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Theorem cxpeq 22175
Description: Solve an equation involving an  N-th power. The expression  -u 1  ^c  ( 2  /  N )  =  exp ( 2 pi _i 
/  N ) is a way to write the primitive  N-th root of unity with the smallest positive argument. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cxpeq  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A ^ N
)  =  B  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n    n, N

Proof of Theorem cxpeq
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  N  e.  NN )
2 nnm1nn0 10613 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
4 nn0uz 10887 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
53, 4syl6eleq 2528 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
6 eluzfz1 11450 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
8 neg1cn 10417 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
9 2re 10383 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
10 simp2 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  N  e.  NN )
11 nndivre 10349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  /  N
)  e.  RR )
129, 10, 11sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
2  /  N )  e.  RR )
1312recnd 9404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
2  /  N )  e.  CC )
14 cxpcl 22099 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  /  N
)  e.  CC )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
158, 13, 14sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
1615adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
17 0nn0 10586 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
18 expcl 11875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC  /\  0  e. 
NN0 )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 )  e.  CC )
1916, 17, 18sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 )  e.  CC )
2019mul02d 9559 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
0  x.  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) )  =  0 )
21 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  A  =  0 )
2221oveq1d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( A ^ N )  =  ( 0 ^ N
) )
23 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( A ^ N )  =  B )
2410expd 12016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
0 ^ N )  =  0 )
2522, 23, 243eqtr3d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  B  =  0 )
2625oveq1d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  =  ( 0  ^c  ( 1  /  N ) ) )
27 nncn 10322 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
28 nnne0 10346 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
29 reccl 9993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  -> 
( 1  /  N
)  e.  CC )
30 recne0 9999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  -> 
( 1  /  N
)  =/=  0 )
3129, 300cxpd 22135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  -> 
( 0  ^c 
( 1  /  N
) )  =  0 )
3227, 28, 31syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  ^c  ( 1  /  N ) )  =  0 )
331, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
0  ^c  ( 1  /  N ) )  =  0 )
3426, 33eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  =  0 )
3534oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) )  =  ( 0  x.  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) ) )
3620, 35, 213eqtr4rd 2481 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ 0 ) ) )
37 oveq2 6094 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
)  =  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) )
3837oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) ) )
3938eqeq2d 2449 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  ( A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  <->  A  =  (
( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) ) ) )
4039rspcev 3068 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ 0 ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
417, 36, 40syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
4241expr 615 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =  0
)  ->  ( ( A ^ N )  =  B  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
43 simpl1 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  A  e.  CC )
44 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  A  =/=  0 )
45 simpl2 992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  N  e.  NN )
4645nnzd 10738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  N  e.  ZZ )
47 explog 22022 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  =  ( exp `  ( N  x.  ( log `  A ) ) ) )
4843, 44, 46, 47syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A ^ N )  =  ( exp `  ( N  x.  ( log `  A
) ) ) )
4948eqcomd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( exp `  ( N  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( A ^ N ) )
5010nncnd 10330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  N  e.  CC )
5150adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  N  e.  CC )
5243, 44logcld 22002 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( log `  A )  e.  CC )
5351, 52mulcld 9398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( N  x.  ( log `  A
) )  e.  CC )
5445nnnn0d 10628 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  N  e.  NN0 )
5543, 54expcld 12000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A ^ N )  e.  CC )
5643, 44, 46expne0d 12006 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A ^ N )  =/=  0
)
57 eflogeq 22030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  x.  ( log `  A ) )  e.  CC  /\  ( A ^ N )  e.  CC  /\  ( A ^ N )  =/=  0 )  ->  (
( exp `  ( N  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( A ^ N )  <->  E. m  e.  ZZ  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) ) ) )
5853, 55, 56, 57syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( exp `  ( N  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( A ^ N )  <->  E. m  e.  ZZ  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N
) )  +  ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m ) ) ) )
5949, 58mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  E. m  e.  ZZ  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) ) )
6055, 56logcld 22002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( log `  ( A ^ N
) )  e.  CC )
6160adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( A ^ N ) )  e.  CC )
62 ax-icn 9333 . . . . . . . . . . 11  |-  _i  e.  CC
63 2cn 10384 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
64 picn 21902 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
6563, 64mulcli 9383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
6662, 65mulcli 9383 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC
67 zcn 10643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  CC )
6867adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  CC )
69 mulcl 9358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m
)  e.  CC )
7066, 68, 69sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m )  e.  CC )
7161, 70addcld 9397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  e.  CC )
7251adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
7352adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
7410nnne0d 10358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  N  =/=  0 )
7574ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  =/=  0 )
7671, 72, 73, 75divmuld 10121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( log `  ( A ^ N
) )  +  ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( log `  A
)  <->  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) ) ) )
77 fveq2 5686 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( log `  A )  ->  ( exp `  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( exp `  ( log `  A ) ) )
7872, 75reccld 10092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
1  /  N )  e.  CC )
7978, 61mulcld 9398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  N
)  x.  ( log `  ( A ^ N
) ) )  e.  CC )
8013ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
2  /  N )  e.  CC )
8180, 68mulcld 9398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( 2  /  N
)  x.  m )  e.  CC )
8262, 64mulcli 9383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  pi )  e.  CC
83 mulcl 9358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2  /  N )  x.  m
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )
