Theorem dchrisum0 24345

Description: The sum sum_ n e. NN , X ( n ) / n is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption X e. W is contradictory). This is the key result that allows us to eliminate the conditionals from dchrmusum2 24319 and dchrvmasumif 24328. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0	|- -. ph

Distinct variable groups:   y, m, .1.   m, N, y   ph, m   m, Z, y   D, m, y   m, L, y   m, X, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   G( y, m)   W( y, m)

Proof of Theorem dchrisum0

Dummy variables k x z c i t d a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. 2 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
2		rpvmasum.l	. 2 |- L = ( ZRHom ` Z )
3		rpvmasum.a	. 2 |- ( ph -> N e. NN )
4		rpvmasum2.g	. 2 |- G = (DChr ` N )
5		rpvmasum2.d	. 2 |- D = ( Base ` G )
6		rpvmasum2.1	. 2 |- .1. = ( 0g ` G )
7		eqid 2422	. 2 |- ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) = ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) )
8		rpvmasum2.w	. . . . 5 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
9		ssrab2 3546	. . . . 5 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
10	8, 9	eqsstri 3494	. . . 4 |- W C_ ( D \ { .1. } )
11		difss 3592	. . . 4 |- ( D \ { .1. } ) C_ D
12	10, 11	sstri 3473	. . 3 |- W C_ D
13		dchrisum0.b	. . 3 |- ( ph -> X e. W )
14	12, 13	sseldi 3462	. 2 |- ( ph -> X e. D )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13	dchrisum0re 24338	. 2 |- ( ph -> X : ( Base ` Z ) --> RR )
16		fveq2 5878	. . . . . . . 8 |- ( k = ( m x. d ) -> ( sqr ` k ) = ( sqr ` ( m x. d ) ) )
17	16	oveq2d 6318	. . . . . . 7 |- ( k = ( m x. d ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
18		rpre 11309	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
19	18	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
20	14	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> X e. D )
21		elrabi 3226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. { i e. NN | i || k } -> m e. NN )
22	21	nnzd 11040	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. { i e. NN | i || k } -> m e. ZZ )
23	22	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> m e. ZZ )
24	4, 1, 5, 2, 20, 23	dchrzrhcl 24160	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
25		elfznn 11829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> k e. NN )
26	25	adantl 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. NN )
27	26	nnrpd 11340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. RR+ )
28	27	rpsqrtcld 13462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` k ) e. RR+ )
29	28	rpcnd 11344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` k ) e. CC )
30	29	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( sqr ` k ) e. CC )
31	28	rpne0d 11347	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` k ) =/= 0 )
32	31	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( sqr ` k ) =/= 0 )
33	24, 30, 32	divcld 10384	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) e. CC )
34	33	anasss 651	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. { i e. NN | i || k } ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) e. CC )
35	17, 19, 34	dvdsflsumcom 24104	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dchrisum0fval 24330	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) )
37	26, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) )
38	37	oveq1d 6317	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = ( sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
39		fzfid 12186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
40		sgmss 24020	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> { i e. NN | i || k } C_ ( 1 ... k ) )
41	26, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { i e. NN | i || k } C_ ( 1 ... k ) )
42		ssfi 7795	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... k ) e. Fin /\ { i e. NN | i || k } C_ ( 1 ... k ) ) -> { i e. NN | i || k } e. Fin )
43	39, 41, 42	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { i e. NN | i || k } e. Fin )
44	43, 29, 24, 31	fsumdivc 13835	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
45	38, 44	eqtrd 2463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
46	45	sumeq2dv 13757	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. { i e. NN | i || k } ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` k ) ) )
47		rprege0 11317	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
48	47	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
49		resqrtth 13308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) = x )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) = x )
51	50	fveq2d 5882	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) = ( |_ ` x ) )
52	51	oveq2d 6318	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
53	50	oveq1d 6317	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) = ( x / m ) )
54	53	fveq2d 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) = ( |_ ` ( x / m ) ) )
55	54	oveq2d 6318	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) )
56	55	sumeq1d 13755	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
57	56	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
58	52, 57	sumeq12dv 13760	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
59	35, 46, 58	3eqtr4d 2473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
