MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem2 Structured version   Unicode version

Theorem cygznlem2 18369
Description: Lemma for cygzn 18371. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
cygzn.n  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
cygzn.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
cygzn.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cygzn.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
cygzn.e  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
cygzn.g  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
cygzn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
cygzn.f  |-  F  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  <. ( L `  m ) ,  ( m  .x.  X )
>. )
Assertion
Ref Expression
cygznlem2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( F `
 ( L `  M ) )  =  ( M  .x.  X
) )
Distinct variable groups:    m, n, x, B    m, G, n, x    m, M    .x. , m, n, x    m, Y, n, x    m, L, n, x    x, N    ph, m    n, F, x    m, X, n, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    E( x, m, n)    F( m)    M( x, n)    N( m, n)

Proof of Theorem cygznlem2
StepHypRef Expression
1 cygzn.f . 2  |-  F  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  <. ( L `  m ) ,  ( m  .x.  X )
>. )
2 fvex 5869 . . 3  |-  ( L `
 m )  e. 
_V
32a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `
 m )  e. 
_V )
4 ovex 6302 . . 3  |-  ( m 
.x.  X )  e. 
_V
54a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m 
.x.  X )  e. 
_V )
6 fveq2 5859 . 2  |-  ( m  =  M  ->  ( L `  m )  =  ( L `  M ) )
7 oveq1 6284 . 2  |-  ( m  =  M  ->  (
m  .x.  X )  =  ( M  .x.  X ) )
8 cygzn.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
9 cygzn.n . . . 4  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
10 cygzn.y . . . 4  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
11 cygzn.m . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
12 cygzn.l . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
13 cygzn.e . . . 4  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
14 cygzn.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
15 cygzn.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
168, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 1cygznlem2a 18368 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  Y ) --> B )
17 ffun 5726 . . 3  |-  ( F : ( Base `  Y
) --> B  ->  Fun  F )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  F )
191, 3, 5, 6, 7, 18fliftval 6195 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( F `
 ( L `  M ) )  =  ( M  .x.  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2813   _Vcvv 3108   ifcif 3934   <.cop 4028    |-> cmpt 4500   ran crn 4995   Fun wfun 5575   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   0cc0 9483   ZZcz 10855   #chash 12362   Basecbs 14481  .gcmg 15722  CycGrpccyg 16666   ZRHomczrh 18299  ℤ/nczn 18302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-ec 7305  df-qs 7309  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-acn 8314  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-rp 11212  df-fz 11664  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-dvds 13839  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-0g 14688  df-imas 14754  df-divs 14755  df-mnd 15723  df-mhm 15772  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-mulg 15856  df-subg 15988  df-nsg 15989  df-eqg 15990  df-ghm 16055  df-od 16344  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-cyg 16667  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-cring 16984  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-rnghom 17143  df-subrg 17205  df-lmod 17292  df-lss 17357  df-lsp 17396  df-sra 17596  df-rgmod 17597  df-lidl 17598  df-rsp 17599  df-2idl 17657  df-cnfld 18187  df-zring 18252  df-zrh 18303  df-zn 18306
This theorem is referenced by:  cygznlem3  18370
  Copyright terms: Public domain W3C validator