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Theorem cxpsqrlem 22090
Description: Lemma for cxpsqr 22091. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpsqrlem  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  RR )

Proof of Theorem cxpsqrlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9337 . . 3  |-  _i  e.  CC
2 sqrcl 12845 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  A )  e.  CC )
32ad2antrr 720 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  ( sqr `  A )  e.  CC )
4 mulcl 9362 . . 3  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sqr `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  CC )
51, 3, 4sylancr 658 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  CC )
6 imval 12592 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  CC  ->  ( Im `  ( _i  x.  ( sqr `  A ) ) )  =  ( Re
`  ( ( _i  x.  ( sqr `  A
) )  /  _i ) ) )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Im `  ( _i  x.  ( sqr `  A
) ) )  =  ( Re `  (
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i ) ) )
8 ine0 9776 . . . . . 6  |-  _i  =/=  0
9 divcan3 10014 . . . . . 6  |-  ( ( ( sqr `  A
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i )  =  ( sqr `  A
) )
101, 8, 9mp3an23 1301 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  A )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i )  =  ( sqr `  A
) )
113, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i )  =  ( sqr `  A
) )
1211fveq2d 5692 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( (
_i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i ) )  =  ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
13 halfre 10536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
1413recni 9394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
15 logcl 21963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
16 mulcl 9362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( log `  A )  e.  CC )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
1714, 15, 16sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
1817recld 12679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
1918reefcld 13369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  RR )
2017imcld 12680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
2120recoscld 13424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  RR )
2218rpefcld 13385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  RR+ )
2322rpge0d 11027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
24 immul2 12622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( log `  A )  e.  CC )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
2513, 15, 24sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
2615imcld 12680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
2726recnd 9408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
28 mulcom 9364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  x.  ( 1  /  2 ) ) )
2914, 27, 28sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
3025, 29eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
31 logimcl 21964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
3231simpld 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) ) )
33 pire 21864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  e.  RR
3433renegcli 9666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u pi  e.  RR
35 ltle 9459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
3634, 26, 35sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
3732, 36mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) )
3831simprd 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
3934, 33elicc2i 11357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  e.  RR  /\  -u pi  <_  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
4026, 37, 38, 39syl3anbrc 1167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi [,] pi ) )
41 halfgt0 10538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  ( 1  /  2
)
4213, 41elrpii 10990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
4333recni 9394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  CC
44 2cn 10388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
45 2ne0 10410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
46 divneg 10022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 ) )
4743, 44, 45, 46mp3an 1309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 )
4834recni 9394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u pi  e.  CC
4948, 44, 45divreci 10072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u pi  /  2 )  =  ( -u pi  x.  ( 1  /  2
) )
5047, 49eqtr2i 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u pi  x.  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( pi  / 
2 )
5143, 44, 45divreci 10072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( pi 
/  2 )  =  ( pi  x.  (
1  /  2 ) )
5251eqcomi 2445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
5334, 33, 42, 50, 52iccdili 11420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  x.  ( 1  /  2
) )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) )
5440, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
5530, 54eqeltrd 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
56 cosq14ge0 21916 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  ->  0  <_  ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
5819, 21, 23, 57mulge0d 9912 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( ( exp `  ( Re `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( cos `  ( Im `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )
59 cxpef 22053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  (
1  /  2 )  e.  CC )  -> 
( A  ^c 
( 1  /  2
) )  =  ( exp `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )
6014, 59mp3an3 1298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  ^c 
( 1  /  2
) )  =  ( exp `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )
61 efeul 13442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )
6217, 61syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )
6360, 62eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  ^c 
( 1  /  2
) )  =  ( ( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )
6463fveq2d 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  ( A  ^c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( Re
`  ( ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) ) )
6521recnd 9408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  CC )
6620resincld 13423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  RR )
6766recnd 9408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  CC )
68 mulcl 9362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  ( Im `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
691, 67, 68sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  ( sin `  ( Im `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
7065, 69addcld 9401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  e.  CC )
7119, 70remul2d 12712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  (
( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( Re
`  ( ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) ) )
7221, 66crred 12716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  (
( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) )
7372oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( Re `  ( ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )
7464, 71, 733eqtrd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  ( A  ^c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )
7558, 74breqtrrd 4315 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( A  ^c 
( 1  /  2
) ) ) )
7675adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( A  ^c  ( 1  /  2 ) ) ) )
77 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  ( A  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  -u ( sqr `  A
) )
7877fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  ^c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( Re
`  -u ( sqr `  A
) ) )
793renegd 12694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  -u ( sqr `  A ) )  = 
-u ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
8078, 79eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  ^c  ( 1  /  2 ) ) )  =  -u (
Re `  ( sqr `  A ) ) )
8176, 80breqtrd 4313 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  0  <_ 
-u ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
823recld 12679 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( sqr `  A ) )  e.  RR )
8382le0neg1d 9907 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
( Re `  ( sqr `  A ) )  <_  0  <->  0  <_  -u ( Re `  ( sqr `  A ) ) ) )
8481, 83mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( sqr `  A ) )  <_ 
0 )
85 sqrrege0 12849 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
8685ad2antrr 720 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
87 0re 9382 . . . . 5  |-  0  e.  RR
88 letri3 9456 . . . . 5  |-  ( ( ( Re `  ( sqr `  A ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( Re `  ( sqr `  A ) )  =  0  <->  ( (
Re `  ( sqr `  A ) )  <_ 
0  /\  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) ) ) ) )
8982, 87, 88sylancl 657 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
( Re `  ( sqr `  A ) )  =  0  <->  ( (
Re `  ( sqr `  A ) )  <_ 
0  /\  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) ) ) ) )
9084, 86, 89mpbir2and 908 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( sqr `  A ) )  =  0 )
917, 12, 903eqtrd 2477 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Im `  ( _i  x.  ( sqr `  A
) ) )  =  0 )
925, 91reim0bd 12685 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   _ici 9280    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415   -ucneg 9592    / cdiv 9989   2c2 10367   [,]cicc 11299   Recre 12582   Imcim 12583   sqrcsqr 12718   expce 13343   sincsin 13345   cosccos 13346   picpi 13348   logclog 21949    ^c ccxp 21950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-lp 18640  df-perf 18641  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-haus 18819  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-fil 19319  df-fm 19411  df-flim 19412  df-flf 19413  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cncf 20354  df-limc 21241  df-dv 21242  df-log 21951  df-cxp 21952
This theorem is referenced by:  cxpsqr  22091
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