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Theorem cxploglim2 23036
Description: Every power of the logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( n e. RR+ |-> ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) ~~> r 0 )
Distinct variable groups:   A, n   B, n
Proof of Theorem cxploglim2
StepHypRef Expression
1 3re 10605 . . 3 |- 3 e. RR
21a1i 11 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 3 e. RR )
3 0red 9593 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 0 e. RR )
43recnd 9618 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 0 e. CC )
5 ovex 6307 . . . 4 |- ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) e. _V
65a1i 11 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) e. _V )
7 simpr 461 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> B e. RR+ )
8 recl 12902 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
98adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( Re ` A ) e. RR )
10 1re 9591 . . . . . . 7 |- 1 e. RR
11 ifcl 3981 . . . . . . 7 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR )
129, 10, 11sylancl 662 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR )
1310a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 1 e. RR )
14 0lt1 10071 . . . . . . . 8 |- 0 < 1
1514a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 0 < 1 )
16 max1 11382 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( Re ` A ) e. RR ) -> 1 <_ if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) )
1710, 9, 16sylancr 663 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 1 <_ if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) )
183, 13, 12, 15, 17ltletrd 9737 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> 0 < if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) )
1912, 18elrpd 11250 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR+ )
207, 19rpdivcld 11269 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR+ )
21 cxploglim 23035 . . . 4 |- ( ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR+ -> ( n e. RR+ |-> ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ) ~~> r 0 )
2220, 21syl 16 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( n e. RR+ |-> ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ) ~~> r 0 )
236, 22, 19rlimcxp 23031 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( n e. RR+ |-> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ~~> r 0 )
246, 22rlimmptrcl 13389 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) e. CC )
2512adantr 465 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR )
2625recnd 9618 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. CC )
2724, 26cxpcld 22817 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. CC )
28 relogcl 22691 . . . . . 6 |- ( n e. RR+ -> ( log ` n ) e. RR )
2928adantl 466 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( log ` n ) e. RR )
3029recnd 9618 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( log ` n ) e. CC )
31 simpll 753 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> A e. CC )
3230, 31cxpcld 22817 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( log ` n ) ^c A ) e. CC )
33 simpr 461 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> n e. RR+ )
34 rpre 11222 . . . . . 6 |- ( B e. RR+ -> B e. RR )
3534ad2antlr 726 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> B e. RR )
3633, 35rpcxpcld 22839 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( n ^c B ) e. RR+ )
3736rpcnd 11254 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( n ^c B ) e. CC )
3836rpne0d 11257 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( n ^c B ) =/= 0 )
3932, 37, 38divcld 10316 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) e. CC )
4039adantrr 716 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) e. CC )
4140abscld 13226 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) e. RR )
42 rpre 11222 . . . . . . . . 9 |- ( n e. RR+ -> n e. RR )
4342ad2antrl 727 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> n e. RR )
4410a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> 1 e. RR )
451a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> 3 e. RR )
46 1lt3 10700 . . . . . . . . . 10 |- 1 < 3
4746a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> 1 < 3 )
48 simprr 756 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> 3 <_ n )
4944, 45, 43, 47, 48ltletrd 9737 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> 1 < n )
5043, 49rplogcld 22742 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( log ` n ) e. RR+ )
5133adantrr 716 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> n e. RR+ )
5234ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> B e. RR )
5319adantr 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR+ )
5452, 53rerpdivcld 11279 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR )
5551, 54rpcxpcld 22839 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) e. RR+ )
5650, 55rpdivcld 11269 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) e. RR+ )
5712adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR )
5856, 57rpcxpcld 22839 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR+ )
5958rpred 11252 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR )
6027adantrr 716 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. CC )
6160abscld 13226 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) e. RR )
6232adantrr 716 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( log ` n ) ^c A ) e. CC )
6362abscld 13226 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) e. RR )
6450, 57rpcxpcld 22839 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR+ )
6564rpred 11252 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) e. RR )
6636adantrr 716 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( n ^c B ) e. RR+ )
67 simpll 753 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> A e. CC )
68 abscxp 22801 . . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` n ) e. RR+ /\ A e. CC ) -> ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) = ( ( log ` n ) ^c ( Re ` A ) ) )
6950, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) = ( ( log ` n ) ^c ( Re ` A ) ) )
7067recld 12986 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( Re ` A ) e. RR )
71 max2 11384 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. RR /\ ( Re ` A ) e. RR ) -> ( Re ` A ) <_ if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) )
7210, 70, 71sylancr 663 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( Re ` A ) <_ if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) )
7328ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
74 loge 22699 . . . . . . . . . 10 |- ( log ` _e ) = 1
75 ere 13682 . . . . . . . . . . . . 13 |- _e e. RR
