MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn3lem Structured version   Unicode version

Theorem cxpcn3lem 22311
Description: Lemma for cxpcn3 22312. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d  |-  D  =  ( `' Re " RR+ )
cxpcn3.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cxpcn3.k  |-  K  =  ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )
cxpcn3.l  |-  L  =  ( Jt  D )
cxpcn3.u  |-  U  =  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  / 
2 )
cxpcn3.t  |-  T  =  if ( U  <_ 
( E  ^c 
( 1  /  U
) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )
Assertion
Ref Expression
cxpcn3lem  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
Distinct variable groups:    a, b,
d, A    E, a,
b, d    J, d    K, a, b, d    D, a, b, d    L, a, b, d    T, a, b, d
Allowed substitution hints:    U( a, b, d)    J( a, b)

Proof of Theorem cxpcn3lem
StepHypRef Expression
1 cxpcn3.t . . 3  |-  T  =  if ( U  <_ 
( E  ^c 
( 1  /  U
) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )
2 cxpcn3.u . . . . 5  |-  U  =  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  / 
2 )
3 cxpcn3.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( `' Re " RR+ )
43eleq2i 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  D  <->  A  e.  ( `' Re " RR+ )
)
5 ref 12712 . . . . . . . . . . 11  |-  Re : CC
--> RR
6 ffn 5660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Re : CC --> RR  ->  Re  Fn  CC )
7 elpreima 5925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Re  Fn  CC  ->  ( A  e.  ( `' Re " RR+ )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( Re
`  A )  e.  RR+ ) ) )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( `' Re "
RR+ )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( Re
`  A )  e.  RR+ ) )
94, 8bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  CC  /\  ( Re
`  A )  e.  RR+ ) )
109simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  D  ->  (
Re `  A )  e.  RR+ )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR+ )
12 1rp 11099 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR+
13 ifcl 3932 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR+ )
1411, 12, 13sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR+ )
1514rphalfcld 11143 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  / 
2 )  e.  RR+ )
162, 15syl5eqel 2543 . . . 4  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  U  e.  RR+ )
17 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  E  e.  RR+ )
1816rpreccld 11141 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  U
)  e.  RR+ )
1918rpred 11131 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  U
)  e.  RR )
2017, 19rpcxpcld 22301 . . . 4  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( E  ^c 
( 1  /  U
) )  e.  RR+ )
21 ifcl 3932 . . . 4  |-  ( ( U  e.  RR+  /\  ( E  ^c  ( 1  /  U ) )  e.  RR+ )  ->  if ( U  <_  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )  e.  RR+ )
2216, 20, 21syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  if ( U  <_  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )  e.  RR+ )
231, 22syl5eqel 2543 . 2  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  T  e.  RR+ )
24 elrege0 11502 . . . 4  |-  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( a  e.  RR  /\  0  <_ 
a ) )
25 0red 9491 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
0  e.  RR )
26 leloe 9565 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( 0  <_  a  <->  ( 0  <  a  \/  0  =  a ) ) )
2725, 26sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
a  <->  ( 0  < 
a  \/  0  =  a ) ) )
28 elrp 11097 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  RR+  <->  ( a  e.  RR  /\  0  < 
a ) )
29 simp2l 1014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  e.  RR+ )
30 simp2r 1015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  b  e.  D )
31 cnvimass 5290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' Re " RR+ )  C_ 
dom  Re
325fdmi 5665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  Re  =  CC
3331, 32sseqtri 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' Re " RR+ )  C_  CC
343, 33eqsstri 3487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  D  C_  CC
3534sseli 3453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  D  ->  b  e.  CC )
3630, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  b  e.  CC )
37 abscxp 22263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  CC )  ->  ( abs `  ( a  ^c  b ) )  =  ( a  ^c  ( Re `  b ) ) )
3829, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  ( a  ^c 
b ) )  =  ( a  ^c 
( Re `  b
) ) )
3936recld 12794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  b )  e.  RR )
4029, 39rpcxpcld 22301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  ( Re `  b ) )  e.  RR+ )
4140rpred 11131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  ( Re `  b ) )  e.  RR )
42163ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  U  e.  RR+ )
4342rpred 11131 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  U  e.  RR )
4429, 43rpcxpcld 22301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  U )  e.  RR+ )
4544rpred 11131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  U )  e.  RR )
46 simp1r 1013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  E  e.  RR+ )
4746rpred 11131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  E  e.  RR )
48 simp1l 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  A  e.  D )
499simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  D  ->  A  e.  CC )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  A  e.  CC )
