Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznnring Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cznnring 40466
Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure with  1  <  n by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is not a unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
cznrng.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
cznrng.x  |-  X  =  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >. )
cznrng.0  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
Assertion
Ref Expression
cznnring  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  C  e.  B )  ->  X  e/  Ring )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, C, y    x, N, y    x, X    x, Y, y    x,  .0. , y
Allowed substitution hint:    X( y)

Proof of Theorem cznnring
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  X )  =  (mulGrp `  X )
2 cznrng.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
3 cznrng.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  Y
)
4 cznrng.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >. )
52, 3, 4cznrnglem 40463 . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  X
)
61, 5mgpbas 17807 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  X ) )
74fveq2i 5882 . . . . . . . 8  |-  (mulGrp `  X )  =  (mulGrp `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >. )
)
8 fvex 5889 . . . . . . . . . 10  |-  (ℤ/n `  N
)  e.  _V
92, 8eqeltri 2545 . . . . . . . . 9  |-  Y  e. 
_V
10 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
113, 10eqeltri 2545 . . . . . . . . . 10  |-  B  e. 
_V
1211, 11mpt2ex 6889 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )  e.  _V
13 mulrid 15321 . . . . . . . . . 10  |-  .r  = Slot  ( .r `  ndx )
1413setsid 15242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )  e.  _V )  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )  =  ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )
>. ) ) )
159, 12, 14mp2an 686 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )  =  ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  C ) >. ) )
167, 15mgpplusg 17805 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )  =  ( +g  `  (mulGrp `  X ) )
1716eqcomi 2480 . . . . . 6  |-  ( +g  `  (mulGrp `  X )
)  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )
18 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  C  e.  B )  ->  C  e.  B )
19 eluz2 11188 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
20 1lt2 10799 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
21 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
22 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
24 zre 10965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
25 ltletr 9743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 1  <  2  /\  2  <_  N )  ->  1  <  N
) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 1  <  2  /\  2  <_  N )  ->  1  <  N
) )
2726expcomd 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  <_  N  ->  ( 1  <  2  -> 
1  <  N )
) )
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( 2  <_  N  ->  ( 1  <  2  -> 
1  <  N )
) ) )
29283imp 1224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N )  ->  (
1  <  2  ->  1  <  N ) )
3020, 29mpi 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N )  ->  1  <  N )
3119, 30sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  N )
32 eluz2nn 11221 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
332, 3znhash 19206 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 B )  =  N )
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( # `  B
)  =  N )
3531, 34breqtrrd 4422 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  (
# `  B )
)
3635adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  C  e.  B )  ->  1  <  ( # `  B
) )
376, 17, 18, 36copisnmnd 40317 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  C  e.  B )  ->  (mulGrp `  X )  e/  Mnd )
38 df-nel 2644 . . . . 5  |-  ( (mulGrp `  X )  e/  Mnd  <->  -.  (mulGrp `  X )  e. 
Mnd )
3937, 38sylib 201 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  C  e.  B )  ->  -.  (mulGrp `  X )  e. 
Mnd )
4039intn3an2d 1408 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  C  e.  B )  ->  -.  ( X  e.  Grp  /\  (mulGrp `  X )  e.  Mnd  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( (
a ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  C ) >. ) ) ( b ( +g  `  X
) c ) )  =  ( ( a ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )
>. ) ) b ) ( +g  `  X
) ( a ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) ) c ) )  /\  ( ( a ( +g  `  X
) b ) ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) ) c )  =  ( ( a ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )
>. ) ) c ) ( +g  `  X
) ( b ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) ) c ) ) ) ) )
41 eqid 2471 . . . 4  |-  ( +g  `  X )  =  ( +g  `  X )
424eqcomi 2480 . . . . 5  |-  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
)  =  X
4342fveq2i 5882 . . . 4  |-  ( .r
`  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) )  =  ( .r `  X )
445, 1, 41, 43isring 17862 . . 3  |-  ( X  e.  Ring  <->  ( X  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  X
)  e.  Mnd  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
( a ( .r
`  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) ) ( b ( +g  `  X
) c ) )  =  ( ( a ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )
>. ) ) b ) ( +g  `  X
) ( a ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) ) c ) )  /\  ( ( a ( +g  `  X
) b ) ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) ) c )  =  ( ( a ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C )
>. ) ) c ) ( +g  `  X
) ( b ( .r `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) ) c ) ) ) ) )
4540, 44sylnibr 312 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  C  e.  B )  ->  -.  X  e.  Ring )
46 df-nel 2644 . 2  |-  ( X  e/  Ring  <->  -.  X  e.  Ring )
4745, 46sylibr 217 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  C  e.  B )  ->  X  e/  Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    e/ wnel 2642   A.wral 2756   _Vcvv 3031   <.cop 3965   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   RRcr 9556   1c1 9558    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   2c2 10681   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   #chash 12553   ndxcnx 15196   sSet csts 15197   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   .rcmulr 15269   0gc0g 15416   Mndcmnd 16613   Grpcgrp 16747  mulGrpcmgp 17801   Ringcrg 17858  ℤ/nczn 19151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-hash 12554  df-dvds 14383  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-imas 15485  df-qus 15487  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-rnghom 18021  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator