MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchreq Structured version   Unicode version

Theorem dchreq 23254
Description: A Dirichlet character is determined by its values on the unit group. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrresb.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrresb.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrresb.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrresb.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrresb.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrresb.Y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchreq  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <->  A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
Distinct variable groups:    ph, k    U, k    k, X    k, Y    k, Z
Allowed substitution hints:    D( k)    G( k)    N( k)

Proof of Theorem dchreq
StepHypRef Expression
1 dchrresb.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrresb.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrresb.b . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
5 dchrresb.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
61, 2, 3, 4, 5dchrf 23238 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
7 ffn 5722 . . . . 5  |-  ( X : ( Base `  Z
) --> CC  ->  X  Fn  ( Base `  Z
) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  Fn  ( Base `  Z ) )
9 dchrresb.Y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
101, 2, 3, 4, 9dchrf 23238 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y : ( Base `  Z ) --> CC )
11 ffn 5722 . . . . 5  |-  ( Y : ( Base `  Z
) --> CC  ->  Y  Fn  ( Base `  Z
) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  Fn  ( Base `  Z ) )
13 eqfnfv 5966 . . . 4  |-  ( ( X  Fn  ( Base `  Z )  /\  Y  Fn  ( Base `  Z
) )  ->  ( X  =  Y  <->  A. k  e.  ( Base `  Z
) ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
148, 12, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <->  A. k  e.  ( Base `  Z ) ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
15 dchrresb.u . . . . . . 7  |-  U  =  (Unit `  Z )
164, 15unitss 17086 . . . . . 6  |-  U  C_  ( Base `  Z )
17 undif 3900 . . . . . 6  |-  ( U 
C_  ( Base `  Z
)  <->  ( U  u.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
)  =  ( Base `  Z ) )
1816, 17mpbi 208 . . . . 5  |-  ( U  u.  ( ( Base `  Z )  \  U
) )  =  (
Base `  Z )
1918raleqi 3055 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( U  u.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
) ( X `  k )  =  ( Y `  k )  <->  A. k  e.  ( Base `  Z ) ( X `  k )  =  ( Y `  k ) )
20 ralunb 3678 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( U  u.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
) ( X `  k )  =  ( Y `  k )  <-> 
( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  /\  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) ) )
2119, 20bitr3i 251 . . 3  |-  ( A. k  e.  ( Base `  Z ) ( X `
 k )  =  ( Y `  k
)  <->  ( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  /\  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) ) )
2214, 21syl6bb 261 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <-> 
( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  /\  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) ) ) )
23 eldif 3479 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( Base `  Z )  \  U
)  <->  ( k  e.  ( Base `  Z
)  /\  -.  k  e.  U ) )
245adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  X  e.  D )
25 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  k  e.  ( Base `  Z )
)
261, 2, 3, 4, 15, 24, 25dchrn0 23246 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( X `  k )  =/=  0  <->  k  e.  U
) )
2726biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( X `  k )  =/=  0  ->  k  e.  U ) )
2827necon1bd 2678 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( -.  k  e.  U  ->  ( X `  k )  =  0 ) )
2928impr 619 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  Z
)  /\  -.  k  e.  U ) )  -> 
( X `  k
)  =  0 )
3023, 29sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
)  ->  ( X `  k )  =  0 )
319adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  Y  e.  D )
321, 2, 3, 4, 15, 31, 25dchrn0 23246 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( Y `  k )  =/=  0  <->  k  e.  U
) )
3332biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( Y `  k )  =/=  0  ->  k  e.  U ) )
3433necon1bd 2678 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( -.  k  e.  U  ->  ( Y `  k )  =  0 ) )
3534impr 619 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  Z
)  /\  -.  k  e.  U ) )  -> 
( Y `  k
)  =  0 )
3623, 35sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
)  ->  ( Y `  k )  =  0 )
3730, 36eqtr4d 2504 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
)  ->  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) )
3837ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) )
3938biantrud 507 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  <-> 
( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  /\  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) ) ) )
4022, 39bitr4d 256 1  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <->  A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807    \ cdif 3466    u. cun 3467    C_ wss 3469    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579   CCcc 9479   0cc0 9481   Basecbs 14479  Unitcui 17065  ℤ/nczn 18300  DChrcdchr 23228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-ec 7303  df-qs 7307  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-imas 14752  df-divs 14753  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-nsg 15987  df-eqg 15988  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-subrg 17203  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-lidl 17596  df-rsp 17597  df-2idl 17655  df-cnfld 18185  df-zring 18250  df-zn 18304  df-dchr 23229
This theorem is referenced by:  dchrresb  23255  dchrinv  23257  dchrsum2  23264
  Copyright terms: Public domain W3C validator