MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubg Structured version   Unicode version

Theorem cycsubg 16428
Description: The cyclic group generated by  A is the smallest subgroup containing  A. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
cycsubg.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cycsubg.f  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
cycsubg  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  =  |^| { s  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  s } )
Distinct variable groups:    x, s, A    G, s, x    x,  .x.    x, X    F, s
Allowed substitution hints:    .x. ( s)    F( x)    X( s)

Proof of Theorem cycsubg
StepHypRef Expression
1 ssintab 4288 . . . . 5  |-  ( ran 
F  C_  |^| { s  |  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s
) }  <->  A. s
( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s
)  ->  ran  F  C_  s ) )
2 cycsubg.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 cycsubg.t . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
4 cycsubg.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
52, 3, 4cycsubgss 16427 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  ran  F 
C_  s )
61, 5mpgbir 1627 . . . 4  |-  ran  F  C_ 
|^| { s  |  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s ) }
7 df-rab 2813 . . . . 5  |-  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A  e.  s }  =  {
s  |  ( s  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  s ) }
87inteqi 4275 . . . 4  |-  |^| { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A  e.  s }  =  |^| { s  |  ( s  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  s ) }
96, 8sseqtr4i 3522 . . 3  |-  ran  F  C_ 
|^| { s  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  s }
109a1i 11 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  C_  |^| { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A  e.  s } )
112, 3, 4cycsubgcl 16426 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ran  F  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ran  F ) )
12 eleq2 2527 . . . . 5  |-  ( s  =  ran  F  -> 
( A  e.  s  <-> 
A  e.  ran  F
) )
1312elrab 3254 . . . 4  |-  ( ran 
F  e.  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A  e.  s }  <->  ( ran  F  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  ran  F ) )
1411, 13sylibr 212 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  e.  {
s  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  s } )
15 intss1 4286 . . 3  |-  ( ran 
F  e.  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A  e.  s }  ->  |^| { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A  e.  s }  C_  ran  F )
1614, 15syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  |^| { s  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  s }  C_  ran  F )
1710, 16eqssd 3506 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  =  |^| { s  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  s } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   {cab 2439   {crab 2808    C_ wss 3461   |^|cint 4271    |-> cmpt 4497   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ZZcz 10860   Basecbs 14716   Grpcgrp 16252  .gcmg 16255  SubGrpcsubg 16394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-seq 12090  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mulg 16259  df-subg 16397
This theorem is referenced by:  cycsubg2  16437
  Copyright terms: Public domain W3C validator