Theorem cxpcn3lem 22160

Description: Lemma for cxpcn3 22161. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpcn3.d	|- D = ( `' Re " RR+ )
cxpcn3.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
cxpcn3.k	|- K = ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) )
cxpcn3.l	|- L = ( J ↾t D )
cxpcn3.u	|- U = ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 )
cxpcn3.t	|- T = if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cxpcn3lem	|- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( A - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )

Distinct variable groups:   a, b, d, A   E, a, b, d   J, d   K, a, b, d   D, a, b, d   L, a, b, d   T, a, b, d

Allowed substitution hints:   U( a, b, d)   J( a, b)

Proof of Theorem cxpcn3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxpcn3.t	. . 3 |- T = if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) )
2		cxpcn3.u	. . . . 5 |- U = ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 )
3		cxpcn3.d	. . . . . . . . . . 11 |- D = ( `' Re " RR+ )
4	3	eleq2i 2502	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. D <-> A e. ( `' Re " RR+ ) )
5		ref 12593	. . . . . . . . . . 11 |- Re : CC --> RR
6		ffn 5554	. . . . . . . . . . 11 |- ( Re : CC --> RR -> Re Fn CC )
7		elpreima 5818	. . . . . . . . . . 11 |- ( Re Fn CC -> ( A e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. RR+ ) ) )
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. RR+ ) )
9	4, 8	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( A e. D <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. RR+ ) )
10	9	simprbi 464	. . . . . . . 8 |- ( A e. D -> ( Re ` A ) e. RR+ )
11	10	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( Re ` A ) e. RR+ )
12		1rp 10987	. . . . . . 7 |- 1 e. RR+
13		ifcl 3826	. . . . . . 7 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR+ /\ 1 e. RR+ ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR+ )
14	11, 12, 13	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR+ )
15	14	rphalfcld 11031	. . . . 5 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) e. RR+ )
16	2, 15	syl5eqel 2522	. . . 4 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> U e. RR+ )
17		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> E e. RR+ )
18	16	rpreccld 11029	. . . . . 6 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( 1 / U ) e. RR+ )
19	18	rpred 11019	. . . . 5 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( 1 / U ) e. RR )
20	17, 19	rpcxpcld 22150	. . . 4 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( E ^c ( 1 / U ) ) e. RR+ )
21		ifcl 3826	. . . 4 |- ( ( U e. RR+ /\ ( E ^c ( 1 / U ) ) e. RR+ ) -> if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) e. RR+ )
22	16, 20, 21	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) e. RR+ )
23	1, 22	syl5eqel 2522	. 2 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> T e. RR+ )
24		elrege0 11384	. . . 4 |- ( a e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( a e. RR /\ 0 <_ a ) )
25		0red 9379	. . . . . . 7 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> 0 e. RR )
26		leloe 9453	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ a e. RR ) -> ( 0 <_ a <-> ( 0 < a \/ 0 = a ) ) )
27	25, 26	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( 0 <_ a <-> ( 0 < a \/ 0 = a ) ) )
28		elrp 10985	. . . . . . . . 9 |- ( a e. RR+ <-> ( a e. RR /\ 0 < a ) )
29		simp2l 1014	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a e. RR+ )
30		simp2r 1015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> b e. D )
31		cnvimass 5184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( `' Re " RR+ ) C_ dom Re
32	5	fdmi 5559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- dom Re = CC
33	31, 32	sseqtri 3383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' Re " RR+ ) C_ CC
34	3, 33	eqsstri 3381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- D C_ CC
35	34	sseli 3347	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. D -> b e. CC )
36	30, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> b e. CC )
37		abscxp 22112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) = ( a ^c ( Re ` b ) ) )
38	29, 36, 37	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) = ( a ^c ( Re ` b ) ) )
39	36	recld 12675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` b ) e. RR )
40	29, 39	rpcxpcld 22150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c ( Re ` b ) ) e. RR+ )
41	40	rpred 11019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c ( Re ` b ) ) e. RR )
42	16	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> U e. RR+ )
43	42	rpred 11019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> U e. RR )
44	29, 43	rpcxpcld 22150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c U ) e. RR+ )
45	44	rpred 11019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c U ) e. RR )
46		simp1r 1013	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> E e. RR+ )
47	46	rpred 11019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> E e. RR )
48		simp1l 1012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> A e. D )
