MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1cl Structured version   Unicode version

Theorem dchr1cl 23727
Description: Closure of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrn0.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrn0.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchr1cl.o  |-  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
dchr1cl.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
dchr1cl  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
Distinct variable groups:    B, k    U, k    k, N    ph, k    k, Z
Allowed substitution hints:    D( k)    .1. ( k)    G( k)

Proof of Theorem dchr1cl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1cl.o . 2  |-  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
2 dchrmhm.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
3 dchrmhm.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 dchrn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
5 dchrn0.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  Z )
6 dchr1cl.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 dchrmhm.b . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
8 eqidd 2455 . . 3  |-  ( k  =  x  ->  1  =  1 )
9 eqidd 2455 . . 3  |-  ( k  =  y  ->  1  =  1 )
10 eqidd 2455 . . 3  |-  ( k  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  1  =  1 )
11 eqidd 2455 . . 3  |-  ( k  =  ( 1r `  Z )  ->  1  =  1 )
12 1cnd 9601 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  1  e.  CC )
13 1t1e1 10679 . . . . 5  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
1413eqcomi 2467 . . . 4  |-  1  =  ( 1  x.  1 )
1514a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
1  =  ( 1  x.  1 ) )
16 eqidd 2455 . . 3  |-  ( ph  ->  1  =  1 )
172, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16dchrelbasd 23715 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )  e.  D )
181, 17syl5eqel 2546 1  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   ifcif 3929    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486   NNcn 10531   Basecbs 14719   .rcmulr 14788   1rcur 17351  Unitcui 17486  ℤ/nczn 18718  DChrcdchr 23708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-ec 7305  df-qs 7309  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-0g 14934  df-imas 15000  df-qus 15001  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-subg 16400  df-nsg 16401  df-eqg 16402  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-cring 17399  df-oppr 17470  df-dvdsr 17488  df-unit 17489  df-subrg 17625  df-lmod 17712  df-lss 17777  df-lsp 17816  df-sra 18016  df-rgmod 18017  df-lidl 18018  df-rsp 18019  df-2idl 18078  df-cnfld 18619  df-zring 18687  df-zn 18722  df-dchr 23709
This theorem is referenced by:  dchrmulid2  23728  dchrabl  23730  dchr1  23733
  Copyright terms: Public domain W3C validator