MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxple2a Structured version   Unicode version

Theorem cxple2a 22278
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxple2a  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  ( A  ^c  C )  <_  ( B  ^c  C ) )

Proof of Theorem cxple2a
StepHypRef Expression
1 simpl3 993 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  ->  A  <_  B )
2 simp11 1018 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  A  e.  RR )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  ->  A  e.  RR )
4 simpl2l 1041 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  -> 
0  <_  A )
5 simp12 1019 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  B  e.  RR )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  ->  B  e.  RR )
7 0red 9499 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  -> 
0  e.  RR )
87, 3, 6, 4, 1letrd 9640 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  -> 
0  <_  B )
9 simp13 1020 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  C  e.  RR )
109anim1i 568 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  -> 
( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
11 elrp 11105 . . . . 5  |-  ( C  e.  RR+  <->  ( C  e.  RR  /\  0  < 
C ) )
1210, 11sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  ->  C  e.  RR+ )
13 cxple2 22276 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  ^c  C )  <_  ( B  ^c  C )
) )
143, 4, 6, 8, 12, 13syl221anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A  ^c  C )  <_  ( B  ^c  C )
) )
151, 14mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  -> 
( A  ^c  C )  <_  ( B  ^c  C ) )
16 1le1 10076 . . . 4  |-  1  <_  1
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  =  C )  ->  1  <_  1 )
182recnd 9524 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  A  e.  CC )
19 cxp0 22249 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  ^c  0 )  =  1 )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  ( A  ^c  0 )  =  1 )
21 oveq2 6209 . . . 4  |-  ( 0  =  C  ->  ( A  ^c  0 )  =  ( A  ^c  C ) )
2220, 21sylan9req 2516 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  =  C )  ->  1  =  ( A  ^c  C ) )
235recnd 9524 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  B  e.  CC )
24 cxp0 22249 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  ^c  0 )  =  1 )
2523, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  ( B  ^c  0 )  =  1 )
26 oveq2 6209 . . . 4  |-  ( 0  =  C  ->  ( B  ^c  0 )  =  ( B  ^c  C ) )
2725, 26sylan9req 2516 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  =  C )  ->  1  =  ( B  ^c  C ) )
2817, 22, 273brtr3d 4430 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  =  C )  ->  ( A  ^c  C )  <_  ( B  ^c  C ) )
29 simp2r 1015 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  0  <_  C )
30 0re 9498 . . . 4  |-  0  e.  RR
31 leloe 9573 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( 0  <_  C  <->  ( 0  <  C  \/  0  =  C )
) )
3230, 9, 31sylancr 663 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  ( 0  <_  C  <->  ( 0  <  C  \/  0  =  C ) ) )
3329, 32mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  ( 0  <  C  \/  0  =  C ) )
3415, 28, 33mpjaodan 784 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  ( A  ^c  C )  <_  ( B  ^c  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4401  (class class class)co 6201   CCcc 9392   RRcr 9393   0cc0 9394   1c1 9395    < clt 9530    <_ cle 9531   RR+crp 11103    ^c ccxp 22141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-ioc 11417  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-mod 11827  df-seq 11925  df-exp 11984  df-fac 12170  df-bc 12197  df-hash 12222  df-shft 12675  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-limsup 13068  df-clim 13085  df-rlim 13086  df-sum 13283  df-ef 13472  df-sin 13474  df-cos 13475  df-pi 13477  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-nei 18835  df-lp 18873  df-perf 18874  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-haus 19052  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-fil 19552  df-fm 19644  df-flim 19645  df-flf 19646  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-cncf 20587  df-limc 21475  df-dv 21476  df-log 22142  df-cxp 22143
This theorem is referenced by:  cxple2ad  22304
  Copyright terms: Public domain W3C validator