MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0ff Structured version   Unicode version

Theorem dchrisum0ff 22884
Description: The function  F is a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum0f.f  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
dchrisum0f.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum0flb.r  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0ff  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
Distinct variable groups:    q, b,
v    N, q    L, b, v    X, b, v
Allowed substitution hints:    ph( v, q, b)    D( v, q, b)    .1. ( v, q, b)    F( v, q, b)    G( v, q, b)    L( q)    N( v, b)    X( q)    Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0ff
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11907 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
2 sgmss 22572 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  C_  ( 1 ... n
) )
32adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  C_  ( 1 ... n
) )
4 ssfi 7639 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  { q  e.  NN  | 
q  ||  n }  C_  ( 1 ... n
) )  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  e.  Fin )
51, 3, 4syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  e.  Fin )
6 dchrisum0flb.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
76ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)  ->  X :
( Base `  Z ) --> RR )
8 rpvmasum.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
98nnnn0d 10742 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
10 rpvmasum.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
11 eqid 2452 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
12 rpvmasum.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
1310, 11, 12znzrhfo 18100 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z
) )
14 fof 5723 . . . . . . 7  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
159, 13, 143syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
1615adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  L : ZZ
--> ( Base `  Z
) )
17 elrabi 3215 . . . . . 6  |-  ( m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }  ->  m  e.  NN )
1817nnzd 10852 . . . . 5  |-  ( m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }  ->  m  e.  ZZ )
19 ffvelrn 5945 . . . . 5  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Z )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )
2016, 18, 19syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)  ->  ( L `  m )  e.  (
Base `  Z )
)
217, 20ffvelrnd 5948 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  RR )
225, 21fsumrecl 13324 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  m )
)  e.  RR )
23 dchrisum0f.f . . 3  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
24 breq2 4399 . . . . . . 7  |-  ( b  =  n  ->  (
q  ||  b  <->  q  ||  n ) )
2524rabbidv 3064 . . . . . 6  |-  ( b  =  n  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  =  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)
2625sumeq1d 13291 . . . . 5  |-  ( b  =  n  ->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  b }  ( X `  ( L `  v )
)  =  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  v )
) )
27 fveq2 5794 . . . . . . 7  |-  ( v  =  m  ->  ( L `  v )  =  ( L `  m ) )
2827fveq2d 5798 . . . . . 6  |-  ( v  =  m  ->  ( X `  ( L `  v ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
2928cbvsumv 13286 . . . . 5  |-  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  v )
)  =  sum_ m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  m )
)
3026, 29syl6eq 2509 . . . 4  |-  ( b  =  n  ->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  b }  ( X `  ( L `  v )
)  =  sum_ m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  m )
) )
3130cbvmptv 4486 . . 3  |-  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  b }  ( X `  ( L `  v )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_
m  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  ( X `  ( L `  m ) ) )
3223, 31eqtri 2481 . 2  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  sum_
m  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  ( X `  ( L `  m ) ) )
3322, 32fmptd 5971 1  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2800    C_ wss 3431   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   -->wf 5517   -onto->wfo 5519   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Fincfn 7415   RRcr 9387   1c1 9389   NNcn 10428   NN0cn0 10685   ZZcz 10752   ...cfz 11549   sum_csu 13276    || cdivides 13648   Basecbs 14287   0gc0g 14492   ZRHomczrh 18051  ℤ/nczn 18054  DChrcdchr 22699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-tpos 6850  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-ec 7208  df-qs 7212  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-rp 11098  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-seq 11919  df-exp 11978  df-hash 12216  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-clim 13079  df-sum 13277  df-dvds 13649  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-0g 14494  df-imas 14560  df-divs 14561  df-mnd 15529  df-mhm 15578  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-mulg 15662  df-subg 15792  df-nsg 15793  df-eqg 15794  df-ghm 15859  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-cring 16766  df-oppr 16833  df-rnghom 16924  df-subrg 16981  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-lsp 17171  df-sra 17371  df-rgmod 17372  df-lidl 17373  df-rsp 17374  df-2idl 17432  df-cnfld 17939  df-zring 18004  df-zrh 18055  df-zn 18058
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  22886  dchrisum0fno1  22888
  Copyright terms: Public domain W3C validator