60	59	mpteq2dva 4507	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) )
61		rpsqrtcl 13317	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
62	61	adantl 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
63		eqidd 2423	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) )
64		eqidd 2423	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) = ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) )
65		oveq1 6309	. . . . . . . 8 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( z ^ 2 ) = ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) )
66	65	fveq2d 5882	. . . . . . 7 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) = ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) )
67	66	oveq2d 6318	. . . . . 6 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) )
68	65	oveq1d 6317	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( ( z ^ 2 ) / m ) = ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) )
69	68	fveq2d 5882	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) = ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) )
70	69	oveq2d 6318	. . . . . . . 8 |- ( z = ( sqr ` x ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) )
71	70	sumeq1d 13755	. . . . . . 7 |- ( z = ( sqr ` x ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
72	71	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( z = ( sqr ` x ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
73	67, 72	sumeq12dv 13760	. . . . 5 |- ( z = ( sqr ` x ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
74	62, 63, 64, 73	fmptco 6068	. . . 4 |- ( ph -> ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) o. ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) )
75	60, 74	eqtr4d 2466	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) = ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) o. ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) )
76		eqid 2422	. . . . . . . 8 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
77	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 76	dchrisum0lema 24339	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) )
78	3	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> N e. NN )
79	13	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> X e. W )
80		simprl 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> c e. ( 0 [,) +oo ) )
81		simprrl 772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t )
82		simprrr 773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) )
83	1, 2, 78, 4, 5, 6, 8, 79, 76, 80, 81, 82	dchrisum0lem3 24344	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) ) ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) )
84	83	rexlimdvaa 2918	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) ) )
85	84	exlimdv 1768	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / ( sqr ` y ) ) ) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) ) )
86	77, 85	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) )
87		o1f 13581	. . . . . 6 |- ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) e. O(1) -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) --> CC )
88	86, 87	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) --> CC )
89		sumex 13742	. . . . . . 7 |- sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) e. _V
90		eqid 2422	. . . . . . 7 |- ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) = ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) )
91	89, 90	dmmpti 5722	. . . . . 6 |- dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) = RR+
92	91	feq2i 5736	. . . . 5 |- ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : dom ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) --> CC <-> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : RR+ --> CC )
93	88, 92	sylib 199	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) : RR+ --> CC )
94		rpssre 11313	. . . . 5 |- RR+ C_ RR
95	94	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
96		resqcl 12342	. . . . . 6 |- ( t e. RR -> ( t ^ 2 ) e. RR )
97	96	adantl 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR )
98		0red 9645	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> 0 e. RR )
99		simplr 760	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> t e. RR )
100		simplrr 769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( t ^ 2 ) <_ x )
101	47	ad2antrl 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
102	101	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
103	102, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) = x )
104	100, 103	breqtrrd 4447	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( t ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) )
105	99	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> t e. RR )
106	62	rpred 11342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
107	106	ad2ant2r 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
108	107	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
109		simpr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> 0 <_ t )
110		sqrtge0 13310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
111	101, 110	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
112	111	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
