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Theorem dchrisum0flb 21157
Description: The divisor sum of a real Dirichlet character, is lower bounded by zero everywhere and one at the squares. Equation 9.4.29 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum0f.f  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
dchrisum0f.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum0flb.r  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
dchrisum0flb.a  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flb  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  A )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  A ) )
Distinct variable groups:    q, b,
v, A    N, q    L, b, v    X, b, v
Allowed substitution hints:    ph( v, q, b)    D( v, q, b)    .1. ( v, q, b)    F( v, q, b)    G( v, q, b)    L( q)    N( v, b)    X( q)    Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0flb
Dummy variables  k 
y  i  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum0flb.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnuz 10477 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31, 2syl6eleq 2494 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
4 eluzfz2 11021 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  A  e.  ( 1 ... A
) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 1 ... A ) )
6 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
1 ... k )  =  ( 1 ... 1
) )
76raleqdv 2870 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  ( A. y  e.  (
1 ... k ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( 1 ... 1
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )
87imbi2d 308 . . . 4  |-  ( k  =  1  ->  (
( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... k
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... 1 ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) ) )
9 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( k  =  i  ->  (
1 ... k )  =  ( 1 ... i
) )
109raleqdv 2870 . . . . 5  |-  ( k  =  i  ->  ( A. y  e.  (
1 ... k ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )
1110imbi2d 308 . . . 4  |-  ( k  =  i  ->  (
( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... k
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) ) )
12 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
1 ... k )  =  ( 1 ... (
i  +  1 ) ) )
1312raleqdv 2870 . . . . 5  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  ( A. y  e.  (
1 ... k ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( 1 ... (
i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )
1413imbi2d 308 . . . 4  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... k
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... ( i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) ) )
15 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  (
1 ... k )  =  ( 1 ... A
) )
1615raleqdv 2870 . . . . 5  |-  ( k  =  A  ->  ( A. y  e.  (
1 ... k ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( 1 ... A
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )
1716imbi2d 308 . . . 4  |-  ( k  =  A  ->  (
( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... k
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... A ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) ) )
18 rpvmasum.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
19 rpvmasum.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
20 rpvmasum.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
21 rpvmasum2.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
22 rpvmasum2.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
23 rpvmasum2.1 . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
24 dchrisum0f.f . . . . . 6  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
25 dchrisum0f.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
26 dchrisum0flb.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
27 2prm 13050 . . . . . . 7  |-  2  e.  Prime
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  Prime )
29 0nn0 10192 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
3029a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
3118, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 30dchrisum0flblem1 21155 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( sqr `  ( 2 ^ 0 ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  ( 2 ^ 0 ) ) )
32 elfz1eq 11024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  y  =  1 )
33 2nn0 10194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
3433numexp0 13367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 0 )  =  1
3532, 34syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  y  =  ( 2 ^ 0 ) )
3635fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
2 ^ 0 ) ) )
3736eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  (
( sqr `  y
)  e.  NN  <->  ( sqr `  ( 2 ^ 0 ) )  e.  NN ) )
3837ifbid 3717 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  =  if ( ( sqr `  ( 2 ^ 0 ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) )
3935fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( 2 ^ 0 ) ) )
4038, 39breq12d 4185 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  if (
( sqr `  (
2 ^ 0 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( 2 ^ 0 ) ) ) )
4140biimprcd 217 . . . . . 6  |-  ( if ( ( sqr `  (
2 ^ 0 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( 2 ^ 0 ) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... 1 )  ->  if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )
4241ralrimiv 2748 . . . . 5  |-  ( if ( ( sqr `  (
2 ^ 0 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( 2 ^ 0 ) )  ->  A. y  e.  ( 1 ... 1
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )
4331, 42syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... 1 ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) )
44 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
4544, 2syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4645adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  -> 
i  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
47 eluzp1p1 10467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
49 df-2 10014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =  ( 1  +  1 )
5049fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
5148, 50syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
52 exprmfct 13065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. p  e.  Prime  p  ||  (
i  +  1 ) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  ->  E. p  e.  Prime  p 
||  ( i  +  1 ) )
5420ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
5525ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  X  e.  D )
5626ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  X : ( Base `  Z
) --> RR )
5751adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
58 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  p  e.  Prime )
59 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  p  ||  ( i  +  1 ) )
60 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )
61 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
6261nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
63 fzval3 11135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
1 ... i )  =  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
1 ... i )  =  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) )
6564raleqdv 2870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  ( A. y  e.  (
1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )
6660, 65mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1..^ ( i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) )
6718, 19, 54, 21, 22, 23, 24, 55, 56, 57, 58, 59, 66dchrisum0flblem2 21156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  p  ||  (
i  +  1 ) ) )  ->  if ( ( sqr `  (
i  +  1 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
6853, 67rexlimddv 2794 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  ->  if ( ( sqr `  (
i  +  1 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
69 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  +  1 )  e. 
_V
70 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
i  +  1 ) ) )
7170eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  (
( sqr `  y
)  e.  NN  <->  ( sqr `  ( i  +  1 ) )  e.  NN ) )
7271ifbid 3717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  =  if ( ( sqr `  ( i  +  1 ) )  e.  NN ,  1 ,  0 ) )
73 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
7472, 73breq12d 4185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  ( if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  if (
( sqr `  (
i  +  1 ) )  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) )
7569, 74ralsn 3809 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  { (
i  +  1 ) } if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
)  <->  if ( ( sqr `  ( i  +  1 ) )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
7668, 75sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  A. y  e.  ( 1 ... i
) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) )  ->  A. y  e.  { ( i  +  1 ) } if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) )
7776expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  ->  A. y  e.  { ( i  +  1 ) } if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )
7877ancld 537 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  ->  ( A. y  e.  (
1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  /\  A. y  e.  { (
i  +  1 ) } if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) ) )
79 fzsuc 11052 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  1
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( i  +  1 ) } ) )
8045, 79syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( i  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... i )  u.  {
( i  +  1 ) } ) )
8180raleqdv 2870 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  A. y  e.  ( ( 1 ... i )  u.  {
( i  +  1 ) } ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y ) ) )
82 ralunb 3488 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  ( (
1 ... i )  u. 
{ ( i  +  1 ) } ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  <->  ( A. y  e.  ( 1 ... i ) if ( ( sqr `  y
)  e.  NN , 
1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  /\  A. y  e.  { (
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( F `  y
) ) )
8381, 82syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y
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1 ,  0 )  <_  ( F `  y )  /\  A. y  e.  { (
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( F `  y
) ) ) )
8478, 83sylibrd 226 . . . . . 6  |-  ( (
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i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
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i  +  1 ) ) if ( ( sqr `  y )  e.  NN ,  1 ,  0 )  <_ 
( F `  y
) ) ) )
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( ph  ->  A. y  e.  ( 1 ... i
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1 ... A ) if ( ( sqr `  y
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    u. cun 3278   ifcif 3699   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    <_ cle 9077   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   ^cexp 11337   sqrcsqr 11993   sum_csu 12434    || cdivides 12807   Primecprime 13034   Basecbs 13424   0gc0g 13678   ZRHomczrh 16733  ℤ/nczn 16736  DChrcdchr 20969
This theorem is referenced by:  dchrisum0fno1  21158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-numer 13082  df-denom 13083  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-divs 13690  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-od 15122  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-dchr 20970
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