Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem3 Structured version   Unicode version

Theorem cygznlem3 19126
 Description: A cyclic group with elements is isomorphic to . (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b
cygzn.n
cygzn.y ℤ/n
cygzn.m .g
cygzn.l RHom
cygzn.e
cygzn.g CycGrp
cygzn.x
cygzn.f
Assertion
Ref Expression
cygznlem3 𝑔
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   ()   (,)

Proof of Theorem cygznlem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . . 4
2 cygzn.b . . . 4
3 eqid 2422 . . . 4
4 eqid 2422 . . . 4
5 cygzn.n . . . . . 6
6 hashcl 12537 . . . . . . . 8
76adantl 467 . . . . . . 7
8 0nn0 10884 . . . . . . . 8
98a1i 11 . . . . . . 7
107, 9ifclda 3941 . . . . . 6
115, 10syl5eqel 2514 . . . . 5
12 cygzn.y . . . . . 6 ℤ/n
1312zncrng 19101 . . . . 5
14 crngring 17778 . . . . 5
15 ringgrp 17772 . . . . 5
1611, 13, 14, 154syl 19 . . . 4
17 cygzn.g . . . . 5 CycGrp
18 cyggrp 17511 . . . . 5 CycGrp
1917, 18syl 17 . . . 4
20 cygzn.m . . . . 5 .g
21 cygzn.l . . . . 5 RHom
22 cygzn.e . . . . 5
23 cygzn.x . . . . 5
24 cygzn.f . . . . 5
252, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23, 24cygznlem2a 19124 . . . 4
2612, 1, 21znzrhfo 19104 . . . . . . . 8
2711, 26syl 17 . . . . . . 7
28 foelrn 6052 . . . . . . 7
2927, 28sylan 473 . . . . . 6
30 foelrn 6052 . . . . . . 7
3127, 30sylan 473 . . . . . 6
3229, 31anim12dan 845 . . . . 5
33 reeanv 2996 . . . . . . 7
3419adantr 466 . . . . . . . . . . 11
35 simprl 762 . . . . . . . . . . 11
36 simprr 764 . . . . . . . . . . 11
372, 20, 22iscyggen 17502 . . . . . . . . . . . . . 14
3837simplbi 461 . . . . . . . . . . . . 13
3923, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12
4039adantr 466 . . . . . . . . . . 11
412, 20, 4mulgdir 16770 . . . . . . . . . . 11
4234, 35, 36, 40, 41syl13anc 1266 . . . . . . . . . 10
4311, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
4421zrhrhm 19069 . . . . . . . . . . . . . . 15 ring RingHom
45 rhmghm 17940 . . . . . . . . . . . . . . 15 ring RingHom ring
4643, 14, 44, 454syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14 ring
4746adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ring
48 zringbas 19031 . . . . . . . . . . . . . 14 ring
49 zringplusg 19032 . . . . . . . . . . . . . 14 ring
5048, 49, 3ghmlin 16875 . . . . . . . . . . . . 13 ring
5147, 35, 36, 50syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12
5251fveq2d 5881 . . . . . . . . . . 11
53 zaddcl 10977 . . . . . . . . . . . 12
542, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23, 24cygznlem2 19125 . . . . . . . . . . . 12
5553, 54sylan2 476 . . . . . . . . . . 11
5652, 55eqtr3d 2465 . . . . . . . . . 10
572, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23, 24cygznlem2 19125 . . . . . . . . . . . 12
5857adantrr 721 . . . . . . . . . . 11
592, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23, 24cygznlem2 19125 . . . . . . . . . . . 12
6059adantrl 720 . . . . . . . . . . 11
6158, 60oveq12d 6319 . . . . . . . . . 10
6242, 56, 613eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9
63 oveq12 6310 . . . . . . . . . . 11
6463fveq2d 5881 . . . . . . . . . 10
65 fveq2 5877 . . . . . . . . . . 11
66 fveq2 5877 . . . . . . . . . . 11
6765, 66oveqan12d 6320 . . . . . . . . . 10
6864, 67eqeq12d 2444 . . . . . . . . 9
6962, 68syl5ibrcom 225 . . . . . . . 8
7069rexlimdvva 2924 . . . . . . 7
7133, 70syl5bir 221 . . . . . 6
7271imp 430 . . . . 5
7332, 72syldan 472 . . . 4
741, 2, 3, 4, 16, 19, 25, 73isghmd 16879 . . 3
