Theorem dchrisum0 22728

Description: The sum sum_ n e. NN , X ( n ) / n is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption X e. W is contradictory). This is the key result that allows us to eliminate the conditionals from dchrmusum2 22702 and dchrvmasumif 22711. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0	|- -. ph

Distinct variable groups:   y, m, .1.   m, N, y   ph, m   m, Z, y   D, m, y   m, L, y   m, X, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   G( y, m)   W( y, m)

Proof of Theorem dchrisum0

Dummy variables k x z c i t d a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. 2 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
2		rpvmasum.l	. 2 |- L = ( ZRHom ` Z )
3		rpvmasum.a	. 2 |- ( ph -> N e. NN )
4		rpvmasum2.g	. 2 |- G = (DChr ` N )
5		rpvmasum2.d	. 2 |- D = ( Base ` G )
6		rpvmasum2.1	. 2 |- .1. = ( 0g ` G )
7		eqid 2441	. 2 |- ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) = ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) )
8		rpvmasum2.w	. . . . 5 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
9		ssrab2 3434	. . . . 5 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
10	8, 9	eqsstri 3383	. . . 4 |- W C_ ( D \ { .1. } )
11		difss 3480	. . . 4 |- ( D \ { .1. } ) C_ D
12	10, 11	sstri 3362	. . 3 |- W C_ D
13		dchrisum0.b	. . 3 |- ( ph -> X e. W )
14	12, 13	sseldi 3351	. 2 |- ( ph -> X e. D )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13	dchrisum0re 22721	. 2 |- ( ph -> X : ( Base ` Z ) --> RR )
16		fveq2 5688	. . . . . . . 8 |- ( k = ( m x. d ) -> ( sqr ` k ) = ( sqr ` ( m x. d ) ) )
17	16	oveq2d 6106	. . . . . . 7 |- ( k = ( m x. d ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
18		rpre 10993	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
19	18	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
20	14	ad3antrrr 724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> X e. D )
21		elrabi 3111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. { i e. NN | i || k } -> m e. NN )
22	21	nnzd 10742	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. { i e. NN | i || k } -> m e. ZZ )
23	22	adantl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> m e. ZZ )
24	4, 1, 5, 2, 20, 23	dchrzrhcl 22543	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
25		elfznn 11474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> k e. NN )
26	25	adantl 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. NN )
27	26	nnrpd 11022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. RR+ )
28	27	rpsqrcld 12894	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` k ) e. RR+ )
29	28	rpcnd 11025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` k ) e. CC )
30	29	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( sqr ` k ) e. CC )
31	28	rpne0d 11028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` k ) =/= 0 )
32	31	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( sqr ` k ) =/= 0 )
33	24, 30, 32	divcld 10103	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) e. CC )
34	33	anasss 642	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) e. CC )
35	17, 19, 34	dvdsflsumcom 22487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dchrisum0fval 22713	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) )
37	26, 36	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) )
38	37	oveq1d 6105	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = ( sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
39		fzfid 11791	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
40		sgmss 22403	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> { i e. NN | i || k } C_ ( 1 ... k ) )
41	26, 40	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { i e. NN | i || k } C_ ( 1 ... k ) )
42		ssfi 7529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... k ) e. Fin /\ { i e. NN | i || k } C_ ( 1 ... k ) ) -> { i e. NN | i || k } e. Fin )
43	39, 41, 42	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { i e. NN | i || k } e. Fin )
44	43, 29, 24, 31	fsumdivc 13249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
45	38, 44	eqtrd 2473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
46	45	sumeq2dv 13176	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
47		rprege0 11001	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
48	47	adantl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
49		resqrth 12741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) = x )
50	48, 49	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) = x )
51	50	fveq2d 5692	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) = ( |_ ` x ) )
52	51	oveq2d 6106	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
53	50	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) = ( x / m ) )
54	53	fveq2d 5692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) = ( |_ ` ( x / m ) ) )
55	54	oveq2d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) )
56	55	sumeq1d 13174	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
57	56	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
58	52, 57	sumeq12dv 13179	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
59	35, 46, 58	3eqtr4d 2483	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
60	59	mpteq2dva 4375	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) )
61		rpsqrcl 12750	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
62	61	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
63		eqidd 2442	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) )
64		eqidd 2442	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) = ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) )
65		oveq1 6097	. . . . . . . 8 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( z ^ 2 ) = ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) )
66	65	fveq2d 5692	. . . . . . 7 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) = ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) )
67	66	oveq2d 6106	. . . . . 6 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) )
68	65	oveq1d 6105	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( ( z ^ 2 ) / m ) = ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) )
69	68	fveq2d 5692	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) = ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) )
70	69	oveq2d 6106	. . . . . . . 8 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) )
71	70	sumeq1d 13174	. . . . . . 7 |- ( z = ( sqr ` x ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
72	71	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( z = ( sqr ` x ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
73	67, 72	sumeq12dv 13179	. . . . 5 |- ( z = ( sqr ` x ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
74	62, 63, 64, 73	fmptco 5873	. . . 4 |- ( ph -> ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) o. ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) )
75	60, 74	eqtr4d 2476	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) = ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) o. ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) )
76		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
77	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 76	dchrisum0lema 22722	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) )
