MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubg2 Structured version   Unicode version

Theorem cycsubg2 16355
Description: The subgroup generated by an element is exhausted by its multiples. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg2.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
cycsubg2.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cycsubg2.f  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
cycsubg2.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
cycsubg2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( K `  { A } )  =  ran  F )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x,  .x.    x, X
Allowed substitution hints:    F( x)    K( x)

Proof of Theorem cycsubg2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssg 4077 . . . . . 6  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  y  <->  { A }  C_  y ) )
21bicomd 201 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( { A }  C_  y  <->  A  e.  y ) )
32adantl 464 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( { A }  C_  y  <->  A  e.  y
) )
43rabbidv 3026 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y }  =  { y  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  y } )
54inteqd 4204 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y }  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  y } )
6 cycsubg2.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
76subgacs 16353 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  X ) )
87acsmred 15063 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  X ) )
9 snssi 4088 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  C_  X )
10 cycsubg2.k . . . 4  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
1110mrcval 15017 . . 3  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  X )  /\  { A }  C_  X )  ->  ( K `  { A } )  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y } )
128, 9, 11syl2an 475 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( K `  { A } )  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y } )
13 cycsubg2.t . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
14 cycsubg2.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
156, 13, 14cycsubg 16346 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  y } )
165, 12, 153eqtr4d 2433 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( K `  { A } )  =  ran  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   {crab 2736    C_ wss 3389   {csn 3944   |^|cint 4199    |-> cmpt 4425   ran crn 4914   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   ZZcz 10781   Basecbs 14634  Moorecmre 14989  mrClscmrc 14990   Grpcgrp 16170  .gcmg 16173  SubGrpcsubg 16312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-seq 12011  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-0g 14849  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-mulg 16177  df-subg 16315
This theorem is referenced by:  odf1o1  16709  odf1o2  16710  cycsubgcyg2  17021  pgpfac1lem2  17239  pgpfac1lem3  17241  pgpfac1lem4  17242
  Copyright terms: Public domain W3C validator