Theorem cxpcn3lem 22311

Description: Lemma for cxpcn3 22312. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpcn3.d	|- D = ( `' Re " RR+ )
cxpcn3.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
cxpcn3.k	|- K = ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) )
cxpcn3.l	|- L = ( J ↾t D )
cxpcn3.u	|- U = ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 )
cxpcn3.t	|- T = if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cxpcn3lem	|- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( A - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )

Distinct variable groups:   a, b, d, A   E, a, b, d   J, d   K, a, b, d   D, a, b, d   L, a, b, d   T, a, b, d

Allowed substitution hints:   U( a, b, d)   J( a, b)

Proof of Theorem cxpcn3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxpcn3.t	. . 3 |- T = if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) )
2		cxpcn3.u	. . . . 5 |- U = ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 )
3		cxpcn3.d	. . . . . . . . . . 11 |- D = ( `' Re " RR+ )
4	3	eleq2i 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. D <-> A e. ( `' Re " RR+ ) )
5		ref 12712	. . . . . . . . . . 11 |- Re : CC --> RR
6		ffn 5660	. . . . . . . . . . 11 |- ( Re : CC --> RR -> Re Fn CC )
7		elpreima 5925	. . . . . . . . . . 11 |- ( Re Fn CC -> ( A e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. RR+ ) ) )
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. RR+ ) )
9	4, 8	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( A e. D <-> ( A e. CC /\ ( Re ` A ) e. RR+ ) )
10	9	simprbi 464	. . . . . . . 8 |- ( A e. D -> ( Re ` A ) e. RR+ )
11	10	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( Re ` A ) e. RR+ )
12		1rp 11099	. . . . . . 7 |- 1 e. RR+
13		ifcl 3932	. . . . . . 7 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR+ /\ 1 e. RR+ ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR+ )
14	11, 12, 13	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR+ )
15	14	rphalfcld 11143	. . . . 5 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) e. RR+ )
16	2, 15	syl5eqel 2543	. . . 4 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> U e. RR+ )
17		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> E e. RR+ )
18	16	rpreccld 11141	. . . . . 6 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( 1 / U ) e. RR+ )
19	18	rpred 11131	. . . . 5 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( 1 / U ) e. RR )
20	17, 19	rpcxpcld 22301	. . . 4 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( E ^c ( 1 / U ) ) e. RR+ )
21		ifcl 3932	. . . 4 |- ( ( U e. RR+ /\ ( E ^c ( 1 / U ) ) e. RR+ ) -> if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) e. RR+ )
22	16, 20, 21	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) e. RR+ )
23	1, 22	syl5eqel 2543	. 2 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> T e. RR+ )
24		elrege0 11502	. . . 4 |- ( a e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( a e. RR /\ 0 <_ a ) )
25		0red 9491	. . . . . . 7 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> 0 e. RR )
26		leloe 9565	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ a e. RR ) -> ( 0 <_ a <-> ( 0 < a \/ 0 = a ) ) )
27	25, 26	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( 0 <_ a <-> ( 0 < a \/ 0 = a ) ) )
28		elrp 11097	. . . . . . . . 9 |- ( a e. RR+ <-> ( a e. RR /\ 0 < a ) )
29		simp2l 1014	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a e. RR+ )
30		simp2r 1015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> b e. D )
31		cnvimass 5290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( `' Re " RR+ ) C_ dom Re
32	5	fdmi 5665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- dom Re = CC
33	31, 32	sseqtri 3489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' Re " RR+ ) C_ CC
34	3, 33	eqsstri 3487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- D C_ CC
35	34	sseli 3453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. D -> b e. CC )
36	30, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> b e. CC )
37		abscxp 22263	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. CC ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) = ( a ^c ( Re ` b ) ) )
38	29, 36, 37	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) = ( a ^c ( Re ` b ) ) )
39	36	recld 12794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` b ) e. RR )
40	29, 39	rpcxpcld 22301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c ( Re ` b ) ) e. RR+ )
41	40	rpred 11131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c ( Re ` b ) ) e. RR )
42	16	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> U e. RR+ )
43	42	rpred 11131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> U e. RR )
44	29, 43	rpcxpcld 22301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c U ) e. RR+ )
45	44	rpred 11131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c U ) e. RR )
46		simp1r 1013	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> E e. RR+ )
47	46	rpred 11131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> E e. RR )
48		simp1l 1012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> A e. D )
49	9	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. D -> A e. CC )
50	48, 49	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> A e. CC )