8481, 82, 83sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  /  N )  x.  m
)  x.  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC )
85 efadd 13371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  e.  CC  /\  (
( ( 2  /  N )  x.  m
)  x.  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) ) )  x.  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) ) )
8679, 84, 85syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N
)  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) ) )  x.  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) ) )
8761, 70, 72, 75divdird 10137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( ( ( log `  ( A ^ N ) )  /  N )  +  ( ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m )  /  N
) ) )
8861, 72, 75divrec2d 10103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( log `  ( A ^ N ) )  /  N )  =  ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) ) )
8966a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
9089, 68, 72, 75div23d 10136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m
)  /  N )  =  ( ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  N )  x.  m ) )
9162, 63, 64mul12i 9556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)
9291oveq1i 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  N )  =  ( ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) )  /  N
)
9363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
9482a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
_i  x.  pi )  e.  CC )
9593, 94, 72, 75div23d 10136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  /  N )  =  ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
9692, 95syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  /  N )  =  ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
9796oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  N
)  x.  m )  =  ( ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) )  x.  m
) )
9880, 94, 68mul32d 9571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
)  x.  m )  =  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
9990, 97, 983eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m
)  /  N )  =  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
10088, 99oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  /  N )  +  ( ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m )  /  N
) )  =  ( ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
10187, 100eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
102101fveq2d 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( exp `  (
( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
10355adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  CC )
10456adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  =/=  0 )
105103, 104, 78cxpefd 22137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ N
)  ^c  ( 1  /  N ) )  =  ( exp `  ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) ) ) )
1068a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  -u 1  e.  CC )
107 neg1ne0 10419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  =/=  0
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  -u 1  =/=  0 )
109 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
110106, 108, 80, 109cxpmul2zd 22141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^c  ( ( 2  /  N
)  x.  m ) )  =  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ m
) )
111106, 108, 81cxpefd 22137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^c  ( ( 2  /  N
)  x.  m ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( log `  -u 1 ) ) ) )
112 logm1 22017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( log `  -u 1 )  =  ( _i  x.  pi )
113112oveq2i 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  /  N
)  x.  m )  x.  ( log `  -u 1
) )  =  ( ( ( 2  /  N )  x.  m
)  x.  ( _i  x.  pi ) )
114113fveq2i 5689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( log `  -u 1 ) ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) )
115111, 114syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^c  ( ( 2  /  N
)  x.  m ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) )
116106, 80cxpcld 22133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
1178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  -u 1  e.  CC )
118107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  -u 1  =/=  0 )
119117, 118, 13cxpne0d 22138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  =/=  0 )
120119ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  =/=  0 )
121116, 120, 109expclzd 12005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ m
)  e.  CC )
12245adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
123109, 122zmodcld 11720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  mod  N )  e.  NN0 )
124116, 123expcld 12000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
)  e.  CC )
125123nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  mod  N )  e.  ZZ )
126116, 120, 125expne0d 12006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
)  =/=  0 )
127116, 120, 125, 109expsubd 12011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  -  ( m  mod  N ) ) )  =  ( ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^
m )  /  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
) ) )
128122nnzd 10738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
129 zre 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  RR )
130129adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  RR )
131122nnrpd 11018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR+ )
132 moddifz 11712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N )  e.  ZZ )
133130, 131, 132syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( m  -  (
m  mod  N )
)  /  N )  e.  ZZ )
134 expmulz 11902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC  /\  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  =/=  0 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N )  e.  ZZ ) )  -> 
( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( N  x.  ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) ) )  =  ( ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ N ) ^
( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) ) )
135116, 120, 128, 133, 134syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ ( N  x.  ( (
m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) ) )  =  ( ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ N ) ^ (
( m  -  (
m  mod  N )
)  /  N ) ) )
136123nn0cnd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  mod  N )  e.  CC )
13768, 136subcld 9711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  -  ( m  mod  N ) )  e.  CC )
138137, 72, 75divcan2d 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  ( (
m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  ( m  -  ( m  mod  N ) ) )
139138oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ ( N  x.  ( (
m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) ) )  =  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  -  ( m  mod  N ) ) ) )
140 root1id 22172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ N
)  =  1 )
141122, 140syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ N
)  =  1 )
142141oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ N ) ^
( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  ( 1 ^ ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N
) ) )
143 1exp 11885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  -  (
m  mod  N )
)  /  N )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  1 )
144133, 143syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
1 ^ ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  1 )
145142, 144eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ N ) ^
( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  1 )
146135, 139, 1453eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  -  ( m  mod  N ) ) )  =  1 )
147127, 146eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ m )  / 
( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  1 )
148121, 124, 126, 147diveq1d 10107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ m
)  =  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
) )
149110, 115, 1483eqtr3rd 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
)  =  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) )
150105, 149oveq12d 6104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
) )  =  ( ( exp `  (
( 1  /  N
