MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubg Structured version   Unicode version

Theorem cycsubg 15820
Description: The cyclic group generated by  A is the smallest subgroup containing  A. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
cycsubg.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cycsubg.f  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
cycsubg  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  =  |^| { s  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  s } )
Distinct variable groups:    x, s, A    G, s, x    x,  .x.    x, X    F, s
Allowed substitution hints:    .x. ( s)    F( x)    X( s)

Proof of Theorem cycsubg
StepHypRef Expression
1 ssintab 4246 . . . . 5  |-  ( ran 
F  C_  |^| { s  |  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s
) }  <->  A. s
( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s
)  ->  ran  F  C_  s ) )
2 cycsubg.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 cycsubg.t . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
4 cycsubg.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
52, 3, 4cycsubgss 15819 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  ran  F 
C_  s )
61, 5mpgbir 1596 . . . 4  |-  ran  F  C_ 
|^| { s  |  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s ) }
7 df-rab 2804 . . . . 5  |-  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A  e.  s }  =  {
s  |  ( s  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  s ) }
87inteqi 4233 . . . 4  |-  |^| { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A  e.  s }  =  |^| { s  |  ( s  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  s ) }
96, 8sseqtr4i 3490 . . 3  |-  ran  F  C_ 
|^| { s  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  s }
109a1i 11 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  C_  |^| { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A  e.  s } )
112, 3, 4cycsubgcl 15818 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ran  F  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ran  F ) )
12 eleq2 2524 . . . . 5  |-  ( s  =  ran  F  -> 
( A  e.  s  <-> 
A  e.  ran  F
) )
1312elrab 3217 . . . 4  |-  ( ran 
F  e.  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A  e.  s }  <->  ( ran  F  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  ran  F ) )
1411, 13sylibr 212 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  e.  {
s  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  s } )
15 intss1 4244 . . 3  |-  ( ran 
F  e.  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A  e.  s }  ->  |^| { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A  e.  s }  C_  ran  F )
1614, 15syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  |^| { s  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  s }  C_  ran  F )
1710, 16eqssd 3474 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  =  |^| { s  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  s } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2436   {crab 2799    C_ wss 3429   |^|cint 4229    |-> cmpt 4451   ran crn 4942   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   ZZcz 10750   Basecbs 14285   Grpcgrp 15521  .gcmg 15525  SubGrpcsubg 15786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-seq 11917  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-mulg 15659  df-subg 15789
This theorem is referenced by:  cycsubg2  15829
  Copyright terms: Public domain W3C validator