MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1 Structured version   Unicode version

Theorem dchr1 22732
Description: Value of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr1.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchr1.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchr1.o  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchr1.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchr1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchr1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
Assertion
Ref Expression
dchr1  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  A
)  =  1 )

Proof of Theorem dchr1
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchr1.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
4 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
5 dchr1.u . . . 4  |-  U  =  (Unit `  Z )
6 eqid 2454 . . . 4  |-  ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )  =  ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
7 dchr1.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dchr1cl 22726 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
Base `  Z )  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )  e.  ( Base `  G
) )
9 eleq1 2526 . . . . . 6  |-  ( k  =  x  ->  (
k  e.  U  <->  x  e.  U ) )
109ifbid 3922 . . . . 5  |-  ( k  =  x  ->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  =  if ( x  e.  U , 
1 ,  0 ) )
1110cbvmptv 4494 . . . 4  |-  ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )  =  ( x  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( x  e.  U ,  1 ,  0 ) )
12 eqid 2454 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
131, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 8dchrmulid2 22727 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) ) ( +g  `  G
) ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) ) )  =  ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) ) )
141dchrabl 22729 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  G  e.  Abel )
15 ablgrp 16406 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
16 dchr1.o . . . . 5  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
173, 12, 16isgrpid2 15696 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
k  e.  ( Base `  Z )  |->  if ( k  e.  U , 
1 ,  0 ) ) ( +g  `  G
) ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) ) )  =  ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) ) )  <->  .1.  =  (
k  e.  ( Base `  Z )  |->  if ( k  e.  U , 
1 ,  0 ) ) ) )
187, 14, 15, 174syl 21 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
k  e.  ( Base `  Z )  |->  if ( k  e.  U , 
1 ,  0 ) ) ( +g  `  G
) ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) ) )  =  ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) ) )  <->  .1.  =  (
k  e.  ( Base `  Z )  |->  if ( k  e.  U , 
1 ,  0 ) ) ) )
198, 13, 18mpbi2and 912 . 2  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) ) )
20 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  =  A )  ->  k  =  A )
21 dchr1.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
2221adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  =  A )  ->  A  e.  U )
2320, 22eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  =  A )  ->  k  e.  U )
24 iftrue 3908 . . 3  |-  ( k  e.  U  ->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  =  1 )
2523, 24syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  =  A )  ->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  =  1 )
264, 5unitss 16878 . . 3  |-  U  C_  ( Base `  Z )
2726, 21sseldi 3465 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( Base `  Z ) )
28 ax-1cn 9454 . . 3  |-  1  e.  CC
2928a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3019, 25, 27, 29fvmptd 5891 1  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  A
)  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ifcif 3902    |-> cmpt 4461   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   0cc0 9396   1c1 9397   NNcn 10436   Basecbs 14295   +g cplusg 14360   0gc0g 14500   Grpcgrp 15532   Abelcabel 16402  Unitcui 16857  ℤ/nczn 18062  DChrcdchr 22707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-addf 9475  ax-mulf 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-ec 7216  df-qs 7220  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-0g 14502  df-imas 14568  df-divs 14569  df-mnd 15537  df-mhm 15586  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-subg 15800  df-nsg 15801  df-eqg 15802  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-cring 16774  df-oppr 16841  df-dvdsr 16859  df-unit 16860  df-invr 16890  df-subrg 16989  df-lmod 17076  df-lss 17140  df-lsp 17179  df-sra 17379  df-rgmod 17380  df-lidl 17381  df-rsp 17382  df-2idl 17440  df-cnfld 17947  df-zring 18012  df-zn 18066  df-dchr 22708
This theorem is referenced by:  dchrinv  22736  dchr1re  22738  dchrsum2  22743  rpvmasumlem  22872  rpvmasum2  22897
  Copyright terms: Public domain W3C validator