MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem2a Structured version   Unicode version

Theorem cygznlem2a 18373
Description: Lemma for cygzn 18376. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
cygzn.n  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
cygzn.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
cygzn.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cygzn.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
cygzn.e  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
cygzn.g  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
cygzn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
cygzn.f  |-  F  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  <. ( L `  m ) ,  ( m  .x.  X )
>. )
Assertion
Ref Expression
cygznlem2a  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  Y ) --> B )
Distinct variable groups:    m, n, x, B    m, G, n, x    .x. , m, n, x   
m, Y, n, x   
m, L, n, x   
x, N    ph, m    n, F, x    m, X, n, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    E( x, m, n)    F( m)    N( m, n)

Proof of Theorem cygznlem2a
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygzn.f . . . 4  |-  F  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  <. ( L `  m ) ,  ( m  .x.  X )
>. )
2 fvex 5874 . . . . 5  |-  ( L `
 m )  e. 
_V
32a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `
 m )  e. 
_V )
4 cygzn.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
5 cyggrp 16683 . . . . . . 7  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  e.  Grp )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  G  e. 
Grp )
8 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
9 cygzn.e . . . . . . . 8  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
10 ssrab2 3585 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }  C_  B
119, 10eqsstri 3534 . . . . . . 7  |-  E  C_  B
12 cygzn.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
1311, 12sseldi 3502 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1413adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  X  e.  B )
15 cygzn.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
16 cygzn.m . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
1715, 16mulgcl 15959 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  m  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
m  .x.  X )  e.  B )
187, 8, 14, 17syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m 
.x.  X )  e.  B )
19 fveq2 5864 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  ( L `  m )  =  ( L `  k ) )
20 oveq1 6289 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  (
m  .x.  X )  =  ( k  .x.  X ) )
21 cygzn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
22 cygzn.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
23 cygzn.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
2415, 21, 22, 16, 23, 9, 4, 12cygznlem1 18372 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  m )  =  ( L `  k )  <-> 
( m  .x.  X
)  =  ( k 
.x.  X ) ) )
2524biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  m )  =  ( L `  k )  ->  ( m  .x.  X )  =  ( k  .x.  X ) ) )
2625exp32 605 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( L `  m )  =  ( L `  k )  ->  ( m  .x.  X )  =  ( k  .x.  X ) ) ) ) )
27263imp2 1211 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  ( L `
 m )  =  ( L `  k
) ) )  -> 
( m  .x.  X
)  =  ( k 
.x.  X ) )
281, 3, 18, 19, 20, 27fliftfund 6197 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  F )
291, 3, 18fliftf 6199 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  <->  F : ran  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) ) --> B ) )
3028, 29mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  F : ran  (
m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) ) --> B )
31 hashcl 12392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
3231adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B )  e.  NN0 )
33 0nn0 10806 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  0  e.  NN0 )
3532, 34ifclda 3971 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  e.  NN0 )
3621, 35syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
37 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
3822, 37, 23znzrhfo 18353 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y
) )
3936, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y ) )
40 fof 5793 . . . . . . 7  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
4139, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
4241feqmptd 5918 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  =  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `
 m ) ) )
4342rneqd 5228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  L  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) ) )
44 forn 5796 . . . . 5  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  ->  ran  L  =  ( Base `  Y
) )
4539, 44syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  L  =  (
Base `  Y )
)
4643, 45eqtr3d 2510 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) )  =  ( Base `  Y
) )
4746feq2d 5716 . 2  |-  ( ph  ->  ( F : ran  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) ) --> B  <->  F :
( Base `  Y ) --> B ) )
4830, 47mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  Y ) --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113   ifcif 3939   <.cop 4033    |-> cmpt 4505   ran crn 5000   Fun wfun 5580   -->wf 5582   -onto->wfo 5584   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   0cc0 9488   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   #chash 12369   Basecbs 14486   Grpcgrp 15723  .gcmg 15727  CycGrpccyg 16671   ZRHomczrh 18304  ℤ/nczn 18307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-dvds 13844  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-0g 14693  df-imas 14759  df-divs 14760  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-nsg 15994  df-eqg 15995  df-ghm 16060  df-od 16349  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-cyg 16672  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-rnghom 17148  df-subrg 17210  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-lsp 17401  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-lidl 17603  df-rsp 17604  df-2idl 17662  df-cnfld 18192  df-zring 18257  df-zrh 18308  df-zn 18311
This theorem is referenced by:  cygznlem2  18374  cygznlem3  18375
  Copyright terms: Public domain W3C validator