MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggic Structured version   Unicode version

Theorem cyggic 18005
Description: Cyclic groups are isomorphic precisely when they have the same order. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygctb.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
cygctb.c  |-  C  =  ( Base `  H
)
Assertion
Ref Expression
cyggic  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp
)  ->  ( G  ~=ph𝑔  H  <-> 
B  ~~  C )
)

Proof of Theorem cyggic
StepHypRef Expression
1 cygctb.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 cygctb.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  H
)
31, 2gicen 15805 . 2  |-  ( G 
~=ph𝑔  H  ->  B  ~~  C
)
4 eqid 2443 . . . . . 6  |-  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 )  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
5 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )  =  (ℤ/n `  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
61, 4, 5cygzn 18003 . . . . 5  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  ~=ph𝑔  (ℤ/n `  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) ) )
76ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  G  ~=ph𝑔  (ℤ/n `  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) ) )
8 enfi 7529 . . . . . . . 8  |-  ( B 
~~  C  ->  ( B  e.  Fin  <->  C  e.  Fin ) )
98adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  ( B  e.  Fin  <->  C  e.  Fin ) )
10 hasheni 12119 . . . . . . . 8  |-  ( B 
~~  C  ->  ( # `
 B )  =  ( # `  C
) )
1110adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  ( # `
 B )  =  ( # `  C
) )
129, 11ifbieq1d 3812 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  =  if ( C  e.  Fin ,  (
# `  C ) ,  0 ) )
1312fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  (ℤ/n `  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )  =  (ℤ/n `  if ( C  e.  Fin ,  ( # `  C
) ,  0 ) ) )
14 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  if ( C  e.  Fin , 
( # `  C ) ,  0 )  =  if ( C  e. 
Fin ,  ( # `  C
) ,  0 )
15 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  (ℤ/n `  if ( C  e.  Fin ,  ( # `  C
) ,  0 ) )  =  (ℤ/n `  if ( C  e.  Fin ,  ( # `  C
) ,  0 ) )
162, 14, 15cygzn 18003 . . . . . . 7  |-  ( H  e. CycGrp  ->  H  ~=ph𝑔  (ℤ/n `  if ( C  e. 
Fin ,  ( # `  C
) ,  0 ) ) )
1716ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  H  ~=ph𝑔  (ℤ/n `  if ( C  e.  Fin ,  ( # `  C
) ,  0 ) ) )
18 gicsym 15802 . . . . . 6  |-  ( H 
~=ph𝑔  (ℤ/n `  if ( C  e. 
Fin ,  ( # `  C
) ,  0 ) )  ->  (ℤ/n `  if ( C  e. 
Fin ,  ( # `  C
) ,  0 ) )  ~=ph𝑔 
H )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  (ℤ/n `  if ( C  e.  Fin ,  ( # `  C
) ,  0 ) )  ~=ph𝑔 
H )
2013, 19eqbrtrd 4312 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  (ℤ/n `  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )  ~=ph𝑔 
H )
21 gictr 15803 . . . 4  |-  ( ( G  ~=ph𝑔  (ℤ/n `  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )  /\  (ℤ/n `  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )  ~=ph𝑔 
H )  ->  G  ~=ph𝑔  H )
227, 20, 21syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  G  ~=ph𝑔  H )
2322ex 434 . 2  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp
)  ->  ( B  ~~  C  ->  G  ~=ph𝑔  H ) )
243, 23impbid2 204 1  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp
)  ->  ( G  ~=ph𝑔  H  <-> 
B  ~~  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ifcif 3791   class class class wbr 4292   ` cfv 5418    ~~ cen 7307   Fincfn 7310   0cc0 9282   #chash 12103   Basecbs 14174    ~=ph𝑔 cgic 15786  CycGrpccyg 16354  ℤ/nczn 17934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-er 7101  df-ec 7103  df-qs 7107  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-acn 8112  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-dvds 13536  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-0g 14380  df-imas 14446  df-divs 14447  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-nsg 15679  df-eqg 15680  df-ghm 15745  df-gim 15787  df-gic 15788  df-od 16032  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-cyg 16355  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-rnghom 16806  df-subrg 16863  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-lidl 17255  df-rsp 17256  df-2idl 17314  df-cnfld 17819  df-zring 17884  df-zrh 17935  df-zn 17938
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator