MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem1 Structured version   Unicode version

Theorem cygznlem1 19068
Description: Lemma for cygzn 19072. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
cygzn.n  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
cygzn.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
cygzn.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cygzn.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
cygzn.e  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
cygzn.g  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
cygzn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
Assertion
Ref Expression
cygznlem1  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  K )  =  ( L `  M )  <-> 
( K  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, B    n, G, x    .x. , n, x    n, Y, x    n, L, x    x, N    n, X, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    E( x, n)    K( x, n)    M( x, n)    N( n)

Proof of Theorem cygznlem1
StepHypRef Expression
1 cygzn.n . . . . 5  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
2 hashcl 12535 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
32adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B )  e.  NN0 )
4 0nn0 10884 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  0  e.  NN0 )
63, 5ifclda 3947 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  e.  NN0 )
71, 6syl5eqel 2521 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
87adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  NN0 )
9 simprl 762 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
10 simprr 764 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
11 cygzn.y . . . 4  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
12 cygzn.l . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
1311, 12zndvds 19051 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( L `  K
)  =  ( L `
 M )  <->  N  ||  ( K  -  M )
) )
148, 9, 10, 13syl3anc 1264 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  K )  =  ( L `  M )  <-> 
N  ||  ( K  -  M ) ) )
15 cygzn.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
16 cyggrp 17459 . . . . . . 7  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  e.  Grp )
1715, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
18 cygzn.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
19 cygzn.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
20 cygzn.m . . . . . . 7  |-  .x.  =  (.g
`  G )
21 cygzn.e . . . . . . 7  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
22 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
2319, 20, 21, 22cyggenod2 17455 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  E )  ->  ( ( od `  G ) `  X
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) )
2417, 18, 23syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( od `  G ) `  X
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) )
2524, 1syl6eqr 2488 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( od `  G ) `  X
)  =  N )
2625adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( od `  G ) `  X
)  =  N )
2726breq1d 4436 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( od
`  G ) `  X )  ||  ( K  -  M )  <->  N 
||  ( K  -  M ) ) )
2817adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
2919, 20, 21iscyggen 17450 . . . . . 6  |-  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B ) )
3029simplbi 461 . . . . 5  |-  ( X  e.  E  ->  X  e.  B )
3118, 30syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3231adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  X  e.  B )
33 eqid 2429 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3419, 22, 20, 33odcong 17140 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( od `  G
) `  X )  ||  ( K  -  M
)  <->  ( K  .x.  X )  =  ( M  .x.  X ) ) )
3528, 32, 9, 10, 34syl112anc 1268 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( od
`  G ) `  X )  ||  ( K  -  M )  <->  ( K  .x.  X )  =  ( M  .x.  X ) ) )
3614, 27, 353bitr2d 284 1  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  K )  =  ( L `  M )  <-> 
( K  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {crab 2786   ifcif 3915   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ran crn 4855   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   0cc0 9538    - cmin 9859   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   #chash 12512    || cdvds 14283   Basecbs 15084   0gc0g 15297   Grpcgrp 16620  .gcmg 16623   odcod 17116  CycGrpccyg 17447   ZRHomczrh 19002  ℤ/nczn 19005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-ec 7373  df-qs 7377  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-0g 15299  df-imas 15365  df-qus 15366  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-nsg 16766  df-eqg 16767  df-ghm 16832  df-od 17120  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-cyg 17448  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-rnghom 17878  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-lidl 18332  df-rsp 18333  df-2idl 18391  df-cnfld 18906  df-zring 18974  df-zrh 19006  df-zn 19009
This theorem is referenced by:  cygznlem2a  19069  cygznlem3  19071
  Copyright terms: Public domain W3C validator