MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrf Structured version   Unicode version

Theorem dchrf 22556
Description: A Dirichlet character is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrf.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrf.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchrf  |-  ( ph  ->  X : B --> CC )

Proof of Theorem dchrf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrf.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2 dchrmhm.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
3 dchrmhm.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 dchrf.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Z
)
5 eqid 2438 . . . 4  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
6 dchrmhm.b . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
72, 6dchrrcl 22554 . . . . 5  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
81, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
92, 3, 4, 5, 8, 6dchrelbas3 22552 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) )  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z
) ) ) ) ) )
101, 9mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
)  /\  ( X `  ( 1r `  Z
) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) ) ) )
1110simpld 459 1  |-  ( ph  ->  X : B --> CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    x. cmul 9279   NNcn 10314   Basecbs 14166   .rcmulr 14231   1rcur 16591  Unitcui 16719  ℤ/nczn 17909  DChrcdchr 22546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-0g 14372  df-imas 14438  df-divs 14439  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-subg 15669  df-nsg 15670  df-eqg 15671  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-cring 16636  df-oppr 16703  df-dvdsr 16721  df-unit 16722  df-subrg 16841  df-lmod 16928  df-lss 16991  df-lsp 17030  df-sra 17230  df-rgmod 17231  df-lidl 17232  df-rsp 17233  df-2idl 17291  df-cnfld 17794  df-zring 17859  df-zn 17913  df-dchr 22547
This theorem is referenced by:  dchrzrhcl  22559  dchrmulcl  22563  dchrmulid2  22566  dchrinvcl  22567  dchrabl  22568  dchrfi  22569  dchrghm  22570  dchreq  22572  dchrresb  22573  dchrabs  22574  dchrinv  22575  dchr1re  22577  dchrsum2  22582  dchrsum  22583  sumdchr2  22584  dchrhash  22585  dchr2sum  22587  sum2dchr  22588  dchrisumlem1  22713  rpvmasum2  22736  dchrisum0re  22737
  Copyright terms: Public domain W3C validator