Theorem cxplt 22024

Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxplt	|- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B < C <-> ( A ^c B ) < ( A ^c C ) ) )

Proof of Theorem cxplt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 748	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> B e. RR )
2		rplogcl 21938	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> ( log ` A ) e. RR+ )
3	2	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( log ` A ) e. RR+ )
4	3	rpred 11015	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( log ` A ) e. RR )
5	1, 4	remulcld 9402	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B x. ( log ` A ) ) e. RR )
6		simprr 749	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> C e. RR )
7	6, 4	remulcld 9402	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( C x. ( log ` A ) ) e. RR )
8		eflt 13384	. . 3 |- ( ( ( B x. ( log ` A ) ) e. RR /\ ( C x. ( log ` A ) ) e. RR ) -> ( ( B x. ( log ` A ) ) < ( C x. ( log ` A ) ) <-> ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) < ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 654	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( ( B x. ( log ` A ) ) < ( C x. ( log ` A ) ) <-> ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) < ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) ) )
10	1, 6, 3	ltmul1d 11052	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B < C <-> ( B x. ( log ` A ) ) < ( C x. ( log ` A ) ) ) )
11		simpll 746	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> A e. RR )
12	11	recnd 9400	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> A e. CC )
13		0red 9375	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 0 e. RR )
14		1red 9389	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 1 e. RR )
15		0lt1 9850	. . . . . . 7 |- 0 < 1
16	15	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 0 < 1 )
17		simplr 747	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 1 < A )
18	13, 14, 11, 16, 17	lttrd 9520	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> 0 < A )
19	18	gt0ne0d 9892	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> A =/= 0 )
20	1	recnd 9400	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> B e. CC )
21		cxpef 21995	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
22	12, 19, 20, 21	syl3anc 1211	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
23	6	recnd 9400	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> C e. CC )
24		cxpef 21995	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ C e. CC ) -> ( A ^c C ) = ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) )
25	12, 19, 23, 24	syl3anc 1211	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( A ^c C ) = ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) )
26	22, 25	breq12d 4293	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( ( A ^c B ) < ( A ^c C ) <-> ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) < ( exp ` ( C x. ( log ` A ) ) ) ) )
27	9, 10, 26	3bitr4d 285	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 < A ) /\ ( B e. RR /\ C e. RR ) ) -> ( B < C <-> ( A ^c B ) < ( A ^c C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   =/= wne 2596   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271   x. cmul 9275   < clt 9406   RR+crp 10979   expce 13330   logclog 21891   ^c ccxp 21892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-ef 13336  df-sin 13338  df-cos 13339  df-pi 13341  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184  df-log 21893  df-cxp 21894

This theorem is referenced by:  cxple  22025  cxplt3  22030  cxpltd  22049  zetacvg  26849