MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem3 Unicode version

Theorem cygznlem3 16805
Description: A cyclic group with  n elements is isomorphic to  ZZ  /  n ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
cygzn.n  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
cygzn.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
cygzn.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cygzn.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
cygzn.e  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
cygzn.g  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
cygzn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
cygzn.f  |-  F  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  <. ( L `  m ) ,  ( m  .x.  X )
>. )
Assertion
Ref Expression
cygznlem3  |-  ( ph  ->  G  ~=ph𝑔 
Y )
Distinct variable groups:    m, n, x, B    m, G, n, x    .x. , m, n, x   
m, Y, n, x   
m, L, n, x   
x, N    ph, m    n, F, x    m, X, n, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    E( x, m, n)    F( m)    N( m, n)

Proof of Theorem cygznlem3
Dummy variables  a 
b  i  j  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
2 cygzn.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2404 . . . 4  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
4 eqid 2404 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
5 cygzn.n . . . . . . 7  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
6 hashcl 11594 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
76adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B )  e.  NN0 )
8 0nn0 10192 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
98a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  0  e.  NN0 )
107, 9ifclda 3726 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  e.  NN0 )
115, 10syl5eqel 2488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
12 cygzn.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
1312zncrng 16780 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
1411, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
15 crngrng 15629 . . . . 5  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
16 rnggrp 15624 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
1714, 15, 163syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
18 cygzn.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
19 cyggrp 15454 . . . . 5  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  e.  Grp )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
21 cygzn.m . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
22 cygzn.l . . . . 5  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
23 cygzn.e . . . . 5  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
24 cygzn.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
25 cygzn.f . . . . 5  |-  F  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  <. ( L `  m ) ,  ( m  .x.  X )
>. )
262, 5, 12, 21, 22, 23, 18, 24, 25cygznlem2a 16803 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  Y ) --> B )
2712, 1, 22znzrhfo 16783 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y
) )
2811, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y ) )
29 foelrn 5847 . . . . . . 7  |-  ( ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  /\  a  e.  ( Base `  Y ) )  ->  E. i  e.  ZZ  a  =  ( L `  i ) )
3028, 29sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  E. i  e.  ZZ  a  =  ( L `  i ) )
31 foelrn 5847 . . . . . . 7  |-  ( ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  E. j  e.  ZZ  b  =  ( L `  j ) )
3228, 31sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( Base `  Y )
)  ->  E. j  e.  ZZ  b  =  ( L `  j ) )
3330, 32anim12dan 811 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  ( E. i  e.  ZZ  a  =  ( L `  i )  /\  E. j  e.  ZZ  b  =  ( L `  j ) ) )
34 reeanv 2835 . . . . . . 7  |-  ( E. i  e.  ZZ  E. j  e.  ZZ  (
a  =  ( L `
 i )  /\  b  =  ( L `  j ) )  <->  ( E. i  e.  ZZ  a  =  ( L `  i )  /\  E. j  e.  ZZ  b  =  ( L `  j ) ) )
3520adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
36 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
i  e.  ZZ )
37 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
j  e.  ZZ )
382, 21, 23iscyggen 15445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B ) )
3938simplbi 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  E  ->  X  e.  B )
