Theorem dchrisum0 24084

Description: The sum sum_ n e. NN , X ( n ) / n is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption X e. W is contradictory). This is the key result that allows us to eliminate the conditionals from dchrmusum2 24058 and dchrvmasumif 24067. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0	|- -. ph

Distinct variable groups:   y, m, .1.   m, N, y   ph, m   m, Z, y   D, m, y   m, L, y   m, X, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   G( y, m)   W( y, m)

Proof of Theorem dchrisum0

Dummy variables k x z c i t d a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. 2 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
2		rpvmasum.l	. 2 |- L = ( ZRHom ` Z )
3		rpvmasum.a	. 2 |- ( ph -> N e. NN )
4		rpvmasum2.g	. 2 |- G = (DChr ` N )
5		rpvmasum2.d	. 2 |- D = ( Base ` G )
6		rpvmasum2.1	. 2 |- .1. = ( 0g ` G )
7		eqid 2402	. 2 |- ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) = ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) )
8		rpvmasum2.w	. . . . 5 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
9		ssrab2 3523	. . . . 5 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
10	8, 9	eqsstri 3471	. . . 4 |- W C_ ( D \ { .1. } )
11		difss 3569	. . . 4 |- ( D \ { .1. } ) C_ D
12	10, 11	sstri 3450	. . 3 |- W C_ D
13		dchrisum0.b	. . 3 |- ( ph -> X e. W )
14	12, 13	sseldi 3439	. 2 |- ( ph -> X e. D )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13	dchrisum0re 24077	. 2 |- ( ph -> X : ( Base ` Z ) --> RR )
16		fveq2 5848	. . . . . . . 8 |- ( k = ( m x. d ) -> ( sqr ` k ) = ( sqr ` ( m x. d ) ) )
17	16	oveq2d 6293	. . . . . . 7 |- ( k = ( m x. d ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
18		rpre 11270	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
19	18	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
20	14	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> X e. D )
21		elrabi 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. { i e. NN | i || k } -> m e. NN )
22	21	nnzd 11006	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. { i e. NN | i || k } -> m e. ZZ )
23	22	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> m e. ZZ )
24	4, 1, 5, 2, 20, 23	dchrzrhcl 23899	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
25		elfznn 11766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> k e. NN )
26	25	adantl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. NN )
27	26	nnrpd 11301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. RR+ )
28	27	rpsqrtcld 13390	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` k ) e. RR+ )
29	28	rpcnd 11305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` k ) e. CC )
30	29	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( sqr ` k ) e. CC )
31	28	rpne0d 11308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` k ) =/= 0 )
32	31	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( sqr ` k ) =/= 0 )
33	24, 30, 32	divcld 10360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) e. CC )
34	33	anasss 645	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) e. CC )
35	17, 19, 34	dvdsflsumcom 23843	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dchrisum0fval 24069	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) )
37	26, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) )
38	37	oveq1d 6292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = ( sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
39		fzfid 12122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
40		sgmss 23759	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> { i e. NN | i || k } C_ ( 1 ... k ) )
41	26, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { i e. NN | i || k } C_ ( 1 ... k ) )
42		ssfi 7774	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... k ) e. Fin /\ { i e. NN | i || k } C_ ( 1 ... k ) ) -> { i e. NN | i || k } e. Fin )
43	39, 41, 42	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { i e. NN | i || k } e. Fin )
44	43, 29, 24, 31	fsumdivc 13750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
45	38, 44	eqtrd 2443	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
46	45	sumeq2dv 13672	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
47		rprege0 11278	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
48	47	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
49		resqrtth 13236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) = x )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) = x )
51	50	fveq2d 5852	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) = ( |_ ` x ) )
52	51	oveq2d 6293	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
53	50	oveq1d 6292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) = ( x / m ) )
54	53	fveq2d 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) = ( |_ ` ( x / m ) ) )
55	54	oveq2d 6293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) )
56	55	sumeq1d 13670	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
57	56	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
58	52, 57	sumeq12dv 13675	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
59	35, 46, 58	3eqtr4d 2453	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
60	59	mpteq2dva 4480	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) )
61		rpsqrtcl 13245	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
62	61	adantl 464	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
63		eqidd 2403	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) )
64		eqidd 2403	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) = ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) )
65		oveq1 6284	. . . . . . . 8 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( z ^ 2 ) = ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) )
66	65	fveq2d 5852	. . . . . . 7 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) = ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) )
67	66	oveq2d 6293	. . . . . 6 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) )
68	65	oveq1d 6292	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( ( z ^ 2 ) / m ) = ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) )
69	68	fveq2d 5852	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) = ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) )
70	69	oveq2d 6293	. . . . . . . 8 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) )
71	70	sumeq1d 13670	. . . . . . 7 |- ( z = ( sqr ` x ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
72	71	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( z = ( sqr ` x ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
73	67, 72	sumeq12dv 13675	. . . . 5 |- ( z = ( sqr ` x ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
74	62, 63, 64, 73	fmptco 6042	. . . 4 |- ( ph -> ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) o. ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) )
75	60, 74	eqtr4d 2446	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) = ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) o. ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) )
76		eqid 2402	. . . . . . . 8 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
77	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 76	dchrisum0lema 24078	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) )
78	3	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> N e. NN )
79	13	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> X e. W )
80		simprl 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> c e. ( 0 [,) +oo ) )
