Proof of Theorem cxpsqrt
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | halfcn 10829 |
. . . . . 6
   |
2 | | halfre 10828 |
. . . . . . 7
   |
3 | | halfgt0 10830 |
. . . . . . 7
   |
4 | 2, 3 | gt0ne0ii 10150 |
. . . . . 6
   |
5 | | 0cxp 23611 |
. . . . . 6
              |
6 | 1, 4, 5 | mp2an 678 |
. . . . 5
      |
7 | | sqrt0 13305 |
. . . . 5
     |
8 | 6, 7 | eqtr4i 2476 |
. . . 4
          |
9 | | oveq1 6297 |
. . . 4
             |
10 | | fveq2 5865 |
. . . 4
           |
11 | 8, 9, 10 | 3eqtr4a 2511 |
. . 3
            |
12 | 11 | a1i 11 |
. 2
 
            |
13 | | ax-icn 9598 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 |
14 | | sqrtcl 13424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
       |
15 | 14 | ad2antrr 732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                     |
16 | | sqmul 12338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                                 |
17 | 13, 15, 16 | sylancr 669 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                                         |
18 | | i2 12375 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
      |
19 | 18 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                      |
20 | | sqrtth 13427 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
           |
21 | 20 | ad2antrr 732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                         |
22 | 19, 21 | oveq12d 6308 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                                  |
23 | | mulm1 10060 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
       |
24 | 23 | ad2antrr 732 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                     |
25 | 17, 22, 24 | 3eqtrd 2489 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                            |
26 | | cxpsqrtlem 23647 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
               
       |
27 | 26 | resqcld 12442 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                           |
28 | 25, 27 | eqeltrrd 2530 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                  |
29 | | negeq0 9928 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 
    |
30 | 29 | necon3bid 2668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
 
    |
31 | 30 | biimpa 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
      |
32 | 31 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
                  |
33 | 25, 32 | eqnetrd 2691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                           |
34 | | sq0i 12367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
      
 
          |
35 | 34 | necon3i 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
          
        |
36 | 33, 35 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
               
       |
37 | 26, 36 | sqgt0d 12444 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                           |
38 | 37, 25 | breqtrd 4427 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                  |
39 | 28, 38 | elrpd 11338 |
. . . . . . . . . . . . 13
                  |
40 | | logneg 23537 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
                 |
41 | 39, 40 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
                                |
42 | | negneg 9924 |
. . . . . . . . . . . . . 14
     |
43 | 42 | ad2antrr 732 |
. . . . . . . . . . . . 13
                   |
44 | 43 | fveq2d 5869 |
. . . . . . . . . . . 12
                           |
45 | 39 | relogcld 23572 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                      |
46 | 45 | recnd 9669 |
. . . . . . . . . . . . 13
                      |
47 | | picn 23414 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 |
48 | 13, 47 | mulcli 9648 |
. . . . . . . . . . . . 13
   |
49 | | addcom 9819 |
. . . . . . . . . . . . 13
       

                     |
50 | 46, 48, 49 | sylancl 668 |
. . . . . . . . . . . 12
                                   |
51 | 41, 44, 50 | 3eqtr3d 2493 |
. . . . . . . . . . 11
                     
        |
52 | 51 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . . . 10
                            
         |
53 | | adddi 9628 |
. . . . . . . . . . . 12
    

                                      |
54 | 1, 48, 53 | mp3an12 1354 |
. . . . . . . . . . 11
                                      |
55 | 46, 54 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
                                               |
56 | 52, 55 | eqtrd 2485 |
. . . . . . . . 9
                                          |
57 | | 2cn 10680 |
. . . . . . . . . . . 12
 |
58 | | 2ne0 10702 |
. . . . . . . . . . . 12
 |
59 | | divrec2 10287 |
. . . . . . . . . . . 12
   
        
    |
60 | 48, 57, 58, 59 | mp3an 1364 |
. . . . . . . . . . 11
       
   |
61 | 13, 47, 57, 58 | divassi 10363 |
. . . . . . . . . . 11
     
   |
62 | 60, 61 | eqtr3i 2475 |
. . . . . . . . . 10
           |
63 | 62 | oveq1i 6300 |
. . . . . . . . 9
                   
             |
64 | 56, 63 | syl6eq 2501 |
. . . . . . . 8
                         
              |
65 | 64 | fveq2d 5869 |
. . . . . . 7
                                
               |
66 | 47, 57, 58 | divcli 10349 |
. . . . . . . . 9
   |
67 | 13, 66 | mulcli 9648 |
. . . . . . . 8
     |
68 | | mulcl 9623 |
. . . . . . . . 9
                     |
69 | 1, 46, 68 | sylancr 669 |
. . . . . . . 8
                          |
70 | | efadd 14148 |
. . . . . . . 8
   
