MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxprec Structured version   Unicode version

Theorem cxprec 22244
Description: Complex exponentiation of a reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxprec  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  (
( 1  /  A
)  ^c  B )  =  ( 1  /  ( A  ^c  B ) ) )

Proof of Theorem cxprec
StepHypRef Expression
1 rpreccl 11112 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  RR+ )
21rpcnd 11127 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  /  A )  e.  CC )
3 cxpcl 22232 . . . 4  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  A )  ^c  B )  e.  CC )
42, 3sylan 471 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  (
( 1  /  A
)  ^c  B )  e.  CC )
5 rpcn 11097 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
6 cxpcl 22232 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  ^c  B )  e.  CC )
75, 6sylan 471 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  ^c  B )  e.  CC )
85adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
9 rpne0 11104 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  =/=  0 )
109adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  A  =/=  0 )
11 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
12 cxpne0 22235 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  ^c  B )  =/=  0 )
138, 10, 11, 12syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  ^c  B )  =/=  0 )
144, 7, 13divcan3d 10210 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  (
( ( A  ^c  B )  x.  (
( 1  /  A
)  ^c  B ) )  /  ( A  ^c  B ) )  =  ( ( 1  /  A )  ^c  B ) )
158, 10recidd 10200 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( 1  /  A ) )  =  1 )
1615oveq1d 6202 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  x.  (
1  /  A ) )  ^c  B )  =  ( 1  ^c  B ) )
17 rprege0 11103 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
191rprege0d 11132 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( 1  /  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  A
) ) )
2019adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  (
( 1  /  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  A ) ) )
21 mulcxp 22243 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( ( 1  /  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  A ) )  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  A ) )  ^c  B )  =  ( ( A  ^c  B )  x.  (
( 1  /  A
)  ^c  B ) ) )
2218, 20, 11, 21syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  x.  (
1  /  A ) )  ^c  B )  =  ( ( A  ^c  B )  x.  ( ( 1  /  A )  ^c  B ) ) )
2316, 22eqtr3d 2493 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  (
1  ^c  B )  =  ( ( A  ^c  B )  x.  ( ( 1  /  A )  ^c  B ) ) )
24 1cxp 22230 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
1  ^c  B )  =  1 )
2511, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  (
1  ^c  B )  =  1 )
2623, 25eqtr3d 2493 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  ^c  B )  x.  (
( 1  /  A
)  ^c  B ) )  =  1 )
2726oveq1d 6202 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  (
( ( A  ^c  B )  x.  (
( 1  /  A
)  ^c  B ) )  /  ( A  ^c  B ) )  =  ( 1  /  ( A  ^c  B ) ) )
2814, 27eqtr3d 2493 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  (
( 1  /  A
)  ^c  B )  =  ( 1  /  ( A  ^c  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2642   class class class wbr 4387  (class class class)co 6187   CCcc 9378   RRcr 9379   0cc0 9380   1c1 9381    x. cmul 9385    <_ cle 9517    / cdiv 10091   RR+crp 11089    ^c ccxp 22120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458  ax-addf 9459  ax-mulf 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-iin 4269  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-of 6417  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-supp 6788  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-2o 7018  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-pm 7314  df-ixp 7361  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-fsupp 7719  df-fi 7759  df-sup 7789  df-oi 7822  df-card 8207  df-cda 8435  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-7 10483  df-8 10484  df-9 10485  df-10 10486  df-n0 10678  df-z 10745  df-dec 10854  df-uz 10960  df-q 11052  df-rp 11090  df-xneg 11187  df-xadd 11188  df-xmul 11189  df-ioo 11402  df-ioc 11403  df-ico 11404  df-icc 11405  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-fl 11740  df-mod 11807  df-seq 11905  df-exp 11964  df-fac 12150  df-bc 12177  df-hash 12202  df-shft 12655  df-cj 12687  df-re 12688  df-im 12689  df-sqr 12823  df-abs 12824  df-limsup 13048  df-clim 13065  df-rlim 13066  df-sum 13263  df-ef 13452  df-sin 13454  df-cos 13455  df-pi 13457  df-struct 14275  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-ress 14280  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-starv 14352  df-sca 14353  df-vsca 14354  df-ip 14355  df-tset 14356  df-ple 14357  df-ds 14359  df-unif 14360  df-hom 14361  df-cco 14362  df-rest 14460  df-topn 14461  df-0g 14479  df-gsum 14480  df-topgen 14481  df-pt 14482  df-prds 14485  df-xrs 14539  df-qtop 14544  df-imas 14545  df-xps 14547  df-mre 14623  df-mrc 14624  df-acs 14626  df-mnd 15514  df-submnd 15564  df-mulg 15647  df-cntz 15934  df-cmn 16380  df-psmet 17915  df-xmet 17916  df-met 17917  df-bl 17918  df-mopn 17919  df-fbas 17920  df-fg 17921  df-cnfld 17925  df-top 18616  df-bases 18618  df-topon 18619  df-topsp 18620  df-cld 18736  df-ntr 18737  df-cls 18738  df-nei 18815  df-lp 18853  df-perf 18854  df-cn 18944  df-cnp 18945  df-haus 19032  df-tx 19248  df-hmeo 19441  df-fil 19532  df-fm 19624  df-flim 19625  df-flf 19626  df-xms 20008  df-ms 20009  df-tms 20010  df-cncf 20567  df-limc 21454  df-dv 21455  df-log 22121  df-cxp 22122
This theorem is referenced by:  divcxp  22245  cxplt3  22258  cxprecd  22287
  Copyright terms: Public domain W3C validator