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Theorem dchrisum0flb 20491
Description: The divisor sum of a real Dirichlet character, is lower bounded by zero everywhere and one at the squares. Equation 9.4.29 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum0f.f  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
dchrisum0f.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum0flb.r  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
dchrisum0flb.a  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flb  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  A ) )
Distinct variable groups:    q, b,
v, A    N, q    L, b, v    X, b, v
Allowed substitution hints:    ph( v, q, b)    D( v, q, b)    .1. ( v, q, b)    F( v, q, b)    G( v, q, b)    L( q)    N( v, b)    X( q)    Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0flb
StepHypRef Expression
1 dchrisum0flb.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnuz 10142 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31, 2syl6eleq 2343 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
4 eluzfz2 10682 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  A  e.  ( 1 ... A
) )
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 1 ... A ) )
6 oveq2 5718 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
1 ... k )  =  ( 1 ... 1
) )
76raleqdv 2694 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  ( A. y  e.  (
1 ... k ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( 1 ... 1
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )
87imbi2d 309 . . . 4  |-  ( k  =  1  ->  (
( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... k
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... 1 ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) ) )
9 oveq2 5718 . . . . . 6  |-  ( k  =  i  ->  (
1 ... k )  =  ( 1 ... i
) )
109raleqdv 2694 . . . . 5  |-  ( k  =  i  ->  ( A. y  e.  (
1 ... k ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )
1110imbi2d 309 . . . 4  |-  ( k  =  i  ->  (
( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... k
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) ) )
12 oveq2 5718 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
1 ... k )  =  ( 1 ... (
i  +  1 ) ) )
1312raleqdv 2694 . . . . 5  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  ( A. y  e.  (
1 ... k ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( 1 ... (
i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )
1413imbi2d 309 . . . 4  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... k
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... ( i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) ) )
15 oveq2 5718 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  (
1 ... k )  =  ( 1 ... A
) )
1615raleqdv 2694 . . . . 5  |-  ( k  =  A  ->  ( A. y  e.  (
1 ... k ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( 1 ... A
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )
1716imbi2d 309 . . . 4  |-  ( k  =  A  ->  (
( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... k
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... A ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) ) )
18 rpvmasum.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
19 rpvmasum.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
20 rpvmasum.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
21 rpvmasum2.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
22 rpvmasum2.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
23 rpvmasum2.1 . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
24 dchrisum0f.f . . . . . 6  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
25 dchrisum0f.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
26 dchrisum0flb.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
27 2prm 12648 . . . . . . 7  |-  2  e.  Prime
2827a1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  Prime )
29 0nn0 9859 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
3029a1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
3118, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 30dchrisum0flblem1 20489 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  ( 2 ^ 0 ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  ( 2 ^ 0 ) ) )
32 elfz1eq 10685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  y  =  1 )
33 2nn0 9861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
3433numexp0 12965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 0 )  =  1
3532, 34syl6eqr 2303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  y  =  ( 2 ^ 0 ) )
3635fveq2d 5381 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
2 ^ 0 ) ) )
3736eleq1d 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  (
( sqr `  y
)  e.  NN  <->  ( sqr `  ( 2 ^ 0 ) )  e.  NN ) )
3837ifbid 3488 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  =  if ( ( sqr `  ( 2 ^ 0 ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) )
3935fveq2d 5381 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( 2 ^ 0 ) ) )
4038, 39breq12d 3933 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  if (
( sqr `  (
2 ^ 0 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( 2 ^ 0 ) ) ) )
4140biimprcd 218 . . . . . 6  |-  ( if ( ( sqr `  (
2 ^ 0 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( 2 ^ 0 ) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )
4241ralrimiv 2587 . . . . 5  |-  ( if ( ( sqr `  (
2 ^ 0 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( 2 ^ 0 ) )  ->  A. y  e.  ( 1 ... 1
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )
4331, 42syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... 1 ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) )
44 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
4544, 2syl6eleq 2343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4645adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  -> 
i  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
47 eluzp1p1 10132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
49 df-2 9684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =  ( 1  +  1 )
5049fveq2i 5380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
5148, 50syl6eleqr 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
52 exprmfct 12663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. p  e.  Prime  p  ||  (
i  +  1 ) )
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  ->  E. p  e.  Prime  p 
||  ( i  +  1 ) )
5420ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
5525ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  X  e.  D )
5626ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  X : ( Base `  Z
) --> RR )
5751adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
58 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  p  e.  Prime )
59 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  p  ||  ( i  +  1 ) )
60 simplrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )
61 simplrl 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
6261nnzd 9995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
63 fzval3 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
1 ... i )  =  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
1 ... i )  =  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) )
6564raleqdv 2694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  ( A. y  e.  (
1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )
6660, 65mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) )
6718, 19, 54, 21, 22, 23, 24, 55, 56, 57, 58, 59, 66dchrisum0flblem2 20490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  if ( ( sqr `  (
i  +  1 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
6867expr 601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  ( i  +  1 )  ->  if (
( sqr `  (
i  +  1 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) )
6968rexlimdva 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  -> 
( E. p  e. 
