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Theorem dchrisum0 24345
Description: The sum  sum_ n  e.  NN ,  X ( n )  /  n is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption  X  e.  W is contradictory). This is the key result that allows us to eliminate the conditionals from dchrmusum2 24319 and dchrvmasumif 24328. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    y, m,  .1.    m, N, y    ph, m    m, Z, y    D, m, y    m, L, y   
m, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y)    G( y, m)    W( y, m)

Proof of Theorem dchrisum0
Dummy variables  k  x  z  c  i 
t  d  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . 2  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . 2  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 rpvmasum2.g . 2  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum2.d . 2  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 rpvmasum2.1 . 2  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 eqid 2422 . 2  |-  ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  b }  ( X `  ( L `  y )
) )  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) )
8 rpvmasum2.w . . . . 5  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
9 ssrab2 3546 . . . . 5  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
108, 9eqsstri 3494 . . . 4  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
11 difss 3592 . . . 4  |-  ( D 
\  {  .1.  }
)  C_  D
1210, 11sstri 3473 . . 3  |-  W  C_  D
13 dchrisum0.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
1412, 13sseldi 3462 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13dchrisum0re 24338 . 2  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
16 fveq2 5878 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( m  x.  d )  ->  ( sqr `  k )  =  ( sqr `  (
m  x.  d ) ) )
1716oveq2d 6318 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( m  x.  d )  ->  (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  k ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
18 rpre 11309 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
1918adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
2014ad3antrrr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  X  e.  D )
21 elrabi 3226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  ->  m  e.  NN )
2221nnzd 11040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  ->  m  e.  ZZ )
2322adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  m  e.  ZZ )
244, 1, 5, 2, 20, 23dchrzrhcl 24160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
25 elfznn 11829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  k  e.  NN )
2625adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  NN )
2726nnrpd 11340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  RR+ )
2827rpsqrtcld 13462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  k )  e.  RR+ )
2928rpcnd 11344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  k )  e.  CC )
3029adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  ( sqr `  k )  e.  CC )
3128rpne0d 11347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  k )  =/=  0
)
3231adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  ( sqr `  k )  =/=  0
)
3324, 30, 32divcld 10384 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k }
)  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  k
) )  e.  CC )
3433anasss 651 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k } ) )  -> 
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  k ) )  e.  CC )
3517, 19, 34dvdsflsumcom 24104 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  k ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7dchrisum0fval 24330 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) ) `
 k )  = 
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  ( X `  ( L `  m ) ) )
3726, 36syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) ) `
 k )  = 
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  ( X `  ( L `  m ) ) )
3837oveq1d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) ) `
 k )  / 
( sqr `  k
) )  =  (
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  k
) ) )
39 fzfid 12186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
40 sgmss 24020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  C_  ( 1 ... k
) )
4126, 40syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  C_  ( 1 ... k ) )
42 ssfi 7795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... k
)  e.  Fin  /\  { i  e.  NN  | 
i  ||  k }  C_  ( 1 ... k
) )  ->  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  e.  Fin )
4339, 41, 42syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  e.  Fin )
4443, 29, 24, 31fsumdivc 13835 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  ( X `  ( L `  m
) )  /  ( sqr `  k ) )  =  sum_ m  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  k } 
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  k ) ) )
4538, 44eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  b }  ( X `  ( L `  y ) ) ) `
 k )  / 
( sqr `  k
) )  =  sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  k }  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  k
) ) )
4645sumeq2dv 13757 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  b }  ( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  { i  e.  NN  |  i 
||  k }  (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  k ) ) )
47 rprege0 11317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
4847adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
49 resqrtth 13308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( ( sqr `  x
) ^ 2 )  =  x )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  x ) ^
2 )  =  x )
5150fveq2d 5882 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) )  =  ( |_
`  x ) )
5251oveq2d 6318 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) ) )  =  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )
5350oveq1d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( sqr `  x
) ^ 2 )  /  m )  =  ( x  /  m
) )
5453fveq2d 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) )  =  ( |_
`  ( x  /  m ) ) )
5554oveq2d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  m ) ) ) )