49	9	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. D -> A e. CC )
50	48, 49	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> A e. CC )
51	50	recld 12675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` A ) e. RR )
52	51	rehalfcld 10563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( Re ` A ) / 2 ) e. RR )
53		1re 9377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
54		min1 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ ( Re ` A ) )
55	51, 53, 54	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ ( Re ` A ) )
56	14	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR+ )
57	56	rpred 11019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR )
58		2re 10383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> 2 e. RR )
60		2pos 10405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 < 2
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> 0 < 2 )
62		lediv1 10186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR /\ ( Re ` A ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ ( Re ` A ) <-> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) <_ ( ( Re ` A ) / 2 ) ) )
63	57, 51, 59, 61, 62	syl112anc 1222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ ( Re ` A ) <-> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) <_ ( ( Re ` A ) / 2 ) ) )
64	55, 63	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) <_ ( ( Re ` A ) / 2 ) )
65	2, 64	syl5eqbr 4320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> U <_ ( ( Re ` A ) / 2 ) )
66	51	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` A ) e. CC )
67	66	2halvesd 10562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( ( Re ` A ) / 2 ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) = ( Re ` A ) )
68	50, 36	resubd 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` ( A - b ) ) = ( ( Re ` A ) - ( Re ` b ) ) )
69	50, 36	subcld 9711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( A - b ) e. CC )
70	69	recld 12675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` ( A - b ) ) e. RR )
71	69	abscld 12914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A - b ) ) e. RR )
72	69	releabsd 12929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` ( A - b ) ) <_ ( abs ` ( A - b ) ) )
73		simp3r 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A - b ) ) < T )
74	73, 1	syl6breq 4326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A - b ) ) < if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) )
75	20	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( E ^c ( 1 / U ) ) e. RR+ )
76	75	rpred 11019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( E ^c ( 1 / U ) ) e. RR )
77		ltmin 11157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( abs ` ( A - b ) ) e. RR /\ U e. RR /\ ( E ^c ( 1 / U ) ) e. RR ) -> ( ( abs ` ( A - b ) ) < if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) <-> ( ( abs ` ( A - b ) ) < U /\ ( abs ` ( A - b ) ) < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) ) )
78	71, 43, 76, 77	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` ( A - b ) ) < if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) <-> ( ( abs ` ( A - b ) ) < U /\ ( abs ` ( A - b ) ) < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) ) )
79	74, 78	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` ( A - b ) ) < U /\ ( abs ` ( A - b ) ) < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) )
80	79	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A - b ) ) < U )
81	70, 71, 43, 72, 80	lelttrd 9521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` ( A - b ) ) < U )
82	70, 43, 52, 81, 65	ltletrd 9523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` ( A - b ) ) < ( ( Re ` A ) / 2 ) )
83	68, 82	eqbrtrrd 4309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( Re ` A ) - ( Re ` b ) ) < ( ( Re ` A ) / 2 ) )
84	51, 39, 52	ltsubadd2d 9929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( ( Re ` A ) - ( Re ` b ) ) < ( ( Re ` A ) / 2 ) <-> ( Re ` A ) < ( ( Re ` b ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) ) )
85	83, 84	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` A ) < ( ( Re ` b ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) )
86	67, 85	eqbrtrd 4307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( ( Re ` A ) / 2 ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) < ( ( Re ` b ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) )
87	52, 39, 52	ltadd1d 9924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( ( Re ` A ) / 2 ) < ( Re ` b ) <-> ( ( ( Re ` A ) / 2 ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) < ( ( Re ` b ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) ) )
88	86, 87	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( Re ` A ) / 2 ) < ( Re ` b ) )
89	43, 52, 39, 65, 88	lelttrd 9521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> U < ( Re ` b ) )
90	29	rpred 11019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a e. RR )
91	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> 1 e. RR )
