MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum Structured version   Unicode version

Theorem dchrisum 22746
Description: If  n  e.  [ M , +oo )  |->  A ( n ) is a positive decreasing function approaching zero, then the infinite sum  sum_ n ,  X
( n ) A ( n ) is convergent, with the partial sum  sum_ n  <_  x ,  X ( n ) A ( n ) within  O ( A ( M ) ) of the limit  T. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisum.2  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
dchrisum.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dchrisum.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
dchrisum.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
dchrisum.6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
dchrisum.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
Distinct variable groups:    x, n, c, t,  .1.    F, c, n, t, x    A, c, t, x    N, c, n, t, x    ph, c, n, t, x    B, c, n    n, Z, x    D, c, n, t, x    L, c, n, t, x    M, c, n, x    X, c, n, t, x
Allowed substitution hints:    A( n)    B( x, t)    G( x, t, n, c)    M( t)    Z( t, c)

Proof of Theorem dchrisum
Dummy variables  m  u  i  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 11801 . . 3  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
2 fzofi 11801 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ u )  e.  Fin
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0..^ u )  e.  Fin )
4 rpvmasum.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
6 rpvmasum.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
8 dchrisum.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0..^ u ) )  ->  X  e.  D
)
10 elfzoelz 11558 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 0..^ u )  ->  m  e.  ZZ )
1110adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0..^ u ) )  ->  m  e.  ZZ )
124, 5, 6, 7, 9, 11dchrzrhcl 22589 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0..^ u ) )  ->  ( X `  ( L `  m ) )  e.  CC )
133, 12fsumcl 13215 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) )  e.  CC )
1413abscld 12927 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  e.  RR )
1514ralrimivw 2805 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m )
) )  e.  RR )
16 fimaxre3 10284 . . 3  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r )
171, 15, 16sylancr 663 . 2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r )
18 rpvmasum.a . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1918adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  N  e.  NN )
20 rpvmasum.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
218adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  X  e.  D )
22 dchrisum.n1 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
2322adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  X  =/=  .1.  )
24 dchrisum.2 . . 3  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
25 dchrisum.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2625adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  M  e.  NN )
27 dchrisum.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
2827adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r )
)  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
29 dchrisum.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
30293adant1r 1211 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r )
)  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
31 dchrisum.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
3231adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  (
n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
33 dchrisum.7 . . 3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
34 simprl 755 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  r  e.  RR )
35 simprr 756 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
)
36 fveq2 5696 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( L `  m )  =  ( L `  n ) )
3736fveq2d 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( X `  ( L `  m ) )  =  ( X `  ( L `  n )
) )
3837cbvsumv 13178 . . . . . . . 8  |-  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
)
39 oveq2 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  i  ->  (
0..^ u )  =  ( 0..^ i ) )
4039sumeq1d 13183 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  i  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n )
) )
4138, 40syl5eq 2487 . . . . . . 7  |-  ( u  =  i  ->  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n )
) )
4241fveq2d 5700 . . . . . 6  |-  ( u  =  i  ->  ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `
 n ) ) ) )
4342breq1d 4307 . . . . 5  |-  ( u  =  i  ->  (
( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r  <->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n )
) )  <_  r
) )
4443cbvralv 2952 . . . 4  |-  ( A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r  <->  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n ) ) )  <_  r
)
4535, 44sylib 196 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n ) ) )  <_  r
)
465, 7, 19, 4, 6, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 32, 33, 34, 45dchrisumlem3 22745 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  E. t E. c  e.  (
0 [,) +oo )
(  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  B ) ) )
4717, 46rexlimddv 2850 1  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Fincfn 7315   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292   +oocpnf 9420    <_ cle 9424    - cmin 9600   NNcn 10327   ZZcz 10651   RR+crp 10996   [,)cico 11307  ..^cfzo 11553   |_cfl 11645    seqcseq 11811   abscabs 12728    ~~> cli 12967    ~~> r crli 12968   sum_csu 13168   Basecbs 14179   0gc0g 14383   ZRHomczrh 17936  ℤ/nczn 17939  DChrcdchr 22576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-ec 7108  df-qs 7112  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-rp 10997  df-ico 11311  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-dvds 13541  df-gcd 13696  df-phi 13846  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-0g 14385  df-imas 14451  df-divs 14452  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-nsg 15684  df-eqg 15685  df-ghm 15750  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-rnghom 16811  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lsp 17058  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-lidl 17260  df-rsp 17261  df-2idl 17319  df-cnfld 17824  df-zring 17889  df-zrh 17940  df-zn 17943  df-dchr 22577
This theorem is referenced by:  dchrmusumlema  22747  dchrvmasumlema  22754  dchrisum0lema  22768
  Copyright terms: Public domain W3C validator