9678 . . . . . 6
5447, 51, 533eqtrd 2509 . . . . 5
5540, 54breqtrrd 4422 . . . 4
563, 4, 24, 30, 55letrd 9809 . . 3
57 oveq1 6315 . . . . . . 7
5857breq1d 4405 . . . . . 6
59 oveq1 6315 . . . . . . 7
6059breq1d 4405 . . . . . 6
61 1re 9660 . . . . . . . . . 10
6219adantr 472 . . . . . . . . . 10
63 resubcl 9958 . . . . . . . . . 10
6461, 62, 63sylancr 676 . . . . . . . . 9
6564adantr 472 . . . . . . . 8
6665leidd 10201 . . . . . . 7
6764recnd 9687 . . . . . . . . 9
6867adantr 472 . . . . . . . 8
6968mulid2d 9679 . . . . . . 7
70 nn0p1nn 10933 . . . . . . . . . . . . 13
7131, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12
7271ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11
73720expd 12470 . . . . . . . . . 10
74 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
7574oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
7673, 75, 743eqtr4d 2515 . . . . . . . . 9
77 neg1cn 10735 . . . . . . . . . . . . 13
7831ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
79 expp1 12317 . . . . . . . . . . . . 13
8077, 78, 79sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12
81 prmnn 14704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8215, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8382, 31nnexpcld 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8483nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8584ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8685sqsqrtd 13578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8786oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8815ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89 nnq 11300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9089adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
91 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9291adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
93 2z 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
95 pcexp 14888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9688, 90, 92, 94, 95syl121anc 1297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9778nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
98 pcid 14901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9988, 97, 98syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10087, 96, 993eqtr3rd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16
101100oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15
10277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10488, 103pccld 14879 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105 2nn0 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
107102, 104, 106expmuld 12457 . . . . . . . . . . . . . . 15
108 neg1sqe1 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109108oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110104nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111 1exp 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113109, 112syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15
114101, 107, 1133eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14
115114oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13
11677mulid2i 9664 . . . . . . . . . . . . 13
117115, 116syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12
11880, 117eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11
119118adantr 472 . . . . . . . . . 10
12019recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15
121120adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
122121ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
123122negnegd 9996 . . . . . . . . . . . 12
124 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125124ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126 rpvmasum2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 DChr
127 rpvmasum2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128 dchrisum0f.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
129128ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