5150recld 12794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
5251rehalfcld 10675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
Re `  A )  /  2 )  e.  RR )
53 1re 9489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
54 min1 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( ( Re
`  A )  <_ 
1 ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  <_  (
Re `  A )
)
5551, 53, 54sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  if (
( Re `  A
)  <_  1 , 
( Re `  A
) ,  1 )  <_  ( Re `  A ) )
56143ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  if (
( Re `  A
)  <_  1 , 
( Re `  A
) ,  1 )  e.  RR+ )
5756rpred 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  if (
( Re `  A
)  <_  1 , 
( Re `  A
) ,  1 )  e.  RR )
58 2re 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  2  e.  RR )
60 2pos 10517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  2
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  0  <  2 )
62 lediv1 10298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( if ( ( Re
`  A )  <_ 
1 ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  RR  /\  ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  <_  ( Re `  A )  <->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  /  2 )  <_  ( ( Re
`  A )  / 
2 ) ) )
6357, 51, 59, 61, 62syl112anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  <_  ( Re `  A )  <->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  /  2 )  <_  ( ( Re
`  A )  / 
2 ) ) )
6455, 63mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  /  2 )  <_  ( ( Re
`  A )  / 
2 ) )
652, 64syl5eqbr 4426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  U  <_  ( ( Re `  A
)  /  2 ) )
6651recnd 9516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  A )  e.  CC )
67662halvesd 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
( Re `  A
)  /  2 )  +  ( ( Re
`  A )  / 
2 ) )  =  ( Re `  A
) )
6850, 36resubd 12816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  ( A  -  b
) )  =  ( ( Re `  A
)  -  ( Re
`  b ) ) )
6950, 36subcld 9823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( A  -  b )  e.  CC )
7069recld 12794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  ( A  -  b
) )  e.  RR )
7169abscld 13033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  ( A  -  b
) )  e.  RR )
7269releabsd 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  ( A  -  b
) )  <_  ( abs `  ( A  -  b ) ) )
73 simp3r 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  ( A  -  b
) )  <  T
)
7473, 1syl6breq 4432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  ( A  -  b
) )  <  if ( U  <_  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) )
75203ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( E  ^c  ( 1  /  U ) )  e.  RR+ )
7675rpred 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( E  ^c  ( 1  /  U ) )  e.  RR )
77 ltmin 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( abs `  ( A  -  b )
)  e.  RR  /\  U  e.  RR  /\  ( E  ^c  ( 1  /  U ) )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  ( A  -  b )
)  <  if ( U  <_  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )  <->  ( ( abs `  ( A  -  b
) )  <  U  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) ) )
7871, 43, 76, 77syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( ( abs `  ( A  -  b ) )  < 
if ( U  <_ 
( E  ^c 
( 1  /  U
) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )  <-> 
( ( abs `  ( A  -  b )
)  <  U  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) ) )
7974, 78mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( ( abs `  ( A  -  b ) )  < 
U  /\  ( abs `  ( A  -  b
) )  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) )
8079simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  ( A  -  b
) )  <  U
)
8170, 71, 43, 72, 80lelttrd 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  ( A  -  b
) )  <  U
)
8270, 43, 52, 81, 65ltletrd 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  ( A  -  b
) )  <  (
( Re `  A
)  /  2 ) )
8368, 82eqbrtrrd 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
Re `  A )  -  ( Re `  b ) )  < 
( ( Re `  A )  /  2
) )
8451, 39, 52ltsubadd2d 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
( Re `  A
)  -  ( Re
`  b ) )  <  ( ( Re
`  A )  / 
2 )  <->  ( Re `  A )  <  (
( Re `  b
)  +  ( ( Re `  A )  /  2 ) ) ) )
8583, 84mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  A )  <  (
( Re `  b
)  +  ( ( Re `  A )  /  2 ) ) )
8667, 85eqbrtrd 4413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
( Re `  A
)  /  2 )  +  ( ( Re
`  A )  / 
2 ) )  < 
( ( Re `  b )  +  ( ( Re `  A
)  /  2 ) ) )
8752, 39, 52ltadd1d 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
( Re `  A
)  /  2 )  <  ( Re `  b )  <->  ( (
( Re `  A
)  /  2 )  +  ( ( Re
`  A )  / 
2 ) )  < 
( ( Re `  b )  +  ( ( Re `  A
)  /  2 ) ) ) )
8886, 87mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
Re `  A )  /  2 )  < 
( Re `  b
) )
8943, 52, 39, 65, 88lelttrd 9633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  U  <  ( Re `  b ) )
9029rpred 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  e.  RR )
9153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  1  e.  RR )
9229rprege0d 11138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  e.  RR  /\  0  <_ 
a ) )
93 absid 12896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  RR  /\  0  <_  a )  -> 
( abs `  a
)  =  a )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  a )  =  a )
