Theorem cyclnspth 24307

Description: A (non trivial) cycle is not a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cyclnspth	|- ( F =/= (/) -> ( F ( V Cycles E ) P -> -. F ( V SPaths E ) P ) )

Proof of Theorem cyclnspth

Dummy variables e f p v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cycl 24189	. . . 4 |- Cycles = ( v e. _V , e e. _V |-> { <. f , p >. | ( f ( v Paths e ) p /\ ( p ` 0 ) = ( p ` ( # ` f ) ) ) } )
2	1	brovmpt2ex 6948	. . 3 |- ( F ( V Cycles E ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
3		iscycl 24301	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V Cycles E ) P <-> ( F ( V Paths E ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) ) )
4		pthistrl 24250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ( V Paths E ) P -> F ( V Trails E ) P )
5		trliswlk 24217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ( V Trails E ) P -> F ( V Walks E ) P )
6		2mwlk 24197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ( V Walks E ) P -> ( F e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) )
7		lennncl 12525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. Word dom E /\ F =/= (/) ) -> ( # ` F ) e. NN )
8		df-f1 5591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) -1-1-> V <-> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ Fun `' P ) )
9		nnne0 10564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( # ` F ) =/= 0 )
10	9	necomd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( # ` F ) e. NN -> 0 =/= ( # ` F ) )
11	10	neneqd 2669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( # ` F ) e. NN -> -. 0 = ( # ` F ) )
12	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( # ` F ) e. NN /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) -1-1-> V ) -> -. 0 = ( # ` F ) )
13		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( # ` F ) e. NN /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) -1-1-> V ) -> P : ( 0 ... ( # ` F ) ) -1-1-> V )
14		nnnn0 10798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( # ` F ) e. NN0 )
15		0nn0 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- 0 e. NN0
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> 0 e. NN0 )
17		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( # ` F ) e. NN0 )
18		nn0ge0 10817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> 0 <_ ( # ` F ) )
19		elfz2nn0 11764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( 0 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) <-> ( 0 e. NN0 /\ ( # ` F ) e. NN0 /\ 0 <_ ( # ` F ) ) )
20	16, 17, 18, 19	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) )
21		nn0re 10800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( # ` F ) e. RR )
22	21	leidd 10115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( # ` F ) <_ ( # ` F ) )
23		elfz2nn0 11764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( # ` F ) e. ( 0 ... ( # ` F ) ) <-> ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( # ` F ) e. NN0 /\ ( # ` F ) <_ ( # ` F ) ) )
24	17, 17, 22, 23	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( # ` F ) e. ( 0 ... ( # ` F ) ) )
25	20, 24	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( 0 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) /\ ( # ` F ) e. ( 0 ... ( # ` F ) ) ) )
26	14, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( 0 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) /\ ( # ` F ) e. ( 0 ... ( # ` F ) ) ) )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( # ` F ) e. NN /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) -1-1-> V ) -> ( 0 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) /\ ( # ` F ) e. ( 0 ... ( # ` F ) ) ) )
28		f1fveq 6156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) -1-1-> V /\ ( 0 e. ( 0 ... ( # ` F ) ) /\ ( # ` F ) e. ( 0 ... ( # ` F ) ) ) ) -> ( ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) <-> 0 = ( # ` F ) ) )
29	13, 27, 28	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( # ` F ) e. NN /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) -1-1-> V ) -> ( ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) <-> 0 = ( # ` F ) ) )
30	12, 29	mtbird 301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( # ` F ) e. NN /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) -1-1-> V ) -> -. ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) )
31	30	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) -1-1-> V -> ( ( # ` F ) e. NN -> -. ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) )
32	8, 31	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ Fun `' P ) -> ( ( # ` F ) e. NN -> -. ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) )
33	32	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Fun `' P -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( ( # ` F ) e. NN -> -. ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) ) )
34	33	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( Fun `' P -> -. ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) ) )
35	34	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( # ` F ) e. NN /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) -> ( Fun `' P -> -. ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) )
36	35	con2d 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( # ` F ) e. NN /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) -> ( ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) -> -. Fun `' P ) )
37	36	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) -> -. Fun `' P ) ) )
38	37	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> -. Fun `' P ) ) )
39	7, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. Word dom E /\ F =/= (/) ) -> ( ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> -. Fun `' P ) ) )
40	39	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. Word dom E -> ( F =/= (/) -> ( ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> -. Fun `' P ) ) ) )
41	40	com24 87	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. Word dom E -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) -> ( F =/= (/) -> -. Fun `' P ) ) ) )
42	41	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. Word dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) -> ( ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) -> ( F =/= (/) -> -. Fun `' P ) ) )
43	4, 5, 6, 42	4syl 21	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ( V Paths E ) P -> ( ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) -> ( F =/= (/) -> -. Fun `' P ) ) )
44	43	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ( V Paths E ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) -> ( F =/= (/) -> -. Fun `' P ) )
45	44	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( F ( V Paths E ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) ) -> ( F =/= (/) -> -. Fun `' P ) )
46	45	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( F ( V Paths E ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) ) /\ F =/= (/) ) -> -. Fun `' P )
47	46	intnand 914	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( F ( V Paths E ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) ) /\ F =/= (/) ) -> -. ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) )
48		isspth 24247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V SPaths E ) P <-> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) ) )
49	48	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( F ( V Paths E ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) ) -> ( F ( V SPaths E ) P <-> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) ) )
50	49	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( F ( V Paths E ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) ) /\ F =/= (/) ) -> ( F ( V SPaths E ) P <-> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) ) )
51	47, 50	mtbird 301	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( F ( V Paths E ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) ) /\ F =/= (/) ) -> -. F ( V SPaths E ) P )
52	51	ex 434	. . . . 5 |- ( ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( F ( V Paths E ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) ) -> ( F =/= (/) -> -. F ( V SPaths E ) P ) )
53	52	ex 434	. . . 4 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( ( F ( V Paths E ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) -> ( F =/= (/) -> -. F ( V SPaths E ) P ) ) )
54	3, 53	sylbid 215	. . 3 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V Cycles E ) P -> ( F =/= (/) -> -. F ( V SPaths E ) P ) ) )
55	2, 54	mpcom 36	. 2 |- ( F ( V Cycles E ) P -> ( F =/= (/) -> -. F ( V SPaths E ) P ) )
56	55	com12 31	1 |- ( F =/= (/) -> ( F ( V Cycles E ) P -> -. F ( V SPaths E ) P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   Fun wfun 5580   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488   <_ cle 9625   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ...cfz 11668   #chash 12369  Word cword 12496   Walks cwalk 24174   Trails ctrail 24175   Paths cpath 24176   SPaths cspath 24177   Cycles ccycl 24183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-hash 12370  df-word 12504  df-wlk 24184  df-trail 24185  df-pth 24186  df-spth 24187  df-cycl 24189

This theorem is referenced by: (None)