MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubg2cl Structured version   Unicode version

Theorem cycsubg2cl 16217
Description: Any multiple of an element is contained in the generated cyclic subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg2cl.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
cycsubg2cl.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cycsubg2cl.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
cycsubg2cl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  .x.  A
)  e.  ( K `
 { A }
) )

Proof of Theorem cycsubg2cl
StepHypRef Expression
1 cycsubg2cl.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
21subgacs 16214 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  X ) )
32acsmred 15034 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  X ) )
433ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  X )
)
5 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  X )
65snssd 4160 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  { A }  C_  X )
7 cycsubg2cl.k . . . 4  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
87mrccl 14989 . . 3  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  X )  /\  { A }  C_  X )  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G ) )
94, 6, 8syl2anc 661 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G ) )
10 simp3 999 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
114, 7, 6mrcssidd 15003 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  { A }  C_  ( K `  { A } ) )
12 snssg 4148 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  ( K `  { A } )  <->  { A }  C_  ( K `  { A } ) ) )
13123ad2ant2 1019 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ( K `  { A } )  <->  { A }  C_  ( K `  { A } ) ) )
1411, 13mpbird 232 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( K `
 { A }
) )
15 cycsubg2cl.t . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
1615subgmulgcl 16192 . 2  |-  ( ( ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G )  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  ( K `  { A } ) )  -> 
( N  .x.  A
)  e.  ( K `
 { A }
) )
179, 10, 14, 16syl3anc 1229 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  .x.  A
)  e.  ( K `
 { A }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    C_ wss 3461   {csn 4014   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   ZZcz 10871   Basecbs 14613  Moorecmre 14960  mrClscmrc 14961   Grpcgrp 16031  .gcmg 16034  SubGrpcsubg 16173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683  df-seq 12089  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-0g 14820  df-mre 14964  df-mrc 14965  df-acs 14967  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-submnd 15945  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-mulg 16038  df-subg 16176
This theorem is referenced by:  odngen  16575
  Copyright terms: Public domain W3C validator