4024, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
4140adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  X  e.  B )
422, 21, 4mulgdir 14870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
i  +  j ) 
.x.  X )  =  ( ( i  .x.  X ) ( +g  `  G ) ( j 
.x.  X ) ) )
4335, 36, 37, 41, 42syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( ( i  +  j )  .x.  X
)  =  ( ( i  .x.  X ) ( +g  `  G
) ( j  .x.  X ) ) )
4414, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
45 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
4645, 22zrhrhm 16748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
4744, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
48 rhmghm 15781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  ->  L  e.  ( (flds  ZZ )  GrpHom  Y ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) 
GrpHom  Y ) )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  L  e.  ( (flds  ZZ )  GrpHom  Y ) )
51 zsubrg 16707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
5245subrgbas 15832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) ) )
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) )
54 zex 10247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ZZ  e.  _V
55 cnfldadd 16663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  +  =  ( +g  ` fld )
5645, 55ressplusg 13526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  (flds  ZZ )
) )
5754, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  +  =  ( +g  `  (flds  ZZ ) )
5853, 57, 3ghmlin 14966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ( (flds  ZZ ) 
GrpHom  Y )  /\  i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( L `  ( i  +  j ) )  =  ( ( L `
 i ) ( +g  `  Y ) ( L `  j
) ) )
5950, 36, 37, 58syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( L `  (
i  +  j ) )  =  ( ( L `  i ) ( +g  `  Y
) ( L `  j ) ) )
6059fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  ( L `  ( i  +  j ) ) )  =  ( F `
 ( ( L `
 i ) ( +g  `  Y ) ( L `  j
) ) ) )
61 zaddcl 10273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( i  +  j )  e.  ZZ )
622, 5, 12, 21, 22, 23, 18, 24, 25cygznlem2 16804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  +  j )  e.  ZZ )  ->  ( F `  ( L `  ( i  +  j ) ) )  =  ( ( i  +  j )  .x.  X
) )
6361, 62sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  ( L `  ( i  +  j ) ) )  =  ( ( i  +  j ) 
.x.  X ) )
6460, 63eqtr3d 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  (
( L `  i
) ( +g  `  Y
) ( L `  j ) ) )  =  ( ( i  +  j )  .x.  X ) )
652, 5, 12, 21, 22, 23, 18, 24, 25cygznlem2 16804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( F `
 ( L `  i ) )  =  ( i  .x.  X
) )
6665adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  ( L `  i )
)  =  ( i 
.x.  X ) )
672, 5, 12, 21, 22, 23, 18, 24, 25cygznlem2 16804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( F `
 ( L `  j ) )  =  ( j  .x.  X
) )
6867adantrl 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  ( L `  j )
)  =  ( j 
.x.  X ) )
6966, 68oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( ( F `  ( L `  i ) ) ( +g  `  G
) ( F `  ( L `  j ) ) )  =  ( ( i  .x.  X
) ( +g  `  G
) ( j  .x.  X ) ) )
7043, 64, 693eqtr4d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  (
( L `  i
) ( +g  `  Y
) ( L `  j ) ) )  =  ( ( F `
 ( L `  i ) ) ( +g  `  G ) ( F `  ( L `  j )
) ) )
71 oveq12 6049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  =  ( L `
 i )  /\  b  =  ( L `  j ) )  -> 
( a ( +g  `  Y ) b )  =  ( ( L `
 i ) ( +g  `  Y ) ( L `  j
) ) )
7271fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( L `
 i )  /\  b  =  ( L `  j ) )  -> 
( F `  (
a ( +g  `  Y
) b ) )  =  ( F `  ( ( L `  i ) ( +g  `  Y ) ( L `
 j ) ) ) )
73 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( L `  i )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( L `  i ) ) )
74 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( L `  j )  ->  ( F `  b )  =  ( F `  ( L `  j ) ) )
7573, 74oveqan12d 6059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( L `
 i )  /\  b  =  ( L `  j ) )  -> 
( ( F `  a ) ( +g  `  G ) ( F `
 b ) )  =  ( ( F `
 ( L `  i ) ) ( +g  `  G ) ( F `  ( L `  j )
) ) )
7672, 75eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( L `
 i )  /\  b  =  ( L `  j ) )  -> 
( ( F `  ( a ( +g  `  Y ) b ) )  =  ( ( F `  a ) ( +g  `  G
) ( F `  b ) )  <->  ( F `  ( ( L `  i ) ( +g  `  Y ) ( L `
 j ) ) )  =  ( ( F `  ( L `
 i ) ) ( +g  `  G
) ( F `  ( L `  j ) ) ) ) )
7770, 76syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  =  ( L `  i
)  /\  b  =  ( L `  j ) )  ->  ( F `  ( a ( +g  `  Y ) b ) )  =  ( ( F `  a ) ( +g  `  G
) ( F `  b ) ) ) )
7877rexlimdvva 2797 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. i  e.  ZZ  E. j  e.  ZZ  ( a  =  ( L `  i
)  /\  b  =  ( L `  j ) )  ->  ( F `  ( a ( +g  `  Y ) b ) )  =  ( ( F `  a ) ( +g  `  G
) ( F `  b ) ) ) )
7934, 78syl5bir 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E. i  e.  ZZ  a  =  ( L `  i )  /\  E. j  e.  ZZ  b  =  ( L `  j ) )  ->  ( F `  ( a ( +g  `  Y ) b ) )  =  ( ( F `  a ) ( +g  `  G
) ( F `  b ) ) ) )
8079imp 419 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( E. i  e.  ZZ  a  =  ( L `  i )  /\  E. j  e.  ZZ  b  =  ( L `  j ) ) )  ->  ( F `  ( a ( +g  `  Y ) b ) )  =  ( ( F `  a ) ( +g  `  G
) ( F `  b ) ) )
8133, 80syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  Y ) b ) )  =  ( ( F `  a ) ( +g  `  G ) ( F `
 b ) ) )
821, 2, 3, 4, 17, 20, 26, 81isghmd 14970 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Y 
GrpHom  G ) )
8366, 68eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( ( F `  ( L `  i ) )  =  ( F `
 ( L `  j ) )  <->  ( i  .x.  X )  =  ( j  .x.  X ) ) )
842, 5, 12, 21, 22, 23, 18, 24cygznlem1 16802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  i )  =  ( L `  j )  <-> 
( i  .x.  X
)  =  ( j 
.x.  X ) ) )
8583, 84bitr4d 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( ( F `  ( L `  i ) )  =  ( F `
 ( L `  j ) )  <->  ( L `  i )  =  ( L `  j ) ) )
8685biimpd 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( ( F `  ( L `  i ) )  =  ( F `
 ( L `  j ) )  -> 
( L `  i
)  =  ( L `
 j ) ) )
8773, 74eqeqan12d 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  =  ( L `
 i )  /\  b  =  ( L `  j ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  b )  <-> 
( F `  ( L `  i )
)  =  ( F `
 ( L `  j ) ) ) )
88 eqeq12 2416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  =  ( L `
 i )  /\  b  =  ( L `  j ) )  -> 
( a  =  b  <-> 
( L `  i
)  =  ( L `
 j ) ) )
8987, 88imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  =  ( L `
 i )  /\  b  =  ( L `  j ) )  -> 
( ( ( F `
 a )  =  ( F `  b
)  ->  a  =  b )  <->  ( ( F `  ( L `  i ) )  =  ( F `  ( L `  j )
)  ->  ( L `  i )  =  ( L `  j ) ) ) )
9086, 89syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  =  ( L `  i
)  /\  b  =  ( L `  j ) )  ->  ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  a  =  b ) ) )
9190rexlimdvva 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. i  e.  ZZ  E. j  e.  ZZ  ( a  =  ( L `  i
)  /\  b  =  ( L `  j ) )  ->  ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  a  =  b ) ) )
9234, 91syl5bir 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. i  e.  ZZ  a  =  ( L `  i )  /\  E. j  e.  ZZ  b  =  ( L `  j ) )  ->  ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  a  =  b ) ) )
9392imp 419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( E. i  e.  ZZ  a  =  ( L `  i )  /\  E. j  e.  ZZ  b  =  ( L `  j ) ) )  ->  ( ( F `
 a )  =  ( F `  b
)  ->  a  =  b ) )
9433, 93syldan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 b )  -> 
a  =  b ) )
9594ralrimivva 2758 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. a  e.  (
Base `  Y ) A. b  e.  ( Base `  Y ) ( ( F `  a
)  =  ( F `
 b )  -> 
a  =  b ) )
96 dff13 5963 . . . . 5  |-  ( F : ( Base `  Y
) -1-1-> B  <->  ( F :
( Base `  Y ) --> B  /\  A. a  e.  ( Base `  Y
) A. b  e.  ( Base `  Y
) ( ( F `
 a )  =  ( F `  b
)  ->  a  =  b ) ) )
9726, 95, 96sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  Y ) -1-1-> B )
982, 21, 23iscyggen2 15446 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  E. n  e.  ZZ  z  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
9920, 98syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  E. n  e.  ZZ  z  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
10024, 99mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  E. n  e.  ZZ  z  =  ( n  .x.  X ) ) )
101100simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  B  E. n  e.  ZZ  z  =  ( n  .x.  X ) )
