Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrinvcl Structured version   Unicode version

Theorem dchrinvcl 22551
 Description: Closure of the group inverse operation on Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g DChr
dchrmhm.z ℤ/n
dchrmhm.b
dchrn0.b
dchrn0.u Unit
dchr1cl.o
dchrmulid2.t
dchrmulid2.x
dchrinvcl.n
Assertion
Ref Expression
dchrinvcl
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem dchrinvcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrinvcl.n . . 3
2 dchrmhm.g . . . 4 DChr
3 dchrmhm.z . . . 4 ℤ/n
4 dchrn0.b . . . 4
5 dchrn0.u . . . 4 Unit
6 dchrmulid2.x . . . . 5
7 dchrmhm.b . . . . . 6
82, 7dchrrcl 22538 . . . . 5
96, 8syl 16 . . . 4
10 fveq2 5688 . . . . 5
1110oveq2d 6106 . . . 4
12 fveq2 5688 . . . . 5
1312oveq2d 6106 . . . 4
14 fveq2 5688 . . . . 5
1514oveq2d 6106 . . . 4
16 fveq2 5688 . . . . 5
1716oveq2d 6106 . . . 4
182, 3, 7, 4, 6dchrf 22540 . . . . . 6
194, 5unitss 16742 . . . . . . 7
2019sseli 3349 . . . . . 6
21 ffvelrn 5838 . . . . . 6
2218, 20, 21syl2an 474 . . . . 5
23 simpr 458 . . . . . 6
246adantr 462 . . . . . . 7
2520adantl 463 . . . . . . 7
262, 3, 7, 4, 5, 24, 25dchrn0 22548 . . . . . 6
2723, 26mpbird 232 . . . . 5
2822, 27reccld 10096 . . . 4
29 1t1e1 10465 . . . . . . . 8
3029eqcomi 2445 . . . . . . 7
3130a1i 11 . . . . . 6
322, 3, 7dchrmhm 22539 . . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpfld
336adantr 462 . . . . . . . 8
3432, 33sseldi 3351 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
35 simprl 750 . . . . . . . 8
3619, 35sseldi 3351 . . . . . . 7
37 simprr 751 . . . . . . . 8
3819, 37sseldi 3351 . . . . . . 7
39 eqid 2441 . . . . . . . . 9 mulGrp mulGrp
4039, 4mgpbas 16587 . . . . . . . 8 mulGrp
41 eqid 2441 . . . . . . . . 9
4239, 41mgpplusg 16585 . . . . . . . 8 mulGrp
43 eqid 2441 . . . . . . . . 9 mulGrpfld mulGrpfld
44 cnfldmul 17783 . . . . . . . . 9 fld
4543, 44mgpplusg 16585 . . . . . . . 8 mulGrpfld
4640, 42, 45mhmlin 15467 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
4734, 36, 38, 46syl3anc 1213 . . . . . 6
4831, 47oveq12d 6108 . . . . 5
49 ax-1cn 9336 . . . . . . 7
5049a1i 11 . . . . . 6
5118adantr 462 . . . . . . 7
5251, 36ffvelrnd 5841 . . . . . 6
5351, 38ffvelrnd 5841 . . . . . 6
542, 3, 7, 4, 5, 33, 36dchrn0 22548 . . . . . . 7
5535, 54mpbird 232 . . . . . 6
562, 3, 7, 4, 5, 33, 38dchrn0 22548 . . . . . . 7
5737, 56mpbird 232 . . . . . 6
5850, 52, 50, 53, 55, 57divmuldivd 10144 . . . . 5
5948, 58eqtr4d 2476 . . . 4
6032, 6sseldi 3351 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
61 eqid 2441 . . . . . . . . 9
6239, 61rngidval 16595 . . . . . . . 8 mulGrp
63 cnfld1 17800 . . . . . . . . 9 fld
6443, 63rngidval 16595 . . . . . . . 8 mulGrpfld
6562, 64mhm0 15468 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
6660, 65syl 16 . . . . . 6
6766oveq2d 6106 . . . . 5
68 1div1e1 10020 . . . . 5
6967, 68syl6eq 2489 . . . 4
702, 3, 4, 5, 9, 7, 11, 13, 15, 17, 28, 59, 69dchrelbasd 22537 . . 3
711, 70syl5eqel 2525 . 2
72 dchrmulid2.t . . . 4
732, 3, 7, 72, 71, 6dchrmul 22546 . . 3
74 fvex 5698 . . . . . . 7
754, 74eqeltri 2511 . . . . . 6
7675a1i 11 . . . . 5
77 ovex 6115 . . . . . . 7
78 c0ex 9376 . . . . . . 7
7977, 78ifex 3855 . . . . . 6
8079a1i 11 . . . . 5
8118ffvelrnda 5840 . . . . 5
821a1i 11 . . . . 5
8318feqmptd 5741 . . . . 5
8476, 80, 81, 82, 83offval2 6335 . . . 4
85 oveq1 6097 . . . . . . . 8
86 oveq1 6097 . . . . . . . 8
8785, 86ifsb 3799 . . . . . . 7
8881adantr 462 . . . . . . . . . 10
896adantr 462 . . . . . . . . . . . 12
90 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12
912, 3, 7, 4, 5, 89, 90dchrn0 22548 . . . . . . . . . . 11
9291biimpar 482 . . . . . . . . . 10
9388, 92recid2d 10099 . . . . . . . . 9
9493ifeq1da 3816 . . . . . . . 8
9581mul02d 9563 . . . . . . . . 9
9695ifeq2d 3805 . . . . . . . 8
9794, 96eqtrd 2473 . . . . . . 7
9887, 97syl5eq 2485 . . . . . 6
9998mpteq2dva 4375 . . . . 5
100 dchr1cl.o . . . . 5
10199, 100syl6reqr 2492 . . . 4
10284, 101eqtr4d 2476 . . 3
10373, 102eqtrd 2473 . 2
10471, 103jca 529 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1364   wcel 1761   wne 2604  cvv 2970  cif 3788   cmpt 4347  wf 5411  cfv 5415  (class class class)co 6090   cof 6317  cc 9276  cc0 9278  c1 9279   cmul 9283   cdiv 9989  cn 10318  cbs 14170   cplusg 14234  cmulr 14235   MndHom cmhm 15458  mulGrpcmgp 16581  cur 16593  Unitcui 16721  ℂfldccnfld 17777  ℤ/nℤczn 17893  DChrcdchr 22530 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-addf 9357  ax-mulf 9358 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ec 7099  df-qs 7103  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-0g 14376  df-imas 14442  df-divs 14443  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-subg 15671  df-nsg 15672  df-eqg 15673  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-subrg 16843  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-lidl 17233  df-rsp 17234  df-2idl 17292  df-cnfld 17778  df-zring 17843  df-zn 17897  df-dchr 22531 This theorem is referenced by:  dchrabl  22552
 Copyright terms: Public domain W3C validator