Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznabel Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cznabel 40325
Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is an abelian group. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
cznrng.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
cznrng.x  |-  X  =  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >. )
Assertion
Ref Expression
cznabel  |-  ( ( N  e.  NN  /\  C  e.  B )  ->  X  e.  Abel )

Proof of Theorem cznabel
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10910 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
21adantr 471 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  C  e.  B )  ->  N  e.  NN0 )
3 cznrng.y . . . . 5  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
43zncrng 19170 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
52, 4syl 17 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  C  e.  B )  ->  Y  e.  CRing )
6 crngring 17846 . . 3  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
7 ringabl 17865 . . 3  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Abel )
85, 6, 73syl 18 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  C  e.  B )  ->  Y  e.  Abel )
9 cznrng.x . . . . 5  |-  X  =  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >. )
109fveq2i 5895 . . . 4  |-  ( Base `  X )  =  (
Base `  ( Y sSet  <.
( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) )
11 baseid 15224 . . . . 5  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
12 basendxnmulrndx 40323 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  =/=  ( .r `  ndx )
1311, 12setsnid 15220 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  ( Y sSet  <.
( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) )
1410, 13eqtr4i 2487 . . 3  |-  ( Base `  X )  =  (
Base `  Y )
159fveq2i 5895 . . . 4  |-  ( +g  `  X )  =  ( +g  `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) )
16 plusgid 15280 . . . . 5  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
17 plusgndxnmulrndx 40322 . . . . 5  |-  ( +g  ` 
ndx )  =/=  ( .r `  ndx )
1816, 17setsnid 15220 . . . 4  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  ( Y sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  C ) >.
) )
1915, 18eqtr4i 2487 . . 3  |-  ( +g  `  X )  =  ( +g  `  Y )
2014, 19ablprop 17496 . 2  |-  ( X  e.  Abel  <->  Y  e.  Abel )
218, 20sylibr 217 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  C  e.  B )  ->  X  e.  Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   <.cop 3986   ` cfv 5605  (class class class)co 6320    |-> cmpt2 6322   NNcn 10642   NN0cn0 10903   ndxcnx 15173   sSet csts 15174   Basecbs 15176   +g cplusg 15245   .rcmulr 15246   Abelcabl 17486   Ringcrg 17835   CRingccrg 17836  ℤ/nczn 19129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-addf 9649  ax-mulf 9650
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-tpos 7004  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-ec 7396  df-qs 7400  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-sup 7987  df-inf 7988  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-fz 11820  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-sca 15261  df-vsca 15262  df-ip 15263  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-0g 15395  df-imas 15462  df-qus 15464  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-grp 16728  df-minusg 16729  df-sbg 16730  df-subg 16869  df-nsg 16870  df-eqg 16871  df-cmn 17487  df-abl 17488  df-mgp 17779  df-ur 17791  df-ring 17837  df-cring 17838  df-oppr 17906  df-subrg 18061  df-lmod 18148  df-lss 18211  df-lsp 18250  df-sra 18450  df-rgmod 18451  df-lidl 18452  df-rsp 18453  df-2idl 18511  df-cnfld 19026  df-zring 19095  df-zn 19133
This theorem is referenced by:  cznrng  40326
  Copyright terms: Public domain W3C validator