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Theorem cxpeq 23776
Description: Solve an equation involving an  N-th power. The expression  -u 1  ^c  ( 2  /  N )  =  exp ( 2 pi _i 
/  N ) is a way to write the primitive  N-th root of unity with the smallest positive argument. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cxpeq  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A ^ N
)  =  B  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n    n, N

Proof of Theorem cxpeq
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1034 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  N  e.  NN )
2 nnm1nn0 10935 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
31, 2syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
4 nn0uz 11217 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
53, 4syl6eleq 2559 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
6 eluzfz1 11832 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
75, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
8 neg1cn 10735 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
9 2re 10701 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
10 simp2 1031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  N  e.  NN )
11 nndivre 10667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  /  N
)  e.  RR )
129, 10, 11sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
2  /  N )  e.  RR )
1312recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
2  /  N )  e.  CC )
14 cxpcl 23698 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  /  N
)  e.  CC )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
158, 13, 14sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
1615adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
17 0nn0 10908 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
18 expcl 12328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC  /\  0  e. 
NN0 )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 )  e.  CC )
1916, 17, 18sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 )  e.  CC )
2019mul02d 9849 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
0  x.  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) )  =  0 )
21 simprl 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  A  =  0 )
2221oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( A ^ N )  =  ( 0 ^ N
) )
23 simprr 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( A ^ N )  =  B )
2410expd 12470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
0 ^ N )  =  0 )
2522, 23, 243eqtr3d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  B  =  0 )
2625oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  =  ( 0  ^c  ( 1  /  N ) ) )
27 nncn 10639 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
28 nnne0 10664 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
29 reccl 10299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  -> 
( 1  /  N
)  e.  CC )
30 recne0 10305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  -> 
( 1  /  N
)  =/=  0 )
3129, 300cxpd 23734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  -> 
( 0  ^c 
( 1  /  N
) )  =  0 )
3227, 28, 31syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  ^c  ( 1  /  N ) )  =  0 )
331, 32syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
0  ^c  ( 1  /  N ) )  =  0 )
3426, 33eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  =  0 )
3534oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) )  =  ( 0  x.  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) ) )
3620, 35, 213eqtr4rd 2516 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ 0 ) ) )
37 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
)  =  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) )
3837oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) ) )
3938eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  ( A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  <->  A  =  (
( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) ) ) )
4039rspcev 3136 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ 0 ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
417, 36, 40syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
4241expr 626 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =  0
)  ->  ( ( A ^ N )  =  B  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
43 simpl1 1033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  A  e.  CC )
44 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  A  =/=  0 )
45 simpl2 1034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  N  e.  NN )
4645nnzd 11062 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  N  e.  ZZ )
47 explog 23622 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  =  ( exp `  ( N  x.  ( log `  A ) ) ) )
4843, 44, 46, 47syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A ^ N )  =  ( exp `  ( N  x.  ( log `  A
) ) ) )
4948eqcomd 2477 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( exp `  ( N  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( A ^ N ) )
5010nncnd 10647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  N  e.  CC )
5150adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  N  e.  CC )
5243, 44logcld 23599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( log `  A )  e.  CC )
5351, 52mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( N  x.  ( log `  A
) )  e.  CC )
5445nnnn0d 10949 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  N  e.  NN0 )
5543, 54expcld 12454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A ^ N )  e.  CC )
5643, 44, 46expne0d 12460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A ^ N )  =/=  0
)
57 eflogeq 23630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  x.  ( log `  A ) )  e.  CC  /\  ( A ^ N )  e.  CC  /\  ( A ^ N )  =/=  0 )  ->  (
( exp `  ( N  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( A ^ N )  <->  E. m  e.  ZZ  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) ) ) )
5853, 55, 56, 57syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( exp `  ( N  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( A ^ N )  <->  E. m  e.  ZZ  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N
) )  +  ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m ) ) ) )
5949, 58mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  E. m  e.  ZZ  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) ) )
6055, 56logcld 23599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( log `  ( A ^ N
) )  e.  CC )
6160adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( A ^ N ) )  e.  CC )
62 ax-icn 9616 . . . . . . . . . . 11  |-  _i  e.  CC
63 2cn 10702 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
64 picn 23493 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
6563, 64mulcli 9666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
6662, 65mulcli 9666 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC
67 zcn 10966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  CC )
6867adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  CC )
69 mulcl 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m
)  e.  CC )
7066, 68, 69sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m )  e.  CC )
7161, 70addcld 9680 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  e.  CC )
7251adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
7352adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
7410nnne0d 10676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  N  =/=  0 )
7574ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  =/=  0 )
7671, 72, 73, 75divmuld 10427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( log `  ( A ^ N
) )  +  ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( log `  A
)  <->  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) ) ) )
77 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( log `  A )  ->  ( exp `  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( exp `  ( log `  A ) ) )
7872, 75reccld 10398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
1  /  N )  e.  CC )
7978, 61mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  N
)  x.  ( log `  ( A ^ N
) ) )  e.  CC )
8013ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
2  /  N )  e.  CC )
8180, 68mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( 2  /  N
)  x.  m )  e.  CC )
8262, 64mulcli 9666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  pi )  e.  CC
