MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrhash Structured version   Unicode version

Theorem dchrhash 23274
Description: There are exactly  phi ( N ) Dirichlet characters modulo  N. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g  |-  G  =  (DChr `  N )
sumdchr.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
dchrhash  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 D )  =  ( phi `  N
) )

Proof of Theorem dchrhash
Dummy variables  x  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  N
)  =  (ℤ/n `  N
)
2 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  (ℤ/n `  N ) )  =  ( Base `  (ℤ/n `  N
) )
31, 2znfi 18365 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Base `  (ℤ/n `  N ) )  e. 
Fin )
4 sumdchr.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
5 sumdchr.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
64, 5dchrfi 23258 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  D  e.  Fin )
7 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) )  /\  x  e.  D )
)  ->  x  e.  D )
84, 1, 5, 2, 7dchrf 23245 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) )  /\  x  e.  D )
)  ->  x :
( Base `  (ℤ/n `  N ) ) --> CC )
9 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) )  /\  x  e.  D )
)  ->  a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )
108, 9ffvelrnd 6020 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) )  /\  x  e.  D )
)  ->  ( x `  a )  e.  CC )
113, 6, 10fsumcom 13549 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) sum_ x  e.  D  ( x `  a )  =  sum_ x  e.  D  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) ( x `
 a ) )
12 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  (ℤ/n `  N ) )  =  ( 1r `  (ℤ/n `  N
) )
13 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
14 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )  ->  a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) ) )
154, 5, 1, 12, 2, 13, 14sumdchr2 23273 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )  ->  sum_ x  e.  D  ( x `  a
)  =  if ( a  =  ( 1r
`  (ℤ/n `  N ) ) ,  ( # `  D
) ,  0 ) )
16 elsn 4041 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  { ( 1r
`  (ℤ/n `  N ) ) }  <-> 
a  =  ( 1r
`  (ℤ/n `  N ) ) )
17 ifbi 3960 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) }  <->  a  =  ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) )  ->  if ( a  e.  {
( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) } , 
( # `  D ) ,  0 )  =  if ( a  =  ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) ,  (
# `  D ) ,  0 ) )
1816, 17mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )  ->  if ( a  e.  { ( 1r
`  (ℤ/n `  N ) ) } ,  ( # `  D
) ,  0 )  =  if ( a  =  ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) ,  ( # `  D
) ,  0 ) )
1915, 18eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )  ->  sum_ x  e.  D  ( x `  a
)  =  if ( a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) } , 
( # `  D ) ,  0 ) )
2019sumeq2dv 13484 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) sum_ x  e.  D  ( x `  a )  =  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) if ( a  e.  {
( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) } , 
( # `  D ) ,  0 ) )
21 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
22 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  D )
234, 1, 5, 21, 22, 2dchrsum 23272 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  D )  -> 
sum_ a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) ) ( x `  a )  =  if ( x  =  ( 0g `  G ) ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
24 elsn 4041 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  G ) }  <-> 
x  =  ( 0g
`  G ) )
25 ifbi 3960 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  { ( 0g `  G ) }  <->  x  =  ( 0g `  G ) )  ->  if ( x  e.  { ( 0g
`  G ) } ,  ( phi `  N ) ,  0 )  =  if ( x  =  ( 0g
`  G ) ,  ( phi `  N
) ,  0 ) )
2624, 25mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  D )  ->  if ( x  e. 
{ ( 0g `  G ) } , 
( phi `  N
) ,  0 )  =  if ( x  =  ( 0g `  G ) ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
2723, 26eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  D )  -> 
sum_ a  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) ) ( x `  a )  =  if ( x  e.  { ( 0g
`  G ) } ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
2827sumeq2dv 13484 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ x  e.  D  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) ( x `
 a )  = 
sum_ x  e.  D  if ( x  e.  {
( 0g `  G
) } ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
2911, 20, 283eqtr3d 2516 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) if ( a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) } , 
( # `  D ) ,  0 )  = 
sum_ x  e.  D  if ( x  e.  {
( 0g `  G
) } ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
30 nnnn0 10798 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
311zncrng 18350 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  (ℤ/n `  N
)  e.  CRing )
32 crngrng 16996 . . . . . 6  |-  ( (ℤ/n `  N )  e.  CRing  -> 
(ℤ/n `  N )  e.  Ring )
332, 12rngidcl 17006 . . . . . 6  |-  ( (ℤ/n `  N )  e.  Ring  -> 
( 1r `  (ℤ/n `  N
) )  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) ) )
3430, 31, 32, 334syl 21 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( 1r `  (ℤ/n `  N ) )  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) )
3534snssd 4172 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) }  C_  ( Base `  (ℤ/n `  N ) ) )
36 hashcl 12392 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( # `
 D )  e. 
