MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchreq Structured version   Unicode version

Theorem dchreq 23509
Description: A Dirichlet character is determined by its values on the unit group. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrresb.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrresb.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrresb.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrresb.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrresb.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrresb.Y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchreq  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <->  A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
Distinct variable groups:    ph, k    U, k    k, X    k, Y    k, Z
Allowed substitution hints:    D( k)    G( k)    N( k)

Proof of Theorem dchreq
StepHypRef Expression
1 dchrresb.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrresb.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrresb.b . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
5 dchrresb.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
61, 2, 3, 4, 5dchrf 23493 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
7 ffn 5721 . . . . 5  |-  ( X : ( Base `  Z
) --> CC  ->  X  Fn  ( Base `  Z
) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  Fn  ( Base `  Z ) )
9 dchrresb.Y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
101, 2, 3, 4, 9dchrf 23493 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y : ( Base `  Z ) --> CC )
11 ffn 5721 . . . . 5  |-  ( Y : ( Base `  Z
) --> CC  ->  Y  Fn  ( Base `  Z
) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  Fn  ( Base `  Z ) )
13 eqfnfv 5966 . . . 4  |-  ( ( X  Fn  ( Base `  Z )  /\  Y  Fn  ( Base `  Z
) )  ->  ( X  =  Y  <->  A. k  e.  ( Base `  Z
) ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
148, 12, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <->  A. k  e.  ( Base `  Z ) ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
15 dchrresb.u . . . . . . 7  |-  U  =  (Unit `  Z )
164, 15unitss 17287 . . . . . 6  |-  U  C_  ( Base `  Z )
17 undif 3894 . . . . . 6  |-  ( U 
C_  ( Base `  Z
)  <->  ( U  u.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
)  =  ( Base `  Z ) )
1816, 17mpbi 208 . . . . 5  |-  ( U  u.  ( ( Base `  Z )  \  U
) )  =  (
Base `  Z )
1918raleqi 3044 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( U  u.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
) ( X `  k )  =  ( Y `  k )  <->  A. k  e.  ( Base `  Z ) ( X `  k )  =  ( Y `  k ) )
20 ralunb 3670 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( U  u.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
) ( X `  k )  =  ( Y `  k )  <-> 
( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  /\  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) ) )
2119, 20bitr3i 251 . . 3  |-  ( A. k  e.  ( Base `  Z ) ( X `
 k )  =  ( Y `  k
)  <->  ( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  /\  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) ) )
2214, 21syl6bb 261 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <-> 
( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  /\  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) ) ) )
23 eldif 3471 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( Base `  Z )  \  U
)  <->  ( k  e.  ( Base `  Z
)  /\  -.  k  e.  U ) )
245adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  X  e.  D )
25 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  k  e.  ( Base `  Z )
)
261, 2, 3, 4, 15, 24, 25dchrn0 23501 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( X `  k )  =/=  0  <->  k  e.  U
) )
2726biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( X `  k )  =/=  0  ->  k  e.  U ) )
2827necon1bd 2661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( -.  k  e.  U  ->  ( X `  k )  =  0 ) )
2928impr 619 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  Z
)  /\  -.  k  e.  U ) )  -> 
( X `  k
)  =  0 )
3023, 29sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
)  ->  ( X `  k )  =  0 )
319adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  Y  e.  D )
321, 2, 3, 4, 15, 31, 25dchrn0 23501 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( Y `  k )  =/=  0  <->  k  e.  U
) )
3332biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( Y `  k )  =/=  0  ->  k  e.  U ) )
3433necon1bd 2661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( -.  k  e.  U  ->  ( Y `  k )  =  0 ) )
3534impr 619 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  Z
)  /\  -.  k  e.  U ) )  -> 
( Y `  k
)  =  0 )
3623, 35sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
)  ->  ( Y `  k )  =  0 )
3730, 36eqtr4d 2487 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
)  ->  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) )
3837ralrimiva 2857 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) )
3938biantrud 507 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  <-> 
( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  /\  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) ) ) )
4022, 39bitr4d 256 1  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <->  A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793    \ cdif 3458    u. cun 3459    C_ wss 3461    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578   CCcc 9493   0cc0 9495   Basecbs 14613  Unitcui 17266  ℤ/nczn 18517  DChrcdchr 23483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-fz 11683  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-starv 14693  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-unif 14701  df-0g 14820  df-imas 14886  df-qus 14887  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-mhm 15944  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-sbg 16037  df-subg 16176  df-nsg 16177  df-eqg 16178  df-cmn 16778  df-abl 16779  df-mgp 17120  df-ur 17132  df-ring 17178  df-cring 17179  df-oppr 17250  df-dvdsr 17268  df-unit 17269  df-invr 17299  df-subrg 17405  df-lmod 17492  df-lss 17557  df-lsp 17596  df-sra 17796  df-rgmod 17797  df-lidl 17798  df-rsp 17799  df-2idl 17858  df-cnfld 18399  df-zring 18467  df-zn 18521  df-dchr 23484
This theorem is referenced by:  dchrresb  23510  dchrinv  23512  dchrsum2  23519
  Copyright terms: Public domain W3C validator