Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dchrisum0 24437
 Description: The sum is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption is contradictory). This is the key result that allows us to eliminate the conditionals from dchrmusum2 24411 and dchrvmasumif 24420. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum2.g DChr
rpvmasum2.d
rpvmasum2.1
rpvmasum2.w
dchrisum0.b
Assertion
Ref Expression
dchrisum0
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem dchrisum0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . 2 ℤ/n
2 rpvmasum.l . 2 RHom
3 rpvmasum.a . 2
4 rpvmasum2.g . 2 DChr
5 rpvmasum2.d . 2
6 rpvmasum2.1 . 2
7 eqid 2471 . 2
8 rpvmasum2.w . . . . 5
9 ssrab2 3500 . . . . 5
108, 9eqsstri 3448 . . . 4
11 difss 3549 . . . 4
1210, 11sstri 3427 . . 3
13 dchrisum0.b . . 3
1412, 13sseldi 3416 . 2
151, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13dchrisum0re 24430 . 2
16 fveq2 5879 . . . . . . . 8
1716oveq2d 6324 . . . . . . 7
18 rpre 11331 . . . . . . . 8
1918adantl 473 . . . . . . 7
2014ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10
21 elrabi 3181 . . . . . . . . . . . 12
2221nnzd 11062 . . . . . . . . . . 11
2322adantl 473 . . . . . . . . . 10
244, 1, 5, 2, 20, 23dchrzrhcl 24252 . . . . . . . . 9
25 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . 14
2625adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
2726nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . 12
2827rpsqrtcld 13550 . . . . . . . . . . 11
2928rpcnd 11366 . . . . . . . . . 10
3029adantr 472 . . . . . . . . 9
3128rpne0d 11369 . . . . . . . . . 10
3231adantr 472 . . . . . . . . 9
3324, 30, 32divcld 10405 . . . . . . . 8
3433anasss 659 . . . . . . 7
3517, 19, 34dvdsflsumcom 24196 . . . . . 6
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7dchrisum0fval 24422 . . . . . . . . . 10
3726, 36syl 17 . . . . . . . . 9
3837oveq1d 6323 . . . . . . . 8
39 fzfid 12224 . . . . . . . . . 10
40 sgmss 24112 . . . . . . . . . . 11
4126, 40syl 17 . . . . . . . . . 10
42 ssfi 7810 . . . . . . . . . 10
4339, 41, 42syl2anc 673 . . . . . . . . 9
4443, 29, 24, 31fsumdivc 13924 . . . . . . . 8
4538, 44eqtrd 2505 . . . . . . 7
4645sumeq2dv 13846 . . . . . 6
47 rprege0 11339 . . . . . . . . . . 11
4847adantl 473 . . . . . . . . . 10
49 resqrtth 13396 . . . . . . . . . 10
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9
5150fveq2d 5883 . . . . . . . 8
5251oveq2d 6324 . . . . . . 7
5350oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
5453fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
5554oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
5655sumeq1d 13844 . . . . . . . 8
5756adantr 472 . . . . . . 7
5852, 57sumeq12dv 13849 . . . . . 6
5935, 46, 583eqtr4d 2515 . . . . 5
6059mpteq2dva 4482 . . . 4
61 rpsqrtcl 13405 . . . . . 6
6261adantl 473 . . . . 5
63 eqidd 2472 . . . . 5
64 eqidd 2472 . . . . 5
65 oveq1 6315 . . . . . . . 8
6665fveq2d 5883 . . . . . . 7
6766oveq2d 6324 . . . . . 6
6865oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
6968fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
7069oveq2d 6324 . . . . . . . 8
7170sumeq1d 13844 . . . . . . 7
7271adantr 472 . . . . . 6
7367, 72sumeq12dv 13849 . . . . 5
7462, 63, 64, 73fmptco 6072 . . . 4
7560, 74eqtr4d 2508 . . 3
76 eqid 2471 . . . . . . . 8
771, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 76dchrisum0lema 24431 . . . . . . 7