Prime  p  ||  ( i  +  1 )  ->  if ( ( sqr `  (
i  +  1 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) )
7053, 69mpd 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  ->  if ( ( sqr `  (
i  +  1 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
71 ovex 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  +  1 )  e. 
_V
72 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
i  +  1 ) ) )
7372eleq1d 2319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  (
( sqr `  y
)  e.  NN  <->  ( sqr `  ( i  +  1 ) )  e.  NN ) )
7473ifbid 3488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  =  if ( ( sqr `  ( i  +  1 ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) )
75 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
7674, 75breq12d 3933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  ( if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  if (
( sqr `  (
i  +  1 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) )
7771, 76ralsn 3578 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  { (
i  +  1 ) } if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
)  <->  if ( ( sqr `  ( i  +  1 ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
7870, 77sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  ->  A. y  e.  { ( i  +  1 ) } if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )
7978expr 601 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  ->  A. y  e.  { ( i  +  1 ) } if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )
8079ancld 538 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  ->  ( A. y  e.  (
1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  /\  A. y  e.  { (
i  +  1 ) } if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) ) )
81 fzsuc 10713 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 1 ... ( i  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... i )  u.  {
( i  +  1 ) } ) )
8245, 81syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( i  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... i )  u.  {
( i  +  1 ) } ) )
8382raleqdv 2694 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( ( 1 ... i )  u.  {
( i  +  1 ) } ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )
84 ralunb 3264 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  ( (
1 ... i )  u. 
{ ( i  +  1 ) } ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  ( A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  /\  A. y  e.  { (
i  +  1 ) } if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )
8583, 84syl6bb 254 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y
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1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  ( A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
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1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  /\  A. y  e.  { (
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( F `  y
) ) ) )
8680, 85sylibrd 227 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
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( F `  y
) ) )
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i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
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( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... i
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91 fveq2 5377 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  A
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( sqr `  y
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9593, 94breq12d 3933 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  ( if ( ( sqr `  y
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9695rcla4v 2817 . 2  |-  ( A  e.  ( 1 ... A )  ->  ( A. y  e.  (
1 ... A ) if ( ( sqr `  y
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975, 90, 96sylc 58 1  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510   {crab 2512    u. cun 3076   ifcif 3470   {csn 3544   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618    + caddc 8620    <_ cle 8748   NNcn 9626   2c2 9675   NN0cn0 9844   ZZcz 9903   ZZ>=cuz 10109   ...cfz 10660  ..^cfzo 10748   ^cexp 10982   sqrcsqr 11595   sum_csu 12035    || cdivides 12405   Primecprime 12632   Basecbs 13022   0gc0g 13274   ZRHomczrh 16283  ℤ/nczn 16286  DChrcdchr 20303
This theorem is referenced by:  dchrisum0fno1  20492
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-disj 3892  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-ef 12223  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-numer 12680  df-denom 12681  df-pc 12764  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-divs 13286  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-mhm 14250  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-mulg 14327  df-subg 14453  df-nsg 14454  df-eqg 14455  df-ghm 14516  df-cntz 14628  df-od 14679  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-cring 15176  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-dvr 15300  df-rnghom 15331  df-drng 15349  df-subrg 15378  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-sra 15757  df-rgmod 15758  df-lidl 15759  df-rsp 15760  df-2idl 15816  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-zrh 16287  df-zn 16290  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-limc 19048  df-dv 19049  df-log 19746  df-cxp 19747  df-dchr 20304
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