Theorem cxple2a 23205

Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxple2a	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> ( A ^c C ) <_ ( B ^c C ) )

Proof of Theorem cxple2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1001	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> A <_ B )
2		simp11 1026	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> A e. RR )
3	2	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> A e. RR )
4		simpl2l 1049	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> 0 <_ A )
5		simp12 1027	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> B e. RR )
6	5	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> B e. RR )
7		0red 9614	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> 0 e. RR )
8	7, 3, 6, 4, 1	letrd 9756	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> 0 <_ B )
9		simp13 1028	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> C e. RR )
10	9	anim1i 568	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
11		elrp 11247	. . . . 5 |- ( C e. RR+ <-> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
12	10, 11	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> C e. RR+ )
13		cxple2 23203	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> ( A <_ B <-> ( A ^c C ) <_ ( B ^c C ) ) )
14	3, 4, 6, 8, 12, 13	syl221anc 1239	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> ( A <_ B <-> ( A ^c C ) <_ ( B ^c C ) ) )
15	1, 14	mpbid 210	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 < C ) -> ( A ^c C ) <_ ( B ^c C ) )
16		1le1 10198	. . . 4 |- 1 <_ 1
17	16	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 = C ) -> 1 <_ 1 )
18	2	recnd 9639	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> A e. CC )
19		cxp0 23176	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( A ^c 0 ) = 1 )
20	18, 19	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> ( A ^c 0 ) = 1 )
21		oveq2 6304	. . . 4 |- ( 0 = C -> ( A ^c 0 ) = ( A ^c C ) )
22	20, 21	sylan9req 2519	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 = C ) -> 1 = ( A ^c C ) )
23	5	recnd 9639	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> B e. CC )
24		cxp0 23176	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( B ^c 0 ) = 1 )
25	23, 24	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> ( B ^c 0 ) = 1 )
26		oveq2 6304	. . . 4 |- ( 0 = C -> ( B ^c 0 ) = ( B ^c C ) )
27	25, 26	sylan9req 2519	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 = C ) -> 1 = ( B ^c C ) )
28	17, 22, 27	3brtr3d 4485	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) /\ 0 = C ) -> ( A ^c C ) <_ ( B ^c C ) )
29		simp2r 1023	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> 0 <_ C )
30		0re 9613	. . . 4 |- 0 e. RR
31		leloe 9688	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> ( 0 <_ C <-> ( 0 < C \/ 0 = C ) ) )
32	30, 9, 31	sylancr 663	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> ( 0 <_ C <-> ( 0 < C \/ 0 = C ) ) )
33	29, 32	mpbid 210	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> ( 0 < C \/ 0 = C ) )
34	15, 28, 33	mpjaodan 786	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) /\ A <_ B ) -> ( A ^c C ) <_ ( B ^c C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   < clt 9645   <_ cle 9646   RR+crp 11245   ^c ccxp 23068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-sin 13816  df-cos 13817  df-pi 13819  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396  df-log 23069  df-cxp 23070

This theorem is referenced by:  cxple2ad  23231