Theorem cxpcn3lem 22849

Description: Lemma for cxpcn3 22850. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpcn3.d	|- D = ( `' Re " RR+ )
cxpcn3.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
cxpcn3.k	|- K = ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) )
cxpcn3.l	|- L = ( J ↾t D )
cxpcn3.u	|- U = ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 )
cxpcn3.t	|- T = if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cxpcn3lem	|- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( A - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )

Distinct variable groups:   a, b, d, A   E, a, b, d   J, d   K, a, b, d   D, a, b, d   L, a, b, d   T, a, b, d

Allowed substitution hints:   U( a, b, d)   J( a, b)

Proof of Theorem cxpcn3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxpcn3.t	. . 3 |- T = if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) )
2		cxpcn3.u	. . . . 5 |- U = ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 )
3		cxpcn3.d	. . . . . . . . . . 11 |- D = ( `' Re " RR+ )
4	3	eleq2i 2545	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. D <-> A e. ( `' Re " RR+ ) )
5		ref 12904	. . . . . . . . . . 11 |- Re : CC --> RR
6		ffn 5729	. . . . . . . . . . 11 |- ( Re : CC --> RR -> Re Fn CC )
7		elpreima 5999	. . . . . . . . . . 11 |- ( Re Fn CC -> ( A e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. RR+ ) ) )
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. RR+ ) )
9	4, 8	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( A e. D <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. RR+ ) )
10	9	simprbi 464	. . . . . . . 8 |- ( A e. D -> ( Re ` A ) e. RR+ )
11	10	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( Re ` A ) e. RR+ )
12		1rp 11220	. . . . . . 7 |- 1 e. RR+
13		ifcl 3981	. . . . . . 7 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR+ /\ 1 e. RR+ ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR+ )
14	11, 12, 13	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR+ )
15	14	rphalfcld 11264	. . . . 5 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) e. RR+ )
16	2, 15	syl5eqel 2559	. . . 4 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> U e. RR+ )
17		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> E e. RR+ )
18	16	rpreccld 11262	. . . . . 6 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( 1 / U ) e. RR+ )
19	18	rpred 11252	. . . . 5 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( 1 / U ) e. RR )
20	17, 19	rpcxpcld 22839	. . . 4 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( E ^c ( 1 / U ) ) e. RR+ )
21		ifcl 3981	. . . 4 |- ( ( U e. RR+ /\ ( E ^c ( 1 / U ) ) e. RR+ ) -> if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) e. RR+ )
22	16, 20, 21	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) e. RR+ )
23	1, 22	syl5eqel 2559	. 2 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> T e. RR+ )
24		elrege0 11623	. . . 4 |- ( a e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( a e. RR /\ 0 <_ a ) )
25		0red 9593	. . . . . . 7 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> 0 e. RR )
26		leloe 9667	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ a e. RR ) -> ( 0 <_ a <-> ( 0 < a \/ 0 = a ) ) )
27	25, 26	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( 0 <_ a <-> ( 0 < a \/ 0 = a ) ) )
28		elrp 11218	. . . . . . . . 9 |- ( a e. RR+ <-> ( a e. RR /\ 0 < a ) )
29		simp2l 1022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a e. RR+ )
30		simp2r 1023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> b e. D )
31		cnvimass 5355	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( `' Re " RR+ ) C_ dom Re
32	5	fdmi 5734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- dom Re = CC
33	31, 32	sseqtri 3536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' Re " RR+ ) C_ CC
34	3, 33	eqsstri 3534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- D C_ CC
35	34	sseli 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. D -> b e. CC )
36	30, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> b e. CC )
37		abscxp 22801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) = ( a ^c ( Re ` b ) ) )
38	29, 36, 37	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) = ( a ^c ( Re ` b ) ) )
39	36	recld 12986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` b ) e. RR )
40	29, 39	rpcxpcld 22839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c ( Re ` b ) ) e. RR+ )
41	40	rpred 11252	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c ( Re ` b ) ) e. RR )
42	16	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> U e. RR+ )
43	42	rpred 11252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> U e. RR )
44	29, 43	rpcxpcld 22839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c U ) e. RR+ )
45	44	rpred 11252	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c U ) e. RR )
46		simp1r 1021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> E e. RR+ )
47	46	rpred 11252	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> E e. RR )
48		simp1l 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> A e. D )
49	9	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. D -> A e. CC )
50	48, 49	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> A e. CC )
51	50	recld 12986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` A ) e. RR )
52	51	rehalfcld 10781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( Re ` A ) / 2 ) e. RR )
53		1re 9591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
54		min1 11385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ ( Re ` A ) )
55	51, 53, 54	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ ( Re ` A ) )
56	14	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR+ )
57	56	rpred 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR )
58		2re 10601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> 2 e. RR )
60		2pos 10623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 < 2
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> 0 < 2 )
62		lediv1 10403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR /\ ( Re ` A ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ ( Re ` A ) <-> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) <_ ( ( Re ` A ) / 2 ) ) )
63	57, 51, 59, 61, 62	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ ( Re ` A ) <-> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) <_ ( ( Re ` A ) / 2 ) ) )
64	55, 63	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) <_ ( ( Re ` A ) / 2 ) )
65	2, 64	syl5eqbr 4480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> U <_ ( ( Re ` A ) / 2 ) )
66	51	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` A ) e. CC )