51	50	recld 12794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` A ) e. RR )
52	51	rehalfcld 10675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( Re ` A ) / 2 ) e. RR )
53		1re 9489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
54		min1 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ ( Re ` A ) )
55	51, 53, 54	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ ( Re ` A ) )
56	14	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR+ )
57	56	rpred 11131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR )
58		2re 10495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> 2 e. RR )
60		2pos 10517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 < 2
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> 0 < 2 )
62		lediv1 10298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR /\ ( Re ` A ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ ( Re ` A ) <-> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) <_ ( ( Re ` A ) / 2 ) ) )
63	57, 51, 59, 61, 62	syl112anc 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ ( Re ` A ) <-> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) <_ ( ( Re ` A ) / 2 ) ) )
64	55, 63	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) <_ ( ( Re ` A ) / 2 ) )
65	2, 64	syl5eqbr 4426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> U <_ ( ( Re ` A ) / 2 ) )
66	51	recnd 9516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` A ) e. CC )
67	66	2halvesd 10674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( ( Re ` A ) / 2 ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) = ( Re ` A ) )
68	50, 36	resubd 12816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` ( A - b ) ) = ( ( Re ` A ) - ( Re ` b ) ) )
69	50, 36	subcld 9823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( A - b ) e. CC )
70	69	recld 12794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` ( A - b ) ) e. RR )
71	69	abscld 13033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A - b ) ) e. RR )
72	69	releabsd 13048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` ( A - b ) ) <_ ( abs ` ( A - b ) ) )
73		simp3r 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A - b ) ) < T )
74	73, 1	syl6breq 4432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A - b ) ) < if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) )
75	20	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( E ^c ( 1 / U ) ) e. RR+ )
76	75	rpred 11131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( E ^c ( 1 / U ) ) e. RR )
77		ltmin 11269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( abs ` ( A - b ) ) e. RR /\ U e. RR /\ ( E ^c ( 1 / U ) ) e. RR ) -> ( ( abs ` ( A - b ) ) < if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) <-> ( ( abs ` ( A - b ) ) < U /\ ( abs ` ( A - b ) ) < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) ) )
78	71, 43, 76, 77	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` ( A - b ) ) < if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) <-> ( ( abs ` ( A - b ) ) < U /\ ( abs ` ( A - b ) ) < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) ) )
79	74, 78	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( abs ` ( A - b ) ) < U /\ ( abs ` ( A - b ) ) < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) )
80	79	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( A - b ) ) < U )
81	70, 71, 43, 72, 80	lelttrd 9633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` ( A - b ) ) < U )
82	70, 43, 52, 81, 65	ltletrd 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` ( A - b ) ) < ( ( Re ` A ) / 2 ) )
83	68, 82	eqbrtrrd 4415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( Re ` A ) - ( Re ` b ) ) < ( ( Re ` A ) / 2 ) )
84	51, 39, 52	ltsubadd2d 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( ( Re ` A ) - ( Re ` b ) ) < ( ( Re ` A ) / 2 ) <-> ( Re ` A ) < ( ( Re ` b ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) ) )
85	83, 84	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( Re ` A ) < ( ( Re ` b ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) )
86	67, 85	eqbrtrd 4413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( ( Re ` A ) / 2 ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) < ( ( Re ` b ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) )
87	52, 39, 52	ltadd1d 10036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( ( Re ` A ) / 2 ) < ( Re ` b ) <-> ( ( ( Re ` A ) / 2 ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) < ( ( Re ` b ) + ( ( Re ` A ) / 2 ) ) ) )
88	86, 87	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( Re ` A ) / 2 ) < ( Re ` b ) )
89	43, 52, 39, 65, 88	lelttrd 9633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> U < ( Re ` b ) )
90	29	rpred 11131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a e. RR )
91	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> 1 e. RR )
92	29	rprege0d 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a e. RR /\ 0 <_ a ) )
93		absid 12896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( a e. RR /\ 0 <_ a ) -> ( abs ` a ) = a )
94	92, 93	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` a ) = a )
95		simp3l 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` a ) < T )
96	94, 95	eqbrtrrd 4415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a < T )