7558, 60eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . 13
762, 5, 12, 20, 21, 22, 17, 23cygznlem1 19123 . . . . . . . . . . . . 13
7775, 76bitr4d 259 . . . . . . . . . . . 12
7877biimpd 210 . . . . . . . . . . 11
7965, 66eqeqan12d 2445 . . . . . . . . . . . 12
80 eqeq12 2441 . . . . . . . . . . . 12
8179, 80imbi12d 321 . . . . . . . . . . 11
8278, 81syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . 10
8382rexlimdvva 2924 . . . . . . . . 9
8433, 83syl5bir 221 . . . . . . . 8
8584imp 430 . . . . . . 7
8632, 85syldan 472 . . . . . 6
8786ralrimivva 2846 . . . . 5
88 dff13 6170 . . . . 5
8925, 87, 88sylanbrc 668 . . . 4
902, 20, 22iscyggen2 17503 . . . . . . . . 9
9119, 90syl 17 . . . . . . . 8
9223, 91mpbid 213 . . . . . . 7
9392simprd 464 . . . . . 6
94 oveq1 6308 . . . . . . . . . 10
9594eqeq2d 2436 . . . . . . . . 9
9695cbvrexv 3056 . . . . . . . 8
9727adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13
98 fof 5806 . . . . . . . . . . . . 13
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12
10099ffvelrnda 6033 . . . . . . . . . . 11
10159adantlr 719 . . . . . . . . . . . 12
102101eqcomd 2430 . . . . . . . . . . 11
103 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . 13
104103eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . 12
105104rspcev 3182 . . . . . . . . . . 11
106100, 102, 105syl2anc 665 . . . . . . . . . 10
107 eqeq1 2426 . . . . . . . . . . 11
108107rexbidv 2939 . . . . . . . . . 10
109106, 108syl5ibrcom 225 . . . . . . . . 9
110109rexlimdva 2917 . . . . . . . 8
11196, 110syl5bi 220 . . . . . . 7
112111ralimdva 2833 . . . . . 6
11393, 112mpd 15 . . . . 5
114 dffo3 6048 . . . . 5
11525, 113, 114sylanbrc 668 . . . 4
116 df-f1o 5604 . . . 4
11789, 115, 116sylanbrc 668 . . 3
1181, 2isgim 16913 . . 3 GrpIso
11974, 117, 118sylanbrc 668 . 2 GrpIso
120 brgici 16921 . 2 GrpIso 𝑔
121 gicsym 16925 . 2 𝑔 𝑔
122119, 120, 1213syl 18 1 𝑔
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1868  wral 2775  wrex 2776  crab 2779  cif 3909  cop 4002   class class class wbr 4420   cmpt 4479   crn 4850  wf 5593  wf1 5594  wfo 5595  wf1o 5596  cfv 5597  (class class class)co 6301  cfn 7573  cc0 9539   caddc 9542  cn0 10869  cz 10937  chash 12514  cbs 15108   cplusg 15177  cgrp 16656  .gcmg 16659   cghm 16867   GrpIso cgim 16908   𝑔 cgic 16909  CycGrpccyg 17499  crg 17767  ccrg 17768   RingHom crh 17927  ℤringzring 19025  RHomczrh 19057  ℤ/nℤczn 19060 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-tpos 6977  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-omul 7191  df-er 7367  df-ec 7369  df-qs 7373  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-acn 8377  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-hash 12515  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-dvds 14293  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-0g 15327  df-imas 15394  df-qus 15396  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-mhm 16569  df-grp 16660  df-minusg 16661  df-sbg 16662  df-mulg 16663  df-subg 16801  df-nsg 16802  df-eqg 16803  df-ghm 16868  df-gim 16910  df-gic 16911  df-od 17159  df-cmn 17419  df-abl 17420  df-cyg 17500  df-mgp 17711  df-ur 17723  df-ring 17769  df-cring 17770  df-oppr 17838  df-dvdsr 17856  df-rnghom 17930  df-subrg 17993  df-lmod 18080  df-lss 18143  df-lsp 18182  df-sra 18382  df-rgmod 18383  df-lidl 18384  df-rsp 18385  df-2idl 18443  df-cnfld 18958  df-zring 19026  df-zrh 19061  df-zn 19064 This theorem is referenced by:  cygzn  19127
 Copyright terms: Public domain W3C validator