MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxploglim2 Structured version   Unicode version

Theorem cxploglim2 23509
Description: Every power of the logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  ~~> r  0 )
Distinct variable groups:    A, n    B, n

Proof of Theorem cxploglim2
StepHypRef Expression
1 3re 10605 . . 3  |-  3  e.  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
3  e.  RR )
3 0red 9586 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  e.  RR )
43recnd 9611 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  e.  CC )
5 ovex 6298 . . . 4  |-  ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  _V
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  _V )
7 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
8 recl 13028 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
98adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
10 1re 9584 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
11 ifcl 3971 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  RR )
129, 10, 11sylancl 660 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR )
1310a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
1  e.  RR )
14 0lt1 10071 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <  1 )
16 max1 11389 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
1  <_  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
1710, 9, 16sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
1  <_  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
183, 13, 12, 15, 17ltletrd 9731 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
1912, 18elrpd 11256 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR+ )
207, 19rpdivcld 11276 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR+ )
21 cxploglim 23508 . . . 4  |-  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR+  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
236, 22, 19rlimcxp 23504 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  n )  /  (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ~~> r  0 )
246, 22rlimmptrcl 13515 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  CC )
2512adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  RR )
2625recnd 9611 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  CC )
2724, 26cxpcld 23260 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  n )  /  (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  CC )
28 relogcl 23132 . . . . . 6  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( log `  n )  e.  RR )
2928adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
3029recnd 9611 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( log `  n
)  e.  CC )
31 simpll 751 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
3230, 31cxpcld 23260 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n
)  ^c  A )  e.  CC )
33 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR+ )
34 rpre 11227 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
3534ad2antlr 724 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
3633, 35rpcxpcld 23282 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( n  ^c  B )  e.  RR+ )
3736rpcnd 11261 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( n  ^c  B )  e.  CC )
3836rpne0d 11264 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( n  ^c  B )  =/=  0
)
3932, 37, 38divcld 10316 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) )  e.  CC )
4039adantrr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) )  e.  CC )
4140abscld 13352 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  e.  RR )
42 rpre 11227 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e.  RR )
4342ad2antrl 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  n  e.  RR )
4410a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  e.  RR )
451a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  3  e.  RR )
46 1lt3 10700 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  3
4746a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  <  3 )
48 simprr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  3  <_  n )
4944, 45, 43, 47, 48ltletrd 9731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  <  n )
5043, 49rplogcld 23185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( log `  n )  e.  RR+ )
5133adantrr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  n  e.  RR+ )
5234ad2antlr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  B  e.  RR )
5319adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR+ )
5452, 53rerpdivcld 11286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( B  /  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) )  e.  RR )
5551, 54rpcxpcld 23282 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
5650, 55rpdivcld 11276 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  / 
( n  ^c 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
5712adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR )
5856, 57rpcxpcld 23282 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR+ )
5958rpred 11259 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR )
6027adantrr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  CC )
6160abscld 13352 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  /  (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  e.  RR )
6232adantrr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^c  A )  e.  CC )
6362abscld 13352 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( log `  n
)  ^c  A ) )  e.  RR )
6450, 57rpcxpcld 23282 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) )  e.  RR+ )
6564rpred 11259 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) )  e.  RR )
6636adantrr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^c  B )  e.  RR+ )
67 simpll 751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  A  e.  CC )
68 abscxp 23244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  n
)  e.  RR+  /\  A  e.  CC )  ->  ( abs `  ( ( log `  n )  ^c  A ) )  =  ( ( log `  n
)  ^c  ( Re `  A ) ) )
6950, 67, 68syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( log `  n
)  ^c  A ) )  =  ( ( log `  n
)  ^c  ( Re `  A ) ) )
7067recld 13112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
71 max2 11391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( Re `  A
)  <_  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
7210, 70, 71sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( Re `  A )  <_  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
7328ad2antrl 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( log `  n )  e.  RR )
74 loge 23143 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  _e )  =  1
75 ere 13909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  _e  e.  RR )
