Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flb Structured version   Unicode version

Theorem dchrisum0flb 23567
 Description: The divisor sum of a real Dirichlet character, is lower bounded by zero everywhere and one at the squares. Equation 9.4.29 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum2.g DChr
rpvmasum2.d
rpvmasum2.1
dchrisum0f.f
dchrisum0f.x
dchrisum0flb.r
dchrisum0flb.a
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flb
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   ()   (,)   ()   (,,)

Proof of Theorem dchrisum0flb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum0flb.a . . . 4
2 nnuz 11125 . . . 4
31, 2syl6eleq 2541 . . 3
4 eluzfz2 11703 . . 3
53, 4syl 16 . 2
6 oveq2 6289 . . . . . 6
76raleqdv 3046 . . . . 5
87imbi2d 316 . . . 4
9 oveq2 6289 . . . . . 6
109raleqdv 3046 . . . . 5
1110imbi2d 316 . . . 4
12 oveq2 6289 . . . . . 6
1312raleqdv 3046 . . . . 5
1413imbi2d 316 . . . 4
15 oveq2 6289 . . . . . 6
1615raleqdv 3046 . . . . 5
1716imbi2d 316 . . . 4
18 rpvmasum.z . . . . . 6 ℤ/n
19 rpvmasum.l . . . . . 6 RHom
20 rpvmasum.a . . . . . 6
21 rpvmasum2.g . . . . . 6 DChr
22 rpvmasum2.d . . . . . 6
23 rpvmasum2.1 . . . . . 6
24 dchrisum0f.f . . . . . 6
25 dchrisum0f.x . . . . . 6
26 dchrisum0flb.r . . . . . 6
27 2prm 14110 . . . . . . 7
2827a1i 11 . . . . . 6
29 0nn0 10816 . . . . . . 7
3029a1i 11 . . . . . 6
3118, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 30dchrisum0flblem1 23565 . . . . 5
32 elfz1eq 11706 . . . . . . . . . . . 12
33 2nn0 10818 . . . . . . . . . . . . 13
3433numexp0 14439 . . . . . . . . . . . 12
3532, 34syl6eqr 2502 . . . . . . . . . . 11
3635fveq2d 5860 . . . . . . . . . 10
3736eleq1d 2512 . . . . . . . . 9
3837ifbid 3948 . . . . . . . 8
3935fveq2d 5860 . . . . . . . 8
4038, 39breq12d 4450 . . . . . . 7
4140biimprcd 225 . . . . . 6
4241ralrimiv 2855 . . . . 5
4331, 42syl 16 . . . 4
44 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544, 2syl6eleq 2541 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14
47 eluzp1p1 11115 . . . . . . . . . . . . . 14
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
49 df-2 10600 . . . . . . . . . . . . . 14
5049fveq2i 5859 . . . . . . . . . . . . 13
5148, 50syl6eleqr 2542 . . . . . . . . . . . 12
52 exprmfct 14128 . . . . . . . . . . . 12
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11
5420ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
5525ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
5626ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
5751adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
58 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
59 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
60 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . 13
61 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6261nnzd 10973 . . . . . . . . . . . . . . 15
63 fzval3 11864 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
6564raleqdv 3046 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
6660, 65mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12 ..^
6718, 19, 54, 21, 22, 23, 24, 55, 56, 57, 58, 59, 66dchrisum0flblem2 23566 . . . . . . . . . . 11
6853, 67rexlimddv 2939 . . . . . . . . . 10
69 ovex 6309 . . . . . . . . . . 11
70 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . 14
7170eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . 13
7271ifbid 3948 . . . . . . . . . . . 12
73 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . 12
7472, 73breq12d 4450 . . . . . . . . . . 11
7569, 74ralsn 4053 . . . . . . . . . 10
7668, 75sylibr 212 . . . . . . . . 9
7776expr 615 . . . . . . . 8
7877ancld 553 . . . . . . 7
79 fzsuc 11736 . . . . . . . . . 10
8045, 79syl 16 . . . . . . . . 9
8180raleqdv 3046 . . . . . . . 8
82 ralunb 3670 . . . . . . . 8
8381, 82syl6bb 261 . . . . . . 7
8478, 83sylibrd 234 . . . . . 6
8584expcom 435 . . . . 5
8685a2d 26 . . . 4
878, 11, 14, 17, 43, 86nnind 10560 . . 3
881, 87mpcom 36 . 2
89 fveq2 5856 . . . . . 6
9089eleq1d 2512 . . . . 5
9190ifbid 3948 . . . 4
92 fveq2 5856 . . . 4
9391, 92breq12d 4450 . . 3
9493rspcv 3192 . 2
955, 88, 94sylc 60 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  wral 2793  wrex 2794  crab 2797   cun 3459  cif 3926  csn 4014   class class class wbr 4437   cmpt 4495  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  cr 9494  cc0 9495  c1 9496   caddc 9498   cle 9632  cn 10542  c2 10591  cn0 10801  cz 10870  cuz 11090  cfz 11681  ..^cfzo 11803  cexp 12145  csqrt 13045  csu 13487   cdvds 13863  cprime 14094  cbs 14509  c0g 14714  RHomczrh 18410  ℤ/nℤczn 18413  DChrcdchr 23379 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-ioc 11543  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-fac 12333  df-bc 12360  df-hash 12385  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684  df-pi 13686  df-dvds 13864  df-gcd 14022  df-prm 14095  df-numer 14145  df-denom 14146  df-pc 14238  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-qus 14783  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15840  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-mulg 15934  df-subg 16072  df-nsg 16073  df-eqg 16074  df-ghm 16139  df-cntz 16229  df-od 16427  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-cring 17075  df-oppr 17146  df-dvdsr 17164  df-unit 17165  df-invr 17195  df-dvr 17206  df-rnghom 17238  df-drng 17272  df-subrg 17301  df-lmod 17388  df-lss 17453  df-lsp 17492  df-sra 17692  df-rgmod 17693  df-lidl 17694  df-rsp 17695  df-2idl 17754  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-cnfld 18295  df-zring 18363  df-zrh 18414  df-zn 18417  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-lp 19510  df-perf 19511  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-haus 19689  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-fil 20220  df-fm 20312  df-flim 20313  df-flf 20314  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698  df-cncf 21255  df-limc 22143  df-dv 22144  df-log 22816  df-cxp 22817  df-dchr 23380 This theorem is referenced by:  dchrisum0fno1  23568
 Copyright terms: Public domain W3C validator