MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubg2 Structured version   Unicode version

Theorem cycsubg2 15711
Description: The subgroup generated by an element is exhausted by its multiples. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg2.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
cycsubg2.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cycsubg2.f  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
cycsubg2.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
cycsubg2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( K `  { A } )  =  ran  F )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x,  .x.    x, X
Allowed substitution hints:    F( x)    K( x)

Proof of Theorem cycsubg2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssg 4004 . . . . . 6  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  y  <->  { A }  C_  y ) )
21bicomd 201 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( { A }  C_  y  <->  A  e.  y ) )
32adantl 463 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( { A }  C_  y  <->  A  e.  y
) )
43rabbidv 2962 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y }  =  { y  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  y } )
54inteqd 4130 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y }  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  y } )
6 cycsubg2.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
76subgacs 15709 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  X ) )
87acsmred 14590 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  X ) )
9 snssi 4014 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  C_  X )
10 cycsubg2.k . . . 4  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
1110mrcval 14544 . . 3  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  X )  /\  { A }  C_  X )  ->  ( K `  { A } )  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y } )
128, 9, 11syl2an 474 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( K `  { A } )  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y } )
13 cycsubg2.t . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
14 cycsubg2.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
156, 13, 14cycsubg 15702 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  y } )
165, 12, 153eqtr4d 2483 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( K `  { A } )  =  ran  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   {crab 2717    C_ wss 3325   {csn 3874   |^|cint 4125    e. cmpt 4347   ran crn 4837   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ZZcz 10642   Basecbs 14170  Moorecmre 14516  mrClscmrc 14517   Grpcgrp 15406  .gcmg 15410  SubGrpcsubg 15668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-seq 11803  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-subg 15671
This theorem is referenced by:  odf1o1  16064  odf1o2  16065  cycsubgcyg2  16371  pgpfac1lem2  16566  pgpfac1lem3  16568  pgpfac1lem4  16569
  Copyright terms: Public domain W3C validator