95 simp3l 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  a )  <  T
)
9694, 95eqbrtrrd 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  <  T )
9796, 1syl6breq 4432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  <  if ( U  <_  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) )
98 ltmin 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  RR  /\  U  e.  RR  /\  ( E  ^c  ( 1  /  U ) )  e.  RR )  -> 
( a  <  if ( U  <_  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )  <->  ( a  <  U  /\  a  < 
( E  ^c 
( 1  /  U
) ) ) ) )
9990, 43, 76, 98syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  <  if ( U  <_ 
( E  ^c 
( 1  /  U
) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )  <-> 
( a  <  U  /\  a  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) ) )
10097, 99mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  <  U  /\  a  < 
( E  ^c 
( 1  /  U
) ) ) )
101100simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  <  U )
102 rehalfcl 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
10353, 102mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
104 min2 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( ( Re
`  A )  <_ 
1 ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  <_  1
)
10551, 53, 104sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  if (
( Re `  A
)  <_  1 , 
( Re `  A
) ,  1 )  <_  1 )
106 lediv1 10298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( if ( ( Re
`  A )  <_ 
1 ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  <_  1  <->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  /  2 )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
10757, 91, 59, 61, 106syl112anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  <_  1  <->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  /  2 )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
108105, 107mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  /  2 )  <_  ( 1  / 
2 ) )
1092, 108syl5eqbr 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  U  <_  ( 1  /  2 ) )
110 halflt1 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  /  2 )  <  1
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( 1  /  2 )  <  1 )
11243, 103, 91, 109, 111lelttrd 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  U  <  1 )
11390, 43, 91, 101, 112lttrd 9636 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  <  1 )
11429, 43, 113, 39cxplt3d 22303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( U  <  ( Re `  b
)  <->  ( a  ^c  ( Re `  b ) )  < 
( a  ^c  U ) ) )
11589, 114mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  ( Re `  b ) )  < 
( a  ^c  U ) )
11642rpcnne0d 11140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( U  e.  CC  /\  U  =/=  0 ) )
117 recid 10112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  CC  /\  U  =/=  0 )  -> 
( U  x.  (
1  /  U ) )  =  1 )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( U  x.  ( 1  /  U
) )  =  1 )
119118oveq2d 6209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  ( U  x.  ( 1  /  U
) ) )  =  ( a  ^c 
1 ) )
12042rpreccld 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( 1  /  U )  e.  RR+ )
121120rpcnd 11133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( 1  /  U )  e.  CC )
12229, 43, 121cxpmuld 22305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  ( U  x.  ( 1  /  U
) ) )  =  ( ( a  ^c  U )  ^c 
( 1  /  U
) ) )
12329rpcnd 11133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  e.  CC )
124123cxp1d 22277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  1 )  =  a )
125119, 122, 1243eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
a  ^c  U )  ^c  ( 1  /  U ) )  =  a )
126100simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )
127125, 126eqbrtrd 4413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
a  ^c  U )  ^c  ( 1  /  U ) )  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )
12844rprege0d 11138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
a  ^c  U )  e.  RR  /\  0  <_  ( a  ^c  U ) ) )
12946rprege0d 11138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( E  e.  RR  /\  0  <_  E ) )
130 cxplt2 22269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( a  ^c  U )  e.  RR  /\  0  <_  ( a  ^c  U )
)  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <_  E )  /\  (
1  /  U )  e.  RR+ )  ->  (
( a  ^c  U )  <  E  <->  ( ( a  ^c  U )  ^c 
( 1  /  U
) )  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) )
131128, 129, 120, 130syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
a  ^c  U )  <  E  <->  ( (
a  ^c  U )  ^c  ( 1  /  U ) )  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) )
132127, 131mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  U )  <  E )
13341, 45, 47, 115, 132lttrd 9636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  ( Re `  b ) )  < 
E )
13438, 133eqbrtrd 4413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  ( a  ^c 
b ) )  < 
E )
1351343expia 1190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D ) )  ->  ( (
( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
136135anassrs 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  b  e.  D )  ->  (
( ( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
137136ralrimiva 2825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  ->  A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
13828, 137sylan2br 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR  /\  0  <  a ) )  ->  A. b  e.  D  ( (
( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
