Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrabl Structured version   Unicode version

Theorem dchrabl 24169
 Description: The set of Dirichlet characters is an Abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dchrabl.g DChr
Assertion
Ref Expression
dchrabl

Proof of Theorem dchrabl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2423 . 2
2 eqidd 2423 . 2
3 dchrabl.g . . . 4 DChr
4 eqid 2422 . . . 4 ℤ/n ℤ/n
5 eqid 2422 . . . 4
6 eqid 2422 . . . 4
7 simp2 1006 . . . 4
8 simp3 1007 . . . 4
93, 4, 5, 6, 7, 8dchrmulcl 24164 . . 3
10 fvex 5888 . . . . . . 7 ℤ/n
1110a1i 11 . . . . . 6 ℤ/n
12 eqid 2422 . . . . . . . 8 ℤ/n ℤ/n
133, 4, 5, 12, 7dchrf 24157 . . . . . . 7 ℤ/n
14133adant3r3 1216 . . . . . 6 ℤ/n
153, 4, 5, 12, 8dchrf 24157 . . . . . . 7 ℤ/n
16153adant3r3 1216 . . . . . 6 ℤ/n
17 simpr3 1013 . . . . . . 7
183, 4, 5, 12, 17dchrf 24157 . . . . . 6 ℤ/n
19 mulass 9628 . . . . . . 7
2019adantl 467 . . . . . 6
2111, 14, 16, 18, 20caofass 6576 . . . . 5
22 simpr1 1011 . . . . . . 7
23 simpr2 1012 . . . . . . 7
243, 4, 5, 6, 22, 23dchrmul 24163 . . . . . 6
2524oveq1d 6317 . . . . 5
263, 4, 5, 6, 23, 17dchrmul 24163 . . . . . 6
2726oveq2d 6318 . . . . 5
2821, 25, 273eqtr4d 2473 . . . 4
2993adant3r3 1216 . . . . 5
303, 4, 5, 6, 29, 17dchrmul 24163 . . . 4
313, 4, 5, 6, 23, 17dchrmulcl 24164 . . . . 5
323, 4, 5, 6, 22, 31dchrmul 24163 . . . 4
3328, 30, 323eqtr4d 2473 . . 3
34 eqid 2422 . . . 4 Unitℤ/n Unitℤ/n
35 eqid 2422 . . . 4 ℤ/n Unitℤ/n ℤ/n Unitℤ/n
36 id 23 . . . 4
373, 4, 5, 12, 34, 35, 36dchr1cl 24166 . . 3 ℤ/n Unitℤ/n
38 simpr 462 . . . 4
393, 4, 5, 12, 34, 35, 6, 38dchrmulid2 24167 . . 3 ℤ/n Unitℤ/n
40 eqid 2422 . . . . 5 ℤ/n Unitℤ/n ℤ/n Unitℤ/n
413, 4, 5, 12, 34, 35, 6, 38, 40dchrinvcl 24168 . . . 4 ℤ/n Unitℤ/n ℤ/n Unitℤ/n ℤ/n Unitℤ/n
4241simpld 460 . . 3 ℤ/n Unitℤ/n
4341simprd 464 . . 3 ℤ/n Unitℤ/n ℤ/n Unitℤ/n
441, 2, 9, 33, 37, 39, 42, 43isgrpd 16679 . 2
4510a1i 11 . . . 4 ℤ/n
46 mulcom 9626 . . . . 5
4746adantl 467 . . . 4
4845, 13, 15, 47caofcom 6574 . . 3
493, 4, 5, 6, 7, 8dchrmul 24163 . . 3
503, 4, 5, 6, 8, 7dchrmul 24163 . . 3
5148, 49, 503eqtr4d 2473 . 2
521, 2, 44, 51isabld 17431 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1868  cvv 3081  cif 3909   cmpt 4479  wf 5594  cfv 5598  (class class class)co 6302   cof 6540  cc 9538  cc0 9540  c1 9541   cmul 9545   cdiv 10270  cn 10610  cbs 15109   cplusg 15178  cabl 17419  Unitcui 17855  ℤ/nℤczn 19061  DChrcdchr 24147 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-addf 9619  ax-mulf 9620 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-ec 7370  df-qs 7374  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7959  df-inf 7960  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-fz 11786  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-0g 15328  df-imas 15395  df-qus 15397  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-mhm 16570  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-sbg 16663  df-subg 16802  df-nsg 16803  df-eqg 16804  df-cmn 17420  df-abl 17421  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-ring 17770  df-cring 17771  df-oppr 17839  df-dvdsr 17857  df-unit 17858  df-invr 17888  df-subrg 17994  df-lmod 18081  df-lss 18144  df-lsp 18183  df-sra 18383  df-rgmod 18384  df-lidl 18385  df-rsp 18386  df-2idl 18444  df-cnfld 18959  df-zring 19027  df-zn 19065  df-dchr 24148 This theorem is referenced by:  dchr1  24172  dchrinv  24176  dchr1re  24178  dchrpt  24182  dchrsum2  24183  sumdchr2  24185  dchrhash  24186  dchr2sum  24188  rpvmasumlem  24312  rpvmasum2  24337  dchrisum0re  24338
 Copyright terms: Public domain W3C validator