)  x.  ( log `  ( A ^ N
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( ( 2  /  N )  x.  m
)  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
15186, 102, 1503eqtr4d 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) ) )
152 eflog 22008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
15343, 44, 152syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( exp `  ( log `  A
) )  =  A )
154153adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( log `  A
) )  =  A )
155151, 154eqeq12d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( exp `  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( exp `  ( log `  A ) )  <-> 
( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A ) )
156 zmodfz 11721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( m  mod  N
)  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
157109, 122, 156syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  mod  N )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
158 eqcom 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  <->  ( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  =  A )
159 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( m  mod  N )  ->  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n )  =  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )
160159oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  mod  N )  ->  ( (
( A ^ N
)  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  =  ( ( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
) ) )
161160eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  mod  N )  ->  ( (
( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  =  A  <-> 
( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A ) )
162158, 161syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  mod  N )  ->  ( A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  <->  ( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A ) )
163162rspcev 3068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  mod  N
)  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  ( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
164163ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  mod  N )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
165157, 164syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
166155, 165sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( exp `  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( exp `  ( log `  A ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N
)  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
16777, 166syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( log `  ( A ^ N
) )  +  ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( log `  A
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
16876, 167sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N
) )  +  ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
169168rexlimdva 2836 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) ) ) )
17059, 169mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
171 oveq1 6093 . . . . . . 7  |-  ( ( A ^ N )  =  B  ->  (
( A ^ N
)  ^c  ( 1  /  N ) )  =  ( B  ^c  ( 1  /  N ) ) )
172171oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( ( A ^ N )  =  B  ->  (
( ( A ^ N )  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
173172eqeq2d 2449 . . . . 5  |-  ( ( A ^ N )  =  B  ->  ( A  =  ( (
( A ^ N
)  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  <->  A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) ) ) )
174173rexbidv 2731 . . . 4  |-  ( ( A ^ N )  =  B  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
175170, 174syl5ibcom 220 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( A ^ N )  =  B  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
17642, 175pm2.61dane 2684 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A ^ N
)  =  B  ->  E. n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) ) ) )
177 simp3 990 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
178 nnrecre 10350 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
1791783ad2ant2 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
180179recnd 9404 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
1  /  N )  e.  CC )
181177, 180cxpcld 22133 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  e.  CC )
182181adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  e.  CC )
183 elfznn0 11473 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
184 expcl 11875 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC  /\  n  e. 
NN0 )  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
)  e.  CC )
18515, 183, 184syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n )  e.  CC )
18610adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
187186nnnn0d 10628 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
188182, 185, 187mulexpd 12015 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ^ N
)  =  ( ( ( B  ^c 
( 1  /  N
) ) ^ N
)  x.  ( ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^
n ) ^ N
) ) )
189177adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
190 cxproot 22115 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) ) ^ N )  =  B )
191189, 186, 190syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) ) ^ N )  =  B )
192183adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
193192nn0cnd 10630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  n  e.  CC )
194186nncnd 10330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
195193, 194mulcomd 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( n  x.  N )  =  ( N  x.  n ) )
196195oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( n  x.  N ) )  =  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( N  x.  n ) ) )
19715adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
198197, 187, 192expmuld 12003 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( n  x.  N ) )  =  ( ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ^ N ) )
199197, 192, 187expmuld 12003 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( N  x.  n ) )  =  ( ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ N
) ^ n ) )
200196, 198, 1993eqtr3d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ^ N )  =  ( ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ N
) ^ n ) )
201186, 140syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ N )  =  1 )
202201oveq1d 6101 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ N
) ^ n )  =  ( 1 ^ n ) )
203 elfzelz 11445 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
204203adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
205 1exp 11885 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
206204, 205syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
207200, 202, 2063eqtrd 2474 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ^ N )  =  1 )
208191, 207oveq12d 6104 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) ) ^ N )  x.  ( ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ^ N ) )  =  ( B  x.  1 ) )
209189mulid1d 9395 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B  x.  1 )  =  B )
210188, 208, 2093eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ^ N
)  =  B )
211 oveq1 6093 . . . . 5  |-  ( A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  ->  ( A ^ N )  =  ( ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) ) ^ N ) )
212211eqeq1d 2446 . . . 4  |-  ( A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  ->  ( ( A ^ N )  =  B  <->  ( ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ^ N
)  =  B ) )
213210, 212syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  ->  ( A ^ N )  =  B ) )
214213rexlimdva 2836 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) A  =  ( ( B  ^c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  ->  ( A ^ N )  =  B ) )
215176, 214impbid 191 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A ^ N
)  =  B  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   E.wrex 2711   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   _ici 9276    + caddc 9277    x. cmul 9279    - cmin 9587   -ucneg 9588    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   ...cfz 11429    mod cmo 11700   ^cexp 11857   expce 13339   picpi 13344   logclog 21986    ^c ccxp 21987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434  df-limc 21321  df-dv 21322  df-log 21988  df-cxp 21989
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