77 egt2lt3 14024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
7877simpri 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  <  3
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  _e  <  3 )
8076, 45, 43, 79, 48ltletrd 9731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  _e  <  n )
81 epr 14026 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR+
82 logltb 23156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
_e  <  n  <->  ( log `  _e )  <  ( log `  n ) ) )
8381, 51, 82sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( _e  <  n  <->  ( log `  _e )  <  ( log `  n
) ) )
8480, 83mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( log `  _e )  <  ( log `  n ) )
8574, 84syl5eqbrr 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  <  ( log `  n ) )
8673, 85, 70, 57cxpled 23272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
Re `  A )  <_  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  <->  ( ( log `  n )  ^c  ( Re `  A ) )  <_ 
( ( log `  n
)  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
8772, 86mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^c  ( Re `  A ) )  <_ 
( ( log `  n
)  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
8869, 87eqbrtrd 4459 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( log `  n
)  ^c  A ) )  <_  (
( log `  n
)  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
8963, 65, 66, 88lediv1dd 11313 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( log `  n )  ^c  A ) )  / 
( n  ^c  B ) )  <_ 
( ( ( log `  n )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
n  ^c  B ) ) )
9032, 37, 38absdivd 13371 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( ( log `  n
)  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^c  A ) )  /  ( abs `  ( n  ^c  B ) ) ) )
9190adantrr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^c  A ) )  /  ( abs `  ( n  ^c  B ) ) ) )
9266rprege0d 11266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
n  ^c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  ^c  B ) ) )
93 absid 13214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  ^c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  ^c  B )
)  ->  ( abs `  ( n  ^c  B ) )  =  ( n  ^c  B ) )
9492, 93syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( n  ^c  B ) )  =  ( n  ^c  B ) )
9594oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( log `  n )  ^c  A ) )  / 
( abs `  (
n  ^c  B ) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^c  A ) )  /  (
n  ^c  B ) ) )
9691, 95eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^c  A ) )  /  (
n  ^c  B ) ) )
9750rprege0d 11266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  e.  RR  /\  0  <_ 
( log `  n
) ) )
9812recnd 9611 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  CC )
9998adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  CC )
100 divcxp 23239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( log `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( log `  n
) )  /\  (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  e.  RR+  /\  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  CC )  ->  ( ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( ( ( log `  n )  ^c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  ( ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
10197, 55, 99, 100syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( ( ( log `  n
)  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
( n  ^c 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) ) ) )
10251, 54, 99cxpmuld 23286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^c  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  =  ( ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
10352recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  B  e.  CC )
10453rpne0d 11264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  =/=  0 )
105103, 99, 104divcan1d 10317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  B )
106105oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^c  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  =  ( n  ^c  B ) )
107102, 106eqtr3d 2497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( n  ^c  B ) )
108107oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
( n  ^c 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) ) )  =  ( ( ( log `  n )  ^c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  ( n  ^c  B ) ) )
109101, 108eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( ( ( log `  n
)  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
n  ^c  B ) ) )
11089, 96, 1093brtr4d 4469 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  <_ 
( ( ( log `  n )  /  (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
11159leabsd 13331 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  <_  ( abs `  ( ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
11241, 59, 61, 110, 111letrd 9728 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  <_ 
( abs `  (
( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
11340subid1d 9911 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( ( log `  n
)  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) )  -  0 )  =  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) ) )
114113fveq2d 5852 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) )  - 
0 ) )  =  ( abs `  (
( ( log `  n
)  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) ) ) )
11560subid1d 9911 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  -  0 )  =  ( ( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
116115fveq2d 5852 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  -  0 ) )  =  ( abs `  (
( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
117112, 114, 1163brtr4d 4469 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  ( n  ^c  B ) )  - 
0 ) )  <_ 
( abs `  (
( ( ( log `  n )  /  (
n  ^c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  -  0 ) ) )
1182, 4, 23, 27, 39, 117rlimsqzlem 13556 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  n )  ^c  A )  /  (
n  ^c  B ) ) )  ~~> r  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   ifcif 3929   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   2c2 10581   3c3 10582   RR+crp 11221   Recre 13015   abscabs 13152    ~~> r crli 13393   _eceu 13883   logclog 23111    ^c ccxp 23112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339  df-bc 12366  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-ef 13888  df-e 13889  df-sin 13890  df-cos 13891  df-pi 13893  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440  df-log 23113  df-cxp 23114
This theorem is referenced by:  logexprlim  23701
  Copyright terms: Public domain W3C validator