MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggex2 Structured version   Unicode version

Theorem cyggex2 16685
Description: The exponent of a cyclic group is  0 if the group is infinite, otherwise it equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygctb.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
cyggex.o  |-  E  =  (gEx `  G )
Assertion
Ref Expression
cyggex2  |-  ( G  e. CycGrp  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )

Proof of Theorem cyggex2
Dummy variables  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2462 . . 3  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
3 eqid 2462 . . 3  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }
41, 2, 3iscyg2 16671 . 2  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
{ x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/) ) )
5 n0 3789 . . . 4  |-  ( { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )
6 ssrab2 3580 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  C_  B
7 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )  ->  y  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )
86, 7sseldi 3497 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )  ->  y  e.  B
)
9 eqid 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
101, 2, 3, 9cyggenod2 16674 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )  ->  ( ( od
`  G ) `  y )  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
118, 10jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )  ->  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `
 y )  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) ) )
1211ex 434 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  ->  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) ) )
13 cyggex.o . . . . . . . . . 10  |-  E  =  (gEx `  G )
141, 13gexcl 16391 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  E  e.  NN0 )
1514adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  E  e.  NN0 )
16 hashcl 12385 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
1716adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  B  e. 
Fin )  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
18 0nn0 10801 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  NN0
1918a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  0  e.  NN0 )
2017, 19ifclda 3966 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 )  e. 
NN0 )
21 breq2 4446 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  B )  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  ->  ( E  ||  ( # `  B )  <-> 
E  ||  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 ) ) )
22 breq2 4446 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 )  -> 
( E  ||  0  <->  E 
||  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 ) ) )
231, 13gexdvds3 16401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin )  ->  E  ||  ( # `  B ) )
2423adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  B  e. 
Fin )  ->  E  ||  ( # `  B
) )
2515adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  E  e.  NN0 )
26 nn0z 10878 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  NN0  ->  E  e.  ZZ )
27 dvds0 13851 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ZZ  ->  E  ||  0 )
2825, 26, 273syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  E  ||  0 )
2921, 22, 24, 28ifbothda 3969 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  E  ||  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
30 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  ( ( od `  G ) `  y )  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
311, 13, 9gexod 16397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( od `  G ) `  y
)  ||  E )
3231adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  ( ( od `  G ) `  y )  ||  E
)
3330, 32eqbrtrrd 4464 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 )  ||  E )
34 dvdseq 13883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E  e.  NN0  /\  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  e.  NN0 )  /\  ( E  ||  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 )  /\  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) 
||  E ) )  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
3515, 20, 29, 33, 34syl22anc 1224 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
3635ex 434 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) )  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) ) )
3712, 36syld 44 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 ) ) )
3837exlimdv 1695 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( E. y  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 ) ) )
395, 38syl5bi 217 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/)  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) ) )
4039imp 429 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =/=  (/) )  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
414, 40sylbi 195 1  |-  ( G  e. CycGrp  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762    =/= wne 2657   {crab 2813   (/)c0 3780   ifcif 3934   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   ran crn 4995   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   0cc0 9483   NN0cn0 10786   ZZcz 10855   #chash 12362    || cdivides 13838   Basecbs 14481   Grpcgrp 15718  .gcmg 15722   odcod 16340  gExcgex 16341  CycGrpccyg 16666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-disj 4413  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-ec 7305  df-qs 7309  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-acn 8314  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-sum 13460  df-dvds 13839  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-mulg 15856  df-subg 15988  df-eqg 15990  df-od 16344  df-gex 16345  df-cyg 16667
This theorem is referenced by:  cyggex  16686
  Copyright terms: Public domain W3C validator