MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubg2 Unicode version

Theorem cycsubg2 14932
Description: The subgroup generated by an element is exhausted by its multiples. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg2.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
cycsubg2.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cycsubg2.f  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
cycsubg2.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
cycsubg2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( K `  { A } )  =  ran  F )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x,  .x.    x, X
Allowed substitution hints:    F( x)    K( x)

Proof of Theorem cycsubg2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssg 3892 . . . . . 6  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  y  <->  { A }  C_  y ) )
21bicomd 193 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( { A }  C_  y  <->  A  e.  y ) )
32adantl 453 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( { A }  C_  y  <->  A  e.  y
) )
43rabbidv 2908 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y }  =  { y  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  y } )
54inteqd 4015 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y }  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  y } )
6 cycsubg2.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
76subgacs 14930 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  X ) )
87acsmred 13836 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  X ) )
9 snssi 3902 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  C_  X )
10 cycsubg2.k . . . 4  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
1110mrcval 13790 . . 3  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  X )  /\  { A }  C_  X )  ->  ( K `  { A } )  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y } )
128, 9, 11syl2an 464 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( K `  { A } )  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y } )
13 cycsubg2.t . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
14 cycsubg2.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
156, 13, 14cycsubg 14923 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  y } )
165, 12, 153eqtr4d 2446 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( K `  { A } )  =  ran  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670    C_ wss 3280   {csn 3774   |^|cint 4010    e. cmpt 4226   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ZZcz 10238   Basecbs 13424  Moorecmre 13762  mrClscmrc 13763   Grpcgrp 14640  .gcmg 14644  SubGrpcsubg 14893
This theorem is referenced by:  odf1o1  15161  odf1o2  15162  cycsubgcyg2  15466  pgpfac1lem2  15588  pgpfac1lem3  15590  pgpfac1lem4  15591
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-mulg 14770  df-subg 14896
  Copyright terms: Public domain W3C validator