MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem2a Structured version   Unicode version

Theorem cygznlem2a 18733
Description: Lemma for cygzn 18736. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
cygzn.n  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
cygzn.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
cygzn.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cygzn.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
cygzn.e  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
cygzn.g  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
cygzn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
cygzn.f  |-  F  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  <. ( L `  m ) ,  ( m  .x.  X )
>. )
Assertion
Ref Expression
cygznlem2a  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  Y ) --> B )
Distinct variable groups:    m, n, x, B    m, G, n, x    .x. , m, n, x   
m, Y, n, x   
m, L, n, x   
x, N    ph, m    n, F, x    m, X, n, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    E( x, m, n)    F( m)    N( m, n)

Proof of Theorem cygznlem2a
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygzn.f . . . 4  |-  F  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  <. ( L `  m ) ,  ( m  .x.  X )
>. )
2 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( L `
 m )  e. 
_V
32a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `
 m )  e. 
_V )
4 cygzn.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
5 cyggrp 17019 . . . . . . 7  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  e.  Grp )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  G  e. 
Grp )
8 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
9 cygzn.e . . . . . . . 8  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
10 ssrab2 3581 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }  C_  B
119, 10eqsstri 3529 . . . . . . 7  |-  E  C_  B
12 cygzn.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
1311, 12sseldi 3497 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1413adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  X  e.  B )
15 cygzn.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
16 cygzn.m . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
1715, 16mulgcl 16286 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  m  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
m  .x.  X )  e.  B )
187, 8, 14, 17syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m 
.x.  X )  e.  B )
19 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  ( L `  m )  =  ( L `  k ) )
20 oveq1 6303 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  (
m  .x.  X )  =  ( k  .x.  X ) )
21 cygzn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
22 cygzn.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
23 cygzn.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
2415, 21, 22, 16, 23, 9, 4, 12cygznlem1 18732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  m )  =  ( L `  k )  <-> 
( m  .x.  X
)  =  ( k 
.x.  X ) ) )
2524biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  m )  =  ( L `  k )  ->  ( m  .x.  X )  =  ( k  .x.  X ) ) )
2625exp32 605 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( L `  m )  =  ( L `  k )  ->  ( m  .x.  X )  =  ( k  .x.  X ) ) ) ) )
27263imp2 1211 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  ( L `
 m )  =  ( L `  k
) ) )  -> 
( m  .x.  X
)  =  ( k 
.x.  X ) )
281, 3, 18, 19, 20, 27fliftfund 6212 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  F )
291, 3, 18fliftf 6214 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  <->  F : ran  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) ) --> B ) )
3028, 29mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  F : ran  (
m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) ) --> B )
31 hashcl 12431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
3231adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B )  e.  NN0 )
33 0nn0 10831 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  0  e.  NN0 )
3532, 34ifclda 3976 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  e.  NN0 )
3621, 35syl5eqel 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
37 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
3822, 37, 23znzrhfo 18713 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y
) )
3936, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y ) )
40 fof 5801 . . . . . . 7  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
4139, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
4241feqmptd 5926 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  =  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `
 m ) ) )
4342rneqd 5240 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  L  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) ) )
44 forn 5804 . . . . 5  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  ->  ran  L  =  ( Base `  Y
) )
4539, 44syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  L  =  (
Base `  Y )
)
4643, 45eqtr3d 2500 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) )  =  ( Base `  Y
) )
4746feq2d 5724 . 2  |-  ( ph  ->  ( F : ran  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) ) --> B  <->  F :
( Base `  Y ) --> B ) )
4830, 47mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  Y ) --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109   ifcif 3944   <.cop 4038    |-> cmpt 4515   ran crn 5009   Fun wfun 5588   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   0cc0 9509   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   #chash 12408   Basecbs 14644   Grpcgrp 16180  .gcmg 16183  CycGrpccyg 17007   ZRHomczrh 18664  ℤ/nczn 18667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-imas 14925  df-qus 14926  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-nsg 16326  df-eqg 16327  df-ghm 16392  df-od 16680  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-cyg 17008  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-rnghom 17491  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-lidl 17947  df-rsp 17948  df-2idl 18007  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-zn 18671
This theorem is referenced by:  cygznlem2  18734  cygznlem3  18735
  Copyright terms: Public domain W3C validator