78	3	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> N e. NN )
79	13	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> X e. W )
80		simprl 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> c e. ( 0 [,) +oo ) )
81		simprrl 758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t )
82		simprrr 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) )
83	1, 2, 78, 4, 5, 6, 8, 79, 76, 80, 81, 82	dchrisum0lem3 22727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) )
84	83	rexlimdvaa 2840	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) ) )
85	84	exlimdv 1695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) ) )
86	77, 85	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) )
87		o1f 13003	. . . . . 6 |- ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) --> CC )
88	86, 87	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) --> CC )
89		sumex 13161	. . . . . . 7 |- sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) e. _V
90		eqid 2441	. . . . . . 7 |- ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) = ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
91	89, 90	dmmpti 5537	. . . . . 6 |- dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) = RR+
92	91	feq2i 5549	. . . . 5 |- ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) --> CC <-> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : RR+ --> CC )
93	88, 92	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : RR+ --> CC )
94		rpssre 10997	. . . . 5 |- RR+ C_ RR
95	94	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
96		resqcl 11929	. . . . . 6 |- ( t e. RR -> ( t ^ 2 ) e. RR )
97	96	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR )
98		0red 9383	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> 0 e. RR )
99		simplr 749	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> t e. RR )
100		simplrr 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( t ^ 2 ) <_ x )
101	47	ad2antrl 722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
102	101	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
103	102, 49	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) = x )
104	100, 103	breqtrrd 4315	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( t ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) )
105	99	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> t e. RR )
106	62	rpred 11023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
107	106	ad2ant2r 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
108	107	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
109		simpr 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> 0 <_ t )
110		sqrge0 12743	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
111	101, 110	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
112	111	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
113	105, 108, 109, 112	le2sqd 12039	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( t <_ ( sqr ` x ) <-> ( t ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) )
114	104, 113	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> t <_ ( sqr ` x ) )
115	99	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> t e. RR )
116		0red 9383	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> 0 e. RR )
117	107	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
118		simpr 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> t <_ 0 )
119	111	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
120	115, 116, 117, 118, 119	letrd 9524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> t <_ ( sqr ` x ) )
121	98, 99, 114, 120	lecasei 9476	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> t <_ ( sqr ` x ) )
122	121	expr 612	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
123	122	ralrimiva 2797	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> A. x e. RR+ ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
124		breq1 4292	. . . . . . . 8 |- ( c = ( t ^ 2 ) -> ( c <_ x <-> ( t ^ 2 ) <_ x ) )
125	124	imbi1d 317	. . . . . . 7 |- ( c = ( t ^ 2 ) -> ( ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) <-> ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) ) )
126	125	ralbidv 2733	. . . . . 6 |- ( c = ( t ^ 2 ) -> ( A. x e. RR+ ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) <-> A. x e. RR+ ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) ) )
127	126	rspcev 3070	. . . . 5 |- ( ( ( t ^ 2 ) e. RR /\ A. x e. RR+ ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) ) -> E. c e. RR A. x e. RR+ ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
128	97, 123, 127	syl2anc 656	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> E. c e. RR A. x e. RR+ ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
129	93, 86, 62, 95, 128	o1compt 13061	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) o. ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) e. O(1) )
130	75, 129	eqeltrd 2515	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) e. O(1) )
131	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 15, 130	dchrisum0fno1 22719	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   E.wex 1591   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   \ cdif 3322   C_ wss 3325   {csn 3874   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   dom cdm 4836   o. ccom 4840   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   x. cmul 9283   +oocpnf 9411   <_ cle 9415   - cmin 9591   / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   ZZcz 10642   RR+crp 10987   [,)cico 11298   ...cfz 11433   |_cfl 11636   seqcseq 11802   ^cexp 11861   sqrcsqr 12718   abscabs 12719   ~~> cli 12958   O(1)co1 12960   sum_csu 13159   || cdivides 13531   Basecbs 14170   0gc0g 14374   ZRHomczrh 17890  ℤ/nℤczn 17893  DChrcdchr 22530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-rpss 6359  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-ec 7099  df-qs 7103  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-word 12225  df-concat 12227  df-s1 12228  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-o1 12964  df-lo1 12965  df-sum 13160  df-ef 13349  df-e 13350  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-numer 13809  df-denom 13810  df-phi 13837  df-pc 13900  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-divs 14443  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-nsg 15672  df-eqg 15673  df-ghm 15738  df-gim 15780  df-ga 15801  df-cntz 15828  df-oppg 15854  df-od 16025  df-gex 16026  df-pgp 16027  df-lsm 16128  df-pj1 16129  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-cyg 16348  df-dprd 16467  df-dpj 16468  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-rnghom 16796  df-drng 16814  df-subrg 16843  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-lidl 17233  df-rsp 17234  df-2idl 17292  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-zring 17843  df-zrh 17894  df-zn 17897  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-0p 21107  df-limc 21300  df-dv 21301  df-ply 21615  df-idp 21616  df-coe 21617  df-dgr 21618  df-quot 21716  df-log 21967  df-cxp 21968  df-em 22345  df-cht 22393  df-vma 22394  df-chp 22395  df-ppi 22396  df-mu 22397  df-dchr 22531

This theorem is referenced by:  dchrisumn0  22729  rpvmasum  22734