MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubg2 Structured version   Unicode version

Theorem cycsubg2 16026
Description: The subgroup generated by an element is exhausted by its multiples. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg2.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
cycsubg2.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cycsubg2.f  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
cycsubg2.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
cycsubg2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( K `  { A } )  =  ran  F )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x,  .x.    x, X
Allowed substitution hints:    F( x)    K( x)

Proof of Theorem cycsubg2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssg 4153 . . . . . 6  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  y  <->  { A }  C_  y ) )
21bicomd 201 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( { A }  C_  y  <->  A  e.  y ) )
32adantl 466 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( { A }  C_  y  <->  A  e.  y
) )
43rabbidv 3098 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y }  =  { y  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  y } )
54inteqd 4280 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y }  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  y } )
6 cycsubg2.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
76subgacs 16024 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  X ) )
87acsmred 14900 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  X ) )
9 snssi 4164 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  C_  X )
10 cycsubg2.k . . . 4  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
1110mrcval 14854 . . 3  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  X )  /\  { A }  C_  X )  ->  ( K `  { A } )  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y } )
128, 9, 11syl2an 477 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( K `  { A } )  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  { A }  C_  y } )
13 cycsubg2.t . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
14 cycsubg2.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
156, 13, 14cycsubg 16017 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  =  |^| { y  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  y } )
165, 12, 153eqtr4d 2511 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( K `  { A } )  =  ran  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2811    C_ wss 3469   {csn 4020   |^|cint 4275    |-> cmpt 4498   ran crn 4993   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   ZZcz 10853   Basecbs 14479  Moorecmre 14826  mrClscmrc 14827   Grpcgrp 15716  .gcmg 15720  SubGrpcsubg 15983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-seq 12064  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-0g 14686  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-mulg 15854  df-subg 15986
This theorem is referenced by:  odf1o1  16381  odf1o2  16382  cycsubgcyg2  16688  pgpfac1lem2  16909  pgpfac1lem3  16911  pgpfac1lem4  16912
  Copyright terms: Public domain W3C validator