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Theorem cxploglim2 23509
Description: Every power of the logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( n e. RR+ |-> ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) ~~> r 0 )
Distinct variable groups:   A, n   B, n
Proof of Theorem cxploglim2
StepHypRef Expression
1 3re 10605 . . 3 |- 3 e. RR
21a1i 11 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 3 e. RR )
3 0red 9586 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 0 e. RR )
43recnd 9611 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 0 e. CC )
5 ovex 6298 . . . 4 |- ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) e. _V
65a1i 11 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) e. _V )
7 simpr 459 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> B e. RR+ )
8 recl 13028 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
98adantr 463 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( Re ` A ) e. RR )
10 1re 9584 . . . . . . 7 |- 1 e. RR
11 ifcl 3971 . . . . . . 7 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR )
129, 10, 11sylancl 660 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR )
1310a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 1 e. RR )
14 0lt1 10071 . . . . . . . 8 |- 0 < 1
1514a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 0 < 1 )
16 max1 11389 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( Re ` A ) e. RR ) -> 1 <_ if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) )
1710, 9, 16sylancr 661 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 1 <_ if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) )
183, 13, 12, 15, 17ltletrd 9731 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 0 < if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) )
1912, 18elrpd 11256 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR+ )
207, 19rpdivcld 11276 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR+ )
21 cxploglim 23508 . . . 4 |- ( ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR+ -> ( n e. RR+ |-> ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ) ~~> r 0 )
2220, 21syl 16 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( n e. RR+ |-> ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ) ~~> r 0 )
236, 22, 19rlimcxp 23504 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( n e. RR+ |-> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ~~> r 0 )
246, 22rlimmptrcl 13515 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) e. CC )
2512adantr 463 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR )
2625recnd 9611 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. CC )
2724, 26cxpcld 23260 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. CC )
28 relogcl 23132 . . . . . 6 |- ( n e. RR+ -> ( log ` n ) e. RR )
2928adantl 464 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( log ` n ) e. RR )
3029recnd 9611 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( log ` n ) e. CC )
31 simpll 751 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> A e. CC )
3230, 31cxpcld 23260 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( log ` n ) ^c A ) e. CC )
33 simpr 459 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> n e. RR+ )
34 rpre 11227 . . . . . 6 |- ( B e. RR+ -> B e. RR )
3534ad2antlr 724 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> B e. RR )
3633, 35rpcxpcld 23282 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( n ^c B ) e. RR+ )
3736rpcnd 11261 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( n ^c B ) e. CC )
3836rpne0d 11264 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( n ^c B ) =/= 0 )
3932, 37, 38divcld 10316 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) e. CC )
4039adantrr 714 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) e. CC )
4140abscld 13352 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) e. RR )
42 rpre 11227 . . . . . . . . 9 |- ( n e. RR+ -> n e. RR )
4342ad2antrl 725 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> n e. RR )
4410a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> 1 e. RR )
451a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> 3 e. RR )
46 1lt3 10700 . . . . . . . . . 10 |- 1 < 3
4746a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> 1 < 3 )
48 simprr 755 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> 3 <_ n )
4944, 45, 43, 47, 48ltletrd 9731 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> 1 < n )
5043, 49rplogcld 23185 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( log ` n ) e. RR+ )
5133adantrr 714 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> n e. RR+ )
5234ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> B e. RR )
5319adantr 463 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR+ )
5452, 53rerpdivcld 11286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR )
5551, 54rpcxpcld 23282 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) e. RR+ )
5650, 55rpdivcld 11276 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) e. RR+ )
5712adantr 463 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR )
5856, 57rpcxpcld 23282 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR+ )
5958rpred 11259 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR )
6027adantrr 714 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. CC )
6160abscld 13352 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) e. RR )
6232adantrr 714 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( log ` n ) ^c A ) e. CC )
6362abscld 13352 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) e. RR )
6450, 57rpcxpcld 23282 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR+ )
6564rpred 11259 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR )
6636adantrr 714 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( n ^c B ) e. RR+ )
67 simpll 751 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> A e. CC )
68 abscxp 23244 . . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` n ) e. RR+ /\ A e. CC ) -> ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) = ( ( log ` n ) ^c ( Re ` A ) ) )
6950, 67, 68syl2anc 659 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) = ( ( log ` n ) ^c ( Re ` A ) ) )
7067recld 13112 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( Re ` A ) e. RR )
71 max2 11391 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. RR /\ ( Re ` A ) e. RR ) -> ( Re ` A ) <_ if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) )
7210, 70, 71sylancr 661 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( Re ` A ) <_ if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) )
7328ad2antrl 725 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
74 loge 23143 . . . . . . . . . 10 |- ( log ` _e ) = 1
75 ere 13909 . . . . . . . . . . . . 13 |- _e e. RR
