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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dchrisum0 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The sum ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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rpvmasum.z |
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rpvmasum.l |
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rpvmasum.a |
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rpvmasum2.g |
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rpvmasum2.d |
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rpvmasum2.1 |
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rpvmasum2.w |
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dchrisum0.b |
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Ref | Expression |
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dchrisum0 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | rpvmasum.z |
. 2
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2 | rpvmasum.l |
. 2
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3 | rpvmasum.a |
. 2
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4 | rpvmasum2.g |
. 2
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5 | rpvmasum2.d |
. 2
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6 | rpvmasum2.1 |
. 2
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7 | eqid 2471 |
. 2
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8 | rpvmasum2.w |
. . . . 5
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9 | ssrab2 3500 |
. . . . 5
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10 | 8, 9 | eqsstri 3448 |
. . . 4
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11 | difss 3549 |
. . . 4
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12 | 10, 11 | sstri 3427 |
. . 3
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13 | dchrisum0.b |
. . 3
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14 | 12, 13 | sseldi 3416 |
. 2
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15 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13 | dchrisum0re 24430 |
. 2
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16 | fveq2 5879 |
. . . . . . . 8
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17 | 16 | oveq2d 6324 |
. . . . . . 7
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18 | rpre 11331 |
. . . . . . . 8
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19 | 18 | adantl 473 |
. . . . . . 7
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20 | 14 | ad3antrrr 744 |
. . . . . . . . . 10
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21 | elrabi 3181 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | 21 | nnzd 11062 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 22 | adantl 473 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 4, 1, 5, 2, 20, 23 | dchrzrhcl 24252 |
. . . . . . . . 9
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25 | elfznn 11854 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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26 | 25 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . . . 13
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27 | 26 | nnrpd 11362 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | 27 | rpsqrtcld 13550 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 28 | rpcnd 11366 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 29 | adantr 472 |
. . . . . . . . 9
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31 | 28 | rpne0d 11369 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 31 | adantr 472 |
. . . . . . . . 9
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33 | 24, 30, 32 | divcld 10405 |
. . . . . . . 8
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34 | 33 | anasss 659 |
. . . . . . 7
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35 | 17, 19, 34 | dvdsflsumcom 24196 |
. . . . . 6
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36 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | dchrisum0fval 24422 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 26, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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38 | 37 | oveq1d 6323 |
. . . . . . . 8
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39 | fzfid 12224 |
. . . . . . . . . 10
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40 | sgmss 24112 |
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41 | 26, 40 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
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42 | ssfi 7810 |
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43 | 39, 41, 42 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . 9
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44 | 43, 29, 24, 31 | fsumdivc 13924 |
. . . . . . . 8
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45 | 38, 44 | eqtrd 2505 |
. . . . . . 7
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46 | 45 | sumeq2dv 13846 |
. . . . . 6
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47 | rprege0 11339 |
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48 | 47 | adantl 473 |
. . . . . . . . . 10
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49 | resqrtth 13396 |
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50 | 48, 49 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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51 | 50 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . 8
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52 | 51 | oveq2d 6324 |
. . . . . . 7
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53 | 50 | oveq1d 6323 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | 53 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 54 | oveq2d 6324 |
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83 | 1, 2, 78, 4, 5, 6, 8, 79, 76, 80, 81, 82 | dchrisum0lem3 24436 |
