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Theorem cxpcn3lem 23685
Description: Lemma for cxpcn3 23686. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d  |-  D  =  ( `' Re " RR+ )
cxpcn3.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cxpcn3.k  |-  K  =  ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )
cxpcn3.l  |-  L  =  ( Jt  D )
cxpcn3.u  |-  U  =  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  / 
2 )
cxpcn3.t  |-  T  =  if ( U  <_ 
( E  ^c 
( 1  /  U
) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )
Assertion
Ref Expression
cxpcn3lem  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
Distinct variable groups:    a, b,
d, A    E, a,
b, d    J, d    K, a, b, d    D, a, b, d    L, a, b, d    T, a, b, d
Allowed substitution hints:    U( a, b, d)    J( a, b)

Proof of Theorem cxpcn3lem
StepHypRef Expression
1 cxpcn3.t . . 3  |-  T  =  if ( U  <_ 
( E  ^c 
( 1  /  U
) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )
2 cxpcn3.u . . . . 5  |-  U  =  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  / 
2 )
3 cxpcn3.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( `' Re " RR+ )
43eleq2i 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  D  <->  A  e.  ( `' Re " RR+ )
)
5 ref 13175 . . . . . . . . . . 11  |-  Re : CC
--> RR
6 ffn 5746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Re : CC --> RR  ->  Re  Fn  CC )
7 elpreima 6017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Re  Fn  CC  ->  ( A  e.  ( `' Re " RR+ )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( Re
`  A )  e.  RR+ ) ) )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( `' Re "
RR+ )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( Re
`  A )  e.  RR+ ) )
94, 8bitri 252 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  CC  /\  ( Re
`  A )  e.  RR+ ) )
109simprbi 465 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  D  ->  (
Re `  A )  e.  RR+ )
1110adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR+ )
12 1rp 11313 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR+
13 ifcl 3953 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR+ )
1411, 12, 13sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR+ )
1514rphalfcld 11360 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  / 
2 )  e.  RR+ )
162, 15syl5eqel 2511 . . . 4  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  U  e.  RR+ )
17 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  E  e.  RR+ )
1816rpreccld 11358 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  U
)  e.  RR+ )
1918rpred 11348 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  U
)  e.  RR )
2017, 19rpcxpcld 23673 . . . 4  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( E  ^c 
( 1  /  U
) )  e.  RR+ )
2116, 20ifcld 3954 . . 3  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  if ( U  <_  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )  e.  RR+ )
221, 21syl5eqel 2511 . 2  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  T  e.  RR+ )
23 elrege0 11745 . . . 4  |-  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( a  e.  RR  /\  0  <_ 
a ) )
24 0red 9651 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
0  e.  RR )
25 leloe 9727 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( 0  <_  a  <->  ( 0  <  a  \/  0  =  a ) ) )
2624, 25sylan 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
a  <->  ( 0  < 
a  \/  0  =  a ) ) )
27 elrp 11311 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  RR+  <->  ( a  e.  RR  /\  0  < 
a ) )
28 simp2l 1031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  e.  RR+ )
29 simp2r 1032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  b  e.  D )
30 cnvimass 5207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' Re " RR+ )  C_ 
dom  Re
315fdmi 5751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  Re  =  CC
3230, 31sseqtri 3496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' Re " RR+ )  C_  CC
333, 32eqsstri 3494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  D  C_  CC
3433sseli 3460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  D  ->  b  e.  CC )
3529, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  b  e.  CC )
36 abscxp 23635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  CC )  ->  ( abs `  ( a  ^c  b ) )  =  ( a  ^c  ( Re `  b ) ) )
3728, 35, 36syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  ( a  ^c 
b ) )  =  ( a  ^c 
( Re `  b
) ) )
3835recld 13257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  b )  e.  RR )
3928, 38rpcxpcld 23673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  ( Re `  b ) )  e.  RR+ )
4039rpred 11348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  ( Re `  b ) )  e.  RR )
41163ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  U  e.  RR+ )
4241rpred 11348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  U  e.  RR )
4328, 42rpcxpcld 23673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  U )  e.  RR+ )
4443rpred 11348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  U )  e.  RR )
45 simp1r 1030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  E  e.  RR+ )
4645rpred 11348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  E  e.  RR )
47 simp1l 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  A  e.  D )
489simplbi 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  D  ->  A  e.  CC )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  A  e.  CC )
