MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxple2a Structured version   Unicode version
Theorem cxple2a 22805
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxple2a |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> ( A ^c C ) <_ ( B ^c C ) )
Proof of Theorem cxple2a
StepHypRef Expression
1 simpl3 1001 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> A <_ B )
2 simp11 1026 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> A e. RR )
32adantr 465 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> A e. RR )
4 simpl2l 1049 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> 0 <_ A )
5 simp12 1027 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> B e. RR )
65adantr 465 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> B e. RR )
7 0red 9593 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> 0 e. RR )
87, 3, 6, 4, 1letrd 9734 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> 0 <_ B )
9 simp13 1028 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> C e. RR )
109anim1i 568 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
11 elrp 11218 . . . . 5 |- ( C e. RR+ <-> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
1210, 11sylibr 212 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> C e. RR+ )
13 cxple2 22803 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A <_ B <-> ( A ^c C ) <_ ( B ^c C ) ) )
143, 4, 6, 8, 12, 13syl221anc 1239 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> ( A <_ B <-> ( A ^c C ) <_ ( B ^c C ) ) )
151, 14mpbid 210 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> ( A ^c C ) <_ ( B ^c C ) )
16 1le1 10173 . . . 4 |- 1 <_ 1
1716a1i 11 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 = C ) -> 1 <_ 1 )
182recnd 9618 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> A e. CC )
19 cxp0 22776 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( A ^c 0 ) = 1 )
2018, 19syl 16 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> ( A ^c 0 ) = 1 )
21 oveq2 6290 . . . 4 |- ( 0 = C -> ( A ^c 0 ) = ( A ^c C ) )
2220, 21sylan9req 2529 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 = C ) -> 1 = ( A ^c C ) )
235recnd 9618 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> B e. CC )
24 cxp0 22776 . . . . 5 |- ( B e. CC -> ( B ^c 0 ) = 1 )
2523, 24syl 16 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> ( B ^c 0 ) = 1 )
26 oveq2 6290 . . . 4 |- ( 0 = C -> ( B ^c 0 ) = ( B ^c C ) )
2725, 26sylan9req 2529 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 = C ) -> 1 = ( B ^c C ) )
2817, 22, 273brtr3d 4476 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 = C ) -> ( A ^c C ) <_ ( B ^c C ) )
29 simp2r 1023 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> 0 <_ C )
30 0re 9592 . . . 4 |- 0 e. RR
31 leloe 9667 . . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> ( 0 <_ C <-> ( 0 < C \/ 0 = C ) ) )
3230, 9, 31sylancr 663 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> ( 0 <_ C <-> ( 0 < C \/ 0 = C ) ) )
3329, 32mpbid 210 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> ( 0 < C \/ 0 = C ) )
3415, 28, 33mpjaodan 784 1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> ( A ^c C ) <_ ( B ^c C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   < clt 9624   <_ cle 9625   RR+crp 11216   ^c ccxp 22668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-fac 12316  df-bc 12343  df-hash 12368  df-shft 12857  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-limsup 13250  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-ef 13658  df-sin 13660  df-cos 13661  df-pi 13663  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-prds 14696  df-xrs 14750  df-qtop 14755  df-imas 14756  df-xps 14758  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-mulg 15858  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-ntr 19284  df-cls 19285  df-nei 19362  df-lp 19400  df-perf 19401  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-haus 19579  df-tx 19795  df-hmeo 19988  df-fil 20079  df-fm 20171  df-flim 20172  df-flf 20173  df-xms 20555  df-ms 20556  df-tms 20557  df-cncf 21114  df-limc 22002  df-dv 22003  df-log 22669  df-cxp 22670
This theorem is referenced by:  cxple2ad  22831
  Copyright terms: Public domain W3C validator