Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznnring Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cznnring 39945
Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure with  1  <  n by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is not a unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
cznrng.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
cznrng.x  |-  X  =  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >. )
cznrng.0  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
Assertion
Ref Expression
cznnring  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  C  e.  B )  ->  X  e/  Ring )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, C, y    x, N, y    x, X    x, Y, y    x,  .0. , y
Allowed substitution hint:    X( y)

Proof of Theorem cznnring
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  X )  =  (mulGrp `  X )
2 cznrng.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
3 cznrng.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  Y
)
4 cznrng.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >. )
52, 3, 4cznrnglem 39942 . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  X
)
61, 5mgpbas 17722 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  X ) )
74fveq2i 5866 . . . . . . . 8  |-  (mulGrp `  X )  =  (mulGrp `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >. )
)
8 fvex 5873 . . . . . . . . . 10  |-  (ℤ/n `  N
)  e.  _V
92, 8eqeltri 2524 . . . . . . . . 9  |-  Y  e. 
_V
10 fvex 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
113, 10eqeltri 2524 . . . . . . . . . 10  |-  B  e. 
_V
1211, 11mpt2ex 6867 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )  e.  _V
13 mulrid 15236 . . . . . . . . . 10  |-  .r  = Slot  ( .r `  ndx )
1413setsid 15157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )  e.  _V )  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )  =  ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )
>. ) ) )
159, 12, 14mp2an 677 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )  =  ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  C ) >. ) )
167, 15mgpplusg 17720 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )  =  ( +g  `  (mulGrp `  X ) )
1716eqcomi 2459 . . . . . 6  |-  ( +g  `  (mulGrp `  X )
)  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )
18 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  C  e.  B )  ->  C  e.  B )
19 eluz2 11162 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
20 1lt2 10773 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
21 1red 9655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
22 2re 10676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
24 zre 10938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
25 ltletr 9722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 1  <  2  /\  2  <_  N )  ->  1  <  N
) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 1  <  2  /\  2  <_  N )  ->  1  <  N
) )
2726expcomd 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  <_  N  ->  ( 1  <  2  -> 
1  <  N )
) )
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( 2  <_  N  ->  ( 1  <  2  -> 
1  <  N )
) ) )
29283imp 1201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N )  ->  (
1  <  2  ->  1  <  N ) )
3020, 29mpi 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N )  ->  1  <  N )
3119, 30sylbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  N )
32 eluz2nn 11194 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
332, 3znhash 19122 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 B )  =  N )
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( # `  B
)  =  N )
3531, 34breqtrrd 4428 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  (
# `  B )
)
3635adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  C  e.  B )  ->  1  <  ( # `  B
) )
376, 17, 18, 36copisnmnd 39796 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  C  e.  B )  ->  (mulGrp `  X )  e/  Mnd )
38 df-nel 2624 . . . . 5  |-  ( (mulGrp `  X )  e/  Mnd  <->  -.  (mulGrp `  X )  e. 
Mnd )
3937, 38sylib 200 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  C  e.  B )  ->  -.  (mulGrp `  X )  e. 
Mnd )
4039intn3an2d 1379 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  C  e.  B )  ->  -.  ( X  e.  Grp  /\  (mulGrp `  X )  e.  Mnd  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( (
a ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  C ) >. ) ) ( b ( +g  `  X
) c ) )  =  ( ( a ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )
>. ) ) b ) ( +g  `  X
) ( a ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) ) c ) )  /\  ( ( a ( +g  `  X
) b ) ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) ) c )  =  ( ( a ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )
>. ) ) c ) ( +g  `  X
) ( b ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) ) c ) ) ) ) )
41 eqid 2450 . . . 4  |-  ( +g  `  X )  =  ( +g  `  X )
424eqcomi 2459 . . . . 5  |-  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
)  =  X
4342fveq2i 5866 . . . 4  |-  ( .r
`  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) )  =  ( .r `  X )
445, 1, 41, 43isring 17777 . . 3  |-  ( X  e.  Ring  <->  ( X  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  X
)  e.  Mnd  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
( a ( .r
`  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) ) ( b ( +g  `  X
) c ) )  =  ( ( a ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )
>. ) ) b ) ( +g  `  X
) ( a ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) ) c ) )  /\  ( ( a ( +g  `  X
) b ) ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) ) c )  =  ( ( a ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )
>. ) ) c ) ( +g  `  X
) ( b ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) ) c ) ) ) ) )
4540, 44sylnibr 307 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  C  e.  B )  ->  -.  X  e.  Ring )
46 df-nel 2624 . 2  |-  ( X  e/  Ring  <->  -.  X  e.  Ring )
4745, 46sylibr 216 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  C  e.  B )  ->  X  e/  Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    e/ wnel 2622   A.wral 2736   _Vcvv 3044   <.cop 3973   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    |-> cmpt2 6290   RRcr 9535   1c1 9537    < clt 9672    <_ cle 9673   NNcn 10606   2c2 10656   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   #chash 12512   ndxcnx 15111   sSet csts 15112   Basecbs 15114   +g cplusg 15183   .rcmulr 15184   0gc0g 15331   Mndcmnd 16528   Grpcgrp 16662  mulGrpcmgp 17716   Ringcrg 17773  ℤ/nczn 19067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-tpos 6970  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-ec 7362  df-qs 7366  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-hash 12513  df-dvds 14299  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-0g 15333  df-imas 15400  df-qus 15402  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-nsg 16808  df-eqg 16809  df-ghm 16874  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-rnghom 17936  df-subrg 17999  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-lidl 18390  df-rsp 18391  df-2idl 18449  df-cnfld 18964  df-zring 19033  df-zrh 19068  df-zn 19071
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator