Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalemrot Structured version   Unicode version

Theorem dalemrot 33659
Description: Lemma for dath 33738. Rotate triangles  Y  =  P Q R and  Z  =  S T U to allow reuse of analogous proofs. (Contributed by NM, 14-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph  |-  ( ph  <->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) ) )
dalemc.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dalemc.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dalemc.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dalemrot.y  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )
dalemrot.z  |-  Z  =  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )
Assertion
Ref Expression
dalemrot  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) ) )

Proof of Theorem dalemrot
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . . 5  |-  ( ph  <->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) ) )
21dalemkehl 33625 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  HL )
3 dalemc.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 3dalemceb 33640 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( Base `  K ) )
52, 4jca 532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K ) ) )
61dalemqea 33629 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
71dalemrea 33630 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
81dalempea 33628 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
96, 7, 83jca 1168 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A
) )
101dalemtea 33632 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  A )
111dalemuea 33633 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
121dalemsea 33631 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  A )
1310, 11, 123jca 1168 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )
145, 9, 133jca 1168 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) ) )
15 dalemc.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
161, 15, 3dalemqrprot 33650 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
17 dalemrot.y . . . . 5  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )
181dalemyeo 33634 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  O )
1917, 18syl5eqelr 2547 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  e.  O )
2016, 19eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O )
2115, 3hlatjrot 33375 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  ->  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
222, 10, 11, 12, 21syl13anc 1221 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T  .\/  U )  .\/  S )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
23 dalemrot.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )
241dalemzeo 33635 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  O )
2523, 24syl5eqelr 2547 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  e.  O )
2622, 25eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( T  .\/  U )  .\/  S )  e.  O )
2720, 26jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  ( ( T  .\/  U )  .\/  S )  e.  O ) )
28 simp312 1136 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R ) )
291, 28sylbi 195 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( Q 
.\/  R ) )
30 simp313 1137 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( R  .\/  P ) )
311, 30sylbi 195 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( R 
.\/  P ) )
321dalem-clpjq 33639 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
3329, 31, 323jca 1168 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
34 simp322 1139 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( T  .\/  U ) )
351, 34sylbi 195 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U ) )
36 simp323 1140 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( U  .\/  S ) )
371, 36sylbi 195 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )
38 simp321 1138 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( S  .\/  T ) )
391, 38sylbi 195 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( S 
.\/  T ) )
4035, 37, 393jca 1168 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
411dalemclqjt 33637 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  .<_  ( Q  .\/  T ) )
421dalemclrju 33638 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  .<_  ( R  .\/  U ) )
431dalemclpjs 33636 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  .<_  ( P  .\/  S ) )
4441, 42, 433jca 1168 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P  .\/  S ) ) )
4533, 40, 443jca 1168 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
)  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S 
.\/  T ) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R 
.\/  U )  /\  C  .<_  ( P  .\/  S ) ) ) )
4614, 27, 453jca 1168 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   lecple 14367   joincjn 15236   Atomscatm 33266   HLchlt 33353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-poset 15238  df-lub 15266  df-glb 15267  df-join 15268  df-meet 15269  df-lat 15338  df-ats 33270  df-atl 33301  df-cvlat 33325  df-hlat 33354
This theorem is referenced by:  dalemeea  33665  dalem6  33670  dalem7  33671  dalem11  33676  dalem12  33677  dalem29  33703  dalem30  33704  dalem31N  33705  dalem32  33706  dalem33  33707  dalem34  33708  dalem35  33709  dalem36  33710  dalem37  33711  dalem40  33714  dalem46  33720  dalem47  33721  dalem49  33723  dalem50  33724  dalem58  33732  dalem59  33733
  Copyright terms: Public domain W3C validator