Theorem dchrisum0 21167

Description: The sum sum_ n e. NN , X ( n ) / n is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption X e. W is contradictory). This is the key result that allows us to eliminate the conditionals from dchrmusum2 21141 and dchrvmasumif 21150. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0	|- -. ph

Distinct variable groups:   y, m, .1.   m, N, y   ph, m   m, Z, y   D, m, y   m, L, y   m, X, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   G( y, m)   W( y, m)

Proof of Theorem dchrisum0

Dummy variables k x z c i t d a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. 2 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
2		rpvmasum.l	. 2 |- L = ( ZRHom ` Z )
3		rpvmasum.a	. 2 |- ( ph -> N e. NN )
4		rpvmasum2.g	. 2 |- G = (DChr ` N )
5		rpvmasum2.d	. 2 |- D = ( Base ` G )
6		rpvmasum2.1	. 2 |- .1. = ( 0g ` G )
7		eqid 2404	. 2 |- ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) = ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) )
8		rpvmasum2.w	. . . . 5 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
9		ssrab2 3388	. . . . 5 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
10	8, 9	eqsstri 3338	. . . 4 |- W C_ ( D \ { .1. } )
11		difss 3434	. . . 4 |- ( D \ { .1. } ) C_ D
12	10, 11	sstri 3317	. . 3 |- W C_ D
13		dchrisum0.b	. . 3 |- ( ph -> X e. W )
14	12, 13	sseldi 3306	. 2 |- ( ph -> X e. D )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13	dchrisum0re 21160	. 2 |- ( ph -> X : ( Base ` Z ) --> RR )
16		fveq2 5687	. . . . . . . 8 |- ( k = ( m x. d ) -> ( sqr ` k ) = ( sqr ` ( m x. d ) ) )
17	16	oveq2d 6056	. . . . . . 7 |- ( k = ( m x. d ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
18		rpre 10574	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
19	18	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
20	14	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> X e. D )
21		elrabi 3050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. { i e. NN | i || k } -> m e. NN )
22	21	nnzd 10330	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. { i e. NN | i || k } -> m e. ZZ )
23	22	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> m e. ZZ )
24	4, 1, 5, 2, 20, 23	dchrzrhcl 20982	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
25		elfznn 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> k e. NN )
26	25	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. NN )
27	26	nnrpd 10603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. RR+ )
28	27	rpsqrcld 12169	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` k ) e. RR+ )
29	28	rpcnd 10606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` k ) e. CC )
30	29	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( sqr ` k ) e. CC )
31	28	rpne0d 10609	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` k ) =/= 0 )
32	31	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( sqr ` k ) =/= 0 )
33	24, 30, 32	divcld 9746	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) e. CC )
34	33	anasss 629	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) e. CC )
35	17, 19, 34	dvdsflsumcom 20926	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dchrisum0fval 21152	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) )
37	26, 36	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) )
38	37	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = ( sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
39		fzfid 11267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
40		sgmss 20842	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> { i e. NN | i || k } C_ ( 1 ... k ) )
41	26, 40	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { i e. NN | i || k } C_ ( 1 ... k ) )
42		ssfi 7288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... k ) e. Fin /\ { i e. NN | i || k } C_ ( 1 ... k ) ) -> { i e. NN | i || k } e. Fin )
43	39, 41, 42	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { i e. NN | i || k } e. Fin )
44	43, 29, 24, 31	fsumdivc 12524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
45	38, 44	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
46	45	sumeq2dv 12452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
47		rprege0 10582	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
48	47	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
49		resqrth 12016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) = x )
50	48, 49	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) = x )
51	50	fveq2d 5691	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) = ( |_ ` x ) )
52	51	oveq2d 6056	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
53	50	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) = ( x / m ) )
54	53	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) = ( |_ ` ( x / m ) ) )
55	54	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) )
56	55	sumeq1d 12450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
57	56	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
58	52, 57	sumeq12dv 12455	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
59	35, 46, 58	3eqtr4d 2446	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
60	59	mpteq2dva 4255	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) )
61		rpsqrcl 12025	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
62	61	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
63		eqidd 2405	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) )
64		eqidd 2405	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) = ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) )
65		oveq1 6047	. . . . . . . 8 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( z ^ 2 ) = ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) )
66	65	fveq2d 5691	. . . . . . 7 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) = ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) )
67	66	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) )
68	65	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( ( z ^ 2 ) / m ) = ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) )
69	68	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) = ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) )
70	69	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) )
71	70	sumeq1d 12450	. . . . . . 7 |- ( z = ( sqr ` x ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
72	71	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( z = ( sqr ` x ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
73	67, 72	sumeq12dv 12455	. . . . 5 |- ( z = ( sqr ` x ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
74	62, 63, 64, 73	fmptco 5860	. . . 4 |- ( ph -> ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) o. ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) )
75	60, 74	eqtr4d 2439	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) = ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) o. ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) )
76		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
