MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn3lem Structured version   Unicode version

Theorem cxpcn3lem 23099
Description: Lemma for cxpcn3 23100. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d  |-  D  =  ( `' Re " RR+ )
cxpcn3.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cxpcn3.k  |-  K  =  ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )
cxpcn3.l  |-  L  =  ( Jt  D )
cxpcn3.u  |-  U  =  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  / 
2 )
cxpcn3.t  |-  T  =  if ( U  <_ 
( E  ^c 
( 1  /  U
) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )
Assertion
Ref Expression
cxpcn3lem  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
Distinct variable groups:    a, b,
d, A    E, a,
b, d    J, d    K, a, b, d    D, a, b, d    L, a, b, d    T, a, b, d
Allowed substitution hints:    U( a, b, d)    J( a, b)

Proof of Theorem cxpcn3lem
StepHypRef Expression
1 cxpcn3.t . . 3  |-  T  =  if ( U  <_ 
( E  ^c 
( 1  /  U
) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )
2 cxpcn3.u . . . . 5  |-  U  =  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  / 
2 )
3 cxpcn3.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( `' Re " RR+ )
43eleq2i 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  D  <->  A  e.  ( `' Re " RR+ )
)
5 ref 12927 . . . . . . . . . . 11  |-  Re : CC
--> RR
6 ffn 5721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Re : CC --> RR  ->  Re  Fn  CC )
7 elpreima 5992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Re  Fn  CC  ->  ( A  e.  ( `' Re " RR+ )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( Re
`  A )  e.  RR+ ) ) )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( `' Re "
RR+ )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( Re
`  A )  e.  RR+ ) )
94, 8bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  D  <->  ( A  e.  CC  /\  ( Re
`  A )  e.  RR+ ) )
109simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  D  ->  (
Re `  A )  e.  RR+ )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR+ )
12 1rp 11235 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR+
13 ifcl 3968 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR+ )
1411, 12, 13sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR+ )
1514rphalfcld 11279 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  / 
2 )  e.  RR+ )
162, 15syl5eqel 2535 . . . 4  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  U  e.  RR+ )
17 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  E  e.  RR+ )
1816rpreccld 11277 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  U
)  e.  RR+ )
1918rpred 11267 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( 1  /  U
)  e.  RR )
2017, 19rpcxpcld 23089 . . . 4  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( E  ^c 
( 1  /  U
) )  e.  RR+ )
2116, 20ifcld 3969 . . 3  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  if ( U  <_  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )  e.  RR+ )
221, 21syl5eqel 2535 . 2  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  T  e.  RR+ )
23 elrege0 11638 . . . 4  |-  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( a  e.  RR  /\  0  <_ 
a ) )
24 0red 9600 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
0  e.  RR )
25 leloe 9674 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( 0  <_  a  <->  ( 0  <  a  \/  0  =  a ) ) )
2624, 25sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
a  <->  ( 0  < 
a  \/  0  =  a ) ) )
27 elrp 11233 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  RR+  <->  ( a  e.  RR  /\  0  < 
a ) )
28 simp2l 1023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  e.  RR+ )
29 simp2r 1024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  b  e.  D )
30 cnvimass 5347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' Re " RR+ )  C_ 
dom  Re
315fdmi 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  Re  =  CC
3230, 31sseqtri 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' Re " RR+ )  C_  CC
333, 32eqsstri 3519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  D  C_  CC
3433sseli 3485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  D  ->  b  e.  CC )
3529, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  b  e.  CC )
36 abscxp 23051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  CC )  ->  ( abs `  ( a  ^c  b ) )  =  ( a  ^c  ( Re `  b ) ) )
3728, 35, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  ( a  ^c 
b ) )  =  ( a  ^c 
( Re `  b
) ) )
3835recld 13009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  b )  e.  RR )
3928, 38rpcxpcld 23089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  ( Re `  b ) )  e.  RR+ )
4039rpred 11267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  ( Re `  b ) )  e.  RR )
41163ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  U  e.  RR+ )
4241rpred 11267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  U  e.  RR )
4328, 42rpcxpcld 23089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  U )  e.  RR+ )
4443rpred 11267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  U )  e.  RR )
45 simp1r 1022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  E  e.  RR+ )
4645rpred 11267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  E  e.  RR )
47 simp1l 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  A  e.  D )
489simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  D  ->  A  e.  CC )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  A  e.  CC )
5049recld 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
5150rehalfcld 10792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
Re `  A )  /  2 )  e.  RR )
52 1re 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
53 min1 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( ( Re
