Theorem cxplt 23371

Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxplt	|- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B < C <-> ( A ^c B ) < ( A ^c C ) ) )

Proof of Theorem cxplt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 758	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> B e. RR )
2		rplogcl 23285	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> ( log ` A ) e. RR+ )
3	2	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( log ` A ) e. RR+ )
4	3	rpred 11306	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( log ` A ) e. RR )
5	1, 4	remulcld 9656	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B x. ( log ` A ) ) e. RR )
6		simprr 760	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> C e. RR )
7	6, 4	remulcld 9656	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( C x. ( log ` A ) ) e. RR )
8		eflt 14063	. . 3 |- ( ( ( B x. ( log ` A ) ) e. RR /\ ( C x. ( log ` A ) ) e. RR ) -> ( ( B x. ( log ` A ) ) < ( C x. ( log ` A ) ) <-> ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) < ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 661	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( ( B x. ( log ` A ) ) < ( C x. ( log ` A ) ) <-> ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) < ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) ) )
10	1, 6, 3	ltmul1d 11343	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B < C <-> ( B x. ( log ` A ) ) < ( C x. ( log ` A ) ) ) )
11		simpll 754	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> A e. RR )
12	11	recnd 9654	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> A e. CC )
13		0red 9629	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 0 e. RR )
14		1red 9643	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 1 e. RR )
15		0lt1 10117	. . . . . . 7 |- 0 < 1
16	15	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 0 < 1 )
17		simplr 756	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 1 < A )
18	13, 14, 11, 16, 17	lttrd 9779	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 0 < A )
19	18	gt0ne0d 10159	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> A =/= 0 )
20	1	recnd 9654	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> B e. CC )
21		cxpef 23342	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
22	12, 19, 20, 21	syl3anc 1232	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
23	6	recnd 9654	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> C e. CC )
24		cxpef 23342	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ C e. CC ) -> ( A ^c C ) = ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) )
25	12, 19, 23, 24	syl3anc 1232	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( A ^c C ) = ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) )
26	22, 25	breq12d 4410	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( ( A ^c B ) < ( A ^c C ) <-> ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) < ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) ) )
27	9, 10, 26	3bitr4d 287	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B < C <-> ( A ^c B ) < ( A ^c C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 186   /\ wa 369   = wceq 1407   e. wcel 1844   =/= wne 2600   class class class wbr 4397   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525   x. cmul 9529   < clt 9660   RR+crp 11267   expce 14008   logclog 23236   ^c ccxp 23237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ioc 11589  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-bc 12427  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-ef 14014  df-sin 14016  df-cos 14017  df-pi 14019  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-cncf 21676  df-limc 22564  df-dv 22565  df-log 23238  df-cxp 23239

This theorem is referenced by:  cxple  23372  cxplt3  23377  cxpltd  23396  zetacvg  23672  dignn0ldlem  38746