5655sumeq1d 13755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
5756adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
5852, 57sumeq12dv 13760 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  (
m  x.  d ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
5935, 46, 583eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  { i  e.  NN  |  i  ||  b }  ( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
6059mpteq2dva 4507 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  b } 
( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  (
m  x.  d ) ) ) ) )
61 rpsqrtcl 13317 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
6261adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
63 eqidd 2423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x ) ) )
64 eqidd 2423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) )
65 oveq1 6309 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( z ^ 2 )  =  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) )
6665fveq2d 5882 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( |_ `  ( z ^ 2 ) )  =  ( |_ `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) )
6766oveq2d 6318 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) ) ) )
6865oveq1d 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( (
z ^ 2 )  /  m )  =  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) )
6968fveq2d 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) )  =  ( |_ `  ( ( ( sqr `  x
) ^ 2 )  /  m ) ) )
7069oveq2d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) )
7170sumeq1d 13755 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
7271adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( z  =  ( sqr `  x )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
7367, 72sumeq12dv 13760 . . . . 5  |-  ( z  =  ( sqr `  x
)  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
7462, 63, 64, 73fmptco 6068 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  o.  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( sqr `  x
) ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( ( sqr `  x ) ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) )
7560, 74eqtr4d 2466 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  b } 
( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) )  =  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  o.  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x
) ) ) )
76 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
771, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 76dchrisum0lema 24339 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
( sqr `  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) ) )
783adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
( sqr `  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
7913adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
( sqr `  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) ) ) )  ->  X  e.  W )
80 simprl 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
( sqr `  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) ) ) )  -> 
c  e.  ( 0 [,) +oo ) )
81 simprrl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
( sqr `  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) ) ) )  ->  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t )
82 simprrr 773 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
( sqr `  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  (
1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
( sqr `  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) )
831, 2, 78, 4, 5, 6, 8, 79, 76, 80, 81, 82dchrisum0lem3 24344 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
( sqr `  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) ) ) )  -> 
( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O(1) )
8483rexlimdvaa 2918 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
( sqr `  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) )  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O(1) ) )
8584exlimdv 1768 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
( sqr `  a
) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
( sqr `  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) )  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O(1) ) )
8677, 85mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O(1) )
87 o1f 13581 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O(1)  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : dom  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) --> CC )
8886, 87syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : dom  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) --> CC )
89 sumex 13742 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  e. 
_V
90 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )
9189, 90dmmpti 5722 . . . . . 6  |-  dom  (
z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  RR+
9291feq2i 5736 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : dom  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) --> CC  <->  ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : RR+ --> CC )
9388, 92sylib 199 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( z ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) ) : RR+ --> CC )
94 rpssre 11313 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
9594a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
96 resqcl 12342 . . . . . 6  |-  ( t  e.  RR  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
9796adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( t ^ 2 )  e.  RR )
98 0red 9645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  0  e.  RR )
99 simplr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  t  e.  RR )
100 simplrr 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( t ^ 2 )  <_  x )
10147ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
102101adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
103102, 49syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( ( sqr `  x ) ^
2 )  =  x )
104100, 103breqtrrd 4447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( t ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  x