5049recld 13257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
5150rehalfcld 10866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
Re `  A )  /  2 )  e.  RR )
52 1re 9649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
53 min1 11490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( ( Re
`  A )  <_ 
1 ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  <_  (
Re `  A )
)
5450, 52, 53sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  if (
( Re `  A
)  <_  1 , 
( Re `  A
) ,  1 )  <_  ( Re `  A ) )
55143ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  if (
( Re `  A
)  <_  1 , 
( Re `  A
) ,  1 )  e.  RR+ )
5655rpred 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  if (
( Re `  A
)  <_  1 , 
( Re `  A
) ,  1 )  e.  RR )
57 2re 10686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  2  e.  RR )
59 2pos 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  2
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  0  <  2 )
61 lediv1 10477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( if ( ( Re
`  A )  <_ 
1 ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  RR  /\  ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  <_  ( Re `  A )  <->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  /  2 )  <_  ( ( Re
`  A )  / 
2 ) ) )
6256, 50, 58, 60, 61syl112anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  <_  ( Re `  A )  <->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  /  2 )  <_  ( ( Re
`  A )  / 
2 ) ) )
6354, 62mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  /  2 )  <_  ( ( Re
`  A )  / 
2 ) )
642, 63syl5eqbr 4457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  U  <_  ( ( Re `  A
)  /  2 ) )
6550recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  A )  e.  CC )
66652halvesd 10865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
( Re `  A
)  /  2 )  +  ( ( Re
`  A )  / 
2 ) )  =  ( Re `  A
) )
6749, 35resubd 13279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  ( A  -  b
) )  =  ( ( Re `  A
)  -  ( Re
`  b ) ) )
6849, 35subcld 9993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( A  -  b )  e.  CC )
6968recld 13257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  ( A  -  b
) )  e.  RR )
7068abscld 13497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  ( A  -  b
) )  e.  RR )
7168releabsd 13512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  ( A  -  b
) )  <_  ( abs `  ( A  -  b ) ) )
72 simp3r 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  ( A  -  b
) )  <  T
)
7372, 1syl6breq 4463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  ( A  -  b
) )  <  if ( U  <_  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) )
74203ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( E  ^c  ( 1  /  U ) )  e.  RR+ )
7574rpred 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( E  ^c  ( 1  /  U ) )  e.  RR )
76 ltmin 11495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( abs `  ( A  -  b )
)  e.  RR  /\  U  e.  RR  /\  ( E  ^c  ( 1  /  U ) )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  ( A  -  b )
)  <  if ( U  <_  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )  <->  ( ( abs `  ( A  -  b
) )  <  U  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) ) )
7770, 42, 75, 76syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( ( abs `  ( A  -  b ) )  < 
if ( U  <_ 
( E  ^c 
( 1  /  U
) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )  <-> 
( ( abs `  ( A  -  b )
)  <  U  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) ) )
7873, 77mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( ( abs `  ( A  -  b ) )  < 
U  /\  ( abs `  ( A  -  b
) )  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) )
7978simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  ( A  -  b
) )  <  U
)
8069, 70, 42, 71, 79lelttrd 9800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  ( A  -  b
) )  <  U
)
8169, 42, 51, 80, 64ltletrd 9802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  ( A  -  b
) )  <  (
( Re `  A
)  /  2 ) )
8267, 81eqbrtrrd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
Re `  A )  -  ( Re `  b ) )  < 
( ( Re `  A )  /  2
) )
8350, 38, 51ltsubadd2d 10218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
( Re `  A
)  -  ( Re
`  b ) )  <  ( ( Re
`  A )  / 
2 )  <->  ( Re `  A )  <  (
( Re `  b
)  +  ( ( Re `  A )  /  2 ) ) ) )
8482, 83mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  A )  <  (
( Re `  b
)  +  ( ( Re `  A )  /  2 ) ) )
8566, 84eqbrtrd 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
( Re `  A
)  /  2 )  +  ( ( Re
`  A )  / 
2 ) )  < 
( ( Re `  b )  +  ( ( Re `  A
)  /  2 ) ) )
8651, 38, 51ltadd1d 10213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
( Re `  A
)  /  2 )  <  ( Re `  b )  <->  ( (
( Re `  A
)  /  2 )  +  ( ( Re
`  A )  / 
2 ) )  < 
( ( Re `  b )  +  ( ( Re `  A
)  /  2 ) ) ) )
8785, 86mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
Re `  A )  /  2 )  < 
( Re `  b
) )
8842, 51, 38, 64, 87lelttrd 9800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  U  <  ( Re `  b ) )
8928rpred 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  e.  RR )
9052a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  1  e.  RR )
9128rprege0d 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  e.  RR  /\  0  <_ 
a ) )
92 absid 13359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  RR  /\  0  <_  a )  -> 
( abs `  a
)  =  a )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  a )  =  a )
