MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0ff Structured version   Unicode version

Theorem dchrisum0ff 24073
Description: The function  F is a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum0f.f  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
dchrisum0f.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum0flb.r  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0ff  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
Distinct variable groups:    q, b,
v    N, q    L, b, v    X, b, v
Allowed substitution hints:    ph( v, q, b)    D( v, q, b)    .1. ( v, q, b)    F( v, q, b)    G( v, q, b)    L( q)    N( v, b)    X( q)    Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0ff
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12124 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
2 sgmss 23761 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  C_  ( 1 ... n
) )
32adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  C_  ( 1 ... n
) )
4 ssfi 7775 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  { q  e.  NN  | 
q  ||  n }  C_  ( 1 ... n
) )  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  e.  Fin )
51, 3, 4syl2anc 659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  e.  Fin )
6 dchrisum0flb.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
76ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)  ->  X :
( Base `  Z ) --> RR )
8 rpvmasum.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
98nnnn0d 10893 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
10 rpvmasum.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
11 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
12 rpvmasum.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
1310, 11, 12znzrhfo 18884 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z
) )
14 fof 5778 . . . . . . 7  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
159, 13, 143syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
1615adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  L : ZZ
--> ( Base `  Z
) )
17 elrabi 3204 . . . . . 6  |-  ( m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }  ->  m  e.  NN )
1817nnzd 11007 . . . . 5  |-  ( m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }  ->  m  e.  ZZ )
19 ffvelrn 6007 . . . . 5  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Z )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )
2016, 18, 19syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)  ->  ( L `  m )  e.  (
Base `  Z )
)
217, 20ffvelrnd 6010 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  RR )
225, 21fsumrecl 13705 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  m )
)  e.  RR )
23 dchrisum0f.f . . 3  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
24 breq2 4399 . . . . . . 7  |-  ( b  =  n  ->  (
q  ||  b  <->  q  ||  n ) )
2524rabbidv 3051 . . . . . 6  |-  ( b  =  n  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  =  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)
2625sumeq1d 13672 . . . . 5  |-  ( b  =  n  ->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  b }  ( X `  ( L `  v )
)  =  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  v )
) )
27 fveq2 5849 . . . . . . 7  |-  ( v  =  m  ->  ( L `  v )  =  ( L `  m ) )
2827fveq2d 5853 . . . . . 6  |-  ( v  =  m  ->  ( X `  ( L `  v ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
2928cbvsumv 13667 . . . . 5  |-  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  v )
)  =  sum_ m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  m )
)
3026, 29syl6eq 2459 . . . 4  |-  ( b  =  n  ->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  b }  ( X `  ( L `  v )
)  =  sum_ m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  m )
) )
3130cbvmptv 4487 . . 3  |-  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  b }  ( X `  ( L `  v )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_
m  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  ( X `  ( L `  m ) ) )
3223, 31eqtri 2431 . 2  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  sum_
m  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  ( X `  ( L `  m ) ) )
3322, 32fmptd 6033 1  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2758    C_ wss 3414   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   -->wf 5565   -onto->wfo 5567   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Fincfn 7554   RRcr 9521   1c1 9523   NNcn 10576   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   ...cfz 11726   sum_csu 13657    || cdvds 14195   Basecbs 14841   0gc0g 15054   ZRHomczrh 18837  ℤ/nczn 18840  DChrcdchr 23888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-ec 7350  df-qs 7354  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-dvds 14196  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-0g 15056  df-imas 15122  df-qus 15123  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mulg 16384  df-subg 16522  df-nsg 16523  df-eqg 16524  df-ghm 16589  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-oppr 17592  df-rnghom 17684  df-subrg 17747  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-lsp 17938  df-sra 18138  df-rgmod 18139  df-lidl 18140  df-rsp 18141  df-2idl 18200  df-cnfld 18741  df-zring 18809  df-zrh 18841  df-zn 18844
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  24075  dchrisum0fno1  24077
  Copyright terms: Public domain W3C validator