MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxploglim2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cxploglim2 23952
Description: Every power of the logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  ~~> r  0 )
Distinct variable groups:    A, n    B, n

Proof of Theorem cxploglim2
StepHypRef Expression
1 3re 10710 . . 3  |-  3  e.  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
3  e.  RR )
3 0red 9669 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  e.  RR )
43recnd 9694 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  e.  CC )
5 ovex 6342 . . . 4  |-  ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  _V
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  _V )
7 simpr 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
8 recl 13221 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
98adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
10 1re 9667 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
11 ifcl 3934 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  RR )
129, 10, 11sylancl 673 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR )
1310a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
1  e.  RR )
14 0lt1 10163 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <  1 )
16 max1 11508 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
1  <_  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
1710, 9, 16sylancr 674 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
1  <_  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
183, 13, 12, 15, 17ltletrd 9820 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
1912, 18elrpd 11366 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR+ )
207, 19rpdivcld 11386 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR+ )
21 cxploglim 23951 . . . 4  |-  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR+  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
2220, 21syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
236, 22, 19rlimcxp 23947 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  n )  /  (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ~~> r  0 )
246, 22rlimmptrcl 13719 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  CC )
2512adantr 471 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  RR )
2625recnd 9694 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  CC )
2724, 26cxpcld 23701 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  n )  /  (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  CC )
28 relogcl 23573 . . . . . 6  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( log `  n )  e.  RR )
2928adantl 472 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
3029recnd 9694 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( log `  n
)  e.  CC )
31 simpll 765 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
3230, 31cxpcld 23701 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n
)  ^c  A )  e.  CC )
33 simpr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR+ )
34 rpre 11336 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
3534ad2antlr 738 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
3633, 35rpcxpcld 23723 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( n  ^c  B )  e.  RR+ )
3736rpcnd 11371 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( n  ^c  B )  e.  CC )
3836rpne0d 11374 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( n  ^c  B )  =/=  0
)
3932, 37, 38divcld 10410 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) )  e.  CC )
4039adantrr 728 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) )  e.  CC )
4140abscld 13546 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  e.  RR )
42 rpre 11336 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e.  RR )
4342ad2antrl 739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  n  e.  RR )
4410a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  e.  RR )
451a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  3  e.  RR )
46 1lt3 10806 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  3
4746a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  <  3 )
48 simprr 771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  3  <_  n )
4944, 45, 43, 47, 48ltletrd 9820 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  <  n )
5043, 49rplogcld 23626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( log `  n )  e.  RR+ )
5133adantrr 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  n  e.  RR+ )
5234ad2antlr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  B  e.  RR )
5319adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR+ )
5452, 53rerpdivcld 11397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( B  /  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) )  e.  RR )
5551, 54rpcxpcld 23723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
5650, 55rpdivcld 11386 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  / 
( n  ^c 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
5712adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR )
5856, 57rpcxpcld 23723 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR+ )
5958rpred 11369 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR )
6027adantrr 728 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  CC )
6160abscld 13546 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  /  (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  e.  RR )
6232adantrr 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^c  A )  e.  CC )
6362abscld 13546 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( log `  n
)  ^c  A ) )  e.  RR )
6450, 57rpcxpcld 23723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) )  e.  RR+ )
6564rpred 11369 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) )  e.  RR )
6636adantrr 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^c  B )  e.  RR+ )
67 simpll 765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  A  e.  CC )
68 abscxp 23685 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  n
)  e.  RR+  /\  A  e.  CC )  ->  ( abs `  ( ( log `  n )  ^c  A ) )  =  ( ( log `  n
)  ^c  ( Re `  A ) ) )
6950, 67, 68syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( log `  n
)  ^c  A ) )  =  ( ( log `  n
)  ^c  ( Re `  A ) ) )
7067recld 13305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
71 max2 11510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( Re `  A
)  <_  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
7210, 70, 71sylancr 674 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( Re `  A )  <_  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
7328ad2antrl 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( log `  n )  e.  RR )
74 loge 23584 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  _e )  =  1
75 ere 14191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  _e  e.  RR )
77 egt2lt3 14306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
7877simpri 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  <  3
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  _e  <  3 )
8076, 45, 43, 79, 48ltletrd 9820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  _e  <  n )
81 epr 14308 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR+
82 logltb 23597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
_e  <  n  <->  ( log `  _e )  <  ( log `  n ) ) )
8381, 51, 82sylancr 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( _e  <  n  <->  ( log `  _e )  <  ( log `  n
) ) )
8480, 83mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( log `  _e )  <  ( log `  n ) )
8574, 84syl5eqbrr 4450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  <  ( log `  n ) )
8673, 85, 70, 57cxpled 23713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
Re `  A )  <_  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  <->  ( ( log `  n )  ^c  ( Re `  A ) )  <_ 
( ( log `  n
)  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
8772, 86mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^c  ( Re `  A ) )  <_ 
( ( log `  n
)  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
8869, 87eqbrtrd 4436 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( log `  n
)  ^c  A ) )  <_  (
( log `  n
)  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
8963, 65, 66, 88lediv1dd 11424 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( log `  n )  ^c  A ) )  / 
( n  ^c  B ) )  <_ 
( ( ( log `  n )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
n  ^c  B ) ) )
9032, 37, 38absdivd 13565 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( ( log `  n
)  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^c  A ) )  /  ( abs `  ( n  ^c  B ) ) ) )
9190adantrr 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^c  A ) )  /  ( abs `  ( n  ^c  B ) ) ) )
9266rprege0d 11376 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
n  ^c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  ^c  B ) ) )
93 absid 13407 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  ^c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  ^c  B )
)  ->  ( abs `  ( n  ^c  B ) )  =  ( n  ^c  B ) )
9492, 93syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( n  ^c  B ) )  =  ( n  ^c  B ) )
9594oveq2d 6330 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( log `  n )  ^c  A ) )  / 
( abs `  (
n  ^c  B ) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^c  A ) )  /  (
n  ^c  B ) ) )
9691, 95eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^c  A ) )  /  (
n  ^c  B ) ) )
9750rprege0d 11376 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  e.  RR  /\  0  <_ 
( log `  n
) ) )
9812recnd 9694 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  CC )
9998adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  CC )
100 divcxp 23680 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( log `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( log `  n
) )  /\  (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  e.  RR+  /\  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  CC )  ->  ( ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( ( ( log `  n )  ^c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  ( ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
10197, 55, 99, 100syl3anc 1276 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( ( ( log `  n
)  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
( n  ^c 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) ) ) )
10251, 54, 99cxpmuld 23727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^c  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  =  ( ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
10352recnd 9694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  B  e.  CC )
10453rpne0d 11374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  =/=  0 )
105103, 99, 104divcan1d 10411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  B )
106105oveq2d 6330 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^c  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  =  ( n  ^c  B ) )
107102, 106eqtr3d 2497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( n  ^c  B ) )
108107oveq2d 6330 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
( n  ^c 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) ) )  =  ( ( ( log `  n )  ^c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  ( n  ^c  B ) ) )
109101, 108eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( ( ( log `  n
)  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
n  ^c  B ) ) )
11089, 96, 1093brtr4d 4446 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  <_ 
( ( ( log `  n )  /  (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
11159leabsd 13524 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  <_  ( abs `  ( ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
11241, 59, 61, 110, 111letrd 9817 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  <_ 
( abs `  (
( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
11340subid1d 10000 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( ( log `  n
)  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) )  -  0 )  =  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) ) )
114113fveq2d 5891 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) )  - 
0 ) )  =  ( abs `  (
( ( log `  n
)  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) ) ) )
11560subid1d 10000 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  -  0 )  =  ( ( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
116115fveq2d 5891 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  -  0 ) )  =  ( abs `  (
( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
117112, 114, 1163brtr4d 4446 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) )  - 
0 ) )  <_ 
( abs `  (
( ( ( log `  n )  /  (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  -  0 ) ) )
1182, 4, 23, 27, 39, 117rlimsqzlem 13760 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  ~~> r  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   _Vcvv 3056   ifcif 3892   class class class wbr 4415    |-> cmpt 4474   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   CCcc 9562   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565    x. cmul 9569    < clt 9700    <_ cle 9701    - cmin 9885    / cdiv 10296   2c2 10686   3c3 10687   RR+crp 11330   Recre 13208   abscabs 13345    ~~> r crli 13597   _eceu 14163   logclog 23552    ^c ccxp 23553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ioc 11668  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-mod 12128  df-seq 12245  df-exp 12304  df-fac 12491  df-bc 12519  df-hash 12547  df-shft 13178  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-limsup 13574  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801  df-ef 14169  df-e 14170  df-sin 14171  df-cos 14172  df-pi 14174  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-hom 15262  df-cco 15263  df-rest 15369  df-topn 15370  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-topgen 15390  df-pt 15391  df-prds 15394  df-xrs 15448  df-qtop 15454  df-imas 15455  df-xps 15458  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-submnd 16631  df-mulg 16724  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-fbas 19015  df-fg 19016  df-cnfld 19019  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-topsp 19972  df-cld 20082  df-ntr 20083  df-cls 20084  df-nei 20162  df-lp 20200  df-perf 20201  df-cn 20291  df-cnp 20292  df-haus 20379  df-tx 20625  df-hmeo 20818  df-fil 20909  df-fm 21001  df-flim 21002  df-flf 21003  df-xms 21383  df-ms 21384  df-tms 21385  df-cncf 21958  df-limc 22869  df-dv 22870  df-log 23554  df-cxp 23555
This theorem is referenced by:  logexprlim  24201
  Copyright terms: Public domain W3C validator