113	105, 108, 109, 112	le2sqd 12451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> ( t <_ ( sqr ` x ) <-> ( t ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) )
114	104, 113	mpbird 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ 0 <_ t ) -> t <_ ( sqr ` x ) )
115	99	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> t e. RR )
116		0red 9645	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> 0 e. RR )
117	107	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
118		simpr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> t <_ 0 )
119	111	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> 0 <_ ( sqr ` x ) )
120	115, 116, 117, 118, 119	letrd 9793	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) /\ t <_ 0 ) -> t <_ ( sqr ` x ) )
121	98, 99, 114, 120	lecasei 9741	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ ( x e. RR+ /\ ( t ^ 2 ) <_ x ) ) -> t <_ ( sqr ` x ) )
122	121	expr 618	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
123	122	ralrimiva 2839	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> A. x e. RR+ ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
124		breq1 4423	. . . . . . . 8 |- ( c = ( t ^ 2 ) -> ( c <_ x <-> ( t ^ 2 ) <_ x ) )
125	124	imbi1d 318	. . . . . . 7 |- ( c = ( t ^ 2 ) -> ( ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) <-> ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) ) )
126	125	ralbidv 2864	. . . . . 6 |- ( c = ( t ^ 2 ) -> ( A. x e. RR+ ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) <-> A. x e. RR+ ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) ) )
127	126	rspcev 3182	. . . . 5 |- ( ( ( t ^ 2 ) e. RR /\ A. x e. RR+ ( ( t ^ 2 ) <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) ) -> E. c e. RR A. x e. RR+ ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
128	97, 123, 127	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> E. c e. RR A. x e. RR+ ( c <_ x -> t <_ ( sqr ` x ) ) )
129	93, 86, 62, 95, 128	o1compt 13639	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( z ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( z ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` ( m x. d ) ) ) ) o. ( x e. RR+ |-> ( sqr ` x ) ) ) e. O(1) )
130	75, 129	eqeltrd 2510	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( b e. NN |-> sum_ y e. { i e. NN | i || b } ( X ` ( L ` y ) ) ) ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) e. O(1) )
131	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 15, 130	dchrisum0fno1 24336	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1868   =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779   \ cdif 3433   C_ wss 3436   {csn 3996   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   dom cdm 4850   o. ccom 4854   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Fincfn 7574   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541   + caddc 9543   x. cmul 9545   +oocpnf 9673   <_ cle 9677   - cmin 9861   / cdiv 10270   NNcn 10610   2c2 10660   ZZcz 10938   RR+crp 11303   [,)cico 11638   ...cfz 11785   |_cfl 12026   seqcseq 12213   ^cexp 12272   sqrcsqrt 13285   abscabs 13286   ~~> cli 13536   O(1)co1 13538   sum_csu 13740   || cdvds 14293   Basecbs 15109   0gc0g 15326   ZRHomczrh 19058  ℤ/nℤczn 19061  DChrcdchr 24147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-rpss 6582  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-ec 7370  df-qs 7374  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-acn 8378  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-ioc 11641  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-word 12657  df-concat 12659  df-s1 12660  df-shft 13119  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-limsup 13514  df-clim 13540  df-rlim 13541  df-o1 13542  df-lo1 13543  df-sum 13741  df-ef 14109  df-e 14110  df-sin 14111  df-cos 14112  df-pi 14114  df-dvds 14294  df-gcd 14457  df-prm 14611  df-numer 14672  df-denom 14673  df-phi 14702  df-pc 14775  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-qus 15397  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-mhm 16570  df-submnd 16571  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-sbg 16663  df-mulg 16664  df-subg 16802  df-nsg 16803  df-eqg 16804  df-ghm 16869  df-gim 16911  df-ga 16932  df-cntz 16959  df-oppg 16985  df-od 17160  df-gex 17162  df-pgp 17164  df-lsm 17276  df-pj1 17277  df-cmn 17420  df-abl 17421  df-cyg 17501  df-dprd 17615  df-dpj 17616  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-ring 17770  df-cring 17771  df-oppr 17839  df-dvdsr 17857  df-unit 17858  df-invr 17888  df-dvr 17899  df-rnghom 17931  df-drng 17965  df-subrg 17994  df-lmod 18081  df-lss 18144  df-lsp 18183  df-sra 18383  df-rgmod 18384  df-lidl 18385  df-rsp 18386  df-2idl 18444  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-cnfld 18959  df-zring 19027  df-zrh 19062  df-zn 19065  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-perf 20140  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-haus 20318  df-cmp 20389  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-cncf 21897  df-0p 22615  df-limc 22808  df-dv 22809  df-ply 23129  df-idp 23130  df-coe 23131  df-dgr 23132  df-quot 23231  df-log 23493  df-cxp 23494  df-em 23905  df-cht 24010  df-vma 24011  df-chp 24012  df-ppi 24013  df-mu 24014  df-dchr 24148

This theorem is referenced by:  dchrisumn0  24346  rpvmasum  24351