97	96, 1	syl6breq 4432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a < if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) )
98		ltmin 11269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. RR /\ U e. RR /\ ( E ^c ( 1 / U ) ) e. RR ) -> ( a < if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) <-> ( a < U /\ a < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) ) )
99	90, 43, 76, 98	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a < if ( U <_ ( E ^c ( 1 / U ) ) , U , ( E ^c ( 1 / U ) ) ) <-> ( a < U /\ a < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) ) )
100	97, 99	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a < U /\ a < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) )
101	100	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a < U )
102		rehalfcl 10655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 e. RR -> ( 1 / 2 ) e. RR )
103	53, 102	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
104		min2 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ 1 )
105	51, 53, 104	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ 1 )
106		lediv1 10298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ 1 <-> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
107	57, 91, 59, 61, 106	syl112anc 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) <_ 1 <-> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
108	105, 107	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( if ( ( Re ` A ) <_ 1 , ( Re ` A ) , 1 ) / 2 ) <_ ( 1 / 2 ) )
109	2, 108	syl5eqbr 4426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> U <_ ( 1 / 2 ) )
110		halflt1 10647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 / 2 ) < 1
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( 1 / 2 ) < 1 )
112	43, 103, 91, 109, 111	lelttrd 9633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> U < 1 )
113	90, 43, 91, 101, 112	lttrd 9636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a < 1 )
114	29, 43, 113, 39	cxplt3d 22303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( U < ( Re ` b ) <-> ( a ^c ( Re ` b ) ) < ( a ^c U ) ) )
115	89, 114	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c ( Re ` b ) ) < ( a ^c U ) )
116	42	rpcnne0d 11140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( U e. CC /\ U =/= 0 ) )
117		recid 10112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. CC /\ U =/= 0 ) -> ( U x. ( 1 / U ) ) = 1 )
118	116, 117	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( U x. ( 1 / U ) ) = 1 )
119	118	oveq2d 6209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c ( U x. ( 1 / U ) ) ) = ( a ^c 1 ) )
120	42	rpreccld 11141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( 1 / U ) e. RR+ )
121	120	rpcnd 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( 1 / U ) e. CC )
122	29, 43, 121	cxpmuld 22305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c ( U x. ( 1 / U ) ) ) = ( ( a ^c U ) ^c ( 1 / U ) ) )
123	29	rpcnd 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a e. CC )
124	123	cxp1d 22277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c 1 ) = a )
125	119, 122, 124	3eqtr3d 2500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( a ^c U ) ^c ( 1 / U ) ) = a )
126	100	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> a < ( E ^c ( 1 / U ) ) )
127	125, 126	eqbrtrd 4413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( a ^c U ) ^c ( 1 / U ) ) < ( E ^c ( 1 / U ) ) )
128	44	rprege0d 11138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( a ^c U ) e. RR /\ 0 <_ ( a ^c U ) ) )
129	46	rprege0d 11138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( E e. RR /\ 0 <_ E ) )
130		cxplt2 22269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( a ^c U ) e. RR /\ 0 <_ ( a ^c U ) ) /\ ( E e. RR /\ 0 <_ E ) /\ ( 1 / U ) e. RR+ ) -> ( ( a ^c U ) < E <-> ( ( a ^c U ) ^c ( 1 / U ) ) < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) )
131	128, 129, 120, 130	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( ( a ^c U ) < E <-> ( ( a ^c U ) ^c ( 1 / U ) ) < ( E ^c ( 1 / U ) ) ) )
132	127, 131	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c U ) < E )
133	41, 45, 47, 115, 132	lttrd 9636	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( a ^c ( Re ` b ) ) < E )
134	38, 133	eqbrtrd 4413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) /\ ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E )
135	134	3expia 1190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. D ) ) -> ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
136	135	anassrs 648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ b e. D ) -> ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
137	136	ralrimiva 2825	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
138	28, 137	sylan2br 476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ ( a e. RR /\ 0 < a ) ) -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
139	138	expr 615	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( 0 < a -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
140		elpreima 5925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Re Fn CC -> ( b e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( b e. CC /\ ( Re ` b ) e. RR+ ) ) )
