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Theorem cxploglim2 20770
Description: Every power of the logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  (
n  ^ c  B
) ) )  ~~> r  0 )
Distinct variable groups:    A, n    B, n

Proof of Theorem cxploglim2
StepHypRef Expression
1 3re 10027 . . 3  |-  3  e.  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
3  e.  RR )
3 0re 9047 . . . 4  |-  0  e.  RR
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  e.  RR )
54recnd 9070 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  e.  CC )
6 ovex 6065 . . . 4  |-  ( ( log `  n )  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  _V
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  _V )
8 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
9 recl 11870 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
109adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
11 1re 9046 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
12 ifcl 3735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  RR )
1310, 11, 12sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR )
1411a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
1  e.  RR )
15 0lt1 9506 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
1615a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <  1 )
17 max1 10729 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
1  <_  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
1811, 10, 17sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
1  <_  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
194, 14, 13, 16, 18ltletrd 9186 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
2013, 19elrpd 10602 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR+ )
218, 20rpdivcld 10621 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR+ )
22 cxploglim 20769 . . . 4  |-  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR+  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n )  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
2321, 22syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
247, 23, 20rlimcxp 20765 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  n )  /  (
n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ~~> r  0 )
257, 23rlimmptrcl 12356 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  CC )
2613adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  RR )
2726recnd 9070 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  CC )
2825, 27cxpcld 20552 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  n )  /  (
n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  CC )
29 relogcl 20426 . . . . . 6  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( log `  n )  e.  RR )
3029adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
3130recnd 9070 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( log `  n
)  e.  CC )
32 simpll 731 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
3331, 32cxpcld 20552 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n
)  ^ c  A
)  e.  CC )
34 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR+ )
35 rpre 10574 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
3635ad2antlr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
3734, 36rpcxpcld 20574 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( n  ^ c  B )  e.  RR+ )
3837rpcnd 10606 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( n  ^ c  B )  e.  CC )
3937rpne0d 10609 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( n  ^ c  B )  =/=  0
)
4033, 38, 39divcld 9746 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  (
n  ^ c  B
) )  e.  CC )
4140adantrr 698 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  ^ c  A
)  /  ( n  ^ c  B ) )  e.  CC )
4241abscld 12193 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  (
n  ^ c  B
) ) )  e.  RR )
43 rpre 10574 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e.  RR )
4443ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  n  e.  RR )
4511a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  e.  RR )
461a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  3  e.  RR )
47 1lt3 10100 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  3
4847a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  <  3 )
49 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  3  <_  n )
5045, 46, 44, 48, 49ltletrd 9186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  <  n )
5144, 50rplogcld 20477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( log `  n )  e.  RR+ )
5234adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  n  e.  RR+ )
5335ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  B  e.  RR )
5420adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR+ )
5553, 54rerpdivcld 10631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( B  /  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) )  e.  RR )
5652, 55rpcxpcld 20574 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
5751, 56rpdivcld 10621 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  / 
( n  ^ c 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
5813adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR )
5957, 58rpcxpcld 20574 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR+ )
6059rpred 10604 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR )
6128adantrr 698 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  CC )
6261abscld 12193 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  /  (
n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  e.  RR )
6333adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^ c  A )  e.  CC )
6463abscld 12193 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( log `  n
)  ^ c  A
) )  e.  RR )
6551, 58rpcxpcld 20574 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^ c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) )  e.  RR+ )
6665rpred 10604 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^ c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) )  e.  RR )
6737adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^ c  B )  e.  RR+ )
68 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  A  e.  CC )
69 abscxp 20536 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  n
)  e.  RR+  /\  A  e.  CC )  ->  ( abs `  ( ( log `  n )  ^ c  A ) )  =  ( ( log `  n
)  ^ c  ( Re `  A ) ) )
7051, 68, 69syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( log `  n
)  ^ c  A
) )  =  ( ( log `  n
)  ^ c  ( Re `  A ) ) )
7168recld 11954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
72 max2 10731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( Re `  A
)  <_  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
7311, 71, 72sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( Re `  A )  <_  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
7429ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( log `  n )  e.  RR )
