Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggenod Structured version   Unicode version

Theorem cyggenod 16690
 Description: An element is the generator of a finite group iff the order of the generator equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1
iscyg.2 .g
iscyg3.e
cyggenod.o
Assertion
Ref Expression
cyggenod
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem cyggenod
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . 3
2 iscyg.2 . . 3 .g
3 iscyg3.e . . 3
41, 2, 3iscyggen 16686 . 2
5 simplr 754 . . . . . 6
6 simplll 757 . . . . . . . . 9
7 simpr 461 . . . . . . . . 9
8 simplr 754 . . . . . . . . 9
91, 2mulgcl 15969 . . . . . . . . 9
106, 7, 8, 9syl3anc 1228 . . . . . . . 8
11 eqid 2467 . . . . . . . 8
1210, 11fmptd 6045 . . . . . . 7
13 frn 5737 . . . . . . 7
1412, 13syl 16 . . . . . 6
15 ssfi 7740 . . . . . 6
165, 14, 15syl2anc 661 . . . . 5
17 hashen 12388 . . . . 5
1816, 5, 17syl2anc 661 . . . 4
19 cyggenod.o . . . . . . . 8
201, 19, 2, 11dfod2 16392 . . . . . . 7
2120adantlr 714 . . . . . 6
22 iftrue 3945 . . . . . . 7
2316, 22syl 16 . . . . . 6
2421, 23eqtr2d 2509 . . . . 5
2524eqeq1d 2469 . . . 4
26 fisseneq 7731 . . . . . . 7
27263expia 1198 . . . . . 6
28 enrefg 7547 . . . . . . . 8
2928adantr 465 . . . . . . 7
30 breq1 4450 . . . . . . 7
3129, 30syl5ibrcom 222 . . . . . 6
3227, 31impbid 191 . . . . 5
335, 14, 32syl2anc 661 . . . 4
3418, 25, 333bitr3rd 284 . . 3
3534pm5.32da 641 . 2
364, 35syl5bb 257 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  crab 2818   wss 3476  cif 3939   class class class wbr 4447   cmpt 4505   crn 5000  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6284   cen 7513  cfn 7516  cc0 9492  cz 10864  chash 12373  cbs 14490  cgrp 15727  .gcmg 15731  cod 16355 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-dvds 13848  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-od 16359 This theorem is referenced by:  iscygodd  16694  cyggexb  16704
 Copyright terms: Public domain W3C validator