MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubg2 Structured version   Unicode version

Theorem cycsubg2 16112
Description: The subgroup generated by an element is exhausted by its multiples. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg2.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
cycsubg2.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cycsubg2.f  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
cycsubg2.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
cycsubg2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( K `  { A } )  =  ran  F )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x,  .x.    x, X
Allowed substitution hints:    F( x)    K( x)

Proof of Theorem cycsubg2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssg 4148 . . . . . 6  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  y  <->  { A }  C_  y ) )
21bicomd 201 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( { A }  C_  y  <->  A  e.  y ) )
32adantl 466 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( { A }  C_  y  <->  A  e.  y
) )
43rabbidv 3087 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y }  =  { y  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  y } )
54inteqd 4276 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y }  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  y } )
6 cycsubg2.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
76subgacs 16110 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  X ) )
87acsmred 14930 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  X ) )
9 snssi 4159 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  C_  X )
10 cycsubg2.k . . . 4  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
1110mrcval 14884 . . 3  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  X )  /\  { A }  C_  X )  ->  ( K `  { A } )  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y } )
128, 9, 11syl2an 477 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( K `  { A } )  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y } )
13 cycsubg2.t . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
14 cycsubg2.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
156, 13, 14cycsubg 16103 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  y } )
165, 12, 153eqtr4d 2494 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( K `  { A } )  =  ran  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   {crab 2797    C_ wss 3461   {csn 4014   |^|cint 4271    |-> cmpt 4495   ran crn 4990   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   ZZcz 10870   Basecbs 14509  Moorecmre 14856  mrClscmrc 14857   Grpcgrp 15927  .gcmg 15930  SubGrpcsubg 16069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-seq 12087  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-mulg 15934  df-subg 16072
This theorem is referenced by:  odf1o1  16466  odf1o2  16467  cycsubgcyg2  16778  pgpfac1lem2  17000  pgpfac1lem3  17002  pgpfac1lem4  17003
  Copyright terms: Public domain W3C validator