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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cxploglim2 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Every power of the logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.) |
Ref | Expression |
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cxploglim2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 3re 10710 |
. . 3
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2 | 1 | a1i 11 |
. 2
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3 | 0red 9669 |
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4 | 3 | recnd 9694 |
. 2
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5 | ovex 6342 |
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6 | 5 | a1i 11 |
. . 3
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7 | simpr 467 |
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8 | recl 13221 |
. . . . . . . 8
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9 | 8 | adantr 471 |
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10 | 1re 9667 |
. . . . . . 7
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11 | ifcl 3934 |
. . . . . . 7
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12 | 9, 10, 11 | sylancl 673 |
. . . . . 6
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13 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . 7
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14 | 0lt1 10163 |
. . . . . . . 8
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15 | 14 | a1i 11 |
. . . . . . 7
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16 | max1 11508 |
. . . . . . . 8
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17 | 10, 9, 16 | sylancr 674 |
. . . . . . 7
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18 | 3, 13, 12, 15, 17 | ltletrd 9820 |
. . . . . 6
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19 | 12, 18 | elrpd 11366 |
. . . . 5
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20 | 7, 19 | rpdivcld 11386 |
. . . 4
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21 | cxploglim 23951 |
. . . 4
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22 | 20, 21 | syl 17 |
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23 | 6, 22, 19 | rlimcxp 23947 |
. 2
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24 | 6, 22 | rlimmptrcl 13719 |
. . 3
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25 | 12 | adantr 471 |
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26 | 25 | recnd 9694 |
. . 3
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27 | 24, 26 | cxpcld 23701 |
. 2
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28 | relogcl 23573 |
. . . . . 6
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29 | 28 | adantl 472 |
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30 | 29 | recnd 9694 |
. . . 4
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31 | simpll 765 |
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32 | 30, 31 | cxpcld 23701 |
. . 3
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33 | simpr 467 |
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34 | rpre 11336 |
. . . . . 6
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35 | 34 | ad2antlr 738 |
. . . . 5
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36 | 33, 35 | rpcxpcld 23723 |
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37 | 36 | rpcnd 11371 |
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38 | 36 | rpne0d 11374 |
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39 | 32, 37, 38 | divcld 10410 |
. 2
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40 | 39 | adantrr 728 |
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41 | 40 | abscld 13546 |
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42 | rpre 11336 |
. . . . . . . . 9
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43 | 42 | ad2antrl 739 |
. . . . . . . 8
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44 | 10 | a1i 11 |
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45 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
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46 | 1lt3 10806 |
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47 | 46 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
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48 | simprr 771 |
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49 | 44, 45, 43, 47, 48 | ltletrd 9820 |
. . . . . . . 8
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50 | 43, 49 | rplogcld 23626 |
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51 | 33 | adantrr 728 |
