Theorem cznnring 40466

Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure with 1 < n by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is not a unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cznrng.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
cznrng.b	|- B = ( Base ` Y )
cznrng.x	|- X = ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. )
cznrng.0	|- .0. = ( 0g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
cznnring	|- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> X e/ Ring )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, C, y   x, N, y   x, X   x, Y, y   x, .0. , y

Allowed substitution hint:   X( y)

Proof of Theorem cznnring

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2471	. . . . . . 7 |- (mulGrp ` X ) = (mulGrp ` X )
2		cznrng.y	. . . . . . . 8 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
3		cznrng.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` Y )
4		cznrng.x	. . . . . . . 8 |- X = ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. )
5	2, 3, 4	cznrnglem 40463	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` X )
6	1, 5	mgpbas 17807	. . . . . 6 |- B = ( Base ` (mulGrp ` X ) )
7	4	fveq2i 5882	. . . . . . . 8 |- (mulGrp ` X ) = (mulGrp ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) )
8		fvex 5889	. . . . . . . . . 10 |- (ℤ/nℤ ` N ) e. _V
9	2, 8	eqeltri 2545	. . . . . . . . 9 |- Y e. _V
10		fvex 5889	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` Y ) e. _V
11	3, 10	eqeltri 2545	. . . . . . . . . 10 |- B e. _V
12	11, 11	mpt2ex 6889	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B , y e. B |-> C ) e. _V
13		mulrid 15321	. . . . . . . . . 10 |- .r = Slot ( .r ` ndx )
14	13	setsid 15242	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. _V /\ ( x e. B , y e. B |-> C ) e. _V ) -> ( x e. B , y e. B |-> C ) = ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) )
15	9, 12, 14	mp2an 686	. . . . . . . 8 |- ( x e. B , y e. B |-> C ) = ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) )
16	7, 15	mgpplusg 17805	. . . . . . 7 |- ( x e. B , y e. B |-> C ) = ( +g ` (mulGrp ` X ) )
17	16	eqcomi 2480	. . . . . 6 |- ( +g ` (mulGrp ` X ) ) = ( x e. B , y e. B |-> C )
18		simpr 468	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> C e. B )
19		eluz2 11188	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) )
20		1lt2 10799	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 2
21		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
22		2re 10701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> 2 e. RR )
24		zre 10965	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
25		ltletr 9743	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 1 < 2 /\ 2 <_ N ) -> 1 < N ) )
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( ( 1 < 2 /\ 2 <_ N ) -> 1 < N ) )
27	26	expcomd 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( 2 <_ N -> ( 1 < 2 -> 1 < N ) ) )
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( 2 <_ N -> ( 1 < 2 -> 1 < N ) ) ) )
29	28	3imp 1224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) -> ( 1 < 2 -> 1 < N ) )
30	20, 29	mpi 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) -> 1 < N )
31	19, 30	sylbi 200	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < N )
32		eluz2nn 11221	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
33	2, 3	znhash 19206	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( # ` B ) = N )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( # ` B ) = N )
35	31, 34	breqtrrd 4422	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < ( # ` B ) )
36	35	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> 1 < ( # ` B ) )
37	6, 17, 18, 36	copisnmnd 40317	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> (mulGrp ` X ) e/ Mnd )
38		df-nel 2644	. . . . 5 |- ( (mulGrp ` X ) e/ Mnd <-> -. (mulGrp ` X ) e. Mnd )
39	37, 38	sylib 201	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> -. (mulGrp ` X ) e. Mnd )
40	39	intn3an2d 1408	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> -. ( X e. Grp /\ (mulGrp ` X ) e. Mnd /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) ( b ( +g ` X ) c ) ) = ( ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) b ) ( +g ` X ) ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) ) /\ ( ( a ( +g ` X ) b ) ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) = ( ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) ( +g ` X ) ( b ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) ) ) ) )
41		eqid 2471	. . . 4 |- ( +g ` X ) = ( +g ` X )
42	4	eqcomi 2480	. . . . 5 |- ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) = X
43	42	fveq2i 5882	. . . 4 |- ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) = ( .r ` X )
44	5, 1, 41, 43	isring 17862	. . 3 |- ( X e. Ring <-> ( X e. Grp /\ (mulGrp ` X ) e. Mnd /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) ( b ( +g ` X ) c ) ) = ( ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) b ) ( +g ` X ) ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) ) /\ ( ( a ( +g ` X ) b ) ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) = ( ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) ( +g ` X ) ( b ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) ) ) ) )
45	40, 44	sylnibr 312	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> -. X e. Ring )
46		df-nel 2644	. 2 |- ( X e/ Ring <-> -. X e. Ring )
47	45, 46	sylibr 217	1 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> X e/ Ring )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   e/ wnel 2642   A.wral 2756   _Vcvv 3031   <.cop 3965   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   RRcr 9556   1c1 9558   < clt 9693   <_ cle 9694   NNcn 10631   2c2 10681   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   #chash 12553   ndxcnx 15196   sSet csts 15197   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   .rcmulr 15269   0gc0g 15416   Mndcmnd 16613   Grpcgrp 16747  mulGrpcmgp 17801   Ringcrg 17858  ℤ/nℤczn 19151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-hash 12554  df-dvds 14383  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-imas 15485  df-qus 15487  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-rnghom 18021  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155

This theorem is referenced by: (None)