Theorem cxplt 22257

Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxplt	|- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B < C <-> ( A ^c B ) < ( A ^c C ) ) )

Proof of Theorem cxplt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 755	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> B e. RR )
2		rplogcl 22171	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> ( log ` A ) e. RR+ )
3	2	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( log ` A ) e. RR+ )
4	3	rpred 11130	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( log ` A ) e. RR )
5	1, 4	remulcld 9517	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B x. ( log ` A ) ) e. RR )
6		simprr 756	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> C e. RR )
7	6, 4	remulcld 9517	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( C x. ( log ` A ) ) e. RR )
8		eflt 13505	. . 3 |- ( ( ( B x. ( log ` A ) ) e. RR /\ ( C x. ( log ` A ) ) e. RR ) -> ( ( B x. ( log ` A ) ) < ( C x. ( log ` A ) ) <-> ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) < ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 661	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( ( B x. ( log ` A ) ) < ( C x. ( log ` A ) ) <-> ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) < ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) ) )
10	1, 6, 3	ltmul1d 11167	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B < C <-> ( B x. ( log ` A ) ) < ( C x. ( log ` A ) ) ) )
11		simpll 753	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> A e. RR )
12	11	recnd 9515	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> A e. CC )
13		0red 9490	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 0 e. RR )
14		1red 9504	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 1 e. RR )
15		0lt1 9965	. . . . . . 7 |- 0 < 1
16	15	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 0 < 1 )
17		simplr 754	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 1 < A )
18	13, 14, 11, 16, 17	lttrd 9635	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 0 < A )
19	18	gt0ne0d 10007	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> A =/= 0 )
20	1	recnd 9515	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> B e. CC )
21		cxpef 22228	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
22	12, 19, 20, 21	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
23	6	recnd 9515	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> C e. CC )
24		cxpef 22228	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ C e. CC ) -> ( A ^c C ) = ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) )
25	12, 19, 23, 24	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( A ^c C ) = ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) )
26	22, 25	breq12d 4405	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( ( A ^c B ) < ( A ^c C ) <-> ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) < ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) ) )
27	9, 10, 26	3bitr4d 285	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B < C <-> ( A ^c B ) < ( A ^c C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   class class class wbr 4392   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   RRcr 9384   0cc0 9385   1c1 9386   x. cmul 9390   < clt 9521   RR+crp 11094   expce 13451   logclog 22124   ^c ccxp 22125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-ioc 11408  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-mod 11812  df-seq 11910  df-exp 11969  df-fac 12155  df-bc 12182  df-hash 12207  df-shft 12660  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-limsup 13053  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268  df-ef 13457  df-sin 13459  df-cos 13460  df-pi 13462  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-lp 18858  df-perf 18859  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-haus 19037  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-fil 19537  df-fm 19629  df-flim 19630  df-flf 19631  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-cncf 20572  df-limc 21459  df-dv 21460  df-log 22126  df-cxp 22127

This theorem is referenced by:  cxple  22258  cxplt3  22263  cxpltd  22282  zetacvg  27137