Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchreq Structured version   Unicode version

Theorem dchreq 23509
 Description: A Dirichlet character is determined by its values on the unit group. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrresb.g DChr
dchrresb.z ℤ/n
dchrresb.b
dchrresb.u Unit
dchrresb.x
dchrresb.Y
Assertion
Ref Expression
dchreq
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem dchreq
StepHypRef Expression
1 dchrresb.g . . . . . 6 DChr
2 dchrresb.z . . . . . 6 ℤ/n
3 dchrresb.b . . . . . 6
4 eqid 2443 . . . . . 6
5 dchrresb.x . . . . . 6
61, 2, 3, 4, 5dchrf 23493 . . . . 5
7 ffn 5721 . . . . 5
86, 7syl 16 . . . 4
9 dchrresb.Y . . . . . 6
101, 2, 3, 4, 9dchrf 23493 . . . . 5
11 ffn 5721 . . . . 5
1210, 11syl 16 . . . 4
13 eqfnfv 5966 . . . 4
148, 12, 13syl2anc 661 . . 3
15 dchrresb.u . . . . . . 7 Unit
164, 15unitss 17287 . . . . . 6
17 undif 3894 . . . . . 6
1816, 17mpbi 208 . . . . 5
1918raleqi 3044 . . . 4
20 ralunb 3670 . . . 4
2119, 20bitr3i 251 . . 3
2214, 21syl6bb 261 . 2
23 eldif 3471 . . . . . 6
245adantr 465 . . . . . . . . . 10
25 simpr 461 . . . . . . . . . 10
261, 2, 3, 4, 15, 24, 25dchrn0 23501 . . . . . . . . 9
2726biimpd 207 . . . . . . . 8
2827necon1bd 2661 . . . . . . 7
2928impr 619 . . . . . 6
3023, 29sylan2b 475 . . . . 5
319adantr 465 . . . . . . . . . 10
321, 2, 3, 4, 15, 31, 25dchrn0 23501 . . . . . . . . 9
3332biimpd 207 . . . . . . . 8
3433necon1bd 2661 . . . . . . 7
3534impr 619 . . . . . 6
3623, 35sylan2b 475 . . . . 5
3730, 36eqtr4d 2487 . . . 4
3837ralrimiva 2857 . . 3
3938biantrud 507 . 2
4022, 39bitr4d 256 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  wral 2793   cdif 3458   cun 3459   wss 3461   wfn 5573  wf 5574  cfv 5578  cc 9493  cc0 9495  cbs 14613  Unitcui 17266  ℤ/nℤczn 18517  DChrcdchr 23483 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-addf 9574  ax-mulf 9575 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-fz 11683  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-starv 14693  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-unif 14701  df-0g 14820  df-imas 14886  df-qus 14887  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-mhm 15944  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-sbg 16037  df-subg 16176  df-nsg 16177  df-eqg 16178  df-cmn 16778  df-abl 16779  df-mgp 17120  df-ur 17132  df-ring 17178  df-cring 17179  df-oppr 17250  df-dvdsr 17268  df-unit 17269  df-invr 17299  df-subrg 17405  df-lmod 17492  df-lss 17557  df-lsp 17596  df-sra 17796  df-rgmod 17797  df-lidl 17798  df-rsp 17799  df-2idl 17858  df-cnfld 18399  df-zring 18467  df-zn 18521  df-dchr 23484 This theorem is referenced by:  dchrresb  23510  dchrinv  23512  dchrsum2  23519
 Copyright terms: Public domain W3C validator