) ^ 2 ) )
10599adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  t  e.  RR )
10662rpred 11342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
107106ad2ant2r 751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  ( sqr `  x
)  e.  RR )
108107adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
109 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  0  <_  t )
110 sqrtge0 13310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
0  <_  ( sqr `  x ) )
111101, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  0  <_  ( sqr `  x ) )
112111adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  0  <_  ( sqr `  x ) )
113105, 108, 109, 112le2sqd 12451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  ( t  <_  ( sqr `  x
)  <->  ( t ^
2 )  <_  (
( sqr `  x
) ^ 2 ) ) )
114104, 113mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  0  <_  t )  ->  t  <_  ( sqr `  x ) )
11599adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  t  e.  RR )
116 0red 9645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
117107adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
118 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  t  <_  0 )
119111adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  0  <_  ( sqr `  x ) )
120115, 116, 117, 118, 119letrd 9793 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR+  /\  ( t ^ 2 )  <_  x )
)  /\  t  <_  0 )  ->  t  <_  ( sqr `  x ) )
12198, 99, 114, 120lecasei 9741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR+  /\  (
t ^ 2 )  <_  x ) )  ->  t  <_  ( sqr `  x ) )
122121expr 618 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) ) )
123122ralrimiva 2839 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x ) ) )
124 breq1 4423 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( t ^
2 )  ->  (
c  <_  x  <->  ( t ^ 2 )  <_  x ) )
125124imbi1d 318 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( t ^
2 )  ->  (
( c  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x ) )  <->  ( (
t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) ) ) )
126125ralbidv 2864 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( t ^
2 )  ->  ( A. x  e.  RR+  (
c  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) )  <->  A. x  e.  RR+  ( ( t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x ) ) ) )
127126rspcev 3182 . . . . 5  |-  ( ( ( t ^ 2 )  e.  RR  /\  A. x  e.  RR+  (
( t ^ 2 )  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) ) )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  RR+  (
c  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x
) ) )
12897, 123, 127syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  E. c  e.  RR  A. x  e.  RR+  ( c  <_  x  ->  t  <_  ( sqr `  x ) ) )
12993, 86, 62, 95, 128o1compt 13639 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( z ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( z ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  o.  ( x  e.  RR+  |->  ( sqr `  x
) ) )  e.  O(1) )
13075, 129eqeltrd 2510 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( b  e.  NN  |->  sum_ y  e.  {
i  e.  NN  | 
i  ||  b } 
( X `  ( L `  y )
) ) `  k
)  /  ( sqr `  k ) ) )  e.  O(1) )
1311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 15, 130dchrisum0fno1 24336 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779    \ cdif 3433    C_ wss 3436   {csn 3996   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   dom cdm 4850    o. ccom 4854   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Fincfn 7574   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545   +oocpnf 9673    <_ cle 9677    - cmin 9861    / cdiv 10270   NNcn 10610   2c2 10660   ZZcz 10938   RR+crp 11303   [,)cico 11638   ...cfz 11785   |_cfl 12026    seqcseq 12213   ^cexp 12272   sqrcsqrt 13285   abscabs 13286    ~~> cli 13536   O(1)co1 13538   sum_csu 13740    || cdvds 14293   Basecbs 15109   0gc0g 15326   ZRHomczrh 19058  ℤ/nczn 19061  DChrcdchr 24147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-rpss 6582  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-ec 7370  df-qs 7374  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-acn 8378  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-ioc 11641  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-word 12657  df-concat 12659  df-s1 12660  df-shft 13119  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-limsup 13514  df-clim 13540  df-rlim 13541  df-o1 13542  df-lo1 13543  df-sum 13741  df-ef 14109  df-e 14110  df-sin 14111  df-cos 14112  df-pi 14114  df-dvds 14294  df-gcd 14457  df-prm 14611  df-numer 14672  df-denom 14673  df-phi 14702  df-pc 14775  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-qus 15397  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-mhm 16570  df-submnd 16571  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-sbg 16663  df-mulg 16664  df-subg 16802  df-nsg 16803  df-eqg 16804  df-ghm 16869  df-gim 16911  df-ga 16932  df-cntz 16959  df-oppg 16985  df-od 17160  df-gex 17162  df-pgp 17164  df-lsm 17276  df-pj1 17277  df-cmn 17420  df-abl 17421  df-cyg 17501  df-dprd 17615  df-dpj 17616  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-ring 17770  df-cring 17771  df-oppr 17839  df-dvdsr 17857  df-unit 17858  df-invr 17888  df-dvr 17899  df-rnghom 17931  df-drng 17965  df-subrg 17994  df-lmod 18081  df-lss 18144  df-lsp 18183  df-sra 18383  df-rgmod 18384  df-lidl 18385  df-rsp 18386  df-2idl 18444  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-cnfld 18959  df-zring 19027  df-zrh 19062  df-zn 19065  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-perf 20140  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-haus 20318  df-cmp 20389  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-cncf 21897  df-0p 22615  df-limc 22808  df-dv 22809  df-ply 23129  df-idp 23130  df-coe 23131  df-dgr 23132  df-quot 23231  df-log 23493  df-cxp 23494  df-em 23905  df-cht 24010  df-vma 24011  df-chp 24012  df-ppi 24013  df-mu 24014  df-dchr 24148
This theorem is referenced by:  dchrisumn0  24346  rpvmasum  24351
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