Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggex2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cyggex2 17531
 Description: The exponent of a cyclic group is if the group is infinite, otherwise it equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygctb.1
cyggex.o gEx
Assertion
Ref Expression
cyggex2 CycGrp

Proof of Theorem cyggex2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . 3
2 eqid 2451 . . 3 .g .g
3 eqid 2451 . . 3 .g .g
41, 2, 3iscyg2 17517 . 2 CycGrp .g
5 n0 3741 . . . 4 .g .g
6 ssrab2 3514 . . . . . . . . 9 .g
7 simpr 463 . . . . . . . . 9 .g .g
86, 7sseldi 3430 . . . . . . . 8 .g
9 eqid 2451 . . . . . . . . 9
101, 2, 3, 9cyggenod2 17520 . . . . . . . 8 .g
118, 10jca 535 . . . . . . 7 .g
1211ex 436 . . . . . 6 .g
13 cyggex.o . . . . . . . . . 10 gEx
141, 13gexcl 17231 . . . . . . . . 9
1514adantr 467 . . . . . . . 8
16 hashcl 12538 . . . . . . . . . 10
1716adantl 468 . . . . . . . . 9
18 0nn0 10884 . . . . . . . . . 10
1918a1i 11 . . . . . . . . 9
2017, 19ifclda 3913 . . . . . . . 8
21 breq2 4406 . . . . . . . . 9
22 breq2 4406 . . . . . . . . 9
231, 13gexdvds3 17242 . . . . . . . . . 10
2423adantlr 721 . . . . . . . . 9
2515adantr 467 . . . . . . . . . 10
26 nn0z 10960 . . . . . . . . . 10
27 dvds0 14318 . . . . . . . . . 10
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . . 9
2921, 22, 24, 28ifbothda 3916 . . . . . . . 8
30 simprr 766 . . . . . . . . 9
311, 13, 9gexod 17238 . . . . . . . . . 10
3231adantrr 723 . . . . . . . . 9
3330, 32eqbrtrrd 4425 . . . . . . . 8
34 dvdseq 14352 . . . . . . . 8
3515, 20, 29, 33, 34syl22anc 1269 . . . . . . 7
3635ex 436 . . . . . 6
3712, 36syld 45 . . . . 5 .g
3837exlimdv 1779 . . . 4 .g
395, 38syl5bi 221 . . 3 .g
4039imp 431 . 2 .g
414, 40sylbi 199 1 CycGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 371   wceq 1444  wex 1663   wcel 1887   wne 2622  crab 2741  c0 3731  cif 3881   class class class wbr 4402   cmpt 4461   crn 4835  cfv 5582  (class class class)co 6290  cfn 7569  cc0 9539  cn0 10869  cz 10937  chash 12515   cdvds 14305  cbs 15121  cgrp 16669  .gcmg 16672  cod 17165  gExcgex 17167  CycGrpccyg 17512 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-ec 7365  df-qs 7369  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-dvds 14306  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-eqg 16816  df-od 17172  df-gex 17174  df-cyg 17513 This theorem is referenced by:  cyggex  17532
 Copyright terms: Public domain W3C validator