                 
                  
                   |
71 | 67, 69, 70 | sylancr 669 |
. . . . . . 7
                                      
                    |
72 | | efhalfpi 23426 |
. . . . . . . . 9
    
    |
73 | 72 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
                   
     |
74 | | negcl 9875 |
. . . . . . . . . . 11
    |
75 | 74 | ad2antrr 732 |
. . . . . . . . . 10
                  |
76 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
                   |
77 | | cxpef 23610 |
. . . . . . . . . 10
   
     
                  |
78 | 75, 32, 76, 77 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . . 9
                                    |
79 | | ax-1cn 9597 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 |
80 | | 2halves 10841 |
. . . . . . . . . . . . . 14
         |
81 | 79, 80 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
82 | 81 | oveq2i 6301 |
. . . . . . . . . . . 12
            
  |
83 | | cxp1 23616 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
       |
84 | 75, 83 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
                      |
85 | 82, 84 | syl5eq 2497 |
. . . . . . . . . . 11
                            |
86 | | rpcxpcl 23621 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
        
     |
87 | 39, 2, 86 | sylancl 668 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                       |
88 | 87 | rpcnd 11343 |
. . . . . . . . . . . . 13
                       |
89 | 88 | sqvald 12413 |
. . . . . . . . . . . 12
                                         |
90 | | cxpadd 23624 |
. . . . . . . . . . . . 13
                                     |
91 | 75, 32, 76, 76, 90 | syl211anc 1274 |
. . . . . . . . . . . 12
                                         |
92 | 89, 91 | eqtr4d 2488 |
. . . . . . . . . . 11
                                     |
93 | 75 | sqsqrtd 13501 |
. . . . . . . . . . 11
                           |
94 | 85, 92, 93 | 3eqtr4d 2495 |
. . . . . . . . . 10
                                    |
95 | 87 | rprege0d 11348 |
. . . . . . . . . . 11
                     
  
      |
96 | 39 | rpsqrtcld 13473 |
. . . . . . . . . . . 12
                      |
97 | 96 | rprege0d 11348 |
. . . . . . . . . . 11
                             |
98 | | sq11 12347 |
. . . . . . . . . . 11
     
                                                         |
99 | 95, 97, 98 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . . 10
                   
                             |
100 | 94, 99 | mpbid 214 |
. . . . . . . . 9
                            |
101 | 78, 100 | eqtr3d 2487 |
. . . . . . . 8
                                   |
102 | 73, 101 | oveq12d 6308 |
. . . . . . 7
                   
                           |
103 | 65, 71, 102 | 3eqtrd 2489 |
. . . . . 6
                                    |
104 | | cxpef 23610 |
. . . . . . . 8
                        |
105 | 1, 104 | mp3an3 1353 |
. . . . . . 7
                      |
106 | 105 | adantr 467 |
. . . . . 6
                                  |
107 | 43 | fveq2d 5869 |
. . . . . . 7
                           |
108 | 39 | rpge0d 11345 |
. . . . . . . 8
                  |
109 | 28, 108 | sqrtnegd 13483 |
. . . . . . 7
                              |
110 | 107, 109 | eqtr3d 2487 |
. . . . . 6
                            |
111 | 103, 106,
110 | 3eqtr4d 2495 |
. . . . 5
                          |
112 | 111 | ex 436 |
. . . 4
             
 
          |
113 | 81 | oveq2i 6301 |
. . . . . . . . 9
             |
114 | | cxpadd 23624 |
. . . . . . . . . 10
                                |
115 | 1, 1, 114 | mp3an23 1356 |
. . . . . . . . 9
                          |
116 | | cxp1 23616 |
. . . . . . . . . 10
      |
117 | 116 | adantr 467 |
. . . . . . . . 9
        |
118 | 113, 115,
117 | 3eqtr3a 2509 |
. . . . . . . 8
                 |
119 | | cxpcl 23619 |
. . . . . . . . . . 11
            |
120 | 1, 119 | mpan2 677 |
. . . . . . . . . 10
        |
121 | 120 | sqvald 12413 |
. . . . . . . . 9
                        |
122 | 121 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
                          |
123 | 20 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
             |
124 | 118, 122,
123 | 3eqtr4d 2495 |
. . . . . . 7
                      |
125 | | sqeqor 12388 |
. . . . . . . . 9
                                                      |
126 | 120, 14, 125 | syl2anc 667 |
. . . . . . . 8
                                           |
127 | 126 | biimpa 487 |
. . . . . . 7
                   
                       |
128 | 124, 127 | syldan 473 |
. . . . . 6
                          |
129 | 128 | ord 379 |
. . . . 5
            
 
           |
130 | 129 | con1d 128 |
. . . 4
             
 
          |
131 | 112, 130 | pm2.61d 162 |
. . 3
              |
132 | 131 | ex 436 |
. 2
              |
133 | 12, 132 | pm2.61dne 2710 |
1
            |