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> _e e. RR )
77 egt2lt3 13796 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
7877simpri 462 . . . . . . . . . . . . 13 |- _e < 3
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> _e < 3 )
8076, 45, 43, 79, 48ltletrd 9737 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> _e < n )
81 epr 13798 . . . . . . . . . . . 12 |- _e e. RR+
82 logltb 22712 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _e e. RR+ /\ n e. RR+ ) -> ( _e < n <-> ( log ` _e ) < ( log ` n ) ) )
8381, 51, 82sylancr 663 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( _e < n <-> ( log ` _e ) < ( log ` n ) ) )
8480, 83mpbid 210 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( log ` _e ) < ( log ` n ) )
8574, 84syl5eqbrr 4481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> 1 < ( log ` n ) )
8673, 85, 70, 57cxpled 22829 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( Re ` A ) <_ if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) <-> ( ( log ` n ) ^c ( Re ` A ) ) <_ ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) )
8772, 86mpbid 210 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( log ` n ) ^c ( Re ` A ) ) <_ ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) )
8869, 87eqbrtrd 4467 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) <_ ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) )
8963, 65, 66, 88lediv1dd 11306 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) / ( n ^c B ) ) <_ ( ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) / ( n ^c B ) ) )
9032, 37, 38absdivd 13245 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ n e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) = ( ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) / ( abs ` ( n ^c B ) ) ) )
9190adantrr 716 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) = ( ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) / ( abs ` ( n ^c B ) ) ) )
9266rprege0d 11259 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( n ^c B ) e. RR /\ 0 <_ ( n ^c B ) ) )
93 absid 13088 . . . . . . . 8 |- ( ( ( n ^c B ) e. RR /\ 0 <_ ( n ^c B ) ) -> ( abs ` ( n ^c B ) ) = ( n ^c B ) )
9492, 93syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( n ^c B ) ) = ( n ^c B ) )
9594oveq2d 6298 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) / ( abs ` ( n ^c B ) ) ) = ( ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) / ( n ^c B ) ) )
9691, 95eqtrd 2508 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) = ( ( abs ` ( ( log ` n ) ^c A ) ) / ( n ^c B ) ) )
9750rprege0d 11259 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( log ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( log ` n ) ) )
9812recnd 9618 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. CC )
9998adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. CC )
100 divcxp 22796 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( log ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( log ` n ) ) /\ ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) e. RR+ /\ if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) e. CC ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) = ( ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) / ( ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) )
10197, 55, 99, 100syl3anc 1228 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) = ( ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) / ( ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) )
10251, 54, 99cxpmuld 22843 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( n ^c ( ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) x. if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) = ( ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) )
10352recnd 9618 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> B e. CC )
10453rpne0d 11257 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) =/= 0 )
105103, 99, 104divcan1d 10317 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) x. if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) = B )
106105oveq2d 6298 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( n ^c ( ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) x. if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) = ( n ^c B ) )
107102, 106eqtr3d 2510 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) = ( n ^c B ) )
108107oveq2d 6298 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) / ( ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) = ( ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) / ( n ^c B ) ) )
109101, 108eqtrd 2508 . . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) = ( ( ( log ` n ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) / ( n ^c B ) ) )
11089, 96, 1093brtr4d 4477 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) <_ ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) )
11159leabsd 13205 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) <_ ( abs ` ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) )
11241, 59, 61, 110, 111letrd 9734 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) <_ ( abs ` ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) )
11340subid1d 9915 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) - 0 ) = ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) )
114113fveq2d 5868 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) - 0 ) ) = ( abs ` ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) )
11560subid1d 9915 . . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) - 0 ) = ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) )
116115fveq2d 5868 . . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) - 0 ) ) = ( abs ` ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) )
117112, 114, 1163brtr4d 4477 . 2 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) /\ ( n e. RR+ /\ 3 <_ n ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) - 0 ) ) <_ ( abs ` ( ( ( ( log ` n ) / ( n ^c ( B / if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) ) ) ^c if ( 1 <_ ( Re ` A ) , ( Re ` A ) , 1 ) ) - 0 ) ) )
1182, 4, 23, 27, 39, 117rlimsqzlem 13430 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR+ ) -> ( n e. RR+ |-> ( ( ( log ` n ) ^c A ) / ( n ^c B ) ) ) ~~> r 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   ifcif 3939   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   x. cmul 9493   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   / cdiv 10202   2c2 10581   3c3 10582   RR+crp 11216   Recre 12889   abscabs 13026   ~~> r crli 13267   _eceu 13656   logclog 22670   ^c ccxp 22671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-e 13662  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-cxp 22673
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