MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem1 Structured version   Unicode version

Theorem cygznlem1 18412
Description: Lemma for cygzn 18416. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
cygzn.n  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
cygzn.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
cygzn.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cygzn.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
cygzn.e  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
cygzn.g  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
cygzn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
Assertion
Ref Expression
cygznlem1  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  K )  =  ( L `  M )  <-> 
( K  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, B    n, G, x    .x. , n, x    n, Y, x    n, L, x    x, N    n, X, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    E( x, n)    K( x, n)    M( x, n)    N( n)

Proof of Theorem cygznlem1
StepHypRef Expression
1 cygzn.n . . . . 5  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
2 hashcl 12397 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
32adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B )  e.  NN0 )
4 0nn0 10811 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  0  e.  NN0 )
63, 5ifclda 3971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  e.  NN0 )
71, 6syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
87adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  NN0 )
9 simprl 755 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
10 simprr 756 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
11 cygzn.y . . . 4  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
12 cygzn.l . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
1311, 12zndvds 18395 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( L `  K
)  =  ( L `
 M )  <->  N  ||  ( K  -  M )
) )
148, 9, 10, 13syl3anc 1228 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  K )  =  ( L `  M )  <-> 
N  ||  ( K  -  M ) ) )
15 cygzn.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
16 cyggrp 16707 . . . . . . 7  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  e.  Grp )
1715, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
18 cygzn.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
19 cygzn.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
20 cygzn.m . . . . . . 7  |-  .x.  =  (.g
`  G )
21 cygzn.e . . . . . . 7  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
22 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
2319, 20, 21, 22cyggenod2 16703 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  E )  ->  ( ( od `  G ) `  X
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) )
2417, 18, 23syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( od `  G ) `  X
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) )
2524, 1syl6eqr 2526 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( od `  G ) `  X
)  =  N )
2625adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( od `  G ) `  X
)  =  N )
2726breq1d 4457 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( od
`  G ) `  X )  ||  ( K  -  M )  <->  N 
||  ( K  -  M ) ) )
2817adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
2919, 20, 21iscyggen 16698 . . . . . 6  |-  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B ) )
3029simplbi 460 . . . . 5  |-  ( X  e.  E  ->  X  e.  B )
3118, 30syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3231adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  X  e.  B )
33 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3419, 22, 20, 33odcong 16388 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( od `  G
) `  X )  ||  ( K  -  M
)  <->  ( K  .x.  X )  =  ( M  .x.  X ) ) )
3528, 32, 9, 10, 34syl112anc 1232 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( od
`  G ) `  X )  ||  ( K  -  M )  <->  ( K  .x.  X )  =  ( M  .x.  X ) ) )
3614, 27, 353bitr2d 281 1  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  K )  =  ( L `  M )  <-> 
( K  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Fincfn 7517   0cc0 9493    - cmin 9806   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   #chash 12374    || cdivides 13850   Basecbs 14493   0gc0g 14698   Grpcgrp 15730  .gcmg 15734   odcod 16364  CycGrpccyg 16695   ZRHomczrh 18344  ℤ/nczn 18347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-omul 7136  df-er 7312  df-ec 7314  df-qs 7318  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-acn 8324  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fl 11898  df-mod 11966  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-dvds 13851  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-0g 14700  df-imas 14766  df-qus 14767  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-mulg 15874  df-subg 16012  df-nsg 16013  df-eqg 16014  df-ghm 16079  df-od 16368  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-cyg 16696  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-cring 17015  df-oppr 17085  df-dvdsr 17103  df-rnghom 17177  df-subrg 17239  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-lsp 17430  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-lidl 17632  df-rsp 17633  df-2idl 17691  df-cnfld 18232  df-zring 18297  df-zrh 18348  df-zn 18351
This theorem is referenced by:  cygznlem2a  18413  cygznlem3  18415
  Copyright terms: Public domain W3C validator