Theorem cznabel 40325

Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is an abelian group. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cznrng.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
cznrng.b	|- B = ( Base ` Y )
cznrng.x	|- X = ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. )

Assertion

Ref	Expression
cznabel	|- ( ( N e. NN /\ C e. B ) -> X e. Abel )

Proof of Theorem cznabel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 10910	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2	1	adantr 471	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ C e. B ) -> N e. NN0 )
3		cznrng.y	. . . . 5 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4	3	zncrng 19170	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
5	2, 4	syl 17	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ C e. B ) -> Y e. CRing )
6		crngring 17846	. . 3 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
7		ringabl 17865	. . 3 |- ( Y e. Ring -> Y e. Abel )
8	5, 6, 7	3syl 18	. 2 |- ( ( N e. NN /\ C e. B ) -> Y e. Abel )
9		cznrng.x	. . . . 5 |- X = ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. )
10	9	fveq2i 5895	. . . 4 |- ( Base ` X ) = ( Base ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) )
11		baseid 15224	. . . . 5 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
12		basendxnmulrndx 40323	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
13	11, 12	setsnid 15220	. . . 4 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) )
14	10, 13	eqtr4i 2487	. . 3 |- ( Base ` X ) = ( Base ` Y )
15	9	fveq2i 5895	. . . 4 |- ( +g ` X ) = ( +g ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) )
16		plusgid 15280	. . . . 5 |- +g = Slot ( +g ` ndx )
17		plusgndxnmulrndx 40322	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
18	16, 17	setsnid 15220	. . . 4 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) )
19	15, 18	eqtr4i 2487	. . 3 |- ( +g ` X ) = ( +g ` Y )
20	14, 19	ablprop 17496	. 2 |- ( X e. Abel <-> Y e. Abel )
21	8, 20	sylibr 217	1 |- ( ( N e. NN /\ C e. B ) -> X e. Abel )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   <.cop 3986   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   |-> cmpt2 6322   NNcn 10642   NN0cn0 10903   ndxcnx 15173   sSet csts 15174   Basecbs 15176   +g cplusg 15245   .rcmulr 15246   Abelcabl 17486   Ringcrg 17835   CRingccrg 17836  ℤ/nℤczn 19129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-addf 9649  ax-mulf 9650

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-tpos 7004  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-ec 7396  df-qs 7400  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-sup 7987  df-inf 7988  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-fz 11820  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-sca 15261  df-vsca 15262  df-ip 15263  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-0g 15395  df-imas 15462  df-qus 15464  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-grp 16728  df-minusg 16729  df-sbg 16730  df-subg 16869  df-nsg 16870  df-eqg 16871  df-cmn 17487  df-abl 17488  df-mgp 17779  df-ur 17791  df-ring 17837  df-cring 17838  df-oppr 17906  df-subrg 18061  df-lmod 18148  df-lss 18211  df-lsp 18250  df-sra 18450  df-rgmod 18451  df-lidl 18452  df-rsp 18453  df-2idl 18511  df-cnfld 19026  df-zring 19095  df-zn 19133

This theorem is referenced by:  cznrng  40326