MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygctb Structured version   Unicode version

Theorem cygctb 16373
Description: A cyclic group is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
cygctb  |-  ( G  e. CycGrp  ->  B  ~<_  om )

Proof of Theorem cygctb
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2443 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
31, 2iscyg 16361 . . 3  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
E. x  e.  B  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B ) )
43simprbi 464 . 2  |-  ( G  e. CycGrp  ->  E. x  e.  B  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B )
5 ovex 6121 . . . . . 6  |-  ( n (.g `  G ) x )  e.  _V
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )
75, 6fnmpti 5544 . . . . 5  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  Fn  ZZ
8 df-fo 5429 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) ) : ZZ -onto-> B 
<->  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  Fn  ZZ  /\  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B ) )
97, 8mpbiran 909 . . . 4  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) ) : ZZ -onto-> B 
<->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B )
10 omelon 7857 . . . . . . . 8  |-  om  e.  On
11 onenon 8124 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  On  ->  om  e.  dom  card )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  om  e.  dom  card
13 znnen 13500 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  ~~  NN
14 nnenom 11807 . . . . . . . . 9  |-  NN  ~~  om
1513, 14entri 7368 . . . . . . . 8  |-  ZZ  ~~  om
16 ennum 8122 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
~~  om  ->  ( ZZ  e.  dom  card  <->  om  e.  dom  card ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ZZ  e.  dom  card  <->  om  e.  dom  card )
1812, 17mpbir 209 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  dom  card
19 fodomnum 8232 . . . . . 6  |-  ( ZZ  e.  dom  card  ->  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) ) : ZZ -onto-> B  ->  B  ~<_  ZZ ) )
2018, 19mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  x  e.  B )  ->  (
( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) ) : ZZ -onto-> B  ->  B  ~<_  ZZ ) )
21 domentr 7373 . . . . . 6  |-  ( ( B  ~<_  ZZ  /\  ZZ  ~~  om )  ->  B  ~<_  om )
2215, 21mpan2 671 . . . . 5  |-  ( B  ~<_  ZZ  ->  B  ~<_  om )
2320, 22syl6 33 . . . 4  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  x  e.  B )  ->  (
( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) ) : ZZ -onto-> B  ->  B  ~<_  om ) )
249, 23syl5bir 218 . . 3  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  x  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B  ->  B  ~<_  om ) )
2524rexlimdva 2846 . 2  |-  ( G  e. CycGrp  ->  ( E. x  e.  B  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B  ->  B  ~<_  om )
)
264, 25mpd 15 1  |-  ( G  e. CycGrp  ->  B  ~<_  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2721   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   Oncon0 4724   dom cdm 4845   ran crn 4846    Fn wfn 5418   -onto->wfo 5421   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   omcom 6481    ~~ cen 7312    ~<_ cdom 7313   cardccrd 8110   NNcn 10327   ZZcz 10651   Basecbs 14179   Grpcgrp 15415  .gcmg 15419  CycGrpccyg 16359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-cyg 16360
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator