MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1 Structured version   Unicode version

Theorem dchr1 23357
Description: Value of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr1.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchr1.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchr1.o  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchr1.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchr1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchr1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
Assertion
Ref Expression
dchr1  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  A
)  =  1 )

Proof of Theorem dchr1
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchr1.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
5 dchr1.u . . . 4  |-  U  =  (Unit `  Z )
6 eqid 2467 . . . 4  |-  ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )  =  ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
7 dchr1.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dchr1cl 23351 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
Base `  Z )  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )  e.  ( Base `  G
) )
9 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( k  =  x  ->  (
k  e.  U  <->  x  e.  U ) )
109ifbid 3961 . . . . 5  |-  ( k  =  x  ->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  =  if ( x  e.  U , 
1 ,  0 ) )
1110cbvmptv 4538 . . . 4  |-  ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )  =  ( x  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( x  e.  U ,  1 ,  0 ) )
12 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
131, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 8dchrmulid2 23352 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) ) ( +g  `  G
) ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) ) )  =  ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) ) )
141dchrabl 23354 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  G  e.  Abel )
15 ablgrp 16618 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
16 dchr1.o . . . . 5  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
173, 12, 16isgrpid2 15900 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
k  e.  ( Base `  Z )  |->  if ( k  e.  U , 
1 ,  0 ) ) ( +g  `  G
) ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) ) )  =  ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) ) )  <->  .1.  =  (
k  e.  ( Base `  Z )  |->  if ( k  e.  U , 
1 ,  0 ) ) ) )
187, 14, 15, 174syl 21 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
k  e.  ( Base `  Z )  |->  if ( k  e.  U , 
1 ,  0 ) ) ( +g  `  G
) ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) ) )  =  ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) ) )  <->  .1.  =  (
k  e.  ( Base `  Z )  |->  if ( k  e.  U , 
1 ,  0 ) ) ) )
198, 13, 18mpbi2and 919 . 2  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( k  e.  ( Base `  Z
)  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) ) )
20 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  =  A )  ->  k  =  A )
21 dchr1.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
2221adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  =  A )  ->  A  e.  U )
2320, 22eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  =  A )  ->  k  e.  U )
24 iftrue 3945 . . 3  |-  ( k  e.  U  ->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  =  1 )
2523, 24syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  =  A )  ->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  =  1 )
264, 5unitss 17122 . . 3  |-  U  C_  ( Base `  Z )
2726, 21sseldi 3502 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( Base `  Z ) )
28 ax-1cn 9551 . . 3  |-  1  e.  CC
2928a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3019, 25, 27, 29fvmptd 5956 1  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  A
)  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3939    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   0cc0 9493   1c1 9494   NNcn 10537   Basecbs 14493   +g cplusg 14558   0gc0g 14698   Grpcgrp 15730   Abelcabl 16614  Unitcui 17101  ℤ/nczn 18347  DChrcdchr 23332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-ec 7314  df-qs 7318  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-0g 14700  df-imas 14766  df-qus 14767  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-subg 16012  df-nsg 16013  df-eqg 16014  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-cring 17015  df-oppr 17085  df-dvdsr 17103  df-unit 17104  df-invr 17134  df-subrg 17239  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-lsp 17430  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-lidl 17632  df-rsp 17633  df-2idl 17691  df-cnfld 18232  df-zring 18297  df-zn 18351  df-dchr 23333
This theorem is referenced by:  dchrinv  23361  dchr1re  23363  dchrsum2  23368  rpvmasumlem  23497  rpvmasum2  23522
  Copyright terms: Public domain W3C validator