83 mulcl 9641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2  /  N )  x.  m
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )
8481, 82, 83sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  /  N )  x.  m
)  x.  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC )
85 efadd 14225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  e.  CC  /\  (
( ( 2  /  N )  x.  m
)  x.  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) ) )  x.  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) ) )
8679, 84, 85syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N
)  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) ) )  x.  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) ) )
8761, 70, 72, 75divdird 10443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( ( ( log `  ( A ^ N ) )  /  N )  +  ( ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m )  /  N
) ) )
8861, 72, 75divrec2d 10409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( log `  ( A ^ N ) )  /  N )  =  ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) ) )
8966a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
9089, 68, 72, 75div23d 10442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m
)  /  N )  =  ( ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  N )  x.  m ) )
9162, 63, 64mul12i 9846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)
9291oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  N )  =  ( ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) )  /  N
)
9363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
9482a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
_i  x.  pi )  e.  CC )
9593, 94, 72, 75div23d 10442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  /  N )  =  ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
9692, 95syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  /  N )  =  ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
9796oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  N
)  x.  m )  =  ( ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) )  x.  m
) )
9880, 94, 68mul32d 9861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
)  x.  m )  =  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
9990, 97, 983eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m
)  /  N )  =  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
10088, 99oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  /  N )  +  ( ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m )  /  N
) )  =  ( ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
10187, 100eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
102101fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( exp `  (
( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
10355adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  CC )
10456adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  =/=  0 )
105103, 104, 78cxpefd 23736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ N
)  ^c  ( 1  /  N ) )  =  ( exp `  ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) ) ) )
1068a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  -u 1  e.  CC )
107 neg1ne0 10737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  =/=  0
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  -u 1  =/=  0 )
109 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
110106, 108, 80, 109cxpmul2zd 23740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^c  ( ( 2  /  N
)  x.  m ) )  =  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ m
) )
111106, 108, 81cxpefd 23736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^c  ( ( 2  /  N
)  x.  m ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( log `  -u 1 ) ) ) )
112 logm1 23617 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( log `  -u 1 )  =  ( _i  x.  pi )
113112oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  /  N
)  x.  m )  x.  ( log `  -u 1
) )  =  ( ( ( 2  /  N )  x.  m
)  x.  ( _i  x.  pi ) )
114113fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( log `  -u 1 ) ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) )
115111, 114syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^c  ( ( 2  /  N
)  x.  m ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) )
116106, 80cxpcld 23732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
1178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  -u 1  e.  CC )
118107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  -u 1  =/=  0 )
119117, 118, 13cxpne0d 23737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  =/=  0 )
120119ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  =/=  0 )
121116, 120, 109expclzd 12459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ m
)  e.  CC )
12245adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
123109, 122zmodcld 12150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  mod  N )  e.  NN0 )
124116, 123expcld 12454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
)  e.  CC )
125123nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  mod  N )  e.  ZZ )
126116, 120, 125expne0d 12460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
)  =/=  0 )
127116, 120, 125, 109expsubd 12465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  -  ( m  mod  N ) ) )  =  ( ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^
m )  /  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
) ) )
128122nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
129 zre 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  RR )
130129adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  RR )
131122nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR+ )
132 moddifz 12142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N )  e.  ZZ )
133130, 131, 132syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( m  -  (
m  mod  N )
)  /  N )  e.  ZZ )
134 expmulz 12356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC  /\  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  =/=  0 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N )  e.  ZZ ) )  -> 
( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( N  x.  ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) ) )  =  ( ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ N ) ^
( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) ) )
135116, 120, 128, 133, 134syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ ( N  x.  ( (
m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) ) )  =  ( ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ N ) ^ (
( m  -  (
m  mod  N )
)  /  N ) ) )
136123nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  mod  N )  e.  CC )
13768, 136subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  -  ( m  mod  N ) )  e.  CC )
138137, 72, 75divcan2d 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  ( (
m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  ( m  -  ( m  mod  N ) ) )
139138oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ ( N  x.  ( (
m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) ) )  =  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  -  ( m  mod  N ) ) ) )
140 root1id 23773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ N
)  =  1 )
141122, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ N
)  =  1 )
142141oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ N ) ^
( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  ( 1 ^ ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N
) ) )
143 1exp 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  -  (
m  mod  N )
)  /  N )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  1 )
144133, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
1 ^ ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  1 )
145142, 144eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ N ) ^
( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  1 )
146135, 139, 1453eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  -  ( m  mod  N ) ) )  =  1 )
147127, 146eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ m )  / 
( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  1 )
148121, 124, 126, 147diveq1d 10413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ m
)  =  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
) )
149110, 115, 1483eqtr3rd 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
