MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1cl Structured version   Unicode version

Theorem dchr1cl 23247
Description: Closure of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrn0.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrn0.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchr1cl.o  |-  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
dchr1cl.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
dchr1cl  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
Distinct variable groups:    B, k    U, k    k, N    ph, k    k, Z
Allowed substitution hints:    D( k)    .1. ( k)    G( k)

Proof of Theorem dchr1cl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1cl.o . 2  |-  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
2 dchrmhm.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
3 dchrmhm.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 dchrn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
5 dchrn0.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  Z )
6 dchr1cl.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 dchrmhm.b . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
8 eqidd 2461 . . 3  |-  ( k  =  x  ->  1  =  1 )
9 eqidd 2461 . . 3  |-  ( k  =  y  ->  1  =  1 )
10 eqidd 2461 . . 3  |-  ( k  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  1  =  1 )
11 eqidd 2461 . . 3  |-  ( k  =  ( 1r `  Z )  ->  1  =  1 )
12 ax-1cn 9539 . . . 4  |-  1  e.  CC
1312a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  1  e.  CC )
14 1t1e1 10672 . . . . 5  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
1514eqcomi 2473 . . . 4  |-  1  =  ( 1  x.  1 )
1615a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
1  =  ( 1  x.  1 ) )
17 eqidd 2461 . . 3  |-  ( ph  ->  1  =  1 )
182, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17dchrelbasd 23235 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )  e.  D )
191, 18syl5eqel 2552 1  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   ifcif 3932    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486   NNcn 10525   Basecbs 14479   .rcmulr 14545   1rcur 16936  Unitcui 17065  ℤ/nczn 18300  DChrcdchr 23228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-ec 7303  df-qs 7307  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-imas 14752  df-divs 14753  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-nsg 15987  df-eqg 15988  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-subrg 17203  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-lidl 17596  df-rsp 17597  df-2idl 17655  df-cnfld 18185  df-zring 18250  df-zn 18304  df-dchr 23229
This theorem is referenced by:  dchrmulid2  23248  dchrabl  23250  dchr1  23253
  Copyright terms: Public domain W3C validator