Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggexb Structured version   Unicode version

Theorem cyggexb 17028
 Description: A finite abelian group is cyclic iff the exponent equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygctb.1
cyggex.o gEx
Assertion
Ref Expression
cyggexb CycGrp

Proof of Theorem cyggexb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . . 5
2 cyggex.o . . . . 5 gEx
31, 2cyggex 17027 . . . 4 CycGrp
43expcom 435 . . 3 CycGrp
54adantl 466 . 2 CycGrp
6 simpll 753 . . . . 5
7 ablgrp 16930 . . . . . . 7
87ad2antrr 725 . . . . . 6
9 simplr 755 . . . . . 6
101, 2gexcl2 16736 . . . . . 6
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . 5
12 eqid 2457 . . . . . 6
131, 2, 12gexex 16986 . . . . 5
146, 11, 13syl2anc 661 . . . 4
15 simplr 755 . . . . . . 7
1615eqeq2d 2471 . . . . . 6
17 eqid 2457 . . . . . . . . . 10 .g .g
18 eqid 2457 . . . . . . . . . 10 .g .g
191, 17, 18, 12cyggenod 17014 . . . . . . . . 9 .g
208, 9, 19syl2anc 661 . . . . . . . 8 .g
21 ne0i 3799 . . . . . . . . 9 .g .g
221, 17, 18iscyg2 17012 . . . . . . . . . . 11 CycGrp .g
2322baib 903 . . . . . . . . . 10 CycGrp .g
248, 23syl 16 . . . . . . . . 9 CycGrp .g
2521, 24syl5ibr 221 . . . . . . . 8 .g CycGrp
2620, 25sylbird 235 . . . . . . 7 CycGrp
2726expdimp 437 . . . . . 6 CycGrp
2816, 27sylbid 215 . . . . 5 CycGrp
2928rexlimdva 2949 . . . 4 CycGrp
3014, 29mpd 15 . . 3 CycGrp
3130ex 434 . 2 CycGrp
325, 31impbid 191 1 CycGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wrex 2808  crab 2811  c0 3793   cmpt 4515   crn 5009  cfv 5594  (class class class)co 6296  cfn 7535  cn 10556  cz 10885  chash 12408  cbs 14644  cgrp 16180  .gcmg 16183  cod 16676  gExcgex 16677  cabl 16926  CycGrpccyg 17007 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-pc 14373  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-eqg 16327  df-od 16680  df-gex 16681  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-cyg 17008 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator