Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum Structured version   Unicode version

Theorem dchrisum 23542
 Description: If is a positive decreasing function approaching zero, then the infinite sum is convergent, with the partial sum within of the limit . Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum.g DChr
rpvmasum.d
rpvmasum.1
dchrisum.b
dchrisum.n1
dchrisum.2
dchrisum.3
dchrisum.4
dchrisum.5
dchrisum.6
dchrisum.7
Assertion
Ref Expression
dchrisum
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,,,)   ()   (,)

Proof of Theorem dchrisum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 12058 . . 3 ..^
2 fzofi 12058 . . . . . . 7 ..^
32a1i 11 . . . . . 6 ..^
4 rpvmasum.g . . . . . . 7 DChr
5 rpvmasum.z . . . . . . 7 ℤ/n
6 rpvmasum.d . . . . . . 7
7 rpvmasum.l . . . . . . 7 RHom
8 dchrisum.b . . . . . . . 8
98adantr 465 . . . . . . 7 ..^
10 elfzoelz 11803 . . . . . . . 8 ..^
1110adantl 466 . . . . . . 7 ..^
124, 5, 6, 7, 9, 11dchrzrhcl 23385 . . . . . 6 ..^
133, 12fsumcl 13529 . . . . 5 ..^
1413abscld 13241 . . . 4 ..^
1514ralrimivw 2856 . . 3 ..^ ..^
16 fimaxre3 10493 . . 3 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
171, 15, 16sylancr 663 . 2 ..^ ..^
18 rpvmasum.a . . . 4
1918adantr 465 . . 3 ..^ ..^
20 rpvmasum.1 . . 3
218adantr 465 . . 3 ..^ ..^
22 dchrisum.n1 . . . 4
2322adantr 465 . . 3 ..^ ..^
24 dchrisum.2 . . 3
25 dchrisum.3 . . . 4
2625adantr 465 . . 3 ..^ ..^
27 dchrisum.4 . . . 4
2827adantlr 714 . . 3 ..^ ..^
29 dchrisum.5 . . . 4
30293adant1r 1220 . . 3 ..^ ..^
31 dchrisum.6 . . . 4
3231adantr 465 . . 3 ..^ ..^
33 dchrisum.7 . . 3
34 simprl 755 . . 3 ..^ ..^
35 simprr 756 . . . 4 ..^ ..^ ..^ ..^
36 fveq2 5852 . . . . . . . . . 10
3736fveq2d 5856 . . . . . . . . 9
3837cbvsumv 13492 . . . . . . . 8 ..^ ..^
39 oveq2 6285 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
4039sumeq1d 13497 . . . . . . . 8 ..^ ..^
4138, 40syl5eq 2494 . . . . . . 7 ..^ ..^
4241fveq2d 5856 . . . . . 6 ..^ ..^
4342breq1d 4443 . . . . 5 ..^ ..^
4443cbvralv 3068 . . . 4 ..^ ..^ ..^ ..^
4535, 44sylib 196 . . 3 ..^ ..^ ..^ ..^
465, 7, 19, 4, 6, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 32, 33, 34, 45dchrisumlem3 23541 . 2 ..^ ..^
4717, 46rexlimddv 2937 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 972   wceq 1381  wex 1597   wcel 1802   wne 2636  wral 2791  wrex 2792   class class class wbr 4433   cmpt 4491  cfv 5574  (class class class)co 6277  cfn 7514  cr 9489  cc0 9490  c1 9491   caddc 9493   cmul 9495   cpnf 9623   cle 9627   cmin 9805  cn 10537  cz 10865  crp 11224  cico 11535  ..^cfzo 11798  cfl 11901   cseq 12081  cabs 13041   cli 13281   crli 13282  csu 13482  cbs 14504  c0g 14709  RHomczrh 18404  ℤ/nℤczn 18407  DChrcdchr 23372 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6953  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-ec 7311  df-qs 7315  df-map 7420  df-pm 7421  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-rp 11225  df-ico 11539  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-dvds 13859  df-gcd 14017  df-phi 14168  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-0g 14711  df-imas 14777  df-qus 14778  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-mhm 15835  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-sbg 15928  df-mulg 15929  df-subg 16067  df-nsg 16068  df-eqg 16069  df-ghm 16134  df-cmn 16669  df-abl 16670  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-cring 17069  df-oppr 17140  df-dvdsr 17158  df-unit 17159  df-invr 17189  df-rnghom 17232  df-subrg 17295  df-lmod 17382  df-lss 17447  df-lsp 17486  df-sra 17686  df-rgmod 17687  df-lidl 17688  df-rsp 17689  df-2idl 17748  df-cnfld 18289  df-zring 18357  df-zrh 18408  df-zn 18411  df-dchr 23373 This theorem is referenced by:  dchrmusumlema  23543  dchrvmasumlema  23550  dchrisum0lema  23564
 Copyright terms: Public domain W3C validator