MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygth Structured version   Unicode version

Theorem cygth 19079
Description: The "fundamental theorem of cyclic groups". Cyclic groups are exactly the additive groups  ZZ  /  n ZZ, for 
0  <_  n (where  n  =  0 is the infinite cyclic group 
ZZ), up to isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
cygth  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  E. n  e.  NN0  G 
~=g𝑔 
(ℤ/n `  n ) )
Distinct variable group:    n, G

Proof of Theorem cygth
StepHypRef Expression
1 hashcl 12524 . . . . 5  |-  ( (
Base `  G )  e.  Fin  ->  ( # `  ( Base `  G ) )  e.  NN0 )
21adantl 467 . . . 4  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  ( Base `  G )  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( Base `  G
) )  e.  NN0 )
3 0nn0 10873 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  -.  ( Base `  G )  e. 
Fin )  ->  0  e.  NN0 )
52, 4ifclda 3938 . . 3  |-  ( G  e. CycGrp  ->  if ( (
Base `  G )  e.  Fin ,  ( # `  ( Base `  G
) ) ,  0 )  e.  NN0 )
6 eqid 2420 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
7 eqid 2420 . . . 4  |-  if ( ( Base `  G
)  e.  Fin , 
( # `  ( Base `  G ) ) ,  0 )  =  if ( ( Base `  G
)  e.  Fin , 
( # `  ( Base `  G ) ) ,  0 )
8 eqid 2420 . . . 4  |-  (ℤ/n `  if ( ( Base `  G
)  e.  Fin , 
( # `  ( Base `  G ) ) ,  0 ) )  =  (ℤ/n `  if ( ( Base `  G )  e.  Fin ,  ( # `  ( Base `  G ) ) ,  0 ) )
96, 7, 8cygzn 19078 . . 3  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  ~=g𝑔  (ℤ/n `  if ( ( Base `  G )  e.  Fin ,  ( # `  ( Base `  G ) ) ,  0 ) ) )
10 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( n  =  if ( (
Base `  G )  e.  Fin ,  ( # `  ( Base `  G
) ) ,  0 )  ->  (ℤ/n `  n )  =  (ℤ/n `  if ( ( Base `  G
)  e.  Fin , 
( # `  ( Base `  G ) ) ,  0 ) ) )
1110breq2d 4429 . . . 4  |-  ( n  =  if ( (
Base `  G )  e.  Fin ,  ( # `  ( Base `  G
) ) ,  0 )  ->  ( G  ~=g𝑔  (ℤ/n `  n )  <->  G  ~=g𝑔  (ℤ/n `  if ( ( Base `  G
)  e.  Fin , 
( # `  ( Base `  G ) ) ,  0 ) ) ) )
1211rspcev 3179 . . 3  |-  ( ( if ( ( Base `  G )  e.  Fin ,  ( # `  ( Base `  G ) ) ,  0 )  e. 
NN0  /\  G  ~=g𝑔  (ℤ/n `  if ( ( Base `  G
)  e.  Fin , 
( # `  ( Base `  G ) ) ,  0 ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  G 
~=g𝑔 
(ℤ/n `  n ) )
135, 9, 12syl2anc 665 . 2  |-  ( G  e. CycGrp  ->  E. n  e.  NN0  G 
~=g𝑔 
(ℤ/n `  n ) )
14 gicsym 16890 . . . 4  |-  ( G 
~=g𝑔 
(ℤ/n `  n )  ->  (ℤ/n `  n
)  ~=g𝑔  G )
15 eqid 2420 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  n
)  =  (ℤ/n `  n
)
1615zncyg 19056 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  (ℤ/n `  n
)  e. CycGrp )
17 giccyg 17475 . . . . 5  |-  ( (ℤ/n `  n )  ~=g𝑔  G  ->  ( (ℤ/n `  n )  e. CycGrp  ->  G  e. CycGrp ) )
1816, 17syl5com 31 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (ℤ/n `  n )  ~=g𝑔  G  ->  G  e. CycGrp ) )
1914, 18syl5 33 . . 3  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( G 
~=g𝑔 
(ℤ/n `  n )  ->  G  e. CycGrp ) )
2019rexlimiv 2909 . 2  |-  ( E. n  e.  NN0  G  ~=g𝑔  (ℤ/n `  n )  ->  G  e. CycGrp )
2113, 20impbii 190 1  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  E. n  e.  NN0  G 
~=g𝑔 
(ℤ/n `  n ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   E.wrex 2774   ifcif 3906   class class class wbr 4417   ` cfv 5592   Fincfn 7568   0cc0 9528   NN0cn0 10858   #chash 12501   Basecbs 15081    ~=g𝑔 cgic 16874  CycGrpccyg 17453  ℤ/nczn 19011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6972  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-omul 7186  df-er 7362  df-ec 7364  df-qs 7368  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-acn 8366  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-rp 11292  df-fz 11772  df-fl 12014  df-mod 12083  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-dvds 14273  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-mulr 15164  df-starv 15165  df-sca 15166  df-vsca 15167  df-ip 15168  df-tset 15169  df-ple 15170  df-ds 15172  df-unif 15173  df-0g 15300  df-imas 15366  df-qus 15367  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-mhm 16534  df-grp 16625  df-minusg 16626  df-sbg 16627  df-mulg 16628  df-subg 16766  df-nsg 16767  df-eqg 16768  df-ghm 16833  df-gim 16875  df-gic 16876  df-od 17122  df-cmn 17373  df-abl 17374  df-cyg 17454  df-mgp 17665  df-ur 17677  df-ring 17723  df-cring 17724  df-oppr 17792  df-dvdsr 17810  df-rnghom 17884  df-subrg 17947  df-lmod 18034  df-lss 18097  df-lsp 18136  df-sra 18336  df-rgmod 18337  df-lidl 18338  df-rsp 18339  df-2idl 18397  df-cnfld 18912  df-zring 18980  df-zrh 19012  df-zn 19015
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator