MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggex2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cyggex2 17531
Description: The exponent of a cyclic group is  0 if the group is infinite, otherwise it equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygctb.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
cyggex.o  |-  E  =  (gEx `  G )
Assertion
Ref Expression
cyggex2  |-  ( G  e. CycGrp  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )

Proof of Theorem cyggex2
Dummy variables  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2451 . . 3  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
3 eqid 2451 . . 3  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }
41, 2, 3iscyg2 17517 . 2  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
{ x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/) ) )
5 n0 3741 . . . 4  |-  ( { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )
6 ssrab2 3514 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  C_  B
7 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )  ->  y  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )
86, 7sseldi 3430 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )  ->  y  e.  B
)
9 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
101, 2, 3, 9cyggenod2 17520 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )  ->  ( ( od
`  G ) `  y )  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
118, 10jca 535 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )  ->  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `
 y )  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) ) )
1211ex 436 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  ->  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) ) )
13 cyggex.o . . . . . . . . . 10  |-  E  =  (gEx `  G )
141, 13gexcl 17231 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  E  e.  NN0 )
1514adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  E  e.  NN0 )
16 hashcl 12538 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
1716adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  B  e. 
Fin )  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
18 0nn0 10884 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  NN0
1918a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  0  e.  NN0 )
2017, 19ifclda 3913 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 )  e. 
NN0 )
21 breq2 4406 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  B )  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  ->  ( E  ||  ( # `  B )  <-> 
E  ||  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 ) ) )
22 breq2 4406 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 )  -> 
( E  ||  0  <->  E 
||  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 ) ) )
231, 13gexdvds3 17242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin )  ->  E  ||  ( # `  B ) )
2423adantlr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  B  e. 
Fin )  ->  E  ||  ( # `  B
) )
2515adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  E  e.  NN0 )
26 nn0z 10960 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  NN0  ->  E  e.  ZZ )
27 dvds0 14318 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ZZ  ->  E  ||  0 )
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  E  ||  0 )
2921, 22, 24, 28ifbothda 3916 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  E  ||  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
30 simprr 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  ( ( od `  G ) `  y )  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
311, 13, 9gexod 17238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( od `  G ) `  y
)  ||  E )
3231adantrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  ( ( od `  G ) `  y )  ||  E
)
3330, 32eqbrtrrd 4425 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 )  ||  E )
34 dvdseq 14352 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E  e.  NN0  /\  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  e.  NN0 )  /\  ( E  ||  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 )  /\  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) 
||  E ) )  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
3515, 20, 29, 33, 34syl22anc 1269 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
3635ex 436 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) )  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) ) )
3712, 36syld 45 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 ) ) )
3837exlimdv 1779 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( E. y  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 ) ) )
395, 38syl5bi 221 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/)  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) ) )
4039imp 431 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =/=  (/) )  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
414, 40sylbi 199 1  |-  ( G  e. CycGrp  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887    =/= wne 2622   {crab 2741   (/)c0 3731   ifcif 3881   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ran crn 4835   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   0cc0 9539   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   #chash 12515    || cdvds 14305   Basecbs 15121   Grpcgrp 16669  .gcmg 16672   odcod 17165  gExcgex 17167  CycGrpccyg 17512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-ec 7365  df-qs 7369  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-dvds 14306  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-eqg 16816  df-od 17172  df-gex 17174  df-cyg 17513
This theorem is referenced by:  cyggex  17532
  Copyright terms: Public domain W3C validator