Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrinvcl Structured version   Unicode version

Theorem dchrinvcl 24083
 Description: Closure of the group inverse operation on Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g DChr
dchrmhm.z ℤ/n
dchrmhm.b
dchrn0.b
dchrn0.u Unit
dchr1cl.o
dchrmulid2.t
dchrmulid2.x
dchrinvcl.n
Assertion
Ref Expression
dchrinvcl
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem dchrinvcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrinvcl.n . . 3
2 dchrmhm.g . . . 4 DChr
3 dchrmhm.z . . . 4 ℤ/n
4 dchrn0.b . . . 4
5 dchrn0.u . . . 4 Unit
6 dchrmulid2.x . . . . 5
7 dchrmhm.b . . . . . 6
82, 7dchrrcl 24070 . . . . 5
96, 8syl 17 . . . 4
10 fveq2 5872 . . . . 5
1110oveq2d 6312 . . . 4
12 fveq2 5872 . . . . 5
1312oveq2d 6312 . . . 4
14 fveq2 5872 . . . . 5
1514oveq2d 6312 . . . 4
16 fveq2 5872 . . . . 5
1716oveq2d 6312 . . . 4
182, 3, 7, 4, 6dchrf 24072 . . . . . 6
194, 5unitss 17829 . . . . . . 7
2019sseli 3457 . . . . . 6
21 ffvelrn 6026 . . . . . 6
2218, 20, 21syl2an 479 . . . . 5
23 simpr 462 . . . . . 6
246adantr 466 . . . . . . 7
2520adantl 467 . . . . . . 7
262, 3, 7, 4, 5, 24, 25dchrn0 24080 . . . . . 6
2723, 26mpbird 235 . . . . 5
2822, 27reccld 10365 . . . 4
29 1t1e1 10746 . . . . . . . 8
3029eqcomi 2433 . . . . . . 7
3130a1i 11 . . . . . 6
322, 3, 7dchrmhm 24071 . . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpfld
336adantr 466 . . . . . . . 8
3432, 33sseldi 3459 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
35 simprl 762 . . . . . . . 8
3619, 35sseldi 3459 . . . . . . 7
37 simprr 764 . . . . . . . 8
3819, 37sseldi 3459 . . . . . . 7
39 eqid 2420 . . . . . . . . 9 mulGrp mulGrp
4039, 4mgpbas 17670 . . . . . . . 8 mulGrp
41 eqid 2420 . . . . . . . . 9
4239, 41mgpplusg 17668 . . . . . . . 8 mulGrp
43 eqid 2420 . . . . . . . . 9 mulGrpfld mulGrpfld
44 cnfldmul 18917 . . . . . . . . 9 fld
4543, 44mgpplusg 17668 . . . . . . . 8 mulGrpfld
4640, 42, 45mhmlin 16541 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
4734, 36, 38, 46syl3anc 1264 . . . . . 6
4831, 47oveq12d 6314 . . . . 5
49 1cnd 9648 . . . . . 6
5018adantr 466 . . . . . . 7
5150, 36ffvelrnd 6029 . . . . . 6
5250, 38ffvelrnd 6029 . . . . . 6
532, 3, 7, 4, 5, 33, 36dchrn0 24080 . . . . . . 7
5435, 53mpbird 235 . . . . . 6
552, 3, 7, 4, 5, 33, 38dchrn0 24080 . . . . . . 7
5637, 55mpbird 235 . . . . . 6
5749, 51, 49, 52, 54, 56divmuldivd 10413 . . . . 5
5848, 57eqtr4d 2464 . . . 4
5932, 6sseldi 3459 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
60 eqid 2420 . . . . . . . . 9
6139, 60ringidval 17678 . . . . . . . 8 mulGrp
62 cnfld1 18934 . . . . . . . . 9 fld
6343, 62ringidval 17678 . . . . . . . 8 mulGrpfld
6461, 63mhm0 16542 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
6559, 64syl 17 . . . . . 6
6665oveq2d 6312 . . . . 5
67 1div1e1 10289 . . . . 5
6866, 67syl6eq 2477 . . . 4
692, 3, 4, 5, 9, 7, 11, 13, 15, 17, 28, 58, 68dchrelbasd 24069 . . 3
701, 69syl5eqel 2512 . 2
71 dchrmulid2.t . . . 4
722, 3, 7, 71, 70, 6dchrmul 24078 . . 3
73 fvex 5882 . . . . . . 7
744, 73eqeltri 2504 . . . . . 6
7574a1i 11 . . . . 5
76 ovex 6324 . . . . . . 7
77 c0ex 9626 . . . . . . 7
7876, 77ifex 3974 . . . . . 6
7978a1i 11 . . . . 5
8018ffvelrnda 6028 . . . . 5
811a1i 11 . . . . 5
8218feqmptd 5925 . . . . 5
8375, 79, 80, 81, 82offval2 6553 . . . 4
84 ovif 6378 . . . . . . 7
8580adantr 466 . . . . . . . . . 10
866adantr 466 . . . . . . . . . . . 12
87 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12
882, 3, 7, 4, 5, 86, 87dchrn0 24080 . . . . . . . . . . 11
8988biimpar 487 . . . . . . . . . 10
9085, 89recid2d 10368 . . . . . . . . 9
9190ifeq1da 3936 . . . . . . . 8
9280mul02d 9820 . . . . . . . . 9
9392ifeq2d 3925 . . . . . . . 8
9491, 93eqtrd 2461 . . . . . . 7
9584, 94syl5eq 2473 . . . . . 6
9695mpteq2dva 4503 . . . . 5
97 dchr1cl.o . . . . 5
9896, 97syl6reqr 2480 . . . 4
9983, 98eqtr4d 2464 . . 3
10072, 99eqtrd 2461 . 2
10170, 100jca 534 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1867   wne 2616  cvv 3078  cif 3906   cmpt 4475  wf 5588  cfv 5592  (class class class)co 6296   cof 6534  cc 9526  cc0 9528  c1 9529   cmul 9533   cdiv 10258  cn 10598  cbs 15081   cplusg 15150  cmulr 15151   MndHom cmhm 16532  mulGrpcmgp 17664  cur 17676  Unitcui 17808  ℂfldccnfld 18911  ℤ/nℤczn 19011  DChrcdchr 24062 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-addf 9607  ax-mulf 9608 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6972  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-ec 7364  df-qs 7368  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-fz 11772  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-mulr 15164  df-starv 15165  df-sca 15166  df-vsca 15167  df-ip 15168  df-tset 15169  df-ple 15170  df-ds 15172  df-unif 15173  df-0g 15300  df-imas 15366  df-qus 15367  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-mhm 16534  df-grp 16625  df-minusg 16626  df-sbg 16627  df-subg 16766  df-nsg 16767  df-eqg 16768  df-cmn 17373  df-abl 17374  df-mgp 17665  df-ur 17677  df-ring 17723  df-cring 17724  df-oppr 17792  df-dvdsr 17810  df-unit 17811  df-invr 17841  df-subrg 17947  df-lmod 18034  df-lss 18097  df-lsp 18136  df-sra 18336  df-rgmod 18337  df-lidl 18338  df-rsp 18339  df-2idl 18397  df-cnfld 18912  df-zring 18980  df-zn 19015  df-dchr 24063 This theorem is referenced by:  dchrabl  24084
 Copyright terms: Public domain W3C validator