NN0 )
37 nn0cn 10801 . . . . . 6  |-  ( (
# `  D )  e.  NN0  ->  ( # `  D
)  e.  CC )
386, 36, 373syl 20 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 D )  e.  CC )
3938ralrimivw 2879 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  A. a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) }  ( # `  D
)  e.  CC )
403olcd 393 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Base `  (ℤ/n `  N ) )  C_  ( ZZ>= `  0 )  \/  ( Base `  (ℤ/n `  N
) )  e.  Fin ) )
41 sumss2 13507 . . . 4  |-  ( ( ( { ( 1r
`  (ℤ/n `  N ) ) } 
C_  ( Base `  (ℤ/n `  N
) )  /\  A. a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) }  ( # `  D
)  e.  CC )  /\  ( ( Base `  (ℤ/n `  N ) )  C_  ( ZZ>= `  0 )  \/  ( Base `  (ℤ/n `  N
) )  e.  Fin ) )  ->  sum_ a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) }  ( # `  D
)  =  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) if ( a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) } , 
( # `  D ) ,  0 ) )
4235, 39, 40, 41syl21anc 1227 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) }  ( # `  D
)  =  sum_ a  e.  ( Base `  (ℤ/n `  N
) ) if ( a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) } , 
( # `  D ) ,  0 ) )
434dchrabl 23257 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  G  e.  Abel )
44 ablgrp 16599 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
455, 21grpidcl 15879 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  D )
4643, 44, 453syl 20 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( 0g `  G )  e.  D )
4746snssd 4172 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  D )
48 phicl 14154 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  e.  NN )
4948nncnd 10548 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  e.  CC )
5049ralrimivw 2879 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  A. x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N )  e.  CC )
516olcd 393 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( D  C_  ( ZZ>= `  0
)  \/  D  e. 
Fin ) )
52 sumss2 13507 . . . 4  |-  ( ( ( { ( 0g
`  G ) } 
C_  D  /\  A. x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N
)  e.  CC )  /\  ( D  C_  ( ZZ>= `  0 )  \/  D  e.  Fin ) )  ->  sum_ x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N )  = 
sum_ x  e.  D  if ( x  e.  {
( 0g `  G
) } ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
5347, 50, 51, 52syl21anc 1227 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N )  = 
sum_ x  e.  D  if ( x  e.  {
( 0g `  G
) } ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
5429, 42, 533eqtr4d 2518 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) }  ( # `  D
)  =  sum_ x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N ) )
55 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( a  =  ( 1r `  (ℤ/n `  N ) )  -> 
( # `  D )  =  ( # `  D
) )
5655sumsn 13522 . . 3  |-  ( ( ( 1r `  (ℤ/n `  N
) )  e.  (
Base `  (ℤ/n `  N ) )  /\  ( # `  D )  e.  CC )  ->  sum_ a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N
) ) }  ( # `
 D )  =  ( # `  D
) )
5734, 38, 56syl2anc 661 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ a  e.  { ( 1r `  (ℤ/n `  N ) ) }  ( # `  D
)  =  ( # `  D ) )
58 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( phi `  N )  =  ( phi `  N
) )
5958sumsn 13522 . . 3  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  D  /\  ( phi `  N )  e.  CC )  ->  sum_ x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N )  =  ( phi `  N ) )
6046, 49, 59syl2anc 661 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ x  e.  { ( 0g `  G ) }  ( phi `  N )  =  ( phi `  N
) )
6154, 57, 603eqtr3d 2516 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 D )  =  ( phi `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027   ` cfv 5586   Fincfn 7513   CCcc 9486   0cc0 9488   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11078   #chash 12369   sum_csu 13467   phicphi 14149   Basecbs 14486   0gc0g 14691   Grpcgrp 15723   Abelcabl 16595   1rcur 16943   Ringcrg 16986   CRingccrg 16987  ℤ/nczn 18307  DChrcdchr 23235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-rpss 6562  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-word 12504  df-concat 12506  df-s1 12507  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-prm 14073  df-phi 14151  df-pc 14216  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-divs 14760  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-nsg 15994  df-eqg 15995  df-ghm 16060  df-gim 16102  df-ga 16123  df-cntz 16150  df-oppg 16176  df-od 16349  df-gex 16350  df-pgp 16351  df-lsm 16452  df-pj1 16453  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-cyg 16672  df-dprd 16817  df-dpj 16818  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-rnghom 17148  df-subrg 17210  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-lsp 17401  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-lidl 17603  df-rsp 17604  df-2idl 17662  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-zring 18257  df-zrh 18308  df-zn 18311  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-0p 21812  df-limc 22005  df-dv 22006  df-ply 22320  df-idp 22321  df-coe 22322  df-dgr 22323  df-quot 22421  df-log 22672  df-cxp 22673  df-dchr 23236
This theorem is referenced by:  sumdchr  23275
  Copyright terms: Public domain W3C validator