Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalemrot Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dalemrot 33293
Description: Lemma for dath 33372. Rotate triangles  Y  =  P Q R and  Z  =  S T U to allow reuse of analogous proofs. (Contributed by NM, 14-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph  |-  ( ph  <->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) ) )
dalemc.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dalemc.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dalemc.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dalemrot.y  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )
dalemrot.z  |-  Z  =  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )
Assertion
Ref Expression
dalemrot  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) ) )

Proof of Theorem dalemrot
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . . 5  |-  ( ph  <->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) ) )
21dalemkehl 33259 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  HL )
3 dalemc.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 3dalemceb 33274 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( Base `  K ) )
52, 4jca 541 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K ) ) )
61dalemqea 33263 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
71dalemrea 33264 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
81dalempea 33262 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
96, 7, 83jca 1210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A
) )
101dalemtea 33266 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  A )
111dalemuea 33267 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
121dalemsea 33265 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  A )
1310, 11, 123jca 1210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )
145, 9, 133jca 1210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) ) )
15 dalemc.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
161, 15, 3dalemqrprot 33284 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
17 dalemrot.y . . . . 5  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )
181dalemyeo 33268 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  O )
1917, 18syl5eqelr 2554 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  e.  O )
2016, 19eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O )
2115, 3hlatjrot 33009 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  ->  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
222, 10, 11, 12, 21syl13anc 1294 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T  .\/  U )  .\/  S )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
23 dalemrot.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )
241dalemzeo 33269 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  O )
2523, 24syl5eqelr 2554 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  e.  O )
2622, 25eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( T  .\/  U )  .\/  S )  e.  O )
2720, 26jca 541 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  ( ( T  .\/  U )  .\/  S )  e.  O ) )
28 simp312 1178 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R ) )
291, 28sylbi 200 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( Q 
.\/  R ) )
30 simp313 1179 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( R  .\/  P ) )
311, 30sylbi 200 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( R 
.\/  P ) )
321dalem-clpjq 33273 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
3329, 31, 323jca 1210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
34 simp322 1181 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( T  .\/  U ) )
351, 34sylbi 200 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U ) )
36 simp323 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( U  .\/  S ) )
371, 36sylbi 200 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )
38 simp321 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( S  .\/  T ) )
391, 38sylbi 200 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( S 
.\/  T ) )
4035, 37, 393jca 1210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
411dalemclqjt 33271 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  .<_  ( Q  .\/  T ) )
421dalemclrju 33272 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  .<_  ( R  .\/  U ) )
431dalemclpjs 33270 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  .<_  ( P  .\/  S ) )
4441, 42, 433jca 1210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P  .\/  S ) ) )
4533, 40, 443jca 1210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
)  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S 
.\/  T ) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R 
.\/  U )  /\  C  .<_  ( P  .\/  S ) ) ) )
4614, 27, 453jca 1210 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   lecple 15275   joincjn 16267   Atomscatm 32900   HLchlt 32987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-preset 16251  df-poset 16269  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-lat 16370  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988
This theorem is referenced by:  dalemeea  33299  dalem6  33304  dalem7  33305  dalem11  33310  dalem12  33311  dalem29  33337  dalem30  33338  dalem31N  33339  dalem32  33340  dalem33  33341  dalem34  33342  dalem35  33343  dalem36  33344  dalem37  33345  dalem40  33348  dalem46  33354  dalem47  33355  dalem49  33357  dalem50  33358  dalem58  33366  dalem59  33367
  Copyright terms: Public domain W3C validator