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Theorem cxploglim2 22500
Description: Every power of the logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  ~~> r  0 )
Distinct variable groups:    A, n    B, n

Proof of Theorem cxploglim2
StepHypRef Expression
1 3re 10501 . . 3  |-  3  e.  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
3  e.  RR )
3 0red 9493 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  e.  RR )
43recnd 9518 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  e.  CC )
5 ovex 6220 . . . 4  |-  ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  _V
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  _V )
7 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
8 recl 12712 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
10 1re 9491 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
11 ifcl 3934 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  RR )
129, 10, 11sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR )
1310a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
1  e.  RR )
14 0lt1 9968 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <  1 )
16 max1 11263 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
1  <_  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
1710, 9, 16sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
1  <_  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
183, 13, 12, 15, 17ltletrd 9637 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
1912, 18elrpd 11131 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR+ )
207, 19rpdivcld 11150 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR+ )
21 cxploglim 22499 . . . 4  |-  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR+  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
236, 22, 19rlimcxp 22495 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  n )  /  (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ~~> r  0 )
246, 22rlimmptrcl 13198 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  CC )
2512adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  RR )
2625recnd 9518 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  CC )
2724, 26cxpcld 22281 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  n )  /  (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  CC )
28 relogcl 22155 . . . . . 6  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( log `  n )  e.  RR )
2928adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
3029recnd 9518 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( log `  n
)  e.  CC )
31 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
3230, 31cxpcld 22281 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n
)  ^c  A )  e.  CC )
33 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR+ )
34 rpre 11103 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
3534ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
3633, 35rpcxpcld 22303 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( n  ^c  B )  e.  RR+ )
3736rpcnd 11135 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( n  ^c  B )  e.  CC )
3836rpne0d 11138 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( n  ^c  B )  =/=  0
)
3932, 37, 38divcld 10213 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) )  e.  CC )
4039adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) )  e.  CC )
4140abscld 13035 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  e.  RR )
42 rpre 11103 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e.  RR )
4342ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  n  e.  RR )
4410a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  e.  RR )
451a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  3  e.  RR )
46 1lt3 10596 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  3
4746a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  <  3 )
48 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  3  <_  n )
4944, 45, 43, 47, 48ltletrd 9637 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  <  n )
5043, 49rplogcld 22206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( log `  n )  e.  RR+ )
5133adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  n  e.  RR+ )
5234ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  B  e.  RR )
5319adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR+ )
5452, 53rerpdivcld 11160 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( B  /  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) )  e.  RR )
5551, 54rpcxpcld 22303 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
5650, 55rpdivcld 11150 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  / 
( n  ^c 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
5712adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR )
5856, 57rpcxpcld 22303 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR+ )
5958rpred 11133 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR )
6027adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  CC )
6160abscld 13035 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  /  (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  e.  RR )
6232adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^c  A )  e.  CC )
6362abscld 13035 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( log `  n
)  ^c  A ) )  e.  RR )
6450, 57rpcxpcld 22303 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) )  e.  RR+ )
6564rpred 11133 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) )  e.  RR )
6636adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^c  B )  e.  RR+ )
67 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  A  e.  CC )
68 abscxp 22265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  n
)  e.  RR+  /\  A  e.  CC )  ->  ( abs `  ( ( log `  n )  ^c  A ) )  =  ( ( log `  n
)  ^c  ( Re `  A ) ) )
6950, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( log `  n
)  ^c  A ) )  =  ( ( log `  n
)  ^c  ( Re `  A ) ) )
7067recld 12796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
71 max2 11265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( Re `  A
)  <_  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
7210, 70, 71sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( Re `  A )  <_  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
7328ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( log `  n )  e.  RR )
74 loge 22163 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  _e )  =  1
75 ere 13487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  _e  e.  RR )
77 egt2lt3 13601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
7877simpri 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  <  3
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  _e  <  3 )
8076, 45, 43, 79, 48ltletrd 9637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  _e  <  n )
81 epr 13603 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR+
82 logltb 22176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
_e  <  n  <->  ( log `  _e )  <  ( log `  n ) ) )
8381, 51, 82sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( _e  <  n  <->  ( log `  _e )  <  ( log `  n
) ) )
8480, 83mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( log `  _e )  <  ( log `  n ) )
8574, 84syl5eqbrr 4429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  <  ( log `  n ) )
8673, 85, 70, 57cxpled 22293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
Re `  A )  <_  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  <->  ( ( log `  n )  ^c  ( Re `  A ) )  <_ 
( ( log `  n
)  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
8772, 86mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^c  ( Re `  A ) )  <_ 
( ( log `  n
)  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
8869, 87eqbrtrd 4415 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( log `  n
)  ^c  A ) )  <_  (
( log `  n
)  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
8963, 65, 66, 88lediv1dd 11187 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( log `  n )  ^c  A ) )  / 
( n  ^c  B ) )  <_ 
( ( ( log `  n )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
n  ^c  B ) ) )
9032, 37, 38absdivd 13054 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( ( log `  n
)  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^c  A ) )  /  ( abs `  ( n  ^c  B ) ) ) )
9190adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^c  A ) )  /  ( abs `  ( n  ^c  B ) ) ) )
9266rprege0d 11140 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
n  ^c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  ^c  B ) ) )
93 absid 12898 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  ^c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  ^c  B )
)  ->  ( abs `  ( n  ^c  B ) )  =  ( n  ^c  B ) )
9492, 93syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( n  ^c  B ) )  =  ( n  ^c  B ) )
9594oveq2d 6211 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( log `  n )  ^c  A ) )  / 
( abs `  (
n  ^c  B ) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^c  A ) )  /  (
n  ^c  B ) ) )
9691, 95eqtrd 2493 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^c  A ) )  /  (
n  ^c  B ) ) )
9750rprege0d 11140 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  e.  RR  /\  0  <_ 
( log `  n
) ) )
9812recnd 9518 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  CC )
9998adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  CC )
100 divcxp 22260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( log `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( log `  n
) )  /\  (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  e.  RR+  /\  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  CC )  ->  ( ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( ( ( log `  n )  ^c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  ( ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
10197, 55, 99, 100syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( ( ( log `  n
)  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
( n  ^c 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) ) ) )
10251, 54, 99cxpmuld 22307 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^c  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  =  ( ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
10352recnd 9518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  B  e.  CC )
10453rpne0d 11138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  =/=  0 )
105103, 99, 104divcan1d 10214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  B )
106105oveq2d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^c  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  =  ( n  ^c  B ) )
107102, 106eqtr3d 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( n  ^c  B ) )
108107oveq2d 6211 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
( n  ^c 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) ) )  =  ( ( ( log `  n )  ^c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  ( n  ^c  B ) ) )
109101, 108eqtrd 2493 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( ( ( log `  n
)  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
n  ^c  B ) ) )
11089, 96, 1093brtr4d 4425 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  <_ 
( ( ( log `  n )  /  (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
11159leabsd 13014 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  <_  ( abs `  ( ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
11241, 59, 61, 110, 111letrd 9634 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  <_ 
( abs `  (
( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
11340subid1d 9814 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( ( log `  n
)  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) )  -  0 )  =  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) ) )
114113fveq2d 5798 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) )  - 
0 ) )  =  ( abs `  (
( ( log `  n
)  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) ) ) )
11560subid1d 9814 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  -  0 )  =  ( ( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
116115fveq2d 5798 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  -  0 ) )  =  ( abs `  (
( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
117112, 114, 1163brtr4d 4425 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) )  - 
0 ) )  <_ 
( abs `  (
( ( ( log `  n )  /  (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  -  0 ) ) )
1182, 4, 23, 27, 39, 117rlimsqzlem 13239 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  ~~> r  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3072   ifcif 3894   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389    x. cmul 9393    < clt 9524    <_ cle 9525    - cmin 9701    / cdiv 10099   2c2 10477   3c3 10478   RR+crp 11097   Recre 12699   abscabs 12836    ~~> r crli 13076   _eceu 13461   logclog 22134    ^c ccxp 22135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-fi 7767  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-ioo 11410  df-ioc 11411  df-ico 11412  df-icc 11413  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-fac 12164  df-bc 12191  df-hash 12216  df-shft 12669  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-limsup 13062  df-clim 13079  df-rlim 13080  df-sum 13277  df-ef 13466  df-e 13467  df-sin 13468  df-cos 13469  df-pi 13471  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-hom 14376  df-cco 14377  df-rest 14475  df-topn 14476  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-topgen 14496  df-pt 14497  df-prds 14500  df-xrs 14554  df-qtop 14559  df-imas 14560  df-xps 14562  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-mulg 15662  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-fbas 17934  df-fg 17935  df-cnfld 17939  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-cld 18750  df-ntr 18751  df-cls 18752  df-nei 18829  df-lp 18867  df-perf 18868  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-haus 19046  df-tx 19262  df-hmeo 19455  df-fil 19546  df-fm 19638  df-flim 19639  df-flf 19640  df-xms 20022  df-ms 20023  df-tms 20024  df-cncf 20581  df-limc 21469  df-dv 21470  df-log 22136  df-cxp 22137
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