75 loge 20434 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  _e )  =  1
76 ere 12646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  _e  e.  RR )
78 egt2lt3 12760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
7978simpri 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  <  3
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  _e  <  3 )
8177, 46, 44, 80, 49ltletrd 9186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  _e  <  n )
82 epr 12762 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR+
83 logltb 20447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
_e  <  n  <->  ( log `  _e )  <  ( log `  n ) ) )
8482, 52, 83sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( _e  <  n  <->  ( log `  _e )  <  ( log `  n
) ) )
8581, 84mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( log `  _e )  <  ( log `  n ) )
8675, 85syl5eqbrr 4206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  <  ( log `  n ) )
8774, 86, 71, 58cxpled 20564 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
Re `  A )  <_  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  <->  ( ( log `  n )  ^ c  ( Re `  A ) )  <_ 
( ( log `  n
)  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
8873, 87mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^ c  ( Re `  A ) )  <_ 
( ( log `  n
)  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
8970, 88eqbrtrd 4192 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( log `  n
)  ^ c  A
) )  <_  (
( log `  n
)  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
9064, 66, 67, 89lediv1dd 10658 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( log `  n )  ^ c  A ) )  / 
( n  ^ c  B ) )  <_ 
( ( ( log `  n )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
n  ^ c  B
) ) )
9133, 38, 39absdivd 12212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( ( log `  n
)  ^ c  A
)  /  ( n  ^ c  B ) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^ c  A
) )  /  ( abs `  ( n  ^ c  B ) ) ) )
9291adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  (
n  ^ c  B
) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^ c  A
) )  /  ( abs `  ( n  ^ c  B ) ) ) )
9367rprege0d 10611 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
n  ^ c  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( n  ^ c  B ) ) )
94 absid 12056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  ^ c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  ^ c  B )
)  ->  ( abs `  ( n  ^ c  B ) )  =  ( n  ^ c  B ) )
9593, 94syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( n  ^ c  B ) )  =  ( n  ^ c  B ) )
9695oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( log `  n )  ^ c  A ) )  / 
( abs `  (
n  ^ c  B
) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^ c  A
) )  /  (
n  ^ c  B
) ) )
9792, 96eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  (
n  ^ c  B
) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^ c  A
) )  /  (
n  ^ c  B
) ) )
9851rprege0d 10611 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  e.  RR  /\  0  <_ 
( log `  n
) ) )
9913recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  CC )
10099adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  CC )
101 divcxp 20531 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( log `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( log `  n
) )  /\  (
n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  e.  RR+  /\  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  CC )  ->  ( ( ( log `  n )  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( ( ( log `  n )  ^ c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  ( ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
10298, 56, 100, 101syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( ( ( log `  n
)  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
( n  ^ c 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) ) ) )
10352, 55, 100cxpmuld 20578 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^ c  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  =  ( ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
10453recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  B  e.  CC )
10554rpne0d 10609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  =/=  0 )
106104, 100, 105divcan1d 9747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  B )
107106oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^ c  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  =  ( n  ^ c  B ) )
108103, 107eqtr3d 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( n  ^ c  B
) )
109108oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
( n  ^ c 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) ) )  =  ( ( ( log `  n )  ^ c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  ( n  ^ c  B ) ) )
110102, 109eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( ( ( log `  n
)  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
n  ^ c  B
) ) )
11190, 97, 1103brtr4d 4202 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  (
n  ^ c  B
) ) )  <_ 
( ( ( log `  n )  /  (
n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
11260leabsd 12172 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  <_  ( abs `  ( ( ( log `  n )  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
11342, 60, 62, 111, 112letrd 9183 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  (
n  ^ c  B
) ) )  <_ 
( abs `  (
( ( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
11441subid1d 9356 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( ( log `  n
)  ^ c  A
)  /  ( n  ^ c  B ) )  -  0 )  =  ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  ( n  ^ c  B ) ) )
115114fveq2d 5691 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  ( n  ^ c  B ) )  - 
0 ) )  =  ( abs `  (
( ( log `  n
)  ^ c  A
)  /  ( n  ^ c  B ) ) ) )
11661subid1d 9356 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( ( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  -  0 )  =  ( ( ( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
117116fveq2d 5691 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( log `  n )  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  -  0 ) )  =  ( abs `  (
( ( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
118113, 115, 1173brtr4d 4202 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  ( n  ^ c  B ) )  - 
0 ) )  <_ 
( abs `  (
( ( ( log `  n )  /  (
n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  -  0 ) ) )
1192, 5, 24, 28, 40, 118rlimsqzlem 12397 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  (
n  ^ c  B
) ) )  ~~> r  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   2c2 10005   3c3 10006   RR+crp 10568   Recre 11857   abscabs 11994    ~~> r crli 12234   _eceu 12620   logclog 20405    ^ c ccxp 20406
This theorem is referenced by:  logexprlim  20962
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408
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