81		simprrl 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t )
82		simprrr 767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) )
83	1, 2, 78, 4, 5, 6, 8, 79, 76, 80, 81, 82	dchrisum0lem3 24083	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) )
84	83	rexlimdvaa 2896	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) ) )
85	84	exlimdv 1745	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) ) )
86	77, 85	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) )
87		o1f 13499	. . . . . 6 |- ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) --> CC )
88	86, 87	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) --> CC )
89		sumex 13657	. . . . . . 7 |- sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) e. _V
90		eqid 2402	. . . . . . 7 |- ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) = ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
91	89, 90	dmmpti 5692	. . . . . 6 |- dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) = RR+
92	91	feq2i 5706	. . . . 5 |- ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) --> CC <-> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : RR+ --> CC )
93	88, 92	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : RR+ --> CC )
94		rpssre 11274	. . . . 5 |- RR+ C_ RR
95	94	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
96		resqcl 12278	. . . . . 6 |- ( t e. RR -> ( t ^ 2 ) e. RR )
97	96	adantl 464	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR )
98		0red 9626	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> 0 e. RR )
99		simplr 754	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> t e. RR )
100		simplrr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( t ^ 2 ) <_ x )
101	47	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
102	101	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
103	102, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) = x )
104	100, 103	breqtrrd 4420	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( t ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) )
105	99	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> t e. RR )
106	62	rpred 11303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
107	106	ad2ant2r 745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
108	107	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
109		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> 0 <_ t )
110		sqrtge0 13238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
111	101, 110	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
112	111	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
113	105, 108, 109, 112	le2sqd 12387	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( t <_ ( sqr ` x ) <-> ( t ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) )
114	104, 113	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> t <_ ( sqr ` x ) )
115	99	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> t e. RR )
116		0red 9626	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> 0 e. RR )
117	107	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
118		simpr 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> t <_ 0 )
119	111	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
120	115, 116, 117, 118, 119	letrd 9772	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> t <_ ( sqr ` x ) )
121	98, 99, 114, 120	lecasei 9721	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> t <_ ( sqr ` x ) )
122	121	expr 613	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
123	122	ralrimiva 2817	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> A. x e. RR+ ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
124		breq1 4397	. . . . . . . 8 |- ( c = ( t ^ 2 ) -> ( c <_ x <-> ( t ^ 2 ) <_ x ) )
125	124	imbi1d 315	. . . . . . 7 |- ( c = ( t ^ 2 ) -> ( ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) <-> ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) ) )
126	125	ralbidv 2842	. . . . . 6 |- ( c = ( t ^ 2 ) -> ( A. x e. RR+ ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) <-> A. x e. RR+ ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) ) )
127	126	rspcev 3159	. . . . 5 |- ( ( ( t ^ 2 ) e. RR /\ A. x e. RR+ ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) ) -> E. c e. RR A. x e. RR+ ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
128	97, 123, 127	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> E. c e. RR A. x e. RR+ ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
129	93, 86, 62, 95, 128	o1compt 13557	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) o. ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) e. O(1) )
130	75, 129	eqeltrd 2490	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) e. O(1) )
131	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 15, 130	dchrisum0fno1 24075	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   E.wex 1633   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   {crab 2757   \ cdif 3410   C_ wss 3413   {csn 3971   class class class wbr 4394   |-> cmpt 4452   dom cdm 4822   o. ccom 4826   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Fincfn 7553   CCcc 9519   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522   + caddc 9524   x. cmul 9526   +oocpnf 9654   <_ cle 9658   - cmin 9840   / cdiv 10246   NNcn 10575   2c2 10625   ZZcz 10904   RR+crp 11264   [,)cico 11583   ...cfz 11724   |_cfl 11962   seqcseq 12149   ^cexp 12208   sqrcsqrt 13213   abscabs 13214   ~~> cli 13454   O(1)co1 13456   sum_csu 13655   || cdvds 14193   Basecbs 14839   0gc0g 15052   ZRHomczrh 18835  ℤ/nℤczn 18838  DChrcdchr 23886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-rpss 6561  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-er 7347  df-ec 7349  df-qs 7353  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-acn 8354  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-fac 12396  df-bc 12423  df-hash 12451  df-word 12589  df-concat 12591  df-s1 12592  df-shft 13047  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-limsup 13441  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-o1 13460  df-lo1 13461  df-sum 13656  df-ef 14010  df-e 14011  df-sin 14012  df-cos 14013  df-pi 14015  df-dvds 14194  df-gcd 14352  df-prm 14425  df-numer 14475  df-denom 14476  df-phi 14503  df-pc 14568  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-qus 15121  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-nsg 16521  df-eqg 16522  df-ghm 16587  df-gim 16629  df-ga 16650  df-cntz 16677  df-oppg 16703  df-od 16875  df-gex 16876  df-pgp 16877  df-lsm 16978  df-pj1 16979  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-cyg 17203  df-dprd 17344  df-dpj 17345  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-cring 17519  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-dvr 17650  df-rnghom 17682  df-drng 17716  df-subrg 17745  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-lidl 18138  df-rsp 18139  df-2idl 18198  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-zring 18807  df-zrh 18839  df-zn 18842  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-lp 19928  df-perf 19929  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-haus 20107  df-cmp 20178  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cncf 21672  df-0p 22367  df-limc 22560  df-dv 22561  df-ply 22875  df-idp 22876  df-coe 22877  df-dgr 22878  df-quot 22977  df-log 23234  df-cxp 23235  df-em 23646  df-cht 23749  df-vma 23750  df-chp 23751  df-ppi 23752  df-mu 23753  df-dchr 23887

This theorem is referenced by:  dchrisumn0  24085  rpvmasum  24090