MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem2a Structured version   Unicode version

Theorem cygznlem2a 18118
Description: Lemma for cygzn 18121. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
cygzn.n  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
cygzn.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
cygzn.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cygzn.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
cygzn.e  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
cygzn.g  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
cygzn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
cygzn.f  |-  F  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  <. ( L `  m ) ,  ( m  .x.  X )
>. )
Assertion
Ref Expression
cygznlem2a  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  Y ) --> B )
Distinct variable groups:    m, n, x, B    m, G, n, x    .x. , m, n, x   
m, Y, n, x   
m, L, n, x   
x, N    ph, m    n, F, x    m, X, n, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    E( x, m, n)    F( m)    N( m, n)

Proof of Theorem cygznlem2a
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygzn.f . . . 4  |-  F  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  <. ( L `  m ) ,  ( m  .x.  X )
>. )
2 fvex 5802 . . . . 5  |-  ( L `
 m )  e. 
_V
32a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `
 m )  e. 
_V )
4 cygzn.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
5 cyggrp 16479 . . . . . . 7  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  e.  Grp )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  G  e. 
Grp )
8 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
9 cygzn.e . . . . . . . 8  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
10 ssrab2 3538 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }  C_  B
119, 10eqsstri 3487 . . . . . . 7  |-  E  C_  B
12 cygzn.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
1311, 12sseldi 3455 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1413adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  X  e.  B )
15 cygzn.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
16 cygzn.m . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
1715, 16mulgcl 15755 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  m  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
m  .x.  X )  e.  B )
187, 8, 14, 17syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m 
.x.  X )  e.  B )
19 fveq2 5792 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  ( L `  m )  =  ( L `  k ) )
20 oveq1 6200 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  (
m  .x.  X )  =  ( k  .x.  X ) )
21 cygzn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
22 cygzn.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
23 cygzn.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
2415, 21, 22, 16, 23, 9, 4, 12cygznlem1 18117 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  m )  =  ( L `  k )  <-> 
( m  .x.  X
)  =  ( k 
.x.  X ) ) )
2524biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  m )  =  ( L `  k )  ->  ( m  .x.  X )  =  ( k  .x.  X ) ) )
2625exp32 605 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( L `  m )  =  ( L `  k )  ->  ( m  .x.  X )  =  ( k  .x.  X ) ) ) ) )
27263imp2 1203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  ( L `
 m )  =  ( L `  k
) ) )  -> 
( m  .x.  X
)  =  ( k 
.x.  X ) )
281, 3, 18, 19, 20, 27fliftfund 6108 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  F )
291, 3, 18fliftf 6110 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  <->  F : ran  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) ) --> B ) )
3028, 29mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  F : ran  (
m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) ) --> B )
31 hashcl 12236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
3231adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B )  e.  NN0 )
33 0nn0 10698 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  0  e.  NN0 )
3532, 34ifclda 3922 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  e.  NN0 )
3621, 35syl5eqel 2543 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
37 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
3822, 37, 23znzrhfo 18098 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y
) )
3936, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y ) )
40 fof 5721 . . . . . . 7  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
4139, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
4241feqmptd 5846 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  =  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `
 m ) ) )
4342rneqd 5168 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  L  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) ) )
44 forn 5724 . . . . 5  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  ->  ran  L  =  ( Base `  Y
) )
4539, 44syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  L  =  (
Base `  Y )
)
4643, 45eqtr3d 2494 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) )  =  ( Base `  Y
) )
4746feq2d 5648 . 2  |-  ( ph  ->  ( F : ran  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) ) --> B  <->  F :
( Base `  Y ) --> B ) )
4830, 47mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  Y ) --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2799   _Vcvv 3071   ifcif 3892   <.cop 3984    |-> cmpt 4451   ran crn 4942   Fun wfun 5513   -->wf 5515   -onto->wfo 5517   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Fincfn 7413   0cc0 9386   NN0cn0 10683   ZZcz 10750   #chash 12213   Basecbs 14285   Grpcgrp 15521  .gcmg 15525  CycGrpccyg 16467   ZRHomczrh 18049  ℤ/nczn 18052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-tpos 6848  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-omul 7028  df-er 7204  df-ec 7206  df-qs 7210  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-acn 8216  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-rp 11096  df-fz 11548  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-dvds 13647  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-0g 14491  df-imas 14557  df-divs 14558  df-mnd 15526  df-mhm 15575  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658  df-mulg 15659  df-subg 15789  df-nsg 15790  df-eqg 15791  df-ghm 15856  df-od 16145  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-cyg 16468  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-cring 16763  df-oppr 16830  df-dvdsr 16848  df-rnghom 16921  df-subrg 16978  df-lmod 17065  df-lss 17129  df-lsp 17168  df-sra 17368  df-rgmod 17369  df-lidl 17370  df-rsp 17371  df-2idl 17429  df-cnfld 17937  df-zring 18002  df-zrh 18053  df-zn 18056
This theorem is referenced by:  cygznlem2  18119  cygznlem3  18120
  Copyright terms: Public domain W3C validator