67	66	2halvesd 10780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( ( Re ` A ) / 2 ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) = ( Re ` A ) )
68	50, 36	resubd 13008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` ( A - b ) ) = ( ( Re ` A ) - ( Re ` b ) ) )
69	50, 36	subcld 9926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( A - b ) e. CC )
70	69	recld 12986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` ( A - b ) ) e. RR )
71	69	abscld 13226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A - b ) ) e. RR )
72	69	releabsd 13241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` ( A - b ) ) <_ ( abs ` ( A - b ) ) )
73		simp3r 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A - b ) ) < T )
74	73, 1	syl6breq 4486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A - b ) ) < if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) )
75	20	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( E ^c ( 1 / U ) ) e. RR+ )
76	75	rpred 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( E ^c ( 1 / U ) ) e. RR )
77		ltmin 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( abs ` ( A - b ) ) e. RR /\ U e. RR /\ ( E ^c ( 1 / U ) ) e. RR ) -> ( ( abs ` ( A - b ) ) < if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) <-> ( ( abs ` ( A - b ) ) < U /\ ( abs ` ( A - b ) ) < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) ) )
78	71, 43, 76, 77	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` ( A - b ) ) < if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) <-> ( ( abs ` ( A - b ) ) < U /\ ( abs ` ( A - b ) ) < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) ) )
79	74, 78	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` ( A - b ) ) < U /\ ( abs ` ( A - b ) ) < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) )
80	79	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A - b ) ) < U )
81	70, 71, 43, 72, 80	lelttrd 9735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` ( A - b ) ) < U )
82	70, 43, 52, 81, 65	ltletrd 9737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` ( A - b ) ) < ( ( Re ` A ) / 2 ) )
83	68, 82	eqbrtrrd 4469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( Re ` A ) - ( Re ` b ) ) < ( ( Re ` A ) / 2 ) )
84	51, 39, 52	ltsubadd2d 10146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( ( Re ` A ) - ( Re ` b ) ) < ( ( Re ` A ) / 2 ) <-> ( Re ` A ) < ( ( Re ` b ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) ) )
85	83, 84	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` A ) < ( ( Re ` b ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) )
86	67, 85	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( ( Re ` A ) / 2 ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) < ( ( Re ` b ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) )
87	52, 39, 52	ltadd1d 10141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( ( Re ` A ) / 2 ) < ( Re ` b ) <-> ( ( ( Re ` A ) / 2 ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) < ( ( Re ` b ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) ) )
88	86, 87	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( Re ` A ) / 2 ) < ( Re ` b ) )
89	43, 52, 39, 65, 88	lelttrd 9735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> U < ( Re ` b ) )
90	29	rpred 11252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a e. RR )
91	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> 1 e. RR )
92	29	rprege0d 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a e. RR /\ 0 <_ a ) )
93		absid 13088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( a e. RR /\ 0 <_ a ) -> ( abs ` a ) = a )
94	92, 93	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` a ) = a )
95		simp3l 1024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` a ) < T )
96	94, 95	eqbrtrrd 4469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a < T )
97	96, 1	syl6breq 4486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a < if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) )
98		ltmin 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. RR /\ U e. RR /\ ( E ^c ( 1 / U ) ) e. RR ) -> ( a < if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) <-> ( a < U /\ a < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) ) )
99	90, 43, 76, 98	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a < if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) <-> ( a < U /\ a < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) ) )
100	97, 99	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a < U /\ a < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) )
101	100	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a < U )
102		rehalfcl 10761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 e. RR -> ( 1 / 2 ) e. RR )
103	53, 102	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
104		min2 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ 1 )
105	51, 53, 104	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ 1 )
106		lediv1 10403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ 1 <-> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
107	57, 91, 59, 61, 106	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ 1 <-> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
108	105, 107	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) <_ ( 1 / 2 ) )
109	2, 108	syl5eqbr 4480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> U <_ ( 1 / 2 ) )
110		halflt1 10753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 / 2 ) < 1
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( 1 / 2 ) < 1 )
112	43, 103, 91, 109, 111	lelttrd 9735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> U < 1 )
113	90, 43, 91, 101, 112	lttrd 9738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a < 1 )
114	29, 43, 113, 39	cxplt3d 22841	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( U < ( Re ` b ) <-> ( a ^c ( Re ` b ) ) < ( a ^c U ) ) )
115	89, 114	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c ( Re ` b ) ) < ( a ^c U ) )
116	42	rpcnne0d 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( U e. CC /\ U =/= 0 ) )
117		recid 10217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. CC /\ U =/= 0 ) -> ( U x. ( 1 / U ) ) = 1 )
118	116, 117	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( U x. ( 1 / U ) ) = 1 )
119	118	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c ( U x. ( 1 / U ) ) ) = ( a ^c 1 ) )
120	42	rpreccld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( 1 / U ) e. RR+ )
121	120	rpcnd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( 1 / U ) e. CC )
122	29, 43, 121	cxpmuld 22843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c ( U x. ( 1 / U ) ) ) = ( ( a ^c U ) ^c ( 1 / U ) ) )
