Theorem cznnring 39945

Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure with 1 < n by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is not a unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cznrng.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
cznrng.b	|- B = ( Base ` Y )
cznrng.x	|- X = ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. )
cznrng.0	|- .0. = ( 0g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
cznnring	|- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> X e/ Ring )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, C, y   x, N, y   x, X   x, Y, y   x, .0. , y

Allowed substitution hint:   X( y)

Proof of Theorem cznnring

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2450	. . . . . . 7 |- (mulGrp ` X ) = (mulGrp ` X )
2		cznrng.y	. . . . . . . 8 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
3		cznrng.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` Y )
4		cznrng.x	. . . . . . . 8 |- X = ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. )
5	2, 3, 4	cznrnglem 39942	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` X )
6	1, 5	mgpbas 17722	. . . . . 6 |- B = ( Base ` (mulGrp ` X ) )
7	4	fveq2i 5866	. . . . . . . 8 |- (mulGrp ` X ) = (mulGrp ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) )
8		fvex 5873	. . . . . . . . . 10 |- (ℤ/nℤ ` N ) e. _V
9	2, 8	eqeltri 2524	. . . . . . . . 9 |- Y e. _V
10		fvex 5873	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` Y ) e. _V
11	3, 10	eqeltri 2524	. . . . . . . . . 10 |- B e. _V
12	11, 11	mpt2ex 6867	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B , y e. B |-> C ) e. _V
13		mulrid 15236	. . . . . . . . . 10 |- .r = Slot ( .r ` ndx )
14	13	setsid 15157	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. _V /\ ( x e. B , y e. B |-> C ) e. _V ) -> ( x e. B , y e. B |-> C ) = ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) )
15	9, 12, 14	mp2an 677	. . . . . . . 8 |- ( x e. B , y e. B |-> C ) = ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) )
16	7, 15	mgpplusg 17720	. . . . . . 7 |- ( x e. B , y e. B |-> C ) = ( +g ` (mulGrp ` X ) )
17	16	eqcomi 2459	. . . . . 6 |- ( +g ` (mulGrp ` X ) ) = ( x e. B , y e. B |-> C )
18		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> C e. B )
19		eluz2 11162	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) )
20		1lt2 10773	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 2
21		1red 9655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
22		2re 10676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> 2 e. RR )
24		zre 10938	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
25		ltletr 9722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 1 < 2 /\ 2 <_ N ) -> 1 < N ) )
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( ( 1 < 2 /\ 2 <_ N ) -> 1 < N ) )
27	26	expcomd 440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( 2 <_ N -> ( 1 < 2 -> 1 < N ) ) )
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( 2 <_ N -> ( 1 < 2 -> 1 < N ) ) ) )
29	28	3imp 1201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) -> ( 1 < 2 -> 1 < N ) )
30	20, 29	mpi 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) -> 1 < N )
31	19, 30	sylbi 199	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < N )
32		eluz2nn 11194	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
33	2, 3	znhash 19122	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( # ` B ) = N )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( # ` B ) = N )
35	31, 34	breqtrrd 4428	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < ( # ` B ) )
36	35	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> 1 < ( # ` B ) )
37	6, 17, 18, 36	copisnmnd 39796	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> (mulGrp ` X ) e/ Mnd )
38		df-nel 2624	. . . . 5 |- ( (mulGrp ` X ) e/ Mnd <-> -. (mulGrp ` X ) e. Mnd )
39	37, 38	sylib 200	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> -. (mulGrp ` X ) e. Mnd )
40	39	intn3an2d 1379	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> -. ( X e. Grp /\ (mulGrp ` X ) e. Mnd /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) ( b ( +g ` X ) c ) ) = ( ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) b ) ( +g ` X ) ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) ) /\ ( ( a ( +g ` X ) b ) ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) = ( ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) ( +g ` X ) ( b ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) ) ) ) )
41		eqid 2450	. . . 4 |- ( +g ` X ) = ( +g ` X )
42	4	eqcomi 2459	. . . . 5 |- ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) = X
43	42	fveq2i 5866	. . . 4 |- ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) = ( .r ` X )
44	5, 1, 41, 43	isring 17777	. . 3 |- ( X e. Ring <-> ( X e. Grp /\ (mulGrp ` X ) e. Mnd /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) ( b ( +g ` X ) c ) ) = ( ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) b ) ( +g ` X ) ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) ) /\ ( ( a ( +g ` X ) b ) ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) = ( ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) ( +g ` X ) ( b ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) ) ) ) )
45	40, 44	sylnibr 307	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> -. X e. Ring )
46		df-nel 2624	. 2 |- ( X e/ Ring <-> -. X e. Ring )
47	45, 46	sylibr 216	1 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> X e/ Ring )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   e/ wnel 2622   A.wral 2736   _Vcvv 3044   <.cop 3973   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   |-> cmpt2 6290   RRcr 9535   1c1 9537   < clt 9672   <_ cle 9673   NNcn 10606   2c2 10656   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   #chash 12512   ndxcnx 15111   sSet csts 15112   Basecbs 15114   +g cplusg 15183   .rcmulr 15184   0gc0g 15331   Mndcmnd 16528   Grpcgrp 16662  mulGrpcmgp 17716   Ringcrg 17773  ℤ/nℤczn 19067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-tpos 6970  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-ec 7362  df-qs 7366  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-hash 12513  df-dvds 14299  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-0g 15333  df-imas 15400  df-qus 15402  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-nsg 16808  df-eqg 16809  df-ghm 16874  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-rnghom 17936  df-subrg 17999  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-lidl 18390  df-rsp 18391  df-2idl 18449  df-cnfld 18964  df-zring 19033  df-zrh 19068  df-zn 19071

This theorem is referenced by: (None)