92	29	rprege0d 11026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a e. RR /\ 0 <_ a ) )
93		absid 12777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( a e. RR /\ 0 <_ a ) -> ( abs ` a ) = a )
94	92, 93	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` a ) = a )
95		simp3l 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` a ) < T )
96	94, 95	eqbrtrrd 4309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a < T )
97	96, 1	syl6breq 4326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a < if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) )
98		ltmin 11157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. RR /\ U e. RR /\ ( E ^c ( 1 / U ) ) e. RR ) -> ( a < if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) <-> ( a < U /\ a < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) ) )
99	90, 43, 76, 98	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a < if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) <-> ( a < U /\ a < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) ) )
100	97, 99	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a < U /\ a < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) )
101	100	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a < U )
102		rehalfcl 10543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 e. RR -> ( 1 / 2 ) e. RR )
103	53, 102	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
104		min2 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ 1 )
105	51, 53, 104	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ 1 )
106		lediv1 10186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ 1 <-> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
107	57, 91, 59, 61, 106	syl112anc 1222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ 1 <-> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
108	105, 107	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) <_ ( 1 / 2 ) )
109	2, 108	syl5eqbr 4320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> U <_ ( 1 / 2 ) )
110		halflt1 10535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 / 2 ) < 1
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( 1 / 2 ) < 1 )
112	43, 103, 91, 109, 111	lelttrd 9521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> U < 1 )
113	90, 43, 91, 101, 112	lttrd 9524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a < 1 )
114	29, 43, 113, 39	cxplt3d 22152	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( U < ( Re ` b ) <-> ( a ^c ( Re ` b ) ) < ( a ^c U ) ) )
115	89, 114	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c ( Re ` b ) ) < ( a ^c U ) )
116	42	rpcnne0d 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( U e. CC /\ U =/= 0 ) )
117		recid 10000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. CC /\ U =/= 0 ) -> ( U x. ( 1 / U ) ) = 1 )
118	116, 117	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( U x. ( 1 / U ) ) = 1 )
119	118	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c ( U x. ( 1 / U ) ) ) = ( a ^c 1 ) )
120	42	rpreccld 11029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( 1 / U ) e. RR+ )
121	120	rpcnd 11021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( 1 / U ) e. CC )
122	29, 43, 121	cxpmuld 22154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c ( U x. ( 1 / U ) ) ) = ( ( a ^c U ) ^c ( 1 / U ) ) )
123	29	rpcnd 11021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a e. CC )
124	123	cxp1d 22126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c 1 ) = a )
125	119, 122, 124	3eqtr3d 2478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( a ^c U ) ^c ( 1 / U ) ) = a )
126	100	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a < ( E ^c ( 1 / U ) ) )
127	125, 126	eqbrtrd 4307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( a ^c U ) ^c ( 1 / U ) ) < ( E ^c ( 1 / U ) ) )
128	44	rprege0d 11026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( a ^c U ) e. RR /\ 0 <_ ( a ^c U ) ) )
129	46	rprege0d 11026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( E e. RR /\ 0 <_ E ) )
130		cxplt2 22118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( a ^c U ) e. RR /\ 0 <_ ( a ^c U ) ) /\ ( E e. RR /\ 0 <_ E ) /\ ( 1 / U ) e. RR+ ) -> ( ( a ^c U ) < E <-> ( ( a ^c U ) ^c ( 1 / U ) ) < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) )
131	128, 129, 120, 130	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( a ^c U ) < E <-> ( ( a ^c U ) ^c ( 1 / U ) ) < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) )
132	127, 131	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c U ) < E )
133	41, 45, 47, 115, 132	lttrd 9524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c ( Re ` b ) ) < E )
134	38, 133	eqbrtrd 4307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E )
135	134	3expia 1189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) ) -> ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
136	135	anassrs 648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ b e. D ) -> ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
137	136	ralrimiva 2794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
