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Theorem cxpsqrlem 22147
Description: Lemma for cxpsqr 22148. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpsqrlem  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  RR )

Proof of Theorem cxpsqrlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9341 . . 3  |-  _i  e.  CC
2 sqrcl 12849 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  A )  e.  CC )
32ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  ( sqr `  A )  e.  CC )
4 mulcl 9366 . . 3  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sqr `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  CC )
51, 3, 4sylancr 663 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  CC )
6 imval 12596 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  CC  ->  ( Im `  ( _i  x.  ( sqr `  A ) ) )  =  ( Re
`  ( ( _i  x.  ( sqr `  A
) )  /  _i ) ) )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Im `  ( _i  x.  ( sqr `  A
) ) )  =  ( Re `  (
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i ) ) )
8 ine0 9780 . . . . . 6  |-  _i  =/=  0
9 divcan3 10018 . . . . . 6  |-  ( ( ( sqr `  A
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i )  =  ( sqr `  A
) )
101, 8, 9mp3an23 1306 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  A )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i )  =  ( sqr `  A
) )
113, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i )  =  ( sqr `  A
) )
1211fveq2d 5695 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( (
_i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i ) )  =  ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
13 halfre 10540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
1413recni 9398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
15 logcl 22020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
16 mulcl 9366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( log `  A )  e.  CC )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
1714, 15, 16sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
1817recld 12683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
1918reefcld 13373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  RR )
2017imcld 12684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
2120recoscld 13428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  RR )
2218rpefcld 13389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  RR+ )
2322rpge0d 11031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
24 immul2 12626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( log `  A )  e.  CC )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
2513, 15, 24sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
2615imcld 12684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
2726recnd 9412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
28 mulcom 9368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  x.  ( 1  /  2 ) ) )
2914, 27, 28sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
3025, 29eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
31 logimcl 22021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
3231simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) ) )
33 pire 21921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  e.  RR
3433renegcli 9670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u pi  e.  RR
35 ltle 9463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
3634, 26, 35sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
3732, 36mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) )
3831simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
3934, 33elicc2i 11361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  e.  RR  /\  -u pi  <_  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
4026, 37, 38, 39syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi [,] pi ) )
41 halfgt0 10542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  ( 1  /  2
)
4213, 41elrpii 10994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
4333recni 9398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  CC
44 2cn 10392 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
45 2ne0 10414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
46 divneg 10026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 ) )
4743, 44, 45, 46mp3an 1314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 )
4834recni 9398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u pi  e.  CC
4948, 44, 45divreci 10076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u pi  /  2 )  =  ( -u pi  x.  ( 1  /  2
) )
5047, 49eqtr2i 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u pi  x.  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( pi  / 
2 )
5143, 44, 45divreci 10076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( pi 
/  2 )  =  ( pi  x.  (
1  /  2 ) )
5251eqcomi 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
5334, 33, 42, 50, 52iccdili 11424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  x.  ( 1  /  2
) )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) )
5440, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
5530, 54eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
56 cosq14ge0 21973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  ->  0  <_  ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
5819, 21, 23, 57mulge0d 9916 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( ( exp `  ( Re `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( cos `  ( Im `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )
59 cxpef 22110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  (
1  /  2 )  e.  CC )  -> 
( A  ^c 
( 1  /  2
) )  =  ( exp `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )
6014, 59mp3an3 1303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  ^c 
( 1  /  2
) )  =  ( exp `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )
61 efeul 13446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )
6217, 61syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )
6360, 62eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  ^c 
( 1  /  2
) )  =  ( ( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )
6463fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  ( A  ^c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( Re
`  ( ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) ) )
6521recnd 9412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  CC )
6620resincld 13427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  RR )
6766recnd 9412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  CC )
68 mulcl 9366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  ( Im `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
691, 67, 68sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  ( sin `  ( Im `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
7065, 69addcld 9405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  e.  CC )
7119, 70remul2d 12716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  (
( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( Re
`  ( ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) ) )
7221, 66crred 12720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  (
( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) )
7372oveq2d 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( Re `  ( ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )
7464, 71, 733eqtrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  ( A  ^c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )
7558, 74breqtrrd 4318 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( A  ^c 
( 1  /  2
) ) ) )
7675adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( A  ^c  ( 1  /  2 ) ) ) )
77 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  ( A  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  -u ( sqr `  A
) )
7877fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  ^c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( Re
`  -u ( sqr `  A
) ) )
793renegd 12698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  -u ( sqr `  A ) )  = 
-u ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
8078, 79eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  ^c  ( 1  /  2 ) ) )  =  -u (
Re `  ( sqr `  A ) ) )
8176, 80breqtrd 4316 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  0  <_ 
-u ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
823recld 12683 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( sqr `  A ) )  e.  RR )
8382le0neg1d 9911 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
( Re `  ( sqr `  A ) )  <_  0  <->  0  <_  -u ( Re `  ( sqr `  A ) ) ) )
8481, 83mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( sqr `  A ) )  <_ 
0 )
85 sqrrege0 12853 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
8685ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
87 0re 9386 . . . . 5  |-  0  e.  RR
88 letri3 9460 . . . . 5  |-  ( ( ( Re `  ( sqr `  A ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( Re `  ( sqr `  A ) )  =  0  <->  ( (
Re `  ( sqr `  A ) )  <_ 
0  /\  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) ) ) ) )
8982, 87, 88sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
( Re `  ( sqr `  A ) )  =  0  <->  ( (
Re `  ( sqr `  A ) )  <_ 
0  /\  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) ) ) ) )
9084, 86, 89mpbir2and 913 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( sqr `  A ) )  =  0 )
917, 12, 903eqtrd 2479 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Im `  ( _i  x.  ( sqr `  A
) ) )  =  0 )
925, 91reim0bd 12689 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   _ici 9284    + caddc 9285    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419   -ucneg 9596    / cdiv 9993   2c2 10371   [,]cicc 11303   Recre 12586   Imcim 12587   sqrcsqr 12722   expce 13347   sincsin 13349   cosccos 13350   picpi 13352   logclog 22006    ^c ccxp 22007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-pi 13358  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-log 22008  df-cxp 22009
This theorem is referenced by:  cxpsqr  22148
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