141	5, 6, 140	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( b e. CC /\ ( Re ` b ) e. RR+ ) )
142	141	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. ( `' Re " RR+ ) -> ( Re ` b ) e. RR+ )
143	142, 3	eleq2s 2559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. D -> ( Re ` b ) e. RR+ )
144	143	rpne0d 11136	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. D -> ( Re ` b ) =/= 0 )
145		fveq2 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = 0 -> ( Re ` b ) = ( Re ` 0 ) )
146		re0 12752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Re ` 0 ) = 0
147	145, 146	syl6eq 2508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = 0 -> ( Re ` b ) = 0 )
148	147	necon3i 2688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Re ` b ) =/= 0 -> b =/= 0 )
149	144, 148	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. D -> b =/= 0 )
150	35, 149	0cxpd 22281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. D -> ( 0 ^c b ) = 0 )
151	150	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> ( 0 ^c b ) = 0 )
152	151	abs00bd 12891	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> ( abs ` ( 0 ^c b ) ) = 0 )
153		simpllr 758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> E e. RR+ )
154	153	rpgt0d 11134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> 0 < E )
155	152, 154	eqbrtrd 4413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> ( abs ` ( 0 ^c b ) ) < E )
156		oveq1 6200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 = a -> ( 0 ^c b ) = ( a ^c b ) )
157	156	fveq2d 5796	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 = a -> ( abs ` ( 0 ^c b ) ) = ( abs ` ( a ^c b ) ) )
158	157	breq1d 4403	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 = a -> ( ( abs ` ( 0 ^c b ) ) < E <-> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
159	155, 158	syl5ibcom 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> ( 0 = a -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
160	159	a1dd 46	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) /\ b e. D ) -> ( 0 = a -> ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
161	160	ralrimdva 2905	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( 0 = a -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
162	139, 161	jaod 380	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( ( 0 < a \/ 0 = a ) -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
163	27, 162	sylbid 215	. . . . 5 |- ( ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) /\ a e. RR ) -> ( 0 <_ a -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
164	163	expimpd 603	. . . 4 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( ( a e. RR /\ 0 <_ a ) -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
165	24, 164	syl5bi 217	. . 3 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> ( a e. ( 0 [,) +oo ) -> A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
166	165	ralrimiv 2823	. 2 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
167		breq2 4397	. . . . . 6 |- ( d = T -> ( ( abs ` a ) < d <-> ( abs ` a ) < T ) )
168		breq2 4397	. . . . . 6 |- ( d = T -> ( ( abs ` ( A - b ) ) < d <-> ( abs ` ( A - b ) ) < T ) )
169	167, 168	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( d = T -> ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( A - b ) ) < d ) <-> ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) ) )
170	169	imbi1d 317	. . . 4 |- ( d = T -> ( ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( A - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) <-> ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
171	170	2ralbidv 2871	. . 3 |- ( d = T -> ( A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( A - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) <-> A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) )
172	171	rspcev 3172	. 2 |- ( ( T e. RR+ /\ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < T /\ ( abs ` ( A - b ) ) < T ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) ) -> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( A - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )
173	23, 166, 172	syl2anc 661	1 |- ( ( A e. D /\ E e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( A - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   ifcif 3892   class class class wbr 4393   `'ccnv 4940   dom cdm 4941   "cima 4944   Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387   + caddc 9389   x. cmul 9391   +oocpnf 9519   < clt 9522   <_ cle 9523   - cmin 9699   / cdiv 10097   2c2 10475   RR+crp 11095   [,)cico 11406   Recre 12697   abscabs 12834   ↾_t crest 14470   TopOpenctopn 14471  ℂ_fldccnfld 17936   ^c ccxp 22133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ioc 11409  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-fac 12162  df-bc 12189  df-hash 12214  df-shft 12667  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-limsup 13060  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-ef 13464  df-sin 13466  df-cos 13467  df-pi 13469  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-lp 18865  df-perf 18866  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-haus 19044  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cncf 20579  df-limc 21467  df-dv 21468  df-log 22134  df-cxp 22135

This theorem is referenced by:  cxpcn3  22312