Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrelbas4 Structured version   Unicode version

Theorem dchrelbas4 24169
 Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of , which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g DChr
dchrmhm.z ℤ/n
dchrmhm.b
dchrelbas4.l RHom
Assertion
Ref Expression
dchrelbas4 mulGrp MndHom mulGrpfld
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem dchrelbas4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . . 4 DChr
2 dchrmhm.b . . . 4
31, 2dchrrcl 24166 . . 3
4 dchrmhm.z . . . . 5 ℤ/n
5 eqid 2422 . . . . 5
6 eqid 2422 . . . . 5 Unit Unit
7 id 22 . . . . 5
81, 4, 5, 6, 7, 2dchrelbas2 24163 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit
9 nnnn0 10883 . . . . . . . 8
109adantr 466 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
11 dchrelbas4.l . . . . . . . 8 RHom
124, 5, 11znzrhfo 19116 . . . . . . 7
13 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10
1413neeq1d 2697 . . . . . . . . 9
15 eleq1 2495 . . . . . . . . 9 Unit Unit
1614, 15imbi12d 321 . . . . . . . 8 Unit Unit
1716cbvfo 6202 . . . . . . 7 Unit Unit
1810, 12, 173syl 18 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit Unit
19 df-ne 2616 . . . . . . . . . 10
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 mulGrp MndHom mulGrpfld
214, 6, 11znunit 19132 . . . . . . . . . . 11 Unit
2210, 21sylan 473 . . . . . . . . . 10 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit
23 1red 9665 . . . . . . . . . . . 12 mulGrp MndHom mulGrpfld
24 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14 mulGrp MndHom mulGrpfld
25 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 mulGrp MndHom mulGrpfld
2625nnzd 11046 . . . . . . . . . . . . . 14 mulGrp MndHom mulGrpfld
27 nnne0 10649 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2928necon3ai 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15
3025, 27, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 mulGrp MndHom mulGrpfld
31 gcdn0cl 14475 . . . . . . . . . . . . . 14
3224, 26, 30, 31syl21anc 1263 . . . . . . . . . . . . 13 mulGrp MndHom mulGrpfld
3332nnred 10631 . . . . . . . . . . . 12 mulGrp MndHom mulGrpfld
3432nnge1d 10659 . . . . . . . . . . . 12 mulGrp MndHom mulGrpfld
3523, 33, 34leltned 9795 . . . . . . . . . . 11 mulGrp MndHom mulGrpfld
3635necon2bbid 2676 . . . . . . . . . 10 mulGrp MndHom mulGrpfld
3722, 36bitrd 256 . . . . . . . . 9 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit
3820, 37imbi12d 321 . . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit
39 con34b 293 . . . . . . . 8
4038, 39syl6bbr 266 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit
4140ralbidva 2858 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit
4218, 41bitr3d 258 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit
4342pm5.32da 645 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit mulGrp MndHom mulGrpfld
448, 43bitrd 256 . . 3 mulGrp MndHom mulGrpfld
453, 44biadan2 646 . 2 mulGrp MndHom mulGrpfld
46 3anass 986 . 2 mulGrp MndHom mulGrpfld mulGrp MndHom mulGrpfld
4745, 46bitr4i 255 1 mulGrp MndHom mulGrpfld
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614  wral 2771   class class class wbr 4423  wfo 5599  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc0 9546  c1 9547   clt 9682  cn 10616  cn0 10876  cz 10944   cgcd 14467  cbs 15120   MndHom cmhm 16579  mulGrpcmgp 17722  Unitcui 17866  ℂfldccnfld 18969  RHomczrh 19069  ℤ/nℤczn 19072  DChrcdchr 24158 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6984  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-ec 7376  df-qs 7380  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14305  df-gcd 14468  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-0g 15339  df-imas 15406  df-qus 15408  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-mhm 16581  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mulg 16675  df-subg 16813  df-nsg 16814  df-eqg 16815  df-ghm 16880  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-oppr 17850  df-dvdsr 17868  df-unit 17869  df-rnghom 17942  df-subrg 18005  df-lmod 18092  df-lss 18155  df-lsp 18194  df-sra 18394  df-rgmod 18395  df-lidl 18396  df-rsp 18397  df-2idl 18455  df-cnfld 18970  df-zring 19038  df-zrh 19073  df-zn 19076  df-dchr 24159 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator