Theorem dchrisum0 23830

Description: The sum sum_ n e. NN , X ( n ) / n is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption X e. W is contradictory). This is the key result that allows us to eliminate the conditionals from dchrmusum2 23804 and dchrvmasumif 23813. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0	|- -. ph

Distinct variable groups:   y, m, .1.   m, N, y   ph, m   m, Z, y   D, m, y   m, L, y   m, X, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   G( y, m)   W( y, m)

Proof of Theorem dchrisum0

Dummy variables k x z c i t d a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. 2 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
2		rpvmasum.l	. 2 |- L = ( ZRHom ` Z )
3		rpvmasum.a	. 2 |- ( ph -> N e. NN )
4		rpvmasum2.g	. 2 |- G = (DChr ` N )
5		rpvmasum2.d	. 2 |- D = ( Base ` G )
6		rpvmasum2.1	. 2 |- .1. = ( 0g ` G )
7		eqid 2457	. 2 |- ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) = ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) )
8		rpvmasum2.w	. . . . 5 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
9		ssrab2 3581	. . . . 5 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
10	8, 9	eqsstri 3529	. . . 4 |- W C_ ( D \ { .1. } )
11		difss 3627	. . . 4 |- ( D \ { .1. } ) C_ D
12	10, 11	sstri 3508	. . 3 |- W C_ D
13		dchrisum0.b	. . 3 |- ( ph -> X e. W )
14	12, 13	sseldi 3497	. 2 |- ( ph -> X e. D )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13	dchrisum0re 23823	. 2 |- ( ph -> X : ( Base ` Z ) --> RR )
16		fveq2 5872	. . . . . . . 8 |- ( k = ( m x. d ) -> ( sqr ` k ) = ( sqr ` ( m x. d ) ) )
17	16	oveq2d 6312	. . . . . . 7 |- ( k = ( m x. d ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
18		rpre 11251	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
19	18	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
20	14	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> X e. D )
21		elrabi 3254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. { i e. NN | i || k } -> m e. NN )
22	21	nnzd 10989	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. { i e. NN | i || k } -> m e. ZZ )
23	22	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> m e. ZZ )
24	4, 1, 5, 2, 20, 23	dchrzrhcl 23645	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
25		elfznn 11739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> k e. NN )
26	25	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. NN )
27	26	nnrpd 11280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. RR+ )
28	27	rpsqrtcld 13254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` k ) e. RR+ )
29	28	rpcnd 11283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` k ) e. CC )
30	29	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( sqr ` k ) e. CC )
31	28	rpne0d 11286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` k ) =/= 0 )
32	31	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( sqr ` k ) =/= 0 )
33	24, 30, 32	divcld 10341	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) e. CC )
34	33	anasss 647	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) e. CC )
35	17, 19, 34	dvdsflsumcom 23589	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dchrisum0fval 23815	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) )
37	26, 36	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) )
38	37	oveq1d 6311	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = ( sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
39		fzfid 12085	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
40		sgmss 23505	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> { i e. NN | i || k } C_ ( 1 ... k ) )
41	26, 40	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { i e. NN | i || k } C_ ( 1 ... k ) )
42		ssfi 7759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... k ) e. Fin /\ { i e. NN | i || k } C_ ( 1 ... k ) ) -> { i e. NN | i || k } e. Fin )
43	39, 41, 42	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { i e. NN | i || k } e. Fin )
44	43, 29, 24, 31	fsumdivc 13612	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
45	38, 44	eqtrd 2498	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
46	45	sumeq2dv 13536	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
47		rprege0 11259	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
48	47	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
49		resqrtth 13100	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) = x )
50	48, 49	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) = x )
51	50	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) = ( |_ ` x ) )
52	51	oveq2d 6312	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
53	50	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) = ( x / m ) )
54	53	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) = ( |_ ` ( x / m ) ) )
55	54	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) )
56	55	sumeq1d 13534	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
57	56	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
58	52, 57	sumeq12dv 13539	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
59	35, 46, 58	3eqtr4d 2508	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
60	59	mpteq2dva 4543	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) )
61		rpsqrtcl 13109	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
62	61	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
63		eqidd 2458	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) )
64		eqidd 2458	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) = ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) )
65		oveq1 6303	. . . . . . . 8 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( z ^ 2 ) = ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) )
66	65	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) = ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) )
67	66	oveq2d 6312	. . . . . 6 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) )
68	65	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( ( z ^ 2 ) / m ) = ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) )
69	68	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) = ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) )
70	69	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) )
71	70	sumeq1d 13534	. . . . . . 7 |- ( z = ( sqr ` x ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
72	71	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( z = ( sqr ` x ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
73	67, 72	sumeq12dv 13539	. . . . 5 |- ( z = ( sqr ` x ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
74	62, 63, 64, 73	fmptco 6065	. . . 4 |- ( ph -> ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) o. ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) )
75	60, 74	eqtr4d 2501	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) = ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) o. ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) )
76		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