)  =  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) )
150105, 149oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
) )  =  ( ( exp `  (
( 1  /  N
)  x.  ( log `  ( A ^ N
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( ( 2  /  N )  x.  m
)  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
15186, 102, 1503eqtr4d 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) ) )
152 eflog 23605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
15343, 44, 152syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( exp `  ( log `  A
) )  =  A )
154153adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( log `  A
) )  =  A )
155151, 154eqeq12d 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( exp `  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( exp `  ( log `  A ) )  <-> 
( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A ) )
156 zmodfz 12151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( m  mod  N
)  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
157109, 122, 156syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  mod  N )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
158 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  <->  ( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  =  A )
159 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( m  mod  N )  ->  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n )  =  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )
160159oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  mod  N )  ->  ( (
( A ^ N
)  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  =  ( ( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
) ) )
161160eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  mod  N )  ->  ( (
( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  =  A  <-> 
( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A ) )
162158, 161syl5bb 265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  mod  N )  ->  ( A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  <->  ( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A ) )
163162rspcev 3136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  mod  N
)  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  ( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
164163ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  mod  N )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
165157, 164syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
166155, 165sylbid 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( exp `  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( exp `  ( log `  A ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N
)  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
16777, 166syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( log `  ( A ^ N
) )  +  ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( log `  A
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
16876, 167sylbird 243 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N
) )  +  ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
169168rexlimdva 2871 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) ) ) )
17059, 169mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
171 oveq1 6315 . . . . . . 7  |-  ( ( A ^ N )  =  B  ->  (
( A ^ N
)  ^c  ( 1  /  N ) )  =  ( B  ^c  ( 1  /  N ) ) )
172171oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ( A ^ N )  =  B  ->  (
( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
173172eqeq2d 2481 . . . . 5  |-  ( ( A ^ N )  =  B  ->  ( A  =  ( (
( A ^ N
)  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  <->  A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) ) ) )
174173rexbidv 2892 . . . 4  |-  ( ( A ^ N )  =  B  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
175170, 174syl5ibcom 228 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( A ^ N )  =  B  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
17642, 175pm2.61dane 2730 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A ^ N
)  =  B  ->  E. n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) ) ) )
177 simp3 1032 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
178 nnrecre 10668 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
1791783ad2ant2 1052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
180179recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
1  /  N )  e.  CC )
181177, 180cxpcld 23732 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  e.  CC )
182181adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  e.  CC )
183 elfznn0 11913 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
184 expcl 12328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC  /\  n  e. 
NN0 )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
)  e.  CC )
18515, 183, 184syl2an 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n )  e.  CC )
18610adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
187186nnnn0d 10949 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
188182, 185, 187mulexpd 12469 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ^ N
)  =  ( ( ( B  ^c 
( 1  /  N
) ) ^ N
)  x.  ( ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^
n ) ^ N
) ) )
189177adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
190 cxproot 23714 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) ) ^ N )  =  B )
191189, 186, 190syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) ) ^ N )  =  B )
192183adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
193192nn0cnd 10951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  n  e.  CC )
194186nncnd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
195193, 194mulcomd 9682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( n  x.  N )  =  ( N  x.  n ) )
196195oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( n  x.  N ) )  =  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( N  x.  n ) ) )
19715adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
198197, 187, 192expmuld 12457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( n  x.  N ) )  =  ( ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ^ N ) )
199197, 192, 187expmuld 12457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( N  x.  n ) )  =  ( ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ N
) ^ n ) )
200196, 198, 1993eqtr3d 2513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ^ N )  =  ( ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ N
) ^ n ) )
201186, 140syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ N )  =  1 )
202201oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ N
) ^ n )  =  ( 1 ^ n ) )
203 elfzelz 11826 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
204203adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
205 1exp 12339 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
206204, 205syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
207200, 202, 2063eqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ^ N )  =  1 )
208191, 207oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) ) ^ N )  x.  ( ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ^ N ) )  =  ( B  x.  1 ) )
209189mulid1d 9678 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B  x.  1 )  =  B )
210188, 208, 2093eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ^ N
)  =  B )
211 oveq1 6315 . . . . 5  |-  ( A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  ->  ( A ^ N )  =  ( ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) ) ^ N ) )
212211eqeq1d 2473 . . . 4  |-  ( A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  ->  ( ( A ^ N )  =  B  <->  ( ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ^ N
)  =  B ) )
213210, 212syl5ibrcom 230 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  ->  ( A ^ N )  =  B ) )
214213rexlimdva 2871 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  ->  ( A ^ N )  =  B ) )
215176, 214impbid 195 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A ^ N
)  =  B  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   _ici 9559    + caddc 9560    x. cmul 9562    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810    mod cmo 12129   ^cexp 12310   expce 14191   picpi 14196   logclog 23583    ^c ccxp 23584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586
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