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> _e e. RR )
77 egt2lt3 14024 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
7877simpri 460 . . . . . . . . . . . . 13 |- _e < 3
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> _e < 3 )
8076, 45, 43, 79, 48ltletrd 9731 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> _e < n )
81 epr 14026 . . . . . . . . . . . 12 |- _e e. RR+
82 logltb 23156 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _e e. RR+ /\ n e. RR+ ) -> ( _e < n <-> ( log ` _e ) < ( log ` n ) ) )
8381, 51, 82sylancr 661 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( _e < n <-> ( log ` _e ) < ( log ` n ) ) )
8480, 83mpbid 210 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( log ` _e ) < ( log ` n ) )
8574, 84syl5eqbrr 4473 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> 1 < ( log ` n ) )
8673, 85, 70, 57cxpled 23272 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( Re ` A ) <_ if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) <-> ( ( log ` n ) ^c ( Re ` A ) ) <_ ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) )
8772, 86mpbid 210 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( log ` n ) ^c ( Re ` A ) ) <_ ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) )
8869, 87eqbrtrd 4459 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) <_ ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) )
8963, 65, 66, 88lediv1dd 11313 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) / ( n ^c B ) ) <_ ( ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) / ( n ^c B ) ) )
9032, 37, 38absdivd 13371 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) = ( ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) / ( abs ` ( n ^c B ) ) ) )
9190adantrr 714 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) = ( ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) / ( abs ` ( n ^c B ) ) ) )
9266rprege0d 11266 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( n ^c B ) e. RR /\ 0 <_ ( n ^c B ) ) )
93 absid 13214 . . . . . . . 8 |- ( ( ( n ^c B ) e. RR /\ 0 <_ ( n ^c B ) ) -> ( abs ` ( n ^c B ) ) = ( n ^c B ) )
9492, 93syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( n ^c B ) ) = ( n ^c B ) )
9594oveq2d 6286 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) / ( abs ` ( n ^c B ) ) ) = ( ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) / ( n ^c B ) ) )
9691, 95eqtrd 2495 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) = ( ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) / ( n ^c B ) ) )
9750rprege0d 11266 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( log ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( log ` n ) ) )
9812recnd 9611 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. CC )
9998adantr 463 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. CC )
100 divcxp 23239 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( log ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( log ` n ) ) /\ ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) e. RR+ /\ if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. CC ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) = ( ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) / ( ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) )
10197, 55, 99, 100syl3anc 1226 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) = ( ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) / ( ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) )
10251, 54, 99cxpmuld 23286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( n ^c ( ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) x. if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) = ( ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) )
10352recnd 9611 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> B e. CC )
10453rpne0d 11264 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) =/= 0 )
105103, 99, 104divcan1d 10317 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) x. if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) = B )
106105oveq2d 6286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( n ^c ( ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) x. if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) = ( n ^c B ) )
107102, 106eqtr3d 2497 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) = ( n ^c B ) )
108107oveq2d 6286 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) / ( ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) = ( ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) / ( n ^c B ) ) )
109101, 108eqtrd 2495 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) = ( ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) / ( n ^c B ) ) )
11089, 96, 1093brtr4d 4469 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) <_ ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) )
11159leabsd 13331 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) <_ ( abs ` ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) )
11241, 59, 61, 110, 111letrd 9728 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) <_ ( abs ` ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) )
11340subid1d 9911 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) - 0 ) = ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) )
114113fveq2d 5852 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) - 0 ) ) = ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) )
11560subid1d 9911 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) - 0 ) = ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) )
116115fveq2d 5852 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) - 0 ) ) = ( abs ` ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) )
117112, 114, 1163brtr4d 4469 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) - 0 ) ) <_ ( abs ` ( ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) - 0 ) ) )
1182, 4, 23, 27, 39, 117rlimsqzlem 13556 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( n e. RR+ |-> ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) ~~> r 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   _Vcvv 3106   ifcif 3929   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   x. cmul 9486   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9796   / cdiv 10202   2c2 10581   3c3 10582   RR+crp 11221   Recre 13015   abscabs 13152   ~~> r crli 13393   _eceu 13883   logclog 23111   ^c ccxp 23112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339  df-bc 12366  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-ef 13888  df-e 13889  df-sin 13890  df-cos 13891  df-pi 13893  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440  df-log 23113  df-cxp 23114
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