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Theorem cxpsqrtlem 22949
Description: Lemma for cxpsqrt 22950. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpsqrtlem  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  RR )

Proof of Theorem cxpsqrtlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9563 . . 3  |-  _i  e.  CC
2 sqrtcl 13174 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  A )  e.  CC )
32ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  ( sqr `  A )  e.  CC )
4 mulcl 9588 . . 3  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sqr `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  CC )
51, 3, 4sylancr 663 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  CC )
6 imval 12920 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  CC  ->  ( Im `  ( _i  x.  ( sqr `  A ) ) )  =  ( Re
`  ( ( _i  x.  ( sqr `  A
) )  /  _i ) ) )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Im `  ( _i  x.  ( sqr `  A
) ) )  =  ( Re `  (
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i ) ) )
8 ine0 10004 . . . . . 6  |-  _i  =/=  0
9 divcan3 10243 . . . . . 6  |-  ( ( ( sqr `  A
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i )  =  ( sqr `  A
) )
101, 8, 9mp3an23 1316 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  A )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i )  =  ( sqr `  A
) )
113, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i )  =  ( sqr `  A
) )
1211fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( (
_i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i ) )  =  ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
13 halfre 10766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
1413recni 9620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
15 logcl 22822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
16 mulcl 9588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( log `  A )  e.  CC )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
1714, 15, 16sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
1817recld 13007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
1918reefcld 13702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  RR )
2017imcld 13008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
2120recoscld 13757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  RR )
2218rpefcld 13718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  RR+ )
2322rpge0d 11272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
24 immul2 12950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( log `  A )  e.  CC )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
2513, 15, 24sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
2615imcld 13008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
2726recnd 9634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
28 mulcom 9590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  x.  ( 1  /  2 ) ) )
2914, 27, 28sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
3025, 29eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
31 logimcl 22823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
3231simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) ) )
33 pire 22718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  e.  RR
3433renegcli 9892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u pi  e.  RR
35 ltle 9685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
3634, 26, 35sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
3732, 36mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) )
3831simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
3934, 33elicc2i 11602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  e.  RR  /\  -u pi  <_  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
4026, 37, 38, 39syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi [,] pi ) )
41 halfgt0 10768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  ( 1  /  2
)
4213, 41elrpii 11235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
4333recni 9620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  CC
44 2cn 10618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
45 2ne0 10640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
46 divneg 10251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 ) )
4743, 44, 45, 46mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 )
4834recni 9620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u pi  e.  CC
4948, 44, 45divreci 10301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u pi  /  2 )  =  ( -u pi  x.  ( 1  /  2
) )
5047, 49eqtr2i 2497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u pi  x.  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( pi  / 
2 )
5143, 44, 45divreci 10301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( pi 
/  2 )  =  ( pi  x.  (
1  /  2 ) )
5251eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
5334, 33, 42, 50, 52iccdili 11671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  x.  ( 1  /  2
) )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) )
5440, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
5530, 54eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
56 cosq14ge0 22770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  ->  0  <_  ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
5819, 21, 23, 57mulge0d 10141 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( ( exp `  ( Re `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( cos `  ( Im `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )
59 cxpef 22912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  (
1  /  2 )  e.  CC )  -> 
( A  ^c 
( 1  /  2
) )  =  ( exp `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )
6014, 59mp3an3 1313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  ^c 
( 1  /  2
) )  =  ( exp `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )
61 efeul 13775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )
6217, 61syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )
6360, 62eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  ^c 
( 1  /  2
) )  =  ( ( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )
6463fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  ( A  ^c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( Re
`  ( ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) ) )
6521recnd 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  CC )
6620resincld 13756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  RR )
6766recnd 9634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  CC )
68 mulcl 9588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  ( Im `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
691, 67, 68sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  ( sin `  ( Im `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
7065, 69addcld 9627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  e.  CC )
7119, 70remul2d 13040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  (
( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( Re
`  ( ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) ) )
7221, 66crred 13044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  (
( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) )
7372oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( Re `  ( ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )
7464, 71, 733eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  ( A  ^c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )
7558, 74breqtrrd 4479 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( A  ^c 
( 1  /  2
) ) ) )
7675adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( A  ^c  ( 1  /  2 ) ) ) )
77 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  ( A  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  -u ( sqr `  A
) )
7877fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  ^c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( Re
`  -u ( sqr `  A
) ) )
793renegd 13022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  -u ( sqr `  A ) )  = 
-u ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
8078, 79eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  ^c  ( 1  /  2 ) ) )  =  -u (
Re `  ( sqr `  A ) ) )
8176, 80breqtrd 4477 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  0  <_ 
-u ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
823recld 13007 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( sqr `  A ) )  e.  RR )
8382le0neg1d 10136 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
( Re `  ( sqr `  A ) )  <_  0  <->  0  <_  -u ( Re `  ( sqr `  A ) ) ) )
8481, 83mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( sqr `  A ) )  <_ 
0 )
85 sqrtrege0 13178 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
8685ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
87 0re 9608 . . . . 5  |-  0  e.  RR
88 letri3 9682 . . . . 5  |-  ( ( ( Re `  ( sqr `  A ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( Re `  ( sqr `  A ) )  =  0  <->  ( (
Re `  ( sqr `  A ) )  <_ 
0  /\  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) ) ) ) )
8982, 87, 88sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
( Re `  ( sqr `  A ) )  =  0  <->  ( (
Re `  ( sqr `  A ) )  <_ 
0  /\  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) ) ) ) )
9084, 86, 89mpbir2and 920 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( sqr `  A ) )  =  0 )
917, 12, 903eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Im `  ( _i  x.  ( sqr `  A
) ) )  =  0 )
925, 91reim0bd 13013 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   _ici 9506    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641   -ucneg 9818    / cdiv 10218   2c2 10597   [,]cicc 11544   Recre 12910   Imcim 12911   sqrcsqrt 13046   expce 13676   sincsin 13678   cosccos 13679   picpi 13681   logclog 22808    ^c ccxp 22809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139  df-log 22810  df-cxp 22811
This theorem is referenced by:  cxpsqrt  22950
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