MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1re Structured version   Unicode version

Theorem dchr1re 23259
Description: The principal Dirichlet character is a real character. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr1re.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchr1re.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchr1re.o  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchr1re.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchr1re.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
dchr1re  |-  ( ph  ->  .1.  : B --> RR )

Proof of Theorem dchr1re
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1re.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchr1re.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 eqid 2460 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
4 dchr1re.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Z
)
5 dchr1re.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
61dchrabl 23250 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  G  e.  Abel )
7 ablgrp 16592 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
8 dchr1re.o . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
93, 8grpidcl 15872 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  .1.  e.  ( Base `  G
) )
105, 6, 7, 94syl 21 . . . 4  |-  ( ph  ->  .1.  e.  ( Base `  G ) )
111, 2, 3, 4, 10dchrf 23238 . . 3  |-  ( ph  ->  .1.  : B --> CC )
12 ffn 5722 . . 3  |-  (  .1. 
: B --> CC  ->  .1. 
Fn  B )
1311, 12syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  .1.  Fn  B )
14 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =  0 )  ->  (  .1.  `  x )  =  0 )
15 0re 9585 . . . . 5  |-  0  e.  RR
1614, 15syl6eqel 2556 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =  0 )  ->  (  .1.  `  x )  e.  RR )
17 eqid 2460 . . . . . 6  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
185ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =/=  0 )  ->  N  e.  NN )
1910adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .1.  e.  ( Base `  G
) )
20 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
211, 2, 3, 4, 17, 19, 20dchrn0 23246 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
(  .1.  `  x
)  =/=  0  <->  x  e.  (Unit `  Z )
) )
2221biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =/=  0 )  ->  x  e.  (Unit `  Z )
)
231, 2, 8, 17, 18, 22dchr1 23253 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =/=  0 )  ->  (  .1.  `  x )  =  1 )
24 1re 9584 . . . . 5  |-  1  e.  RR
2523, 24syl6eqel 2556 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =/=  0 )  ->  (  .1.  `  x )  e.  RR )
2616, 25pm2.61dane 2778 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .1.  `  x )  e.  RR )
2726ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  (  .1.  `  x )  e.  RR )
28 ffnfv 6038 . 2  |-  (  .1. 
: B --> RR  <->  (  .1.  Fn  B  /\  A. x  e.  B  (  .1.  `  x )  e.  RR ) )
2913, 27, 28sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  .1.  : B --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   NNcn 10525   Basecbs 14479   0gc0g 14684   Grpcgrp 15716   Abelcabel 16588  Unitcui 17065  ℤ/nczn 18300  DChrcdchr 23228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-ec 7303  df-qs 7307  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-imas 14752  df-divs 14753  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-nsg 15987  df-eqg 15988  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-subrg 17203  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-lidl 17596  df-rsp 17597  df-2idl 17655  df-cnfld 18185  df-zring 18250  df-zn 18304  df-dchr 23229
This theorem is referenced by:  rpvmasumlem  23393
  Copyright terms: Public domain W3C validator