MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem2a Structured version   Unicode version

Theorem cygznlem2a 19124
Description: Lemma for cygzn 19127. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
cygzn.n  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
cygzn.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
cygzn.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cygzn.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
cygzn.e  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
cygzn.g  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
cygzn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
cygzn.f  |-  F  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  <. ( L `  m ) ,  ( m  .x.  X )
>. )
Assertion
Ref Expression
cygznlem2a  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  Y ) --> B )
Distinct variable groups:    m, n, x, B    m, G, n, x    .x. , m, n, x   
m, Y, n, x   
m, L, n, x   
x, N    ph, m    n, F, x    m, X, n, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    E( x, m, n)    F( m)    N( m, n)

Proof of Theorem cygznlem2a
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygzn.f . . . 4  |-  F  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  <. ( L `  m ) ,  ( m  .x.  X )
>. )
2 fvex 5887 . . . . 5  |-  ( L `
 m )  e. 
_V
32a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `
 m )  e. 
_V )
4 cygzn.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
5 cyggrp 17511 . . . . . . 7  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  e.  Grp )
64, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
76adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  G  e. 
Grp )
8 simpr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
9 cygzn.e . . . . . . . 8  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
10 ssrab2 3546 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }  C_  B
119, 10eqsstri 3494 . . . . . . 7  |-  E  C_  B
12 cygzn.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
1311, 12sseldi 3462 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1413adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  X  e.  B )
15 cygzn.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
16 cygzn.m . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
1715, 16mulgcl 16762 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  m  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
m  .x.  X )  e.  B )
187, 8, 14, 17syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m 
.x.  X )  e.  B )
19 fveq2 5877 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  ( L `  m )  =  ( L `  k ) )
20 oveq1 6308 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  (
m  .x.  X )  =  ( k  .x.  X ) )
21 cygzn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
22 cygzn.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
23 cygzn.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
2415, 21, 22, 16, 23, 9, 4, 12cygznlem1 19123 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  m )  =  ( L `  k )  <-> 
( m  .x.  X
)  =  ( k 
.x.  X ) ) )
2524biimpd 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  m )  =  ( L `  k )  ->  ( m  .x.  X )  =  ( k  .x.  X ) ) )
2625exp32 608 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( L `  m )  =  ( L `  k )  ->  ( m  .x.  X )  =  ( k  .x.  X ) ) ) ) )
27263imp2 1220 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  ( L `
 m )  =  ( L `  k
) ) )  -> 
( m  .x.  X
)  =  ( k 
.x.  X ) )
281, 3, 18, 19, 20, 27fliftfund 6217 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  F )
291, 3, 18fliftf 6219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  <->  F : ran  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) ) --> B ) )
3028, 29mpbid 213 . 2  |-  ( ph  ->  F : ran  (
m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) ) --> B )
31 hashcl 12537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
3231adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B )  e.  NN0 )
33 0nn0 10884 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  0  e.  NN0 )
3532, 34ifclda 3941 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  e.  NN0 )
3621, 35syl5eqel 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
37 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
3822, 37, 23znzrhfo 19104 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y
) )
3936, 38syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y ) )
40 fof 5806 . . . . . . 7  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
4139, 40syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
4241feqmptd 5930 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  =  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `
 m ) ) )
4342rneqd 5077 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  L  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) ) )
44 forn 5809 . . . . 5  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  ->  ran  L  =  ( Base `  Y
) )
4539, 44syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  L  =  (
Base `  Y )
)
4643, 45eqtr3d 2465 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) )  =  ( Base `  Y
) )
4746feq2d 5729 . 2  |-  ( ph  ->  ( F : ran  ( m  e.  ZZ  |->  ( L `  m ) ) --> B  <->  F :
( Base `  Y ) --> B ) )
4830, 47mpbid 213 1  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  Y ) --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   {crab 2779   _Vcvv 3081   ifcif 3909   <.cop 4002    |-> cmpt 4479   ran crn 4850   Fun wfun 5591   -->wf 5593   -onto->wfo 5595   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   Fincfn 7573   0cc0 9539   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   #chash 12514   Basecbs 15108   Grpcgrp 16656  .gcmg 16659  CycGrpccyg 17499   ZRHomczrh 19057  ℤ/nczn 19060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-tpos 6977  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-omul 7191  df-er 7367  df-ec 7369  df-qs 7373  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-acn 8377  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-hash 12515  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-dvds 14293  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-0g 15327  df-imas 15394  df-qus 15396  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-mhm 16569  df-grp 16660  df-minusg 16661  df-sbg 16662  df-mulg 16663  df-subg 16801  df-nsg 16802  df-eqg 16803  df-ghm 16868  df-od 17159  df-cmn 17419  df-abl 17420  df-cyg 17500  df-mgp 17711  df-ur 17723  df-ring 17769  df-cring 17770  df-oppr 17838  df-dvdsr 17856  df-rnghom 17930  df-subrg 17993  df-lmod 18080  df-lss 18143  df-lsp 18182  df-sra 18382  df-rgmod 18383  df-lidl 18384  df-rsp 18385  df-2idl 18443  df-cnfld 18958  df-zring 19026  df-zrh 19061  df-zn 19064
This theorem is referenced by:  cygznlem2  19125  cygznlem3  19126
  Copyright terms: Public domain W3C validator