138	28, 137	sylan2br 476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ 0 < a ) ) -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
139	138	expr 615	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( 0 < a -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
140		elpreima 5818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Re Fn CC -> ( b e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( b e. CC /\ ( Re ` b ) e. RR+ ) ) )
141	5, 6, 140	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( b e. CC /\ ( Re ` b ) e. RR+ ) )
142	141	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. ( `' Re " RR+ ) -> ( Re ` b ) e. RR+ )
143	142, 3	eleq2s 2530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. D -> ( Re ` b ) e. RR+ )
144	143	rpne0d 11024	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. D -> ( Re ` b ) =/= 0 )
145		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = 0 -> ( Re ` b ) = ( Re ` 0 ) )
146		re0 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Re ` 0 ) = 0
147	145, 146	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = 0 -> ( Re ` b ) = 0 )
148	147	necon3i 2645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Re ` b ) =/= 0 -> b =/= 0 )
149	144, 148	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. D -> b =/= 0 )
150	35, 149	0cxpd 22130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. D -> ( 0 ^c b ) = 0 )
151	150	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> ( 0 ^c b ) = 0 )
152	151	abs00bd 12772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> ( abs ` ( 0 ^c b ) ) = 0 )
153		simpllr 758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> E e. RR+ )
154	153	rpgt0d 11022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> 0 < E )
155	152, 154	eqbrtrd 4307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> ( abs ` ( 0 ^c b ) ) < E )
156		oveq1 6093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 = a -> ( 0 ^c b ) = ( a ^c b ) )
157	156	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 = a -> ( abs ` ( 0 ^c b ) ) = ( abs ` ( a ^c b ) ) )
158	157	breq1d 4297	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 = a -> ( ( abs ` ( 0 ^c b ) ) < E <-> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
159	155, 158	syl5ibcom 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> ( 0 = a -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
160	159	a1dd 46	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> ( 0 = a -> ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
161	160	ralrimdva 2801	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( 0 = a -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
162	139, 161	jaod 380	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( ( 0 < a \/ 0 = a ) -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
163	27, 162	sylbid 215	. . . . 5 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( 0 <_ a -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
164	163	expimpd 603	. . . 4 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( ( a e. RR /\ 0 <_ a ) -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
165	24, 164	syl5bi 217	. . 3 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( a e. ( 0 [,) +oo ) -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
166	165	ralrimiv 2793	. 2 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
167		breq2 4291	. . . . . 6 |- ( d = T -> ( ( abs ` a ) < d <-> ( abs ` a ) < T ) )
168		breq2 4291	. . . . . 6 |- ( d = T -> ( ( abs ` ( A - b ) ) < d <-> ( abs ` ( A - b ) ) < T ) )
169	167, 168	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( d = T -> ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( A - b ) ) < d ) <-> ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) )
170	169	imbi1d 317	. . . 4 |- ( d = T -> ( ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( A - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) <-> ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
171	170	2ralbidv 2752	. . 3 |- ( d = T -> ( A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( A - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) <-> A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
172	171	rspcev 3068	. 2 |- ( ( T e. RR+ /\ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) -> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( A - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
173	23, 166, 172	syl2anc 661	1 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( A - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   ifcif 3786   class class class wbr 4287   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   "cima 4838   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   +oocpnf 9407   < clt 9410   <_ cle 9411   - cmin 9587   / cdiv 9985   2c2 10363   RR+crp 10983   [,)cico 11294   Recre 12578   abscabs 12715   ↾_t crest 14351   TopOpenctopn 14352  ℂ_fldccnfld 17793   ^c ccxp 21982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-log 21983  df-cxp 21984

This theorem is referenced by:  cxpcn3  22161