123	29	rpcnd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a e. CC )
124	123	cxp1d 22815	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c 1 ) = a )
125	119, 122, 124	3eqtr3d 2516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( a ^c U ) ^c ( 1 / U ) ) = a )
126	100	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a < ( E ^c ( 1 / U ) ) )
127	125, 126	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( a ^c U ) ^c ( 1 / U ) ) < ( E ^c ( 1 / U ) ) )
128	44	rprege0d 11259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( a ^c U ) e. RR /\ 0 <_ ( a ^c U ) ) )
129	46	rprege0d 11259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( E e. RR /\ 0 <_ E ) )
130		cxplt2 22807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( a ^c U ) e. RR /\ 0 <_ ( a ^c U ) ) /\ ( E e. RR /\ 0 <_ E ) /\ ( 1 / U ) e. RR+ ) -> ( ( a ^c U ) < E <-> ( ( a ^c U ) ^c ( 1 / U ) ) < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) )
131	128, 129, 120, 130	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( a ^c U ) < E <-> ( ( a ^c U ) ^c ( 1 / U ) ) < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) )
132	127, 131	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c U ) < E )
133	41, 45, 47, 115, 132	lttrd 9738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c ( Re ` b ) ) < E )
134	38, 133	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E )
135	134	3expia 1198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) ) -> ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
136	135	anassrs 648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ b e. D ) -> ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
137	136	ralrimiva 2878	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
138	28, 137	sylan2br 476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ 0 < a ) ) -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
139	138	expr 615	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( 0 < a -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
140		elpreima 5999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Re Fn CC -> ( b e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( b e. CC /\ ( Re ` b ) e. RR+ ) ) )
141	5, 6, 140	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( b e. CC /\ ( Re ` b ) e. RR+ ) )
142	141	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. ( `' Re " RR+ ) -> ( Re ` b ) e. RR+ )
143	142, 3	eleq2s 2575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. D -> ( Re ` b ) e. RR+ )
144	143	rpne0d 11257	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. D -> ( Re ` b ) =/= 0 )
145		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = 0 -> ( Re ` b ) = ( Re ` 0 ) )
146		re0 12944	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Re ` 0 ) = 0
147	145, 146	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = 0 -> ( Re ` b ) = 0 )
148	147	necon3i 2707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Re ` b ) =/= 0 -> b =/= 0 )
149	144, 148	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. D -> b =/= 0 )
150	35, 149	0cxpd 22819	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. D -> ( 0 ^c b ) = 0 )
151	150	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> ( 0 ^c b ) = 0 )
152	151	abs00bd 13083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> ( abs ` ( 0 ^c b ) ) = 0 )
153		simpllr 758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> E e. RR+ )
154	153	rpgt0d 11255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> 0 < E )
155	152, 154	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> ( abs ` ( 0 ^c b ) ) < E )
156		oveq1 6289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 = a -> ( 0 ^c b ) = ( a ^c b ) )
157	156	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 = a -> ( abs ` ( 0 ^c b ) ) = ( abs ` ( a ^c b ) ) )
158	157	breq1d 4457	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 = a -> ( ( abs ` ( 0 ^c b ) ) < E <-> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
159	155, 158	syl5ibcom 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> ( 0 = a -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
160	159	a1dd 46	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> ( 0 = a -> ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
161	160	ralrimdva 2882	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( 0 = a -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
162	139, 161	jaod 380	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( ( 0 < a \/ 0 = a ) -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
163	27, 162	sylbid 215	. . . . 5 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( 0 <_ a -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
164	163	expimpd 603	. . . 4 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( ( a e. RR /\ 0 <_ a ) -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
165	24, 164	syl5bi 217	. . 3 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( a e. ( 0 [,) +oo ) -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
166	165	ralrimiv 2876	. 2 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
167		breq2 4451	. . . . . 6 |- ( d = T -> ( ( abs ` a ) < d <-> ( abs ` a ) < T ) )
168		breq2 4451	. . . . . 6 |- ( d = T -> ( ( abs ` ( A - b ) ) < d <-> ( abs ` ( A - b ) ) < T ) )
169	167, 168	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( d = T -> ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( A - b ) ) < d ) <-> ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) )
170	169	imbi1d 317	. . . 4 |- ( d = T -> ( ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( A - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) <-> ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
171	170	2ralbidv 2908	. . 3 |- ( d = T -> ( A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( A - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) <-> A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
172	171	rspcev 3214	. 2 |- ( ( T e. RR+ /\ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) -> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( A - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
173	23, 166, 172	syl2anc 661	1 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( A - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   ifcif 3939   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002   Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   +oocpnf 9621   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   / cdiv 10202   2c2 10581   RR+crp 11216   [,)cico 11527   Recre 12889   abscabs 13026   ↾_t crest 14672   TopOpenctopn 14673  ℂ_fldccnfld 18191   ^c ccxp 22671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-cxp 22673

This theorem is referenced by:  cxpcn3  22850