MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygzn Structured version   Unicode version

Theorem cygzn 18369
Description: A cyclic group with  n elements is isomorphic to  ZZ  /  n ZZ, and an infinite cyclic group is isomorphic to  ZZ 
/  0 ZZ  ~~  ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
cygzn.n  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
cygzn.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
Assertion
Ref Expression
cygzn  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  ~=ph𝑔 
Y )

Proof of Theorem cygzn
Dummy variables  g  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygzn.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2460 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
3 eqid 2460 . . . . 5  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }
41, 2, 3iscyg2 16669 . . . 4  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
{ x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/) ) )
54simprbi 464 . . 3  |-  ( G  e. CycGrp  ->  { x  e.  B  |  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/) )
6 n0 3787 . . 3  |-  ( { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =/=  (/)  <->  E. g  g  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )
75, 6sylib 196 . 2  |-  ( G  e. CycGrp  ->  E. g  g  e. 
{ x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }
)
8 cygzn.n . . 3  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
9 cygzn.y . . 3  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
10 eqid 2460 . . 3  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
11 simpl 457 . . 3  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  g  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }
)  ->  G  e. CycGrp )
12 simpr 461 . . 3  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  g  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }
)  ->  g  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )
13 eqid 2460 . . 3  |-  ran  (
m  e.  ZZ  |->  <.
( ( ZRHom `  Y ) `  m
) ,  ( m (.g `  G ) g ) >. )  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  <. ( ( ZRHom `  Y ) `  m
) ,  ( m (.g `  G ) g ) >. )
141, 8, 9, 2, 10, 3, 11, 12, 13cygznlem3 18368 . 2  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  g  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }
)  ->  G  ~=ph𝑔  Y )
157, 14exlimddv 1697 1  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  ~=ph𝑔 
Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762    =/= wne 2655   {crab 2811   (/)c0 3778   ifcif 3932   <.cop 4026   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   ran crn 4993   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Fincfn 7506   0cc0 9481   ZZcz 10853   #chash 12360   Basecbs 14479   Grpcgrp 15716  .gcmg 15720    ~=ph𝑔 cgic 16094  CycGrpccyg 16664   ZRHomczrh 18297  ℤ/nczn 18300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-ec 7303  df-qs 7307  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-dvds 13837  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-imas 14752  df-divs 14753  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-nsg 15987  df-eqg 15988  df-ghm 16053  df-gim 16095  df-gic 16096  df-od 16342  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-cyg 16665  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-rnghom 17141  df-subrg 17203  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-lidl 17596  df-rsp 17597  df-2idl 17655  df-cnfld 18185  df-zring 18250  df-zrh 18301  df-zn 18304
This theorem is referenced by:  cygth  18370  cyggic  18371
  Copyright terms: Public domain W3C validator