130 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Unit Unit
131126, 9, 127, 10, 130, 128, 18dchrn0 24257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Unit
132131ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Unit
133132biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Unit
134126, 127, 129, 9, 130, 133dchrabs 24267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136134, 135syl5ibcom 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137136necon3ad 2656 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138125, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
13962ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
140139absord 13554 . . . . . . . . . . . . . . . 16
141140ord 384 . . . . . . . . . . . . . . 15
142138, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14
143142, 134eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . 13
144143negeqd 9889 . . . . . . . . . . . 12
145123, 144eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . 11
146145oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
147119, 146, 1453eqtr4d 2515 . . . . . . . . 9
14876, 147pm2.61dane 2730 . . . . . . . 8
149148oveq2d 6324 . . . . . . 7
15066, 69, 1493brtr4d 4426 . . . . . 6
15167mul02d 9849 . . . . . . . 8
152 peano2nn0 10934 . . . . . . . . . . . . 13
15331, 152syl 17 . . . . . . . . . . . 12
15419, 153reexpcld 12471 . . . . . . . . . . 11
155154adantr 472 . . . . . . . . . 10
156155recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
157156abscld 13575 . . . . . . . . . 10
158 1red 9676 . . . . . . . . . 10
159155leabsd 13553 . . . . . . . . . 10
160153adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
161121, 160absexpd 13591 . . . . . . . . . . 11
162121abscld 13575 . . . . . . . . . . . 12
163121absge0d 13583 . . . . . . . . . . . 12
164126, 127, 9, 10, 128, 18dchrabs2 24269 . . . . . . . . . . . . 13
165164adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
166 exple1 12370 . . . . . . . . . . . 12
167162, 163, 165, 160, 166syl31anc 1295 . . . . . . . . . . 11
168161, 167eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . 10
169155, 157, 158, 159, 168letrd 9809 . . . . . . . . 9
170 subge0 10148 . . . . . . . . . 10
17161, 155, 170sylancr 676 . . . . . . . . 9
172169, 171mpbird 240 . . . . . . . 8
173151, 172eqbrtrd 4416 . . . . . . 7
174173adantr 472 . . . . . 6
17558, 60, 150, 174ifbothda 3907 . . . . 5
176 0re 9661 . . . . . . . 8
17761, 176keepel 3939 . . . . . . 7
178177a1i 11 . . . . . 6
179 resubcl 9958 . . . . . . 7
18061, 155, 179sylancr 676 . . . . . 6
181124necomd 2698 . . . . . . . 8
18262leabsd 13553 . . . . . . . . . 10
18362, 162, 158, 182, 165letrd 9809 . . . . . . . . 9
18462, 158, 183leltned 9805 . . . . . . . 8
185181, 184mpbird 240 . . . . . . 7
186 posdif 10128 . . . . . . . 8
18762, 61, 186sylancl 675 . . . . . . 7
188185, 187mpbid 215 . . . . . 6
189 lemuldiv 10508 . . . . . 6
190178, 180, 64, 188, 189syl112anc 1296 . . . . 5
191175, 190mpbid 215 . . . 4
19231nn0zd 11061 . . . . . . . 8
193 fzval3 12012 . . . . . . . 8 ..^
194192, 193syl 17 . . . . . . 7 ..^
195194adantr 472 . . . . . 6 ..^
196195sumeq1d 13844 . . . . 5 ..^
197 0nn0 10908 . . . . . . 7
198197a1i 11 . . . . . 6
199153, 32syl6eleq 2559 . . . . . . 7
200199adantr 472 . . . . . 6
201121, 124, 198, 200geoserg 14001 . . . . 5 ..^
202121exp0d 12448 . . . . . . 7
203202oveq1d 6323 . . . . . 6
204203oveq1d 6323 . . . . 5
205196, 201, 2043eqtrd 2509 . . . 4
206191, 205breqtrrd 4422 . . 3
20756, 206pm2.61dane 2730 . 2
208 rpvmasum2.1 . . . . 5
209 dchrisum0f.f . . . . 5
2109, 11, 7, 126, 127, 208, 209dchrisum0fval 24422 . . . 4
21183, 210syl 17 . . 3
212 fveq2 5879 . . . . 5
213212fveq2d 5883 . . . 4
214 eqid 2471 . . . . . 6
215214dvdsppwf1o 24194 . . . . 5
21615, 31, 215syl2anc 673 . . . 4
217 oveq2 6316 . . . . . 6
218 ovex 6336 . . . . . 6
219217, 214, 218fvmpt3i 5968 . . . . 5
