Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0 Unicode version

Theorem dchrisum0 20501
 Description: The sum is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption is contradictory). This is the key result that allows us to eliminate the conditionals from dchrmusum2 20475 and dchrvmasumif 20484. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum2.g DChr
rpvmasum2.d
rpvmasum2.1
rpvmasum2.w
dchrisum0.b
Assertion
Ref Expression
dchrisum0
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem dchrisum0
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . 2 ℤ/n
2 rpvmasum.l . 2 RHom
3 rpvmasum.a . 2
4 rpvmasum2.g . 2 DChr
5 rpvmasum2.d . 2
6 rpvmasum2.1 . 2
7 eqid 2253 . 2
8 rpvmasum2.w . . . . 5
9 ssrab2 3179 . . . . 5
108, 9eqsstri 3129 . . . 4
11 difss 3220 . . . 4
1210, 11sstri 3109 . . 3
13 dchrisum0.b . . 3
1412, 13sseldi 3101 . 2
151, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13dchrisum0re 20494 . 2
16 fveq2 5377 . . . . . . . 8
1716oveq2d 5726 . . . . . . 7
18 rpre 10239 . . . . . . . 8
1918adantl 454 . . . . . . 7
2014ad3antrrr 713 . . . . . . . . . 10
21 ssrab2 3179 . . . . . . . . . . . . 13
2221sseli 3099 . . . . . . . . . . . 12
2322nnzd 9995 . . . . . . . . . . 11
2423adantl 454 . . . . . . . . . 10
254, 1, 5, 2, 20, 24dchrzrhcl 20316 . . . . . . . . 9
26 elfznn 10697 . . . . . . . . . . . . . 14
2726adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13
2827nnrpd 10268 . . . . . . . . . . . 12
2928rpsqrcld 11771 . . . . . . . . . . 11
3029rpcnd 10271 . . . . . . . . . 10
3130adantr 453 . . . . . . . . 9
3229rpne0d 10274 . . . . . . . . . 10
3332adantr 453 . . . . . . . . 9
3425, 31, 33divcld 9416 . . . . . . . 8
3534anasss 631 . . . . . . 7
3617, 19, 35dvdsflsumcom 20260 . . . . . 6
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7dchrisum0fval 20486 . . . . . . . . . 10
3827, 37syl 17 . . . . . . . . 9
3938oveq1d 5725 . . . . . . . 8
40 fzfid 10913 . . . . . . . . . 10
41 sgmss 20176 . . . . . . . . . . 11
4227, 41syl 17 . . . . . . . . . 10
43 ssfi 6968 . . . . . . . . . 10
4440, 42, 43syl2anc 645 . . . . . . . . 9
4544, 30, 25, 32fsumdivc 12125 . . . . . . . 8
4639, 45eqtrd 2285 . . . . . . 7
4746sumeq2dv 12053 . . . . . 6
48 rprege0 10247 . . . . . . . . . . 11
4948adantl 454 . . . . . . . . . 10
50 resqrth 11618 . . . . . . . . . 10
5149, 50syl 17 . . . . . . . . 9
5251fveq2d 5381 . . . . . . . 8
5352oveq2d 5726 . . . . . . 7
5451oveq1d 5725 . . . . . . . . . . 11
5554fveq2d 5381 . . . . . . . . . 10
5655oveq2d 5726 . . . . . . . . 9
5756sumeq1d 12051 . . . . . . . 8
5857adantr 453 . . . . . . 7
5953, 58sumeq12dv 12056 . . . . . 6
6036, 47, 593eqtr4d 2295 . . . . 5
6160mpteq2dva 4003 . . . 4
62 rpsqrcl 11627 . . . . . 6
6362adantl 454 . . . . 5
64 eqidd 2254 . . . . 5
65 eqidd 2254 . . . . 5
66 oveq1 5717 . . . . . . . 8
6766fveq2d 5381 . . . . . . 7
6867oveq2d 5726 . . . . . 6
6966oveq1d 5725 . . . . . . . . . 10
7069fveq2d 5381 . . . . . . . . 9
7170oveq2d 5726 . . . . . . . 8
7271sumeq1d 12051 . . . . . . 7
7372adantr 453 . . . . . 6
7468, 73sumeq12dv 12056 . . . . 5
7563, 64, 65, 74fmptco 5543 . . . 4
7661, 75eqtr4d 2288 . . 3
77 eqid 2253 . . . . . . . 8
781, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 77dchrisum0lema 20495 . . . . . . 7
793adantr 453 . . . . . . . . . . 11
8013adantr 453 . . . . . . . . . . 11
81 simprl 735 . . . . . . . . . . 11
82 simprrl 743 . . . . . . . . . . 11
83 simprrr 744 . . . . . . . . . . 11
841, 2, 79, 4, 5, 6, 8, 80, 77, 81, 82, 83dchrisum0lem3 20500 . . . . . . . . . 10
8584expr 601 . . . . . . . . 9
8685rexlimdva 2629 . . . . . . . 8
8786exlimdv 1932 . . . . . . 7
8878, 87mpd 16 . . . . . 6
89 o1f 11880 . . . . . 6
9088, 89syl 17 . . . . 5
91 sumex 12037 . . . . . . 7
92 eqid 2253 . . . . . . 7
9391, 92dmmpti 5230 . . . . . 6
9493feq2i 5241 . . . . 5
9590, 94sylib 190 . . . 4
96 rpssre 10243 . . . . 5
9796a1i 12 . . . 4
