Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrinv Structured version   Unicode version

Theorem dchrinv 23264
 Description: The inverse of a Dirichlet character is the conjugate (which is also the multiplicative inverse, because the values of are unimodular). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g DChr
dchrabs.d
dchrabs.x
dchrinv.i
Assertion
Ref Expression
dchrinv

Proof of Theorem dchrinv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . . 8 DChr
2 eqid 2467 . . . . . . . 8 ℤ/n ℤ/n
3 dchrabs.d . . . . . . . 8
4 eqid 2467 . . . . . . . 8
5 dchrabs.x . . . . . . . 8
6 cjf 12896 . . . . . . . . . 10
7 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11 ℤ/n ℤ/n
81, 2, 3, 7, 5dchrf 23245 . . . . . . . . . 10 ℤ/n
9 fco 5739 . . . . . . . . . 10 ℤ/n ℤ/n
106, 8, 9sylancr 663 . . . . . . . . 9 ℤ/n
11 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Unitℤ/n Unitℤ/n
121, 3dchrrcl 23243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
135, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141, 2, 7, 11, 13, 3dchrelbas3 23241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℤ/n Unitℤ/n Unitℤ/nℤ/n ℤ/n ℤ/n Unitℤ/n
155, 14mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℤ/n Unitℤ/n Unitℤ/nℤ/n ℤ/n ℤ/n Unitℤ/n
1615simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Unitℤ/n Unitℤ/nℤ/n ℤ/n ℤ/n Unitℤ/n
1716simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Unitℤ/n Unitℤ/nℤ/n
1817r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Unitℤ/n Unitℤ/nℤ/n
1918r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
2019anasss 647 . . . . . . . . . . . . . 14 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
2120fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
228adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
237, 11unitss 17093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Unitℤ/n ℤ/n
24 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Unitℤ/n Unitℤ/n Unitℤ/n
2523, 24sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
2622, 25ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . 14 Unitℤ/n Unitℤ/n
27 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Unitℤ/n Unitℤ/n Unitℤ/n
2823, 27sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
2922, 28ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . 14 Unitℤ/n Unitℤ/n
3026, 29cjmuld 13013 . . . . . . . . . . . . 13 Unitℤ/n Unitℤ/n
3121, 30eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
3213nnnn0d 10848 . . . . . . . . . . . . . . . 16
332zncrng 18350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ/n
34 crngrng 16996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ/n ℤ/n
3532, 33, 343syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ/n
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
37 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ/n ℤ/n
387, 37rngcl 16999 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n
3936, 25, 28, 38syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n ℤ/n
40 fvco3 5942 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n
4122, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n ℤ/n
42 fvco3 5942 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ/n ℤ/n
4322, 25, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13 Unitℤ/n Unitℤ/n
44 fvco3 5942 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ/n ℤ/n
4522, 28, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13 Unitℤ/n Unitℤ/n
4643, 45oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . 12 Unitℤ/n Unitℤ/n
4731, 41, 463eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . 11 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
4847ralrimivva 2885 . . . . . . . . . 10 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
49 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ/n ℤ/n
507, 49rngidcl 17006 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ/n ℤ/n ℤ/n
5135, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12 ℤ/n ℤ/n
52 fvco3 5942 . . . . . . . . . . . 12 ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n
538, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 ℤ/n ℤ/n
5416simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ/n
5554fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . 12 ℤ/n
56 1re 9591 . . . . . . . . . . . . 13
57 cjre 12931 . . . . . . . . . . . . 13