77	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 76	dchrisum0lema 23824	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) )
78	3	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> N e. NN )
79	13	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> X e. W )
80		simprl 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> c e. ( 0 [,) +oo ) )
81		simprrl 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t )
82		simprrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) )
83	1, 2, 78, 4, 5, 6, 8, 79, 76, 80, 81, 82	dchrisum0lem3 23829	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) )
84	83	rexlimdvaa 2950	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) ) )
85	84	exlimdv 1725	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) ) )
86	77, 85	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) )
87		o1f 13363	. . . . . 6 |- ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) --> CC )
88	86, 87	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) --> CC )
89		sumex 13521	. . . . . . 7 |- sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) e. _V
90		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) = ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
91	89, 90	dmmpti 5716	. . . . . 6 |- dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) = RR+
92	91	feq2i 5730	. . . . 5 |- ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) --> CC <-> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : RR+ --> CC )
93	88, 92	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : RR+ --> CC )
94		rpssre 11255	. . . . 5 |- RR+ C_ RR
95	94	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
96		resqcl 12237	. . . . . 6 |- ( t e. RR -> ( t ^ 2 ) e. RR )
97	96	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR )
98		0red 9614	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> 0 e. RR )
99		simplr 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> t e. RR )
100		simplrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( t ^ 2 ) <_ x )
101	47	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
102	101	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
103	102, 49	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) = x )
104	100, 103	breqtrrd 4482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( t ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) )
105	99	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> t e. RR )
106	62	rpred 11281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
107	106	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
108	107	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
109		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> 0 <_ t )
110		sqrtge0 13102	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
111	101, 110	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
112	111	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
113	105, 108, 109, 112	le2sqd 12347	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( t <_ ( sqr ` x ) <-> ( t ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) )
114	104, 113	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> t <_ ( sqr ` x ) )
115	99	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> t e. RR )
116		0red 9614	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> 0 e. RR )
117	107	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
118		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> t <_ 0 )
119	111	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
120	115, 116, 117, 118, 119	letrd 9756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> t <_ ( sqr ` x ) )
121	98, 99, 114, 120	lecasei 9707	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> t <_ ( sqr ` x ) )
122	121	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
123	122	ralrimiva 2871	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> A. x e. RR+ ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
124		breq1 4459	. . . . . . . 8 |- ( c = ( t ^ 2 ) -> ( c <_ x <-> ( t ^ 2 ) <_ x ) )
125	124	imbi1d 317	. . . . . . 7 |- ( c = ( t ^ 2 ) -> ( ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) <-> ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) ) )
126	125	ralbidv 2896	. . . . . 6 |- ( c = ( t ^ 2 ) -> ( A. x e. RR+ ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) <-> A. x e. RR+ ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) ) )
127	126	rspcev 3210	. . . . 5 |- ( ( ( t ^ 2 ) e. RR /\ A. x e. RR+ ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) ) -> E. c e. RR A. x e. RR+ ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
128	97, 123, 127	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> E. c e. RR A. x e. RR+ ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
129	93, 86, 62, 95, 128	o1compt 13421	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) o. ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) e. O(1) )
130	75, 129	eqeltrd 2545	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) e. O(1) )
131	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 15, 130	dchrisum0fno1 23821	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   \ cdif 3468   C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   +oocpnf 9642   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   RR+crp 11245   [,)cico 11556   ...cfz 11697   |_cfl 11929   seqcseq 12109   ^cexp 12168   sqrcsqrt 13077   abscabs 13078   ~~> cli 13318   O(1)co1 13320   sum_csu 13519   || cdvds 13997   Basecbs 14643   0gc0g 14856   ZRHomczrh 18663  ℤ/nℤczn 18666  DChrcdchr 23632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-rpss 6579  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-word 12545  df-concat 12547  df-s1 12548  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-o1 13324  df-lo1 13325  df-sum 13520  df-ef 13814  df-e 13815  df-sin 13816  df-cos 13817  df-pi 13819  df-dvds 13998  df-gcd 14156  df-prm 14229  df-numer 14279  df-denom 14280  df-phi 14307  df-pc 14372  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-qus 14925  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-nsg 16325  df-eqg 16326  df-ghm 16391  df-gim 16433  df-ga 16454  df-cntz 16481  df-oppg 16507  df-od 16679  df-gex 16680  df-pgp 16681  df-lsm 16782  df-pj1 16783  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-cyg 17007  df-dprd 17152  df-dpj 17153  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-cring 17327  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-invr 17447  df-dvr 17458  df-rnghom 17490  df-drng 17524  df-subrg 17553  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744  df-sra 17944  df-rgmod 17945  df-lidl 17946  df-rsp 17947  df-2idl 18006  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-zring 18615  df-zrh 18667  df-zn 18670  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-0p 22202  df-limc 22395  df-dv 22396  df-ply 22710  df-idp 22711  df-coe 22712  df-dgr 22713  df-quot 22812  df-log 23069  df-cxp 23070  df-em 23447  df-cht 23495  df-vma 23496  df-chp 23497  df-ppi 23498  df-mu 23499  df-dchr 23633

This theorem is referenced by:  dchrisumn0  23831  rpvmasum  23836