. . . . . . . . 9
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88 | 86, 87 | syl 17 |
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89 | sumex 13831 |
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90 | eqid 2471 |
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94 | rpssre 11335 |
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95 | 94 | a1i 11 |
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96 | resqcl 12380 |
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97 | 96 | adantl 473 |
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. . . . . . . . 9
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114 | 104, 113 | mpbird 240 |
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115 | 99 | adantr 472 |
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116 | 0red 9662 |
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117 | 107 | adantr 472 |
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118 | simpr 468 |
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119 | 111 | adantr 472 |
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120 | 115, 116, 117, 118, 119 | letrd 9809 |
. . . . . . . 8
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121 | 98, 99, 114, 120 | lecasei 9758 |
. . . . . . 7
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122 | 121 | expr 626 |
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123 | 122 | ralrimiva 2809 |
. . . . 5
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124 | breq1 4398 |
. . . . . . . 8
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125 | 124 | imbi1d 324 |
. . . . . . 7
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126 | 125 | ralbidv 2829 |
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127 | 126 | rspcev 3136 |
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128 | 97, 123, 127 | syl2anc 673 |
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129 | 93, 86, 62, 95, 128 | o1compt 13728 |
. . 3
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130 | 75, 129 | eqeltrd 2549 |
. 2
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131 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 15, 130 | dchrisum0fno1 24428 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-inf2 8164 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 ax-pre-sup 9635 ax-addf 9636 ax-mulf 9637 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-fal 1458 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rmo 2764 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-iun 4271 df-iin 4272 df-disj 4367 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-se 4799 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-isom 5598 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-of 6550 df-rpss 6590 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-supp 6934 df-tpos 6991 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-1o 7200 df-2o 7201 df-oadd 7204 df-omul 7205 df-er 7381 df-ec 7383 df-qs 7387 df-map 7492 df-pm 7493 df-ixp 7541 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-fin 7591 df-fsupp 7902 df-fi 7943 df-sup 7974 df-inf 7975 df-oi 8043 df-card 8391 df-acn 8394 df-cda 8616 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-div 10292 df-nn 10632 df-2 10690 df-3 10691 df-4 10692 df-5 10693 df-6 10694 df-7 10695 df-8 10696 df-9 10697 df-10 10698 df-n0 10894 df-z 10962 df-dec 11075 df-uz 11183 df-q 11288 df-rp 11326 df-xneg 11432 df-xadd 11433 df-xmul 11434 df-ioo 11664 df-ioc 11665 df-ico 11666 df-icc 11667 df-fz 11811 df-fzo 11943 df-fl 12061 df-mod 12130 df-seq 12252 df-exp 12311 df-fac 12498 df-bc 12526 df-hash 12554 df-word 12711 df-concat 12713 df-s1 12714 df-shft 13207 df-cj 13239 df-re 13240 df-im 13241 df-sqrt 13375 df-abs 13376 df-limsup 13603 df-clim 13629 df-rlim 13630 df-o1 13631 df-lo1 13632 df-sum 13830 df-ef 14198 df-e 14199 df-sin 14200 df-cos 14201 df-pi 14203 df-dvds 14383 df-gcd 14548 df-prm 14702 df-numer 14763 df-denom 14764 df-phi 14793 df-pc 14866 df-struct 15201 df-ndx 15202 df-slot 15203 df-base 15204 df-sets 15205 df-ress 15206 df-plusg 15281 df-mulr 15282 df-starv 15283 df-sca 15284 df-vsca 15285 df-ip 15286 df-tset 15287 df-ple 15288 df-ds 15290 df-unif 15291 df-hom 15292 df-cco 15293 df-rest 15399 df-topn 15400 df-0g 15418 df-gsum 15419 df-topgen 15420 df-pt 15421 df-prds 15424 df-xrs 15478 df-qtop 15484 df-imas 15485 df-qus 15487 df-xps 15488 df-mre 15570 df-mrc 15571 df-acs 15573 df-mgm 16566 df-sgrp 16605 df-mnd 16615 df-mhm 16660 df-submnd 16661 df-grp 16751 df-minusg 16752 df-sbg 16753 df-mulg 16754 df-subg 16892 df-nsg 16893 df-eqg 16894 df-ghm 16959 df-gim 17001 df-ga 17022 df-cntz 17049 df-oppg 17075 df-od 17250 df-gex 17252 df-pgp 17254 df-lsm 17366 df-pj1 17367 df-cmn 17510 df-abl 17511 df-cyg 17591 df-dprd 17705 df-dpj 17706 df-mgp 17802 df-ur 17814 df-ring 17860 df-cring 17861 df-oppr 17929 df-dvdsr 17947 df-unit 17948 df-invr 17978 df-dvr 17989 df-rnghom 18021 df-drng 18055 df-subrg 18084 df-lmod 18171 df-lss 18234 df-lsp 18273 df-sra 18473 df-rgmod 18474 df-lidl 18475 df-rsp 18476 df-2idl 18533 df-psmet 19039 df-xmet 19040 df-met 19041 df-bl 19042 df-mopn 19043 df-fbas 19044 df-fg 19045 df-cnfld 19048 df-zring 19117 df-zrh 19152 df-zn 19155 df-top 19998 df-bases 19999 df-topon 20000 df-topsp 20001 df-cld 20111 df-ntr 20112 df-cls 20113 df-nei 20191 df-lp 20229 df-perf 20230 df-cn 20320 df-cnp 20321 df-haus 20408 df-cmp 20479 df-tx 20654 df-hmeo 20847 df-fil 20939 df-fm 21031 df-flim 21032 df-flf 21033 df-xms 21413 df-ms 21414 df-tms 21415 df-cncf 21988 df-0p 22707 df-limc 22900 df-dv 22901 df-ply 23221 df-idp 23222 df-coe 23223 df-dgr 23224 df-quot 23323 df-log 23585 df-cxp 23586 df-em 23997 df-cht 24102 df-vma 24103 df-chp 24104 df-ppi 24105 df-mu 24106 df-dchr 24240 |
This theorem is referenced by: dchrisumn0 24438 rpvmasum 24443 |
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