Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem35 Structured version   Unicode version

Theorem dalem35 32705
Description: Lemma for dath 32734. Analog of dalem24 32695 for  I. (Contributed by NM, 3-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph  |-  ( ph  <->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) ) )
dalem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dalem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dalem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dalem.ps  |-  ( ps  <->  ( ( c  e.  A  /\  d  e.  A
)  /\  -.  c  .<_  Y  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  Y  /\  C  .<_  ( c  .\/  d
) ) ) )
dalem34.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dalem34.o  |-  O  =  ( LPlanes `  K )
dalem34.y  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )
dalem34.z  |-  Z  =  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )
dalem34.i  |-  I  =  ( ( c  .\/  R )  ./\  ( d  .\/  U ) )
Assertion
Ref Expression
dalem35  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z  /\  ps )  ->  -.  I  .<_  Y )

Proof of Theorem dalem35
StepHypRef Expression
1 dalem.ph . . . . 5  |-  ( ph  <->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) ) )
2 dalem.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 dalem.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 dalem.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 dalem34.y . . . . 5  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )
6 dalem34.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )
71, 2, 3, 4, 5, 6dalemrot 32655 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) ) )
873ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z  /\  ps )  -> 
( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6dalemrotyz 32656 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z )  ->  (
( Q  .\/  R
)  .\/  P )  =  ( ( T 
.\/  U )  .\/  S ) )
1093adant3 1017 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z  /\  ps )  -> 
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  =  ( ( T 
.\/  U )  .\/  S ) )
11 dalem.ps . . . . 5  |-  ( ps  <->  ( ( c  e.  A  /\  d  e.  A
)  /\  -.  c  .<_  Y  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  Y  /\  C  .<_  ( c  .\/  d
) ) ) )
121, 2, 3, 4, 11, 5dalemrotps 32689 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( c  e.  A  /\  d  e.  A )  /\  -.  c  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  /\  C  .<_  ( c  .\/  d ) ) ) )
13123adant2 1016 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z  /\  ps )  -> 
( ( c  e.  A  /\  d  e.  A )  /\  -.  c  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  /\  C  .<_  ( c  .\/  d ) ) ) )
14 biid 236 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) )  <->  ( (
( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A
)  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A ) )  /\  ( ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  ( ( T  .\/  U )  .\/  S )  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
)  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S 
.\/  T ) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R 
.\/  U )  /\  C  .<_  ( P  .\/  S ) ) ) ) )
15 biid 236 . . . 4  |-  ( ( ( c  e.  A  /\  d  e.  A
)  /\  -.  c  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  /\  C  .<_  ( c 
.\/  d ) ) )  <->  ( ( c  e.  A  /\  d  e.  A )  /\  -.  c  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  /\  C  .<_  ( c  .\/  d ) ) ) )
16 dalem34.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
17 dalem34.o . . . 4  |-  O  =  ( LPlanes `  K )
18 eqid 2402 . . . 4  |-  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  P )  =  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P )
19 eqid 2402 . . . 4  |-  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  S )  =  ( ( T  .\/  U )  .\/  S )
20 dalem34.i . . . 4  |-  I  =  ( ( c  .\/  R )  ./\  ( d  .\/  U ) )
2114, 2, 3, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20dalem30 32700 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) )  /\  (
( Q  .\/  R
)  .\/  P )  =  ( ( T 
.\/  U )  .\/  S )  /\  ( ( c  e.  A  /\  d  e.  A )  /\  -.  c  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  P )  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  P )  /\  C  .<_  ( c  .\/  d ) ) ) )  ->  -.  I  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P ) )
228, 10, 13, 21syl3anc 1230 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z  /\  ps )  ->  -.  I  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  P ) )
231, 3, 4dalemqrprot 32646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
2423, 5syl6reqr 2462 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  =  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  P ) )
2524breq2d 4406 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I  .<_  Y  <->  I  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  P )
) )
26253ad2ant1 1018 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z  /\  ps )  -> 
( I  .<_  Y  <->  I  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  P )
) )
2722, 26mtbird 299 1  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z  /\  ps )  ->  -.  I  .<_  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4394   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Basecbs 14733   lecple 14808   joincjn 15789   meetcmee 15790   Atomscatm 32262   HLchlt 32349   LPlanesclpl 32490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-preset 15773  df-poset 15791  df-plt 15804  df-lub 15820  df-glb 15821  df-join 15822  df-meet 15823  df-p0 15885  df-lat 15892  df-clat 15954  df-oposet 32175  df-ol 32177  df-oml 32178  df-covers 32265  df-ats 32266  df-atl 32297  df-cvlat 32321  df-hlat 32350  df-llines 32496  df-lplanes 32497
This theorem is referenced by:  dalem43  32713
  Copyright terms: Public domain W3C validator