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
5955, 58syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11 ℤ/n
6053, 59eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10 ℤ/n
6116simp3d 1010 . . . . . . . . . . 11 ℤ/n Unitℤ/n
628, 42sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ/n
63 cj0 12950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6463eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ/n
6662, 65eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ/n
678ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ/n
68 0cn 9584 . . . . . . . . . . . . . . . 16
69 cj11 12954 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7067, 68, 69sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ/n
7166, 70bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ/n
7271necon3bid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ/n
7372imbi1d 317 . . . . . . . . . . . 12 ℤ/n Unitℤ/n Unitℤ/n
7473ralbidva 2900 . . . . . . . . . . 11 ℤ/n Unitℤ/n ℤ/n Unitℤ/n
7561, 74mpbird 232 . . . . . . . . . 10 ℤ/n Unitℤ/n
7648, 60, 753jca 1176 . . . . . . . . 9 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n Unitℤ/n
771, 2, 7, 11, 13, 3dchrelbas3 23241 . . . . . . . . 9 ℤ/n Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n Unitℤ/n
7810, 76, 77mpbir2and 920 . . . . . . . 8
791, 2, 3, 4, 5, 78dchrmul 23251 . . . . . . 7
8079adantr 465 . . . . . 6 Unitℤ/n
8180fveq1d 5866 . . . . 5 Unitℤ/n
8223sseli 3500 . . . . . . . . 9 Unitℤ/n ℤ/n
8382, 62sylan2 474 . . . . . . . 8 Unitℤ/n
8483oveq2d 6298 . . . . . . 7 Unitℤ/n
8582, 67sylan2 474 . . . . . . . 8 Unitℤ/n
8685absvalsqd 13232 . . . . . . 7 Unitℤ/n
875adantr 465 . . . . . . . . . 10 Unitℤ/n
88 simpr 461 . . . . . . . . . 10 Unitℤ/n Unitℤ/n
891, 3, 87, 2, 11, 88dchrabs 23263 . . . . . . . . 9 Unitℤ/n
9089oveq1d 6297 . . . . . . . 8 Unitℤ/n
91 sq1 12226 . . . . . . . 8
9290, 91syl6eq 2524 . . . . . . 7 Unitℤ/n
9384, 86, 923eqtr2d 2514 . . . . . 6 Unitℤ/n
948adantr 465 . . . . . . . 8 Unitℤ/n ℤ/n
95 ffn 5729 . . . . . . . 8 ℤ/n ℤ/n
9694, 95syl 16 . . . . . . 7 Unitℤ/n ℤ/n
97 ffn 5729 . . . . . . . . 9 ℤ/n ℤ/n
9810, 97syl 16 . . . . . . . 8 ℤ/n
9998adantr 465 . . . . . . 7 Unitℤ/n ℤ/n
100 fvex 5874 . . . . . . . 8 ℤ/n
101100a1i 11 . . . . . . 7 Unitℤ/n ℤ/n
10282adantl 466 . . . . . . 7 Unitℤ/n ℤ/n
103 fnfvof 6535 . . . . . . 7 ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n
10496, 99, 101, 102, 103syl22anc 1229 . . . . . 6 Unitℤ/n
105 eqid 2467 . . . . . . 7
10613adantr 465 . . . . . . 7 Unitℤ/n
1071, 2, 105, 11, 106, 88dchr1 23260 . . . . . 6 Unitℤ/n
10893, 104, 1073eqtr4d 2518 . . . . 5 Unitℤ/n
10981, 108eqtrd 2508 . . . 4 Unitℤ/n
110109ralrimiva 2878 . . 3 Unitℤ/n
1111, 2, 3, 4, 5, 78dchrmulcl 23252 . . . 4
1121dchrabl 23257 . . . . . 6
113 ablgrp 16599 . . . . . 6
11413, 112, 1133syl 20 . . . . 5
1153, 105grpidcl 15879 . . . . 5
116114, 115syl 16 . . . 4
1171, 2, 3, 11, 111, 116dchreq 23261 . . 3 Unitℤ/n
118110, 117mpbird 232 . 2
119 dchrinv.i . . . 4
1203, 4, 105, 119grpinvid1 15899 . . 3
121114, 5, 78, 120syl3anc 1228 . 2
122118, 121mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  cvv 3113   ccom 5003   wfn 5581  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282   cof 6520  cc 9486  cr 9487  cc0 9488  c1 9489   cmul 9493  cn 10532  c2 10581  cn0 10791  cexp 12130  ccj 12888  cabs 13026  cbs 14486   cplusg 14551  cmulr 14552  c0g 14691  cgrp 15723  cminusg 15724  cabl 16595  cur 16943  crg 16986  ccrg 16987  Unitcui 17072  ℤ/nℤczn 18307  DChrcdchr 23235 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-dvds 13844  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-divs 14760  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-nsg 15994  df-eqg 15995  df-ghm 16060  df-cntz 16150  df-od 16349  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-dvr 17116  df-rnghom 17148  df-drng 17181  df-subrg 17210  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-lsp 17401  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-lidl 17603  df-rsp 17604  df-2idl 17662  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-zring 18257  df-zrh 18308  df-zn 18311  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-cxp 22673  df-dchr 23236 This theorem is referenced by:  dchr2sum  23276  dchrisum0re  23426
 Copyright terms: Public domain W3C validator