MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem2 Structured version   Unicode version

Theorem cygznlem2 18903
Description: Lemma for cygzn 18905. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
cygzn.n  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
cygzn.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
cygzn.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cygzn.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
cygzn.e  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
cygzn.g  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
cygzn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
cygzn.f  |-  F  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  <. ( L `  m ) ,  ( m  .x.  X )
>. )
Assertion
Ref Expression
cygznlem2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( F `
 ( L `  M ) )  =  ( M  .x.  X
) )
Distinct variable groups:    m, n, x, B    m, G, n, x    m, M    .x. , m, n, x    m, Y, n, x    m, L, n, x    x, N    ph, m    n, F, x    m, X, n, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    E( x, m, n)    F( m)    M( x, n)    N( m, n)

Proof of Theorem cygznlem2
StepHypRef Expression
1 cygzn.f . 2  |-  F  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  <. ( L `  m ) ,  ( m  .x.  X )
>. )
2 fvex 5858 . . 3  |-  ( L `
 m )  e. 
_V
32a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `
 m )  e. 
_V )
4 ovex 6305 . . 3  |-  ( m 
.x.  X )  e. 
_V
54a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m 
.x.  X )  e. 
_V )
6 fveq2 5848 . 2  |-  ( m  =  M  ->  ( L `  m )  =  ( L `  M ) )
7 oveq1 6284 . 2  |-  ( m  =  M  ->  (
m  .x.  X )  =  ( M  .x.  X ) )
8 cygzn.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
9 cygzn.n . . . 4  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
10 cygzn.y . . . 4  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
11 cygzn.m . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
12 cygzn.l . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
13 cygzn.e . . . 4  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
14 cygzn.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
15 cygzn.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
168, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 1cygznlem2a 18902 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  Y ) --> B )
17 ffun 5715 . . 3  |-  ( F : ( Base `  Y
) --> B  ->  Fun  F )
1816, 17syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  F )
191, 3, 5, 6, 7, 18fliftval 6196 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( F `
 ( L `  M ) )  =  ( M  .x.  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2757   _Vcvv 3058   ifcif 3884   <.cop 3977    |-> cmpt 4452   ran crn 4823   Fun wfun 5562   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Fincfn 7553   0cc0 9521   ZZcz 10904   #chash 12450   Basecbs 14839  .gcmg 16378  CycGrpccyg 17202   ZRHomczrh 18835  ℤ/nczn 18838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-er 7347  df-ec 7349  df-qs 7353  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-acn 8354  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-dvds 14194  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-0g 15054  df-imas 15120  df-qus 15121  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-nsg 16521  df-eqg 16522  df-ghm 16587  df-od 16875  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-cyg 17203  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-cring 17519  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-rnghom 17682  df-subrg 17745  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-lidl 18138  df-rsp 18139  df-2idl 18198  df-cnfld 18739  df-zring 18807  df-zrh 18839  df-zn 18842
This theorem is referenced by:  cygznlem3  18904
  Copyright terms: Public domain W3C validator