220219adantl 473 . . . 4
2216adantr 472 . . . . . 6
222 elrabi 3181 . . . . . . . 8
223222nnzd 11062 . . . . . . 7
224 ffvelrn 6035 . . . . . . 7
22514, 223, 224syl2an 485 . . . . . 6
226221, 225ffvelrnd 6038 . . . . 5
227226recnd 9687 . . . 4
228213, 5, 216, 220, 227fsumf1o 13866 . . 3
229 zsubrg 19098 . . . . . . . . . . 11 SubRingfld
230 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 mulGrpfld mulGrpfld
231230subrgsubm 18099 . . . . . . . . . . 11 SubRingfld SubMndmulGrpfld
232229, 231mp1i 13 . . . . . . . . . 10 SubMndmulGrpfld
23320adantl 473 . . . . . . . . . 10
23417adantr 472 . . . . . . . . . 10
235 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
236 zringmpg 19140 . . . . . . . . . . . 12 mulGrpflds mulGrpring
237236eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11 mulGrpring mulGrpflds
238 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 .gmulGrpring .gmulGrpring
239235, 237, 238submmulg 16871 . . . . . . . . . 10 SubMndmulGrpfld .gmulGrpfld .gmulGrpring
240232, 233, 234, 239syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 .gmulGrpfld .gmulGrpring
24182nncnd 10647 . . . . . . . . . 10
242 cnfldexp 19078 . . . . . . . . . 10 .gmulGrpfld
243241, 20, 242syl2an 485 . . . . . . . . 9 .gmulGrpfld
244240, 243eqtr3d 2507 . . . . . . . 8 .gmulGrpring
245244fveq2d 5883 . . . . . . 7 .gmulGrpring
2469zncrng 19192 . . . . . . . . . . 11
247 crngring 17869 . . . . . . . . . . 11
2488, 246, 2473syl 18 . . . . . . . . . 10
24911zrhrhm 19160 . . . . . . . . . 10 ring RingHom
250 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 mulGrpring mulGrpring
251 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 mulGrp mulGrp
252250, 251rhmmhm 18028 . . . . . . . . . 10 ring RingHom mulGrpring MndHom mulGrp
253248, 249, 2523syl 18 . . . . . . . . 9 mulGrpring MndHom mulGrp
254253adantr 472 . . . . . . . 8 mulGrpring MndHom mulGrp
255 zringbas 19122 . . . . . . . . . 10 ring
256250, 255mgpbas 17807 . . . . . . . . 9 mulGrpring
257 eqid 2471 . . . . . . . . 9 .gmulGrp .gmulGrp
258256, 238, 257mhmmulg 16868 . . . . . . . 8 mulGrpring MndHom mulGrp .gmulGrpring .gmulGrp
259254, 233, 234, 258syl3anc 1292 . . . . . . 7 .gmulGrpring .gmulGrp
260245, 259eqtr3d 2507 . . . . . 6 .gmulGrp
261260fveq2d 5883 . . . . 5 .gmulGrp
262126, 9, 127dchrmhm 24248 . . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpfld
263262, 128sseldi 3416 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
264263adantr 472 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
26518adantr 472 . . . . . 6
266251, 10mgpbas 17807 . . . . . . 7 mulGrp
267266, 257, 235mhmmulg 16868 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld .gmulGrp .gmulGrpfld
268264, 233, 265, 267syl3anc 1292 . . . . 5 .gmulGrp .gmulGrpfld
269 cnfldexp 19078 . . . . . 6 .gmulGrpfld
270120, 20, 269syl2an 485 . . . . 5 .gmulGrpfld
271261, 268, 2703eqtrd 2509 . . . 4
272271sumeq2dv 13846 . . 3
273211, 228, 2723eqtrd 2509 . 2
274207, 273breqtrrd 4422 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  crab 2760  c0 3722  cif 3872   class class class wbr 4395   cmpt 4454  wf 5585  wfo 5587  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cq 11287  cfz 11810  ..^cfzo 11942  cexp 12310  chash 12553  csqrt 13373  cabs 13374  csu 13829   cdvds 14382  cprime 14701   cpc 14865  cbs 15199   ↾s cress 15200  c0g 15416   MndHom cmhm 16658  SubMndcsubmnd 16659  .gcmg 16750  mulGrpcmgp 17801  crg 17858  ccrg 17859  Unitcui 17945   RingHom crh 18018  SubRingcsubrg 18082  ℂfldccnfld 19047  ℤringzring 19116  RHomczrh 19148  ℤ/nℤczn 19151  DChrcdchr 24239 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-qus 15487  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-od 17250  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-dchr 24240 This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  24426  dchrisum0flb  24427
 Copyright terms: Public domain W3C validator