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52 | 34 | ad2antlr 738 |
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53 | 19 | adantr 471 |
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54 | 52, 53 | rerpdivcld 11397 |
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55 | 51, 54 | rpcxpcld 23723 |
. . . . . . 7
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56 | 50, 55 | rpdivcld 11386 |
. . . . . 6
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57 | 12 | adantr 471 |
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58 | 56, 57 | rpcxpcld 23723 |
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59 | 58 | rpred 11369 |
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60 | 27 | adantrr 728 |
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62 | 32 | adantrr 728 |
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64 | 50, 57 | rpcxpcld 23723 |
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66 | 36 | adantrr 728 |
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67 | simpll 765 |
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68 | abscxp 23685 |
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69 | 50, 67, 68 | syl2anc 671 |
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71 | max2 11510 |
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72 | 10, 70, 71 | sylancr 674 |
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73 | 28 | ad2antrl 739 |
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74 | loge 23584 |
. . . . . . . . . 10
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75 | ere 14191 |
. . . . . . . . . . . . 13
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76 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
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77 | egt2lt3 14306 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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78 | 77 | simpri 468 |
. . . . . . . . . . . . 13
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79 | 78 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
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80 | 76, 45, 43, 79, 48 | ltletrd 9820 |
. . . . . . . . . . 11
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81 | epr 14308 |
. . . . . . . . . . . 12
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82 | logltb 23597 |
. . . . . . . . . . . 12
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83 | 81, 51, 82 | sylancr 674 |
. . . . . . . . . . 11
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84 | 80, 83 | mpbid 215 |
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85 | 74, 84 | syl5eqbrr 4450 |
. . . . . . . . 9
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86 | 73, 85, 70, 57 | cxpled 23713 |
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87 | 72, 86 | mpbid 215 |
. . . . . . 7
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88 | 69, 87 | eqbrtrd 4436 |
. . . . . 6
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89 | 63, 65, 66, 88 | lediv1dd 11424 |
. . . . 5
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90 | 32, 37, 38 | absdivd 13565 |
. . . . . . 7
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91 | 90 | adantrr 728 |
. . . . . 6
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92 | 66 | rprege0d 11376 |
. . . . . . . 8
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93 | absid 13407 |
. . . . . . . 8
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94 | 92, 93 | syl 17 |
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95 | 94 | oveq2d 6330 |
. . . . . 6
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96 | 91, 95 | eqtrd 2495 |
. . . . 5
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97 | 50 | rprege0d 11376 |
. . . . . . 7
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98 | 12 | recnd 9694 |
. . . . . . . 8
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99 | 98 | adantr 471 |
. . . . . . 7
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100 | divcxp 23680 |
. . . . . . 7
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101 | 97, 55, 99, 100 | syl3anc 1276 |
. . . . . 6
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102 | 51, 54, 99 | cxpmuld 23727 |
. . . . . . . 8
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103 | 52 | recnd 9694 |
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104 | 53 | rpne0d 11374 |
. . . . . . . . . 10
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105 | 103, 99, 104 | divcan1d 10411 |
. . . . . . . . 9
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106 | 105 | oveq2d 6330 |
. . . . . . . 8