139138expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ( 0  < 
a  ->  A. b  e.  D  ( (
( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
140 elpreima 5925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Re  Fn  CC  ->  (
b  e.  ( `' Re " RR+ )  <->  ( b  e.  CC  /\  ( Re `  b )  e.  RR+ ) ) )
1415, 6, 140mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  ( `' Re "
RR+ )  <->  ( b  e.  CC  /\  ( Re
`  b )  e.  RR+ ) )
142141simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( `' Re "
RR+ )  ->  (
Re `  b )  e.  RR+ )
143142, 3eleq2s 2559 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  D  ->  (
Re `  b )  e.  RR+ )
144143rpne0d 11136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  D  ->  (
Re `  b )  =/=  0 )
145 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  0  ->  (
Re `  b )  =  ( Re ` 
0 ) )
146 re0 12752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Re
`  0 )  =  0
147145, 146syl6eq 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  0  ->  (
Re `  b )  =  0 )
148147necon3i 2688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Re `  b )  =/=  0  ->  b  =/=  0 )
149144, 148syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  D  ->  b  =/=  0 )
15035, 1490cxpd 22281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  D  ->  (
0  ^c  b )  =  0 )
151150adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  (
0  ^c  b )  =  0 )
152151abs00bd 12891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  ( abs `  ( 0  ^c  b ) )  =  0 )
153 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  E  e.  RR+ )
154153rpgt0d 11134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  0  <  E )
155152, 154eqbrtrd 4413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  ( abs `  ( 0  ^c  b ) )  <  E )
156 oveq1 6200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  =  a  ->  (
0  ^c  b )  =  ( a  ^c  b ) )
157156fveq2d 5796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  =  a  ->  ( abs `  ( 0  ^c  b ) )  =  ( abs `  (
a  ^c  b ) ) )
158157breq1d 4403 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  =  a  ->  (
( abs `  (
0  ^c  b ) )  <  E  <->  ( abs `  ( a  ^c  b ) )  <  E ) )
159155, 158syl5ibcom 220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  (
0  =  a  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
160159a1dd 46 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  (
0  =  a  -> 
( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
161160ralrimdva 2905 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ( 0  =  a  ->  A. b  e.  D  ( (
( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
162139, 161jaod 380 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ( ( 0  <  a  \/  0  =  a )  ->  A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
16327, 162sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
a  ->  A. b  e.  D  ( (
( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
164163expimpd 603 . . . 4  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( ( a  e.  RR  /\  0  <_ 
a )  ->  A. b  e.  D  ( (
( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
16524, 164syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( a  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
166165ralrimiv 2823 . 2  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  A. a  e.  (
0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
167 breq2 4397 . . . . . 6  |-  ( d  =  T  ->  (
( abs `  a
)  <  d  <->  ( abs `  a )  <  T
) )
168 breq2 4397 . . . . . 6  |-  ( d  =  T  ->  (
( abs `  ( A  -  b )
)  <  d  <->  ( abs `  ( A  -  b
) )  <  T
) )
169167, 168anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( d  =  T  ->  (
( ( abs `  a
)  <  d  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  d )  <->  ( ( abs `  a )  < 
T  /\  ( abs `  ( A  -  b
) )  <  T
) ) )
170169imbi1d 317 . . . 4  |-  ( d  =  T  ->  (
( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
)  <->  ( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  < 
T )  ->  ( abs `  ( a  ^c  b ) )  <  E ) ) )
1711702ralbidv 2871 . . 3  |-  ( d  =  T  ->  ( A. a  e.  (
0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
)  <->  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
172171rspcev 3172 . 2  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  (
( ( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
17323, 166, 172syl2anc 661 1  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   ifcif 3892   class class class wbr 4393   `'ccnv 4940   dom cdm 4941   "cima 4944    Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389    x. cmul 9391   +oocpnf 9519    < clt 9522    <_ cle 9523    - cmin 9699    / cdiv 10097   2c2 10475   RR+crp 11095   [,)cico 11406   Recre 12697   abscabs 12834   ↾t crest 14470   TopOpenctopn 14471  ℂfldccnfld 17936    ^c ccxp 22133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ioc 11409  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-fac 12162  df-bc 12189  df-hash 12214  df-shft 12667  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-limsup 13060  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-ef 13464  df-sin 13466  df-cos 13467  df-pi 13469  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-lp 18865  df-perf 18866  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-haus 19044  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cncf 20579  df-limc 21467  df-dv 21468  df-log 22134  df-cxp 22135
This theorem is referenced by:  cxpcn3  22312
  Copyright terms: Public domain W3C validator