94 simp3l 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  a )  <  T
)
9593, 94eqbrtrrd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  <  T )
9695, 1syl6breq 4463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  <  if ( U  <_  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) )
97 ltmin 11495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  RR  /\  U  e.  RR  /\  ( E  ^c  ( 1  /  U ) )  e.  RR )  -> 
( a  <  if ( U  <_  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )  <->  ( a  <  U  /\  a  < 
( E  ^c 
( 1  /  U
) ) ) ) )
9889, 42, 75, 97syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  <  if ( U  <_ 
( E  ^c 
( 1  /  U
) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )  <-> 
( a  <  U  /\  a  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) ) )
9996, 98mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  <  U  /\  a  < 
( E  ^c 
( 1  /  U
) ) ) )
10099simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  <  U )
101 rehalfcl 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
10252, 101mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
103 min2 11491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( ( Re
`  A )  <_ 
1 ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  <_  1
)
10450, 52, 103sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  if (
( Re `  A
)  <_  1 , 
( Re `  A
) ,  1 )  <_  1 )
105 lediv1 10477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( if ( ( Re
`  A )  <_ 
1 ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  <_  1  <->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  /  2 )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
10656, 90, 58, 60, 105syl112anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  <_  1  <->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  /  2 )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
107104, 106mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  /  2 )  <_  ( 1  / 
2 ) )
1082, 107syl5eqbr 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  U  <_  ( 1  /  2 ) )
109 halflt1 10838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  /  2 )  <  1
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( 1  /  2 )  <  1 )
11142, 102, 90, 108, 110lelttrd 9800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  U  <  1 )
11289, 42, 90, 100, 111lttrd 9803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  <  1 )
11328, 42, 112, 38cxplt3d 23675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( U  <  ( Re `  b
)  <->  ( a  ^c  ( Re `  b ) )  < 
( a  ^c  U ) ) )
11488, 113mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  ( Re `  b ) )  < 
( a  ^c  U ) )
11541rpcnne0d 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( U  e.  CC  /\  U  =/=  0 ) )
116 recid 10291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  CC  /\  U  =/=  0 )  -> 
( U  x.  (
1  /  U ) )  =  1 )
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( U  x.  ( 1  /  U
) )  =  1 )
118117oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  ( U  x.  ( 1  /  U
) ) )  =  ( a  ^c 
1 ) )
11941rpreccld 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( 1  /  U )  e.  RR+ )
120119rpcnd 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( 1  /  U )  e.  CC )
12128, 42, 120cxpmuld 23677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  ( U  x.  ( 1  /  U
) ) )  =  ( ( a  ^c  U )  ^c 
( 1  /  U
) ) )
12228rpcnd 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  e.  CC )
123122cxp1d 23649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  1 )  =  a )
124118, 121, 1233eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
a  ^c  U )  ^c  ( 1  /  U ) )  =  a )
12599simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )
126124, 125eqbrtrd 4444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
a  ^c  U )  ^c  ( 1  /  U ) )  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )
12743rprege0d 11355 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
a  ^c  U )  e.  RR  /\  0  <_  ( a  ^c  U ) ) )
12845rprege0d 11355 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( E  e.  RR  /\  0  <_  E ) )
129 cxplt2 23641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( a  ^c  U )  e.  RR  /\  0  <_  ( a  ^c  U )
)  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <_  E )  /\  (
1  /  U )  e.  RR+ )  ->  (
( a  ^c  U )  <  E  <->  ( ( a  ^c  U )  ^c 
( 1  /  U
) )  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) )
130127, 128, 119, 129syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
a  ^c  U )  <  E  <->  ( (
a  ^c  U )  ^c  ( 1  /  U ) )  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) )
131126, 130mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  U )  <  E )
13240, 44, 46, 114, 131lttrd 9803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  ( Re `  b ) )  < 
E )
13337, 132eqbrtrd 4444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  ( a  ^c 
b ) )  < 
E )
1341333expia 1207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D ) )  ->  ( (
( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
135134anassrs 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  b  e.  D )  ->  (
( ( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
136135ralrimiva 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  ->  A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
13727, 136sylan2br 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR  /\  0  <  a ) )  ->  A. b  e.  D  ( (
( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
138137expr 618 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ( 0  < 
a  ->  A. b  e.  D  ( (
( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
139 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Re  Fn  CC  ->  (
b  e.  ( `' Re " RR+ )  <->  ( b  e.  CC  /\  ( Re `  b )  e.  RR+ ) ) )
1405, 6, 139mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  ( `' Re "
RR+ )  <->  ( b  e.  CC  /\  ( Re
`  b )  e.  RR+ ) )
141140simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( `' Re "
RR+ )  ->  (
Re `  b )  e.  RR+ )
142141, 3eleq2s 2527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  D  ->  (
Re `  b )  e.  RR+ )
143142rpne0d 11353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  D  ->  (
Re `  b )  =/=  0 )
144 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  0  ->  (
Re `  b )  =  ( Re ` 
0 ) )
145 re0 13215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Re
`  0 )  =  0
146144, 145syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  0  ->  (
Re `  b )  =  0 )
147146necon3i 2660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Re `  b )  =/=  0  ->  b  =/=  0 )
148143, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  D  ->  b  =/=  0 )
14934, 1480cxpd 23653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  D  ->  (
0  ^c  b )  =  0 )
150149adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  (
0  ^c  b )  =  0 )
151150abs00bd 13354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  ( abs `  ( 0  ^c  b ) )  =  0 )
152 simpllr 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  E  e.  RR+ )
153152rpgt0d 11351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  0  <  E )
154151, 153eqbrtrd 4444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  ( abs `  ( 0  ^c  b ) )  <  E )
155 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  =  a  ->  (
0  ^c  b )  =  ( a  ^c  b ) )
156155fveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  =  a  ->  ( abs `  ( 0  ^c  b ) )  =  ( abs `  (
a  ^c  b ) ) )
157156breq1d 4433 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  =  a  ->  (
( abs `  (
0  ^c  b ) )  <  E  <->  ( abs `  ( a  ^c  b ) )  <  E ) )
158154, 157syl5ibcom 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  (
0  =  a  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
159158a1dd 47 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  (
0  =  a  -> 
( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
160159ralrimdva 2840 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ( 0  =  a  ->  A. b  e.  D  ( (
( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
161138, 160jaod 381 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ( ( 0  <  a  \/  0  =  a )  ->  A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
16226, 161sylbid 218 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
a  ->  A. b  e.  D  ( (
( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
163162expimpd 606 . . . 4  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( ( a  e.  RR  /\  0  <_ 
a )  ->  A. b  e.  D  ( (
( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
16423, 163syl5bi 220 . . 3  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( a  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
165164ralrimiv 2834 . 2  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  A. a  e.  (
0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
166 breq2 4427 . . . . . 6  |-  ( d  =  T  ->  (
( abs `  a
)  <  d  <->  ( abs `  a )  <  T
) )
167 breq2 4427 . . . . . 6  |-  ( d  =  T  ->  (
( abs `  ( A  -  b )
)  <  d  <->  ( abs `  ( A  -  b
) )  <  T
) )
168166, 167anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( d  =  T  ->  (
( ( abs `  a
)  <  d  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  d )  <->  ( ( abs `  a )  < 
T  /\  ( abs `  ( A  -  b
) )  <  T
) ) )
169168imbi1d 318 . . . 4  |-  ( d  =  T  ->  (
( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
)  <->  ( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  < 
T )  ->  ( abs `  ( a  ^c  b ) )  <  E ) ) )
1701692ralbidv 2866 . . 3  |-  ( d  =  T  ->  ( A. a  e.  (
0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
)  <->  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
171170rspcev 3182 . 2  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  (
( ( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
17222, 165, 171syl2anc 665 1  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   ifcif 3911   class class class wbr 4423   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   "cima 4856    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    x. cmul 9551   +oocpnf 9679    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867    / cdiv 10276   2c2 10666   RR+crp 11309   [,)cico 11644   Recre 13160   abscabs 13297   ↾t crest 15318   TopOpenctopn 15319  ℂfldccnfld 18969    ^c ccxp 23503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-fac 12466  df-bc 12494  df-hash 12522  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-ef 14120  df-sin 14122  df-cos 14123  df-pi 14125  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-mulg 16675  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-haus 20329  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-cncf 21908  df-limc 22819  df-dv 22820  df-log 23504  df-cxp 23505
This theorem is referenced by:  cxpcn3  23686
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