98 resqcl 11049 . . . . . 6
9998adantl 454 . . . . 5
100 0re 8718 . . . . . . . . 9
101100a1i 12 . . . . . . . 8
102 simplr 734 . . . . . . . 8
103 simplrr 740 . . . . . . . . . 10
10448ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . 12
105104adantr 453 . . . . . . . . . . 11
106105, 50syl 17 . . . . . . . . . 10
107103, 106breqtrrd 3946 . . . . . . . . 9
108102adantr 453 . . . . . . . . . 10
10963rpred 10269 . . . . . . . . . . . 12
110109ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . 11
111110adantr 453 . . . . . . . . . 10
112 simpr 449 . . . . . . . . . 10
113 sqrge0 11620 . . . . . . . . . . . 12
114104, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11
115114adantr 453 . . . . . . . . . 10
116108, 111, 112, 115le2sqd 11158 . . . . . . . . 9
117107, 116mpbird 225 . . . . . . . 8
118102adantr 453 . . . . . . . . 9
119100a1i 12 . . . . . . . . 9
120110adantr 453 . . . . . . . . 9
121 simpr 449 . . . . . . . . 9
122114adantr 453 . . . . . . . . 9
123118, 119, 120, 121, 122letrd 8853 . . . . . . . 8
124101, 102, 117, 123lecasei 8806 . . . . . . 7
125124expr 601 . . . . . 6
126125ralrimiva 2588 . . . . 5
127 breq1 3923 . . . . . . . 8
128127imbi1d 310 . . . . . . 7
129128ralbidv 2527 . . . . . 6
130129rcla4ev 2821 . . . . 5
13199, 126, 130syl2anc 645 . . . 4
13295, 88, 63, 97, 131o1compt 11938 . . 3
13376, 132eqeltrd 2327 . 2
1341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 15, 133dchrisum0fno1 20492 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wa 360  wex 1537   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  wral 2509  wrex 2510  crab 2512   cdif 3075   wss 3078  csn 3544   class class class wbr 3920   cmpt 3974   cdm 4580   ccom 4584  wf 4588  cfv 4592  (class class class)co 5710  cfn 6749  cc 8615  cr 8616  cc0 8617  c1 8618   caddc 8620   cmul 8622   cpnf 8744   cle 8748   cmin 8917   cdiv 9303  cn 9626  c2 9675  cz 9903  crp 10233  cico 10536  cfz 10660  cfl 10802   cseq 10924  cexp 10982  csqr 11595  cabs 11596   cli 11835  co1 11837  csu 12035   cdivides 12405  cbs 13022  c0g 13274  RHomczrh 16283  ℤ/nℤczn 16286  DChrcdchr 20303 This theorem is referenced by:  dchrisumn0  20502  rpvmasum  20507 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-disj 3892  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-rpss 6129  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-word 11286  df-concat 11287  df-s1 11288  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-o1 11841  df-lo1 11842  df-sum 12036  df-ef 12223  df-e 12224  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-numer 12680  df-denom 12681  df-phi 12708  df-pc 12764  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-divs 13286  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-mhm 14250  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-mulg 14327  df-subg 14453  df-nsg 14454  df-eqg 14455  df-ghm 14516  df-gim 14558  df-ga 14579  df-cntz 14628  df-oppg 14654  df-od 14679  df-gex 14680  df-pgp 14681  df-lsm 14782  df-pj1 14783  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-cyg 15000  df-dprd 15068  df-dpj 15069  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-cring 15176  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-dvr 15300  df-rnghom 15331  df-drng 15349  df-subrg 15378  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-sra 15757  df-rgmod 15758  df-lidl 15759  df-rsp 15760  df-2idl 15816  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-zrh 16287  df-zn 16290  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-cmp 16946  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-0p 18857  df-limc 19048  df-dv 19049  df-ply 19402  df-idp 19403  df-coe 19404  df-dgr 19405  df-quot 19503  df-log 19746  df-cxp 19747  df-em 20119  df-cht 20166  df-vma 20167  df-chp 20168  df-ppi 20169  df-mu 20170  df-dchr 20304
 Copyright terms: Public domain W3C validator