Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrhash Structured version   Unicode version

Theorem dchrhash 24176
 Description: There are exactly Dirichlet characters modulo . Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g DChr
sumdchr.d
Assertion
Ref Expression
dchrhash

Proof of Theorem dchrhash
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2420 . . . . . 6 ℤ/n ℤ/n
2 eqid 2420 . . . . . 6 ℤ/n ℤ/n
31, 2znfi 19107 . . . . 5 ℤ/n
4 sumdchr.g . . . . . 6 DChr
5 sumdchr.d . . . . . 6
64, 5dchrfi 24160 . . . . 5
7 simprr 764 . . . . . . 7 ℤ/n
84, 1, 5, 2, 7dchrf 24147 . . . . . 6 ℤ/n ℤ/n
9 simprl 762 . . . . . 6 ℤ/n ℤ/n
108, 9ffvelrnd 6030 . . . . 5 ℤ/n
113, 6, 10fsumcom 13814 . . . 4 ℤ/n ℤ/n
12 eqid 2420 . . . . . . 7 ℤ/n ℤ/n
13 simpl 458 . . . . . . 7 ℤ/n
14 simpr 462 . . . . . . 7 ℤ/n ℤ/n
154, 5, 1, 12, 2, 13, 14sumdchr2 24175 . . . . . 6 ℤ/n ℤ/n
16 elsn 4007 . . . . . . 7 ℤ/n ℤ/n
17 ifbi 3927 . . . . . . 7 ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n
1816, 17mp1i 13 . . . . . 6 ℤ/n ℤ/n ℤ/n
1915, 18eqtr4d 2464 . . . . 5 ℤ/n ℤ/n
2019sumeq2dv 13747 . . . 4 ℤ/n ℤ/n ℤ/n
21 eqid 2420 . . . . . . 7
22 simpr 462 . . . . . . 7
234, 1, 5, 21, 22, 2dchrsum 24174 . . . . . 6 ℤ/n
24 elsn 4007 . . . . . . 7
25 ifbi 3927 . . . . . . 7
2624, 25mp1i 13 . . . . . 6
2723, 26eqtr4d 2464 . . . . 5 ℤ/n
2827sumeq2dv 13747 . . . 4 ℤ/n
2911, 20, 283eqtr3d 2469 . . 3 ℤ/n ℤ/n
30 nnnn0 10872 . . . . . 6
311zncrng 19092 . . . . . 6 ℤ/n
32 crngring 17769 . . . . . 6 ℤ/n ℤ/n
332, 12ringidcl 17779 . . . . . 6 ℤ/n ℤ/n ℤ/n
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . . 5 ℤ/n ℤ/n
3534snssd 4139 . . . 4 ℤ/n ℤ/n
36 hashcl 12531 . . . . . 6
37 nn0cn 10875 . . . . . 6
386, 36, 373syl 18 . . . . 5
3938ralrimivw 2838 . . . 4 ℤ/n
403olcd 394 . . . 4 ℤ/n ℤ/n
41 sumss2 13770 . . . 4 ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n
4235, 39, 40, 41syl21anc 1263 . . 3 ℤ/n ℤ/n ℤ/n
434dchrabl 24159 . . . . . 6
44 ablgrp 17413 . . . . . 6
455, 21grpidcl 16672 . . . . . 6
4643, 44, 453syl 18 . . . . 5
4746snssd 4139 . . . 4
48 phicl 14695 . . . . . 6
4948nncnd 10621 . . . . 5
5049ralrimivw 2838 . . . 4
516olcd 394 . . . 4
52 sumss2 13770 . . . 4
5347, 50, 51, 52syl21anc 1263 . . 3
5429, 42, 533eqtr4d 2471 . 2 ℤ/n
55 eqidd 2421 . . . 4 ℤ/n
5655sumsn 13785 . . 3 ℤ/n ℤ/n ℤ/n
5734, 38, 56syl2anc 665 . 2 ℤ/n
58 eqidd 2421 . . . 4
5958sumsn 13785 . . 3
6046, 49, 59syl2anc 665 . 2
6154, 57, 603eqtr3d 2469 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   wceq 1437   wcel 1867  wral 2773   wss 3433  cif 3906  csn 3993  cfv 5593  cfn 7569  cc 9533  cc0 9535  cn 10605  cn0 10865  cuz 11155  chash 12508  csu 13730  cphi 14689  cbs 15099  c0g 15316  cgrp 16647  cabl 17409  cur 17713  crg 17758  ccrg 17759  ℤ/nℤczn 19051  DChrcdchr 24137 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-inf2 8144  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612  ax-pre-sup 9613  ax-addf 9614  ax-mulf 