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107 | 102, 106 | eqtr3d 2497 |
. . . . . . 7
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108 | 107 | oveq2d 6330 |
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109 | 101, 108 | eqtrd 2495 |
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110 | 89, 96, 109 | 3brtr4d 4446 |
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111 | 59 | leabsd 13524 |
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112 | 41, 59, 61, 110, 111 | letrd 9817 |
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113 | 40 | subid1d 10000 |
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114 | 113 | fveq2d 5891 |
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115 | 60 | subid1d 10000 |
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116 | 115 | fveq2d 5891 |
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117 | 112, 114, 116 | 3brtr4d 4446 |
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118 | 2, 4, 23, 27, 39, 117 | rlimsqzlem 13760 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1679 ax-4 1692 ax-5 1768 ax-6 1815 ax-7 1861 ax-8 1899 ax-9 1906 ax-10 1925 ax-11 1930 ax-12 1943 ax-13 2101 ax-ext 2441 ax-rep 4528 ax-sep 4538 ax-nul 4547 ax-pow 4594 ax-pr 4652 ax-un 6609 ax-inf2 8171 ax-cnex 9620 ax-resscn 9621 ax-1cn 9622 ax-icn 9623 ax-addcl 9624 ax-addrcl 9625 ax-mulcl 9626 ax-mulrcl 9627 ax-mulcom 9628 ax-addass 9629 ax-mulass 9630 ax-distr 9631 ax-i2m1 9632 ax-1ne0 9633 ax-1rid 9634 ax-rnegex 9635 ax-rrecex 9636 ax-cnre 9637 ax-pre-lttri 9638 ax-pre-lttrn 9639 ax-pre-ltadd 9640 ax-pre-mulgt0 9641 ax-pre-sup 9642 ax-addf 9643 ax-mulf 9644 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 992 df-3an 993 df-tru 1457 df-fal 1460 df-ex 1674 df-nf 1678 df-sb 1808 df-eu 2313 df-mo 2314 df-clab 2448 df-cleq 2454 df-clel 2457 df-nfc 2591 df-ne 2634 df-nel 2635 df-ral 2753 df-rex 2754 df-reu 2755 df-rmo 2756 df-rab 2757 df-v 3058 df-sbc 3279 df-csb 3375 df-dif 3418 df-un 3420 df-in 3422 df-ss 3429 df-pss 3431 df-nul 3743 df-if 3893 df-pw 3964 df-sn 3980 df-pr 3982 df-tp 3984 df-op 3986 df-uni 4212 df-int 4248 df-iun 4293 df-iin 4294 df-br 4416 df-opab 4475 df-mpt 4476 df-tr 4511 df-eprel 4763 df-id 4767 df-po 4773 df-so 4774 df-fr 4811 df-se 4812 df-we 4813 df-xp 4858 df-rel 4859 df-cnv 4860 df-co 4861 df-dm 4862 df-rn 4863 df-res 4864 df-ima 4865 df-pred 5398 df-ord 5444 df-on 5445 df-lim 5446 df-suc 5447 df-iota 5564 df-fun 5602 df-fn 5603 df-f 5604 df-f1 5605 df-fo 5606 df-f1o 5607 df-fv 5608 df-isom 5609 df-riota 6276 df-ov 6317 df-oprab 6318 df-mpt2 6319 df-of 6557 df-om 6719 df-1st 6819 df-2nd 6820 df-supp 6941 df-wrecs 7053 df-recs 7115 df-rdg 7153 df-1o 7207 df-2o 7208 df-oadd 7211 df-er 7388 df-map 7499 df-pm 7500 df-ixp 7548 df-en 7595 df-dom 7596 df-sdom 7597 df-fin 7598 df-fsupp 7909 df-fi 7950 df-sup 7981 df-inf 7982 df-oi 8050 df-card 8398 df-cda 8623 df-pnf 9702 df-mnf 9703 df-xr 9704 df-ltxr 9705 df-le 9706 df-sub 9887 df-neg 9888 df-div 10297 df-nn 10637 df-2 10695 df-3 10696 df-4 10697 df-5 10698 df-6 10699 df-7 10700 df-8 10701 df-9 10702 df-10 10703 df-n0 10898 df-z 10966 df-dec 11080 df-uz 11188 df-q 11293 df-rp 11331 df-xneg 11437 df-xadd 11438 df-xmul 11439 df-ioo 11667 df-ioc 11668 df-ico 11669 df-icc 11670 df-fz 11813 df-fzo 11946 df-fl 12059 df-mod 12128 df-seq 12245 df-exp 12304 df-fac 12491 df-bc 12519 df-hash 12547 df-shft 13178 df-cj 13210 df-re 13211 df-im 13212 df-sqrt 13346 df-abs 13347 df-limsup 13574 df-clim 13600 df-rlim 13601 df-sum 13801 df-ef 14169 df-e 14170 df-sin 14171 df-cos 14172 df-pi 14174 df-struct 15171 df-ndx 15172 df-slot 15173 df-base 15174 df-sets 15175 df-ress 15176 df-plusg 15251 df-mulr 15252 df-starv 15253 df-sca 15254 df-vsca 15255 df-ip 15256 df-tset 15257 df-ple 15258 df-ds 15260 df-unif 15261 df-hom 15262 df-cco 15263 df-rest 15369 df-topn 15370 df-0g 15388 df-gsum 15389 df-topgen 15390 df-pt 15391 df-prds 15394 df-xrs 15448 df-qtop 15454 df-imas 15455 df-xps 15458 df-mre 15540 df-mrc 15541 df-acs 15543 df-mgm 16536 df-sgrp 16575 df-mnd 16585 df-submnd 16631 df-mulg 16724 df-cntz 17019 df-cmn 17480 df-psmet 19010 df-xmet 19011 df-met 19012 df-bl 19013 df-mopn 19014 df-fbas 19015 df-fg 19016 df-cnfld 19019 df-top 19969 df-bases 19970 df-topon 19971 df-topsp 19972 df-cld 20082 df-ntr 20083 df-cls 20084 df-nei 20162 df-lp 20200 df-perf 20201 df-cn 20291 df-cnp 20292 df-haus 20379 df-tx 20625 df-hmeo 20818 df-fil 20909 df-fm 21001 df-flim 21002 df-flf 21003 df-xms 21383 df-ms 21384 df-tms 21385 df-cncf 21958 df-limc 22869 df-dv 22870 df-log 23554 df-cxp 23555 |
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