783adantr 472 . . . . . . . . . 10
7913adantr 472 . . . . . . . . . 10
80 simprl 772 . . . . . . . . . 10
81 simprrl 782 . . . . . . . . . 10
82 simprrr 783 . . . . . . . . . 10
831, 2, 78, 4, 5, 6, 8, 79, 76, 80, 81, 82dchrisum0lem3 24436 . . . . . . . . 9
8483rexlimdvaa 2872 . . . . . . . 8
8584exlimdv 1787 . . . . . . 7
8677, 85mpd 15 . . . . . 6
87 o1f 13670 . . . . . 6
8886, 87syl 17 . . . . 5
89 sumex 13831 . . . . . . 7
90 eqid 2471 . . . . . . 7
9189, 90dmmpti 5717 . . . . . 6
9291feq2i 5731 . . . . 5
9388, 92sylib 201 . . . 4
94 rpssre 11335 . . . . 5
9594a1i 11 . . . 4
96 resqcl 12380 . . . . . 6
9796adantl 473 . . . . 5
98 0red 9662 . . . . . . . 8
99 simplr 770 . . . . . . . 8
100 simplrr 779 . . . . . . . . . 10
10147ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . 12
102101adantr 472 . . . . . . . . . . 11
103102, 49syl 17 . . . . . . . . . 10
104100, 103breqtrrd 4422 . . . . . . . . 9
10599adantr 472 . . . . . . . . . 10
10662rpred 11364 . . . . . . . . . . . 12
107106ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . 11
108107adantr 472 . . . . . . . . . 10
109 simpr 468 . . . . . . . . . 10
110 sqrtge0 13398 . . . . . . . . . . . 12
111101, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11
112111adantr 472 . . . . . . . . . 10
113105, 108, 109, 112le2sqd 12489 . . . . . . . . 9
114104, 113mpbird 240 . . . . . . . 8
11599adantr 472 . . . . . . . . 9
116 0red 9662 . . . . . . . . 9
117107adantr 472 . . . . . . . . 9
118 simpr 468 . . . . . . . . 9
119111adantr 472 . . . . . . . . 9
120115, 116, 117, 118, 119letrd 9809 . . . . . . . 8
12198, 99, 114, 120lecasei 9758 . . . . . . 7
122121expr 626 . . . . . 6
123122ralrimiva 2809 . . . . 5
124 breq1 4398 . . . . . . . 8
125124imbi1d 324 . . . . . . 7
126125ralbidv 2829 . . . . . 6
127126rspcev 3136 . . . . 5
12897, 123, 127syl2anc 673 . . . 4
12993, 86, 62, 95, 128o1compt 13728 . . 3
13075, 129eqeltrd 2549 . 2
1311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 15, 130dchrisum0fno1 24428 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   cdif 3387   wss 3390  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   cpnf 9690   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cz 10961  crp 11325  cico 11662  cfz 11810  cfl 12059   cseq 12251  cexp 12310  csqrt 13373  cabs 13374   cli 13625  co1 13627  csu 13829   cdvds 14382  cbs 15199  c0g 15416  RHomczrh 19148  ℤ/nℤczn 19151  DChrcdchr 24239 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-rpss 6590  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-o1 13631  df-lo1 13632  df-sum 13830  df-ef 14198  df-e 14199  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-numer 14763  df-denom 14764  df-phi 14793  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-qus 15487  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-gim 17001  df-ga 17022  df-cntz 17049  df-oppg 17075  df-od 17250  df-gex 17252  df-pgp 17254  df-lsm 17366  df-pj1 17367  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-cyg 17591  df-dprd 17705  df-dpj 17706  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901  df-ply 23221  df-idp 23222  df-coe 23223  df-dgr 23224  df-quot 23323  df-log 23585  df-cxp 23586  df-em 23997  df-cht 24102  df-vma 24103  df-chp 24104  df-ppi 24105  df-mu 24106  df-dchr 24240 This theorem is referenced by:  dchrisumn0  24438  rpvmasum  24443
 Copyright terms: Public domain W3C validator