Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrelbas2 Structured version   Unicode version

Theorem dchrelbas2 24028
 Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of , which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrval.g DChr
dchrval.z ℤ/n
dchrval.b
dchrval.u Unit
dchrval.n
dchrbas.b
Assertion
Ref Expression
dchrelbas2 mulGrp MndHom mulGrpfld
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem dchrelbas2
StepHypRef Expression
1 dchrval.g . . 3 DChr
2 dchrval.z . . 3 ℤ/n
3 dchrval.b . . 3
4 dchrval.u . . 3 Unit
5 dchrval.n . . 3
6 dchrbas.b . . 3
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrelbas 24027 . 2 mulGrp MndHom mulGrpfld
8 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11 mulGrp mulGrp
98, 3mgpbas 17664 . . . . . . . . . 10 mulGrp
10 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11 mulGrpfld mulGrpfld
11 cnfldbas 18909 . . . . . . . . . . 11 fld
1210, 11mgpbas 17664 . . . . . . . . . 10 mulGrpfld
139, 12mhmf 16538 . . . . . . . . 9 mulGrp MndHom mulGrpfld
1413adantl 467 . . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpfld
15 ffun 5748 . . . . . . . 8
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
17 funssres 5641 . . . . . . 7
1816, 17sylan 473 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
19 simpr 462 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
20 resss 5148 . . . . . . 7
2119, 20syl6eqssr 3521 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
2218, 21impbida 840 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld
23 0cn 9634 . . . . . . . . 9
24 fconst6g 5789 . . . . . . . . 9
2523, 24mp1i 13 . . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpfld
26 fdm 5750 . . . . . . . 8
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
2827reseq2d 5125 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
2928eqeq1d 2431 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld
3022, 29bitrd 256 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrpfld
31 difss 3598 . . . . . . . 8
32 fssres 5766 . . . . . . . 8
3314, 31, 32sylancl 666 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
34 ffn 5746 . . . . . . 7
3533, 34syl 17 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
36 ffn 5746 . . . . . . 7
3725, 36syl 17 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
38 eqfnfv 5991 . . . . . 6
3935, 37, 38syl2anc 665 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld
40 fvres 5895 . . . . . . . 8
41 c0ex 9636 . . . . . . . . 9
4241fvconst2 6135 . . . . . . . 8
4340, 42eqeq12d 2451 . . . . . . 7
4443ralbiia 2862 . . . . . 6
45 eldif 3452 . . . . . . . . 9
4645imbi1i 326 . . . . . . . 8
47 impexp 447 . . . . . . . 8
48 con1b 334 . . . . . . . . . 10
49 df-ne 2627 . . . . . . . . . . 11
5049imbi1i 326 . . . . . . . . . 10
5148, 50bitr4i 255 . . . . . . . . 9
5251imbi2i 313 . . . . . . . 8
5346, 47, 523bitri 274 . . . . . . 7
5453ralbii2 2861 . . . . . 6
5544, 54bitri 252 . . . . 5
5639, 55syl6bb 264 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrpfld
5730, 56bitrd 256 . . 3 mulGrp MndHom mulGrpfld
5857pm5.32da 645 . 2 mulGrp MndHom mulGrpfld mulGrp MndHom mulGrpfld
597, 58bitrd 256 1 mulGrp MndHom mulGrpfld
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625  wral 2782   cdif 3439   wss 3442  csn 4002   cxp 4852   cdm 4854   cres 4856   wfun 5595   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc 9536  cc0 9538  cn 10609  cbs 15084   MndHom cmhm 16531  mulGrpcmgp 17658  Unitcui 17802  ℂfldccnfld 18905  ℤ/nℤczn 19005  DChrcdchr 24023 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-mhm 16533  df-mgp 17659  df-cnfld 18906  df-dchr 24024 This theorem is referenced by:  dchrelbas3  24029  dchrelbas4  24034  dchrmulcl  24040  dchrn0  24041  dchrmulid2  24043
 Copyright terms: Public domain W3C validator