77	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 76	dchrisum0lema 21161	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) )
78	3	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> N e. NN )
79	13	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> X e. W )
80		simprl 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> c e. ( 0 [,) +oo ) )
81		simprrl 741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t )
82		simprrr 742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) )
83	1, 2, 78, 4, 5, 6, 8, 79, 76, 80, 81, 82	dchrisum0lem3 21166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O ( 1 ) )
84	83	rexlimdvaa 2791	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O ( 1 ) ) )
85	84	exlimdv 1643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O ( 1 ) ) )
86	77, 85	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O ( 1 ) )
87		o1f 12278	. . . . . 6 |- ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O ( 1 ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) --> CC )
88	86, 87	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) --> CC )
89		sumex 12436	. . . . . . 7 |- sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) e. _V
90		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) = ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
91	89, 90	dmmpti 5533	. . . . . 6 |- dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) = RR+
92	91	feq2i 5545	. . . . 5 |- ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) --> CC <-> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : RR+ --> CC )
93	88, 92	sylib 189	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : RR+ --> CC )
94		rpssre 10578	. . . . 5 |- RR+ C_ RR
95	94	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
96		resqcl 11404	. . . . . 6 |- ( t e. RR -> ( t ^ 2 ) e. RR )
97	96	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR )
98		0re 9047	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
99	98	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> 0 e. RR )
100		simplr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> t e. RR )
101		simplrr 738	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( t ^ 2 ) <_ x )
102	47	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
103	102	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
104	103, 49	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) = x )
105	101, 104	breqtrrd 4198	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( t ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) )
106	100	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> t e. RR )
107	62	rpred 10604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
108	107	ad2ant2r 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
109	108	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
110		simpr 448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> 0 <_ t )
111		sqrge0 12018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
112	102, 111	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
113	112	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
114	106, 109, 110, 113	le2sqd 11513	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( t <_ ( sqr ` x ) <-> ( t ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) )
115	105, 114	mpbird 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> t <_ ( sqr ` x ) )
116	100	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> t e. RR )
117	98	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> 0 e. RR )
118	108	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
119		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> t <_ 0 )
120	112	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
121	116, 117, 118, 119, 120	letrd 9183	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> t <_ ( sqr ` x ) )
122	99, 100, 115, 121	lecasei 9135	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> t <_ ( sqr ` x ) )
123	122	expr 599	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
124	123	ralrimiva 2749	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> A. x e. RR+ ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
125		breq1 4175	. . . . . . . 8 |- ( c = ( t ^ 2 ) -> ( c <_ x <-> ( t ^ 2 ) <_ x ) )
126	125	imbi1d 309	. . . . . . 7 |- ( c = ( t ^ 2 ) -> ( ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) <-> ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) ) )
127	126	ralbidv 2686	. . . . . 6 |- ( c = ( t ^ 2 ) -> ( A. x e. RR+ ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) <-> A. x e. RR+ ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) ) )
128	127	rspcev 3012	. . . . 5 |- ( ( ( t ^ 2 ) e. RR /\ A. x e. RR+ ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) ) -> E. c e. RR A. x e. RR+ ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
129	97, 124, 128	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> E. c e. RR A. x e. RR+ ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
130	93, 86, 62, 95, 129	o1compt 12336	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) o. ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) e. O ( 1 ) )
131	75, 130	eqeltrd 2478	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) e. O ( 1 ) )
132	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 15, 131	dchrisum0fno1 21158	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 359   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   \ cdif 3277   C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   dom cdm 4837   o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   +oocpnf 9073   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ZZcz 10238   RR+crp 10568   [,)cico 10874   ...cfz 10999   |_cfl 11156   seq cseq 11278   ^cexp 11337   sqrcsqr 11993   abscabs 11994   ~~> cli 12233   O ( 1 )co1 12235   sum_csu 12434   || cdivides 12807   Basecbs 13424   0gc0g 13678   ZRHomczrh 16733  ℤ/nℤczn 16736  DChrcdchr 20969

This theorem is referenced by:  dchrisumn0  21168  rpvmasum  21173

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-rpss 6481  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-word 11678  df-concat 11679  df-s1 11680  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-o1 12239  df-lo1 12240  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-numer 13082  df-denom 13083  df-phi 13110  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-divs 13690  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-gim 15001  df-ga 15022  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-od 15122  df-gex 15123  df-pgp 15124  df-lsm 15225  df-pj1 15226  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-cyg 15443  df-dprd 15511  df-dpj 15512  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-0p 19515  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ply 20060  df-idp 20061  df-coe 20062  df-dgr 20063  df-quot 20161  df-log 20407  df-cxp 20408  df-em 20784  df-cht 20832  df-vma 20833  df-chp 20834  df-ppi 20835  df-mu 20836  df-dchr 20970