MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrghm Structured version   Unicode version

Theorem dchrghm 22600
Description: A Dirichlet character restricted to the unit group of ℤ/nℤ is a group homomorphism into the multiplicative group of nonzero complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrghm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrghm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrghm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrghm.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrghm.h  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
dchrghm.m  |-  M  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
dchrghm.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchrghm  |-  ( ph  ->  ( X  |`  U )  e.  ( H  GrpHom  M ) )

Proof of Theorem dchrghm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrghm.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrghm.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrghm.b . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
41, 2, 3dchrmhm 22585 . . . . 5  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )
5 dchrghm.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
64, 5sseldi 3359 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
) )
71, 3dchrrcl 22584 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
85, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
98nnnn0d 10641 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
102zncrng 17982 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  CRing )
12 crngrng 16660 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
14 dchrghm.u . . . . . 6  |-  U  =  (Unit `  Z )
15 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
1614, 15unitsubm 16767 . . . . 5  |-  ( Z  e.  Ring  ->  U  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  Z
) ) )
1713, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  Z ) ) )
18 dchrghm.h . . . . 5  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
1918resmhm 15492 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  U  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  Z
) ) )  -> 
( X  |`  U )  e.  ( H MndHom  (mulGrp ` fld ) ) )
206, 17, 19syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  |`  U )  e.  ( H MndHom  (mulGrp ` fld ) ) )
21 cnrng 17843 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
22 cnfldbas 17827 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( Base ` fld )
23 cnfld0 17845 . . . . . . 7  |-  0  =  ( 0g ` fld )
24 cndrng 17850 . . . . . . 7  |-fld  e.  DivRing
2522, 23, 24drngui 16843 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
26 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
2725, 26unitsubm 16767 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  -> 
( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
2821, 27ax-mp 5 . . . 4  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )
29 df-ima 4858 . . . . 5  |-  ( X
" U )  =  ran  ( X  |`  U )
30 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
311, 2, 3, 30, 5dchrf 22586 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
3230, 14unitss 16757 . . . . . . . . . 10  |-  U  C_  ( Base `  Z )
3332sseli 3357 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U  ->  x  e.  ( Base `  Z
) )
34 ffvelrn 5846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  x  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( X `  x
)  e.  CC )
3531, 33, 34syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  ( X `  x )  e.  CC )
36 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  x  e.  U )
375adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  X  e.  D )
3833adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  x  e.  ( Base `  Z
) )
391, 2, 3, 30, 14, 37, 38dchrn0 22594 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  (
( X `  x
)  =/=  0  <->  x  e.  U ) )
4036, 39mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  ( X `  x )  =/=  0 )
41 eldifsn 4005 . . . . . . . 8  |-  ( ( X `  x )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( X `  x )  e.  CC  /\  ( X `  x
)  =/=  0 ) )
4235, 40, 41sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  ( X `  x )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
4342ralrimiva 2804 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U  ( X `  x )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
44 ffun 5566 . . . . . . . 8  |-  ( X : ( Base `  Z
) --> CC  ->  Fun  X )
4531, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Fun  X )
46 fdm 5568 . . . . . . . . 9  |-  ( X : ( Base `  Z
) --> CC  ->  dom  X  =  ( Base `  Z
) )
4731, 46syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  X  =  (
Base `  Z )
)
4832, 47syl5sseqr 3410 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  dom  X )
49 funimass4 5747 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  X  /\  U  C_ 
dom  X )  -> 
( ( X " U )  C_  ( CC  \  { 0 } )  <->  A. x  e.  U  ( X `  x )  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) )
5045, 48, 49syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X " U )  C_  ( CC  \  { 0 } )  <->  A. x  e.  U  ( X `  x )  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) )
5143, 50mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X " U
)  C_  ( CC  \  { 0 } ) )
5229, 51syl5eqssr 3406 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( X  |`  U )  C_  ( CC  \  { 0 } ) )
53 dchrghm.m . . . . 5  |-  M  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
5453resmhm2b 15494 . . . 4  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  ran  ( X  |`  U ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( ( X  |`  U )  e.  ( H MndHom  (mulGrp ` fld )
)  <->  ( X  |`  U )  e.  ( H MndHom  M ) ) )
5528, 52, 54sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U )  e.  ( H MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( X  |`  U )  e.  ( H MndHom  M ) ) )
5620, 55mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  |`  U )  e.  ( H MndHom  M
) )
5714, 18unitgrp 16764 . . . 4  |-  ( Z  e.  Ring  ->  H  e. 
Grp )
5813, 57syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
5953cnmgpabl 17879 . . . 4  |-  M  e. 
Abel
60 ablgrp 16287 . . . 4  |-  ( M  e.  Abel  ->  M  e. 
Grp )
6159, 60ax-mp 5 . . 3  |-  M  e. 
Grp
62 ghmmhmb 15763 . . 3  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  M  e.  Grp )  ->  ( H  GrpHom  M )  =  ( H MndHom  M
) )
6358, 61, 62sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  GrpHom  M )  =  ( H MndHom  M
) )
6456, 63eleqtrrd 2520 1  |-  ( ph  ->  ( X  |`  U )  e.  ( H  GrpHom  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720    \ cdif 3330    C_ wss 3333   {csn 3882   dom cdm 4845   ran crn 4846    |` cres 4847   "cima 4848   Fun wfun 5417   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   0cc0 9287   NNcn 10327   NN0cn0 10584   Basecbs 14179   ↾s cress 14180   Grpcgrp 15415   MndHom cmhm 15467  SubMndcsubmnd 15468    GrpHom cghm 15749   Abelcabel 16283  mulGrpcmgp 16596   Ringcrg 16650   CRingccrg 16651  Unitcui 16736  ℂfldccnfld 17823  ℤ/nczn 17939  DChrcdchr 22576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-ec 7108  df-qs 7112  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-fz 11443  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-0g 14385  df-imas 14451  df-divs 14452  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-subg 15683  df-nsg 15684  df-eqg 15685  df-ghm 15750  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-dvr 16780  df-drng 16839  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lsp 17058  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-lidl 17260  df-rsp 17261  df-2idl 17319  df-cnfld 17824  df-zring 17889  df-zn 17943  df-dchr 22577
This theorem is referenced by:  dchrabs  22604  sum2dchr  22618
  Copyright terms: Public domain W3C validator