Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrghm Structured version   Unicode version

Theorem dchrghm 23400
 Description: A Dirichlet character restricted to the unit group of ℤ/nℤ is a group homomorphism into the multiplicative group of nonzero complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrghm.g DChr
dchrghm.z ℤ/n
dchrghm.b
dchrghm.u Unit
dchrghm.h mulGrps
dchrghm.m mulGrpflds
dchrghm.x
Assertion
Ref Expression
dchrghm

Proof of Theorem dchrghm
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrghm.g . . . . . 6 DChr
2 dchrghm.z . . . . . 6 ℤ/n
3 dchrghm.b . . . . . 6
41, 2, 3dchrmhm 23385 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld
5 dchrghm.x . . . . 5
64, 5sseldi 3485 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrpfld
71, 3dchrrcl 23384 . . . . . . . . 9
85, 7syl 16 . . . . . . . 8
98nnnn0d 10855 . . . . . . 7
102zncrng 18453 . . . . . . 7
119, 10syl 16 . . . . . 6
12 crngring 17080 . . . . . 6
1311, 12syl 16 . . . . 5
14 dchrghm.u . . . . . 6 Unit
15 eqid 2441 . . . . . 6 mulGrp mulGrp
1614, 15unitsubm 17190 . . . . 5 SubMndmulGrp
1713, 16syl 16 . . . 4 SubMndmulGrp
18 dchrghm.h . . . . 5 mulGrps
1918resmhm 15861 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrpfld SubMndmulGrp MndHom mulGrpfld
206, 17, 19syl2anc 661 . . 3 MndHom mulGrpfld
21 cnring 18311 . . . . 5 fld
22 cnfldbas 18295 . . . . . . 7 fld
23 cnfld0 18313 . . . . . . 7 fld
24 cndrng 18318 . . . . . . 7 fld
2522, 23, 24drngui 17273 . . . . . 6 Unitfld
26 eqid 2441 . . . . . 6 mulGrpfld mulGrpfld
2725, 26unitsubm 17190 . . . . 5 fld SubMndmulGrpfld
2821, 27ax-mp 5 . . . 4 SubMndmulGrpfld
29 df-ima 4999 . . . . 5
30 eqid 2441 . . . . . . . . . 10
311, 2, 3, 30, 5dchrf 23386 . . . . . . . . 9
3230, 14unitss 17180 . . . . . . . . . 10
3332sseli 3483 . . . . . . . . 9
34 ffvelrn 6011 . . . . . . . . 9
3531, 33, 34syl2an 477 . . . . . . . 8
36 simpr 461 . . . . . . . . 9
375adantr 465 . . . . . . . . . 10
3833adantl 466 . . . . . . . . . 10
391, 2, 3, 30, 14, 37, 38dchrn0 23394 . . . . . . . . 9
4036, 39mpbird 232 . . . . . . . 8
41 eldifsn 4137 . . . . . . . 8
4235, 40, 41sylanbrc 664 . . . . . . 7
4342ralrimiva 2855 . . . . . 6
44 ffun 5720 . . . . . . . 8
4531, 44syl 16 . . . . . . 7
46 fdm 5722 . . . . . . . . 9
4731, 46syl 16 . . . . . . . 8
4832, 47syl5sseqr 3536 . . . . . . 7
49 funimass4 5906 . . . . . . 7
5045, 48, 49syl2anc 661 . . . . . 6
5143, 50mpbird 232 . . . . 5
5229, 51syl5eqssr 3532 . . . 4
53 dchrghm.m . . . . 5 mulGrpflds
5453resmhm2b 15863 . . . 4 SubMndmulGrpfld MndHom mulGrpfld MndHom
5528, 52, 54sylancr 663 . . 3 MndHom mulGrpfld MndHom
5620, 55mpbid 210 . 2 MndHom
5714, 18unitgrp 17187 . . . 4
5813, 57syl 16 . . 3
5953cnmgpabl 18350 . . . 4
60 ablgrp 16674 . . . 4
6159, 60ax-mp 5 . . 3
62 ghmmhmb 16149 . . 3 MndHom
6358, 61, 62sylancl 662 . 2 MndHom
6456, 63eleqtrrd 2532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1381   wcel 1802   wne 2636  wral 2791   cdif 3456   wss 3459  csn 4011   cdm 4986   crn 4987   cres 4988  cima 4989   wfun 5569  wf 5571  cfv 5575  (class class class)co 6278  cc 9490  cc0 9492  cn 10539  cn0 10798  cbs 14506   ↾s cress 14507   MndHom cmhm 15835  SubMndcsubmnd 15836  cgrp 15924   cghm 16135  cabl 16670  mulGrpcmgp 17012  crg 17069  ccrg 17070  Unitcui 17159  ℂfldccnfld 18291  ℤ/nℤczn 18410  DChrcdchr 23376 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-addf 9571  ax-mulf 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-tpos 6954  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-oadd 7133  df-er 7310  df-ec 7312  df-qs 7316  df-map 7421  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-sup 7900  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-9 10604  df-10 10605  df-n0 10799  df-z 10868  df-dec 10982  df-uz 11088  df-fz 11679  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-0g 14713  df-imas 14779  df-qus 14780  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-mhm 15837  df-submnd 15838  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-subg 16069  df-nsg 16070  df-eqg 16071  df-ghm 16136  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17013  df-ur 17025  df-ring 17071  df-cring 17072  df-oppr 17143  df-dvdsr 17161  df-unit 17162  df-invr 17192  df-dvr 17203  df-drng 17269  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-lidl 17691  df-rsp 17692  df-2idl 17751  df-cnfld 18292  df-zring 18360  df-zn 18414  df-dchr 23377 This theorem is referenced by:  dchrabs  23404  sum2dchr  23418
 Copyright terms: Public domain W3C validator