MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1re Structured version   Unicode version

Theorem dchr1re 23919
Description: The principal Dirichlet character is a real character. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr1re.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchr1re.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchr1re.o  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchr1re.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchr1re.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
dchr1re  |-  ( ph  ->  .1.  : B --> RR )

Proof of Theorem dchr1re
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1re.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchr1re.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
4 dchr1re.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Z
)
5 dchr1re.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
61dchrabl 23910 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  G  e.  Abel )
7 ablgrp 17127 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
8 dchr1re.o . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
93, 8grpidcl 16402 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  .1.  e.  ( Base `  G
) )
105, 6, 7, 94syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  .1.  e.  ( Base `  G ) )
111, 2, 3, 4, 10dchrf 23898 . . 3  |-  ( ph  ->  .1.  : B --> CC )
12 ffn 5714 . . 3  |-  (  .1. 
: B --> CC  ->  .1. 
Fn  B )
1311, 12syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  .1.  Fn  B )
14 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =  0 )  ->  (  .1.  `  x )  =  0 )
15 0re 9626 . . . . 5  |-  0  e.  RR
1614, 15syl6eqel 2498 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =  0 )  ->  (  .1.  `  x )  e.  RR )
17 eqid 2402 . . . . . 6  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
185ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =/=  0 )  ->  N  e.  NN )
1910adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .1.  e.  ( Base `  G
) )
20 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
211, 2, 3, 4, 17, 19, 20dchrn0 23906 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
(  .1.  `  x
)  =/=  0  <->  x  e.  (Unit `  Z )
) )
2221biimpa 482 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =/=  0 )  ->  x  e.  (Unit `  Z )
)
231, 2, 8, 17, 18, 22dchr1 23913 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =/=  0 )  ->  (  .1.  `  x )  =  1 )
24 1re 9625 . . . . 5  |-  1  e.  RR
2523, 24syl6eqel 2498 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =/=  0 )  ->  (  .1.  `  x )  e.  RR )
2616, 25pm2.61dane 2721 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .1.  `  x )  e.  RR )
2726ralrimiva 2818 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  (  .1.  `  x )  e.  RR )
28 ffnfv 6036 . 2  |-  (  .1. 
: B --> RR  <->  (  .1.  Fn  B  /\  A. x  e.  B  (  .1.  `  x )  e.  RR ) )
2913, 27, 28sylanbrc 662 1  |-  ( ph  ->  .1.  : B --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523   NNcn 10576   Basecbs 14841   0gc0g 15054   Grpcgrp 16377   Abelcabl 17123  Unitcui 17608  ℤ/nczn 18840  DChrcdchr 23888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-ec 7350  df-qs 7354  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-0g 15056  df-imas 15122  df-qus 15123  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-subg 16522  df-nsg 16523  df-eqg 16524  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-oppr 17592  df-dvdsr 17610  df-unit 17611  df-invr 17641  df-subrg 17747  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-lsp 17938  df-sra 18138  df-rgmod 18139  df-lidl 18140  df-rsp 18141  df-2idl 18200  df-cnfld 18741  df-zring 18809  df-zn 18844  df-dchr 23889
This theorem is referenced by:  rpvmasumlem  24053
  Copyright terms: Public domain W3C validator