102 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
n  .x.  X )  =  ( j  .x.  X ) )
103102eqeq2d 2415 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  (
z  =  ( n 
.x.  X )  <->  z  =  ( j  .x.  X
) ) )
104103cbvrexv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  ZZ  z  =  ( n  .x.  X )  <->  E. j  e.  ZZ  z  =  ( j  .x.  X ) )
10528adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y
) )
106 fof 5612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
108107ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( L `  j )  e.  ( Base `  Y
) )
10967adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( F `  ( L `  j ) )  =  ( j  .x.  X
) )
110109eqcomd 2409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
j  .x.  X )  =  ( F `  ( L `  j ) ) )
111 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( L `  j )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( L `  j ) ) )
112111eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( L `  j )  ->  (
( j  .x.  X
)  =  ( F `
 a )  <->  ( j  .x.  X )  =  ( F `  ( L `
 j ) ) ) )
113112rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L `  j
)  e.  ( Base `  Y )  /\  (
j  .x.  X )  =  ( F `  ( L `  j ) ) )  ->  E. a  e.  ( Base `  Y
) ( j  .x.  X )  =  ( F `  a ) )
114108, 110, 113syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  j  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ( Base `  Y
) ( j  .x.  X )  =  ( F `  a ) )
115 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( j  .x.  X )  ->  (
z  =  ( F `
 a )  <->  ( j  .x.  X )  =  ( F `  a ) ) )
116115rexbidv 2687 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( j  .x.  X )  ->  ( E. a  e.  ( Base `  Y ) z  =  ( F `  a )  <->  E. a  e.  ( Base `  Y
) ( j  .x.  X )  =  ( F `  a ) ) )
117114, 116syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
z  =  ( j 
.x.  X )  ->  E. a  e.  ( Base `  Y ) z  =  ( F `  a ) ) )
118117rexlimdva 2790 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( E. j  e.  ZZ  z  =  ( j  .x.  X )  ->  E. a  e.  ( Base `  Y
) z  =  ( F `  a ) ) )
119104, 118syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( E. n  e.  ZZ  z  =  ( n  .x.  X )  ->  E. a  e.  ( Base `  Y
) z  =  ( F `  a ) ) )
120119ralimdva 2744 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  E. n  e.  ZZ  z  =  ( n  .x.  X )  ->  A. z  e.  B  E. a  e.  ( Base `  Y ) z  =  ( F `  a ) ) )
121101, 120mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  B  E. a  e.  ( Base `  Y ) z  =  ( F `  a ) )
122 dffo3 5843 . . . . 5  |-  ( F : ( Base `  Y
) -onto-> B  <->  ( F :
( Base `  Y ) --> B  /\  A. z  e.  B  E. a  e.  ( Base `  Y
) z  =  ( F `  a ) ) )
12326, 121, 122sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  Y ) -onto-> B )
124 df-f1o 5420 . . . 4  |-  ( F : ( Base `  Y
)
-1-1-onto-> B 
<->  ( F : (
Base `  Y ) -1-1->
B  /\  F :
( Base `  Y ) -onto-> B ) )
12597, 123, 124sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  Y ) -1-1-onto-> B )
1261, 2isgim 15004 . . 3  |-  ( F  e.  ( Y GrpIso  G
)  <->  ( F  e.  ( Y  GrpHom  G )  /\  F : (
Base `  Y ) -1-1-onto-> B
) )
12782, 125, 126sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Y GrpIso  G ) )
128 brgici 15012 . 2  |-  ( F  e.  ( Y GrpIso  G
)  ->  Y  ~=ph𝑔  G )
129 gicsym 15016 . 2  |-  ( Y 
~=ph𝑔  G  ->  G  ~=ph𝑔 
Y )
130127, 128, 1293syl 19 1  |-  ( ph  ->  G  ~=ph𝑔 
Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916   ifcif 3699   <.cop 3777   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ran crn 4838   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   0cc0 8946    + caddc 8949   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   #chash 11573   Basecbs 13424   ↾s cress 13425   +g cplusg 13484   Grpcgrp 14640  .gcmg 14644    GrpHom cghm 14958   GrpIso cgim 14999    ~=ph𝑔 cgic 15000  CycGrpccyg 15442   Ringcrg 15615   CRingccrg 15616   RingHom crh 15772  SubRingcsubrg 15819  ℂfldccnfld 16658   ZRHomczrh 16733  ℤ/nczn 16736
This theorem is referenced by:  cygzn  16806
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-imas 13689  df-divs 13690  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-gim 15001  df-gic 15002  df-od 15122  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-cyg 15443  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740
  Copyright terms: Public domain W3C validator