Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalemrot Structured version   Unicode version

Theorem dalemrot 32931
Description: Lemma for dath 33010. Rotate triangles  Y  =  P Q R and  Z  =  S T U to allow reuse of analogous proofs. (Contributed by NM, 14-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph  |-  ( ph  <->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) ) )
dalemc.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dalemc.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dalemc.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dalemrot.y  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )
dalemrot.z  |-  Z  =  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )
Assertion
Ref Expression
dalemrot  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) ) )

Proof of Theorem dalemrot
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . . 5  |-  ( ph  <->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) ) )
21dalemkehl 32897 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  HL )
3 dalemc.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 3dalemceb 32912 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( Base `  K ) )
52, 4jca 534 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K ) ) )
61dalemqea 32901 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
71dalemrea 32902 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
81dalempea 32900 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
96, 7, 83jca 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A
) )
101dalemtea 32904 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  A )
111dalemuea 32905 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
121dalemsea 32903 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  A )
1310, 11, 123jca 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )
145, 9, 133jca 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) ) )
15 dalemc.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
161, 15, 3dalemqrprot 32922 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
17 dalemrot.y . . . . 5  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )
181dalemyeo 32906 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  O )
1917, 18syl5eqelr 2513 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  e.  O )
2016, 19eqeltrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O )
2115, 3hlatjrot 32647 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  ->  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
222, 10, 11, 12, 21syl13anc 1266 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T  .\/  U )  .\/  S )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
23 dalemrot.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )
241dalemzeo 32907 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  O )
2523, 24syl5eqelr 2513 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  e.  O )
2622, 25eqeltrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( T  .\/  U )  .\/  S )  e.  O )
2720, 26jca 534 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  ( ( T  .\/  U )  .\/  S )  e.  O ) )
28 simp312 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R ) )
291, 28sylbi 198 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( Q 
.\/  R ) )
30 simp313 1154 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( R  .\/  P ) )
311, 30sylbi 198 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( R 
.\/  P ) )
321dalem-clpjq 32911 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
3329, 31, 323jca 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
34 simp322 1156 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( T  .\/  U ) )
351, 34sylbi 198 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U ) )
36 simp323 1157 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( U  .\/  S ) )
371, 36sylbi 198 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )
38 simp321 1155 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( S  .\/  T ) )
391, 38sylbi 198 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( S 
.\/  T ) )
4035, 37, 393jca 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
411dalemclqjt 32909 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  .<_  ( Q  .\/  T ) )
421dalemclrju 32910 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  .<_  ( R  .\/  U ) )
431dalemclpjs 32908 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  .<_  ( P  .\/  S ) )
4441, 42, 433jca 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P  .\/  S ) ) )
4533, 40, 443jca 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
)  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S 
.\/  T ) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R 
.\/  U )  /\  C  .<_  ( P  .\/  S ) ) ) )
4614, 27, 453jca 1185 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   class class class wbr 4417   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Basecbs 15073   lecple 15149   joincjn 16133   Atomscatm 32538   HLchlt 32625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-preset 16117  df-poset 16135  df-lub 16164  df-glb 16165  df-join 16166  df-meet 16167  df-lat 16236  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626
This theorem is referenced by:  dalemeea  32937  dalem6  32942  dalem7  32943  dalem11  32948  dalem12  32949  dalem29  32975  dalem30  32976  dalem31N  32977  dalem32  32978  dalem33  32979  dalem34  32980  dalem35  32981  dalem36  32982  dalem37  32983  dalem40  32986  dalem46  32992  dalem47  32993  dalem49  32995  dalem50  32996  dalem58  33004  dalem59  33005
  Copyright terms: Public domain W3C validator