Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznnring Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cznnring 40466
 Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure with by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is not a unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y ℤ/n
cznrng.b
cznrng.x sSet
cznrng.0
Assertion
Ref Expression
cznnring
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   , ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem cznnring
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
2 cznrng.y . . . . . . . 8 ℤ/n
3 cznrng.b . . . . . . . 8
4 cznrng.x . . . . . . . 8 sSet
52, 3, 4cznrnglem 40463 . . . . . . 7
61, 5mgpbas 17807 . . . . . 6 mulGrp
74fveq2i 5882 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp sSet
8 fvex 5889 . . . . . . . . . 10 ℤ/n
92, 8eqeltri 2545 . . . . . . . . 9
10 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11
113, 10eqeltri 2545 . . . . . . . . . 10
1211, 11mpt2ex 6889 . . . . . . . . 9
13 mulrid 15321 . . . . . . . . . 10 Slot
1413setsid 15242 . . . . . . . . 9 sSet
159, 12, 14mp2an 686 . . . . . . . 8 sSet
167, 15mgpplusg 17805 . . . . . . 7 mulGrp
1716eqcomi 2480 . . . . . 6 mulGrp
18 simpr 468 . . . . . 6
19 eluz2 11188 . . . . . . . . 9
20 1lt2 10799 . . . . . . . . . 10
21 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . 14
22 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . . 15
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
24 zre 10965 . . . . . . . . . . . . . 14
25 ltletr 9743 . . . . . . . . . . . . . 14
2621, 23, 24, 25syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
2726expcomd 445 . . . . . . . . . . . 12
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11
29283imp 1224 . . . . . . . . . 10
3020, 29mpi 20 . . . . . . . . 9
3119, 30sylbi 200 . . . . . . . 8
32 eluz2nn 11221 . . . . . . . . 9
332, 3znhash 19206 . . . . . . . . 9
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8
3531, 34breqtrrd 4422 . . . . . . 7
3635adantr 472 . . . . . 6
376, 17, 18, 36copisnmnd 40317 . . . . 5 mulGrp
38 df-nel 2644 . . . . 5 mulGrp mulGrp
3937, 38sylib 201 . . . 4 mulGrp
4039intn3an2d 1408 . . 3 mulGrp sSet sSet sSet sSet sSet sSet
41 eqid 2471 . . . 4
424eqcomi 2480 . . . . 5 sSet
4342fveq2i 5882 . . . 4 sSet
445, 1, 41, 43isring 17862 . . 3 mulGrp sSet sSet sSet sSet sSet sSet
4540, 44sylnibr 312 . 2
46 df-nel 2644 . 2
4745, 46sylibr 217 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wnel 2642  wral 2756  cvv 3031  cop 3965   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cr 9556  c1 9558   clt 9693   cle 9694  cn 10631  c2 10681  cz 10961  cuz 11182  chash 12553  cnx 15196   sSet csts 15197  cbs 15199   cplusg 15268  cmulr 15269  c0g 15416  cmnd 16613  cgrp 16747  mulGrpcmgp 17801  crg 17858  ℤ/nℤczn 19151 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-hash 12554  df-dvds 14383  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-imas 15485  df-qus 15487  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-rnghom 18021  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator