MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggex2 Structured version   Unicode version

Theorem cyggex2 16372
Description: The exponent of a cyclic group is  0 if the group is infinite, otherwise it equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygctb.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
cyggex.o  |-  E  =  (gEx `  G )
Assertion
Ref Expression
cyggex2  |-  ( G  e. CycGrp  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )

Proof of Theorem cyggex2
Dummy variables  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2442 . . 3  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
3 eqid 2442 . . 3  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }
41, 2, 3iscyg2 16358 . 2  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
{ x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/) ) )
5 n0 3645 . . . 4  |-  ( { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )
6 ssrab2 3436 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  C_  B
7 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )  ->  y  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )
86, 7sseldi 3353 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )  ->  y  e.  B
)
9 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
101, 2, 3, 9cyggenod2 16361 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )  ->  ( ( od
`  G ) `  y )  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
118, 10jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )  ->  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `
 y )  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) ) )
1211ex 434 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  ->  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) ) )
13 cyggex.o . . . . . . . . . 10  |-  E  =  (gEx `  G )
141, 13gexcl 16078 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  E  e.  NN0 )
1514adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  E  e.  NN0 )
16 hashcl 12125 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
1716adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  B  e. 
Fin )  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
18 0nn0 10593 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  NN0
1918a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  0  e.  NN0 )
2017, 19ifclda 3820 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 )  e. 
NN0 )
21 breq2 4295 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  B )  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  ->  ( E  ||  ( # `  B )  <-> 
E  ||  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 ) ) )
22 breq2 4295 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 )  -> 
( E  ||  0  <->  E 
||  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 ) ) )
231, 13gexdvds3 16088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin )  ->  E  ||  ( # `  B ) )
2423adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  B  e. 
Fin )  ->  E  ||  ( # `  B
) )
2515adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  E  e.  NN0 )
26 nn0z 10668 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  NN0  ->  E  e.  ZZ )
27 dvds0 13547 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ZZ  ->  E  ||  0 )
2825, 26, 273syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  E  ||  0 )
2921, 22, 24, 28ifbothda 3823 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  E  ||  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
30 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  ( ( od `  G ) `  y )  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
311, 13, 9gexod 16084 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( od `  G ) `  y
)  ||  E )
3231adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  ( ( od `  G ) `  y )  ||  E
)
3330, 32eqbrtrrd 4313 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 )  ||  E )
34 dvdseq 13579 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E  e.  NN0  /\  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  e.  NN0 )  /\  ( E  ||  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 )  /\  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) 
||  E ) )  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
3515, 20, 29, 33, 34syl22anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
3635ex 434 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) )  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) ) )
3712, 36syld 44 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 ) ) )
3837exlimdv 1690 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( E. y  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 ) ) )
395, 38syl5bi 217 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/)  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) ) )
4039imp 429 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =/=  (/) )  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
414, 40sylbi 195 1  |-  ( G  e. CycGrp  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2605   {crab 2718   (/)c0 3636   ifcif 3790   class class class wbr 4291    e. cmpt 4349   ran crn 4840   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Fincfn 7309   0cc0 9281   NN0cn0 10578   ZZcz 10645   #chash 12102    || cdivides 13534   Basecbs 14173   Grpcgrp 15409  .gcmg 15413   odcod 16027  gExcgex 16028  CycGrpccyg 16353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-disj 4262  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-omul 6924  df-er 7100  df-ec 7102  df-qs 7106  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-acn 8111  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-rp 10991  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-fl 11641  df-mod 11708  df-seq 11806  df-exp 11865  df-hash 12103  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-clim 12965  df-sum 13163  df-dvds 13535  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-0g 14379  df-mnd 15414  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-mulg 15547  df-subg 15677  df-eqg 15679  df-od 16031  df-gex 16032  df-cyg 16354
This theorem is referenced by:  cyggex  16373
  Copyright terms: Public domain W3C validator