MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrf Structured version   Unicode version

Theorem dchrf 22717
Description: A Dirichlet character is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrf.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrf.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchrf  |-  ( ph  ->  X : B --> CC )

Proof of Theorem dchrf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrf.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2 dchrmhm.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
3 dchrmhm.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 dchrf.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Z
)
5 eqid 2454 . . . 4  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
6 dchrmhm.b . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
72, 6dchrrcl 22715 . . . . 5  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
81, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
92, 3, 4, 5, 8, 6dchrelbas3 22713 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) )  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z
) ) ) ) ) )
101, 9mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
)  /\  ( X `  ( 1r `  Z
) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) ) ) )
1110simpld 459 1  |-  ( ph  ->  X : B --> CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   0cc0 9396   1c1 9397    x. cmul 9401   NNcn 10436   Basecbs 14295   .rcmulr 14361   1rcur 16728  Unitcui 16857  ℤ/nczn 18062  DChrcdchr 22707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-addf 9475  ax-mulf 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-ec 7216  df-qs 7220  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-0g 14502  df-imas 14568  df-divs 14569  df-mnd 15537  df-mhm 15586  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-subg 15800  df-nsg 15801  df-eqg 15802  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-cring 16774  df-oppr 16841  df-dvdsr 16859  df-unit 16860  df-subrg 16989  df-lmod 17076  df-lss 17140  df-lsp 17179  df-sra 17379  df-rgmod 17380  df-lidl 17381  df-rsp 17382  df-2idl 17440  df-cnfld 17947  df-zring 18012  df-zn 18066  df-dchr 22708
This theorem is referenced by:  dchrzrhcl  22720  dchrmulcl  22724  dchrmulid2  22727  dchrinvcl  22728  dchrabl  22729  dchrfi  22730  dchrghm  22731  dchreq  22733  dchrresb  22734  dchrabs  22735  dchrinv  22736  dchr1re  22738  dchrsum2  22743  dchrsum  22744  sumdchr2  22745  dchrhash  22746  dchr2sum  22748  sum2dchr  22749  dchrisumlem1  22874  rpvmasum2  22897  dchrisum0re  22898
  Copyright terms: Public domain W3C validator