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-disj 4389  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-se 4806  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-of 6537  df-rpss 6577  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-ec 7365  df-qs 7369  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7882  df-fi 7923  df-sup 7954  df-inf 7955  df-oi 8023  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8594  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-div 10266  df-nn 10606  df-2 10664  df-3 10665  df-4 10666  df-5 10667  df-6 10668  df-7 10669  df-8 10670  df-9 10671  df-10 10672  df-n0 10866  df-z 10934  df-dec 11048  df-uz 11156  df-q 11261  df-rp 11299  df-xneg 11405  df-xadd 11406  df-xmul 11407  df-ioo 11635  df-ioc 11636  df-ico 11637  df-icc 11638  df-fz 11779  df-fzo 11910  df-fl 12021  df-mod 12090  df-seq 12207  df-exp 12266  df-fac 12453  df-bc 12481  df-hash 12509  df-word 12647  df-concat 12649  df-s1 12650  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-dvds 14284  df-gcd 14447  df-prm 14601  df-phi 14692  df-pc 14765  df-struct 15101  df-ndx 15102  df-slot 15103  df-base 15104  df-sets 15105  df-ress 15106  df-plusg 15181  df-mulr 15182  df-starv 15183  df-sca 15184  df-vsca 15185  df-ip 15186  df-tset 15187  df-ple 15188  df-ds 15190  df-unif 15191  df-hom 15192  df-cco 15193  df-rest 15299  df-topn 15300  df-0g 15318  df-gsum 15319  df-topgen 15320  df-pt 15321  df-prds 15324  df-xrs 15378  df-qtop 15384  df-imas 15385  df-qus 15387  df-xps 15388  df-mre 15470  df-mrc 15471  df-acs 15473  df-mgm 16466  df-sgrp 16505  df-mnd 16515  df-mhm 16560  df-submnd 16561  df-grp 16651  df-minusg 16652  df-sbg 16653  df-mulg 16654  df-subg 16792  df-nsg 16793  df-eqg 16794  df-ghm 16859  df-gim 16901  df-ga 16922  df-cntz 16949  df-oppg 16975  df-od 17150  df-gex 17152  df-pgp 17154  df-lsm 17266  df-pj1 17267  df-cmn 17410  df-abl 17411  df-cyg 17491  df-dprd 17605  df-dpj 17606  df-mgp 17702  df-ur 17714  df-ring 17760  df-cring 17761  df-oppr 17829  df-dvdsr 17847  df-unit 17848  df-invr 17878  df-rnghom 17921  df-subrg 17984  df-lmod 18071  df-lss 18134  df-lsp 18173  df-sra 18373  df-rgmod 18374  df-lidl 18375  df-rsp 18376  df-2idl 18434  df-psmet 18940  df-xmet 18941  df-met 18942  df-bl 18943  df-mopn 18944  df-fbas 18945  df-fg 18946  df-cnfld 18949  df-zring 19017  df-zrh 19052  df-zn 19055  df-top 19898  df-bases 19899  df-topon 19900  df-topsp 19901  df-cld 20011  df-ntr 20012  df-cls 20013  df-nei 20091  df-lp 20129  df-perf 20130  df-cn 20220  df-cnp 20221  df-haus 20308  df-tx 20554  df-hmeo 20747  df-fil 20838  df-fm 20930  df-flim 20931  df-flf 20932  df-xms 21312  df-ms 21313  df-tms 21314  df-cncf 21887  df-0p 22605  df-limc 22798  df-dv 22799  df-ply 23119  df-idp 23120  df-coe 23121  df-dgr 23122  df-quot 23221  df-log 23483  df-cxp 23484  df-dchr 24138 This theorem is referenced by:  sumdchr  24177
 Copyright terms: Public domain W3C validator