Theorem cxplt 22803

Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxplt	|- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B < C <-> ( A ^c B ) < ( A ^c C ) ) )

Proof of Theorem cxplt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 755	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> B e. RR )
2		rplogcl 22717	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> ( log ` A ) e. RR+ )
3	2	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( log ` A ) e. RR+ )
4	3	rpred 11252	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( log ` A ) e. RR )
5	1, 4	remulcld 9620	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B x. ( log ` A ) ) e. RR )
6		simprr 756	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> C e. RR )
7	6, 4	remulcld 9620	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( C x. ( log ` A ) ) e. RR )
8		eflt 13709	. . 3 |- ( ( ( B x. ( log ` A ) ) e. RR /\ ( C x. ( log ` A ) ) e. RR ) -> ( ( B x. ( log ` A ) ) < ( C x. ( log ` A ) ) <-> ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) < ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 661	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( ( B x. ( log ` A ) ) < ( C x. ( log ` A ) ) <-> ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) < ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) ) )
10	1, 6, 3	ltmul1d 11289	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B < C <-> ( B x. ( log ` A ) ) < ( C x. ( log ` A ) ) ) )
11		simpll 753	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> A e. RR )
12	11	recnd 9618	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> A e. CC )
13		0red 9593	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 0 e. RR )
14		1red 9607	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 1 e. RR )
15		0lt1 10071	. . . . . . 7 |- 0 < 1
16	15	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 0 < 1 )
17		simplr 754	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 1 < A )
18	13, 14, 11, 16, 17	lttrd 9738	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 0 < A )
19	18	gt0ne0d 10113	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> A =/= 0 )
20	1	recnd 9618	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> B e. CC )
21		cxpef 22774	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
22	12, 19, 20, 21	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
23	6	recnd 9618	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> C e. CC )
24		cxpef 22774	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ C e. CC ) -> ( A ^c C ) = ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) )
25	12, 19, 23, 24	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( A ^c C ) = ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) )
26	22, 25	breq12d 4460	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( ( A ^c B ) < ( A ^c C ) <-> ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) < ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) ) )
27	9, 10, 26	3bitr4d 285	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B < C <-> ( A ^c B ) < ( A ^c C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   x. cmul 9493   < clt 9624   RR+crp 11216   expce 13655   logclog 22670   ^c ccxp 22671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-cxp 22673

This theorem is referenced by:  cxple  22804  cxplt3  22809  cxpltd  22828  zetacvg  28197