`  A )  <_ 
1 ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  <_  (
Re `  A )
)
5450, 52, 53sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  if (
( Re `  A
)  <_  1 , 
( Re `  A
) ,  1 )  <_  ( Re `  A ) )
55143ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  if (
( Re `  A
)  <_  1 , 
( Re `  A
) ,  1 )  e.  RR+ )
5655rpred 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  if (
( Re `  A
)  <_  1 , 
( Re `  A
) ,  1 )  e.  RR )
57 2re 10612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  2  e.  RR )
59 2pos 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  2
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  0  <  2 )
61 lediv1 10414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( if ( ( Re
`  A )  <_ 
1 ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  RR  /\  ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  <_  ( Re `  A )  <->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  /  2 )  <_  ( ( Re
`  A )  / 
2 ) ) )
6256, 50, 58, 60, 61syl112anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  <_  ( Re `  A )  <->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  /  2 )  <_  ( ( Re
`  A )  / 
2 ) ) )
6354, 62mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  /  2 )  <_  ( ( Re
`  A )  / 
2 ) )
642, 63syl5eqbr 4470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  U  <_  ( ( Re `  A
)  /  2 ) )
6550recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  A )  e.  CC )
66652halvesd 10791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
( Re `  A
)  /  2 )  +  ( ( Re
`  A )  / 
2 ) )  =  ( Re `  A
) )
6749, 35resubd 13031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  ( A  -  b
) )  =  ( ( Re `  A
)  -  ( Re
`  b ) ) )
6849, 35subcld 9936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( A  -  b )  e.  CC )
6968recld 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  ( A  -  b
) )  e.  RR )
7068abscld 13249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  ( A  -  b
) )  e.  RR )
7168releabsd 13264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  ( A  -  b
) )  <_  ( abs `  ( A  -  b ) ) )
72 simp3r 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  ( A  -  b
) )  <  T
)
7372, 1syl6breq 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  ( A  -  b
) )  <  if ( U  <_  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) )
74203ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( E  ^c  ( 1  /  U ) )  e.  RR+ )
7574rpred 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( E  ^c  ( 1  /  U ) )  e.  RR )
76 ltmin 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( abs `  ( A  -  b )
)  e.  RR  /\  U  e.  RR  /\  ( E  ^c  ( 1  /  U ) )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  ( A  -  b )
)  <  if ( U  <_  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )  <->  ( ( abs `  ( A  -  b
) )  <  U  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) ) )
7770, 42, 75, 76syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( ( abs `  ( A  -  b ) )  < 
if ( U  <_ 
( E  ^c 
( 1  /  U
) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )  <-> 
( ( abs `  ( A  -  b )
)  <  U  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) ) )
7873, 77mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( ( abs `  ( A  -  b ) )  < 
U  /\  ( abs `  ( A  -  b
) )  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) )
7978simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  ( A  -  b
) )  <  U
)
8069, 70, 42, 71, 79lelttrd 9743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  ( A  -  b
) )  <  U
)
8169, 42, 51, 80, 64ltletrd 9745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  ( A  -  b
) )  <  (
( Re `  A
)  /  2 ) )
8267, 81eqbrtrrd 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
Re `  A )  -  ( Re `  b ) )  < 
( ( Re `  A )  /  2
) )
8350, 38, 51ltsubadd2d 10157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
( Re `  A
)  -  ( Re
`  b ) )  <  ( ( Re
`  A )  / 
2 )  <->  ( Re `  A )  <  (
( Re `  b
)  +  ( ( Re `  A )  /  2 ) ) ) )
8482, 83mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( Re `  A )  <  (
( Re `  b
)  +  ( ( Re `  A )  /  2 ) ) )
8566, 84eqbrtrd 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
( Re `  A
)  /  2 )  +  ( ( Re
`  A )  / 
2 ) )  < 
( ( Re `  b )  +  ( ( Re `  A
)  /  2 ) ) )
8651, 38, 51ltadd1d 10152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
( Re `  A
)  /  2 )  <  ( Re `  b )  <->  ( (
( Re `  A
)  /  2 )  +  ( ( Re
`  A )  / 
2 ) )  < 
( ( Re `  b )  +  ( ( Re `  A
)  /  2 ) ) ) )
8785, 86mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
Re `  A )  /  2 )  < 
( Re `  b
) )
8842, 51, 38, 64, 87lelttrd 9743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  U  <  ( Re `  b ) )
8928rpred 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  e.  RR )
9052a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  1  e.  RR )
9128rprege0d 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  e.  RR  /\  0  <_ 
a ) )
92 absid 13111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  RR  /\  0  <_  a )  -> 
( abs `  a
)  =  a )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  a )  =  a )
94 simp3l 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  a )  <  T
)
9593, 94eqbrtrrd 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  <  T )
9695, 1syl6breq 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  <  if ( U  <_  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) )
97 ltmin 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  RR  /\  U  e.  RR  /\  ( E  ^c  ( 1  /  U ) )  e.  RR )  -> 
( a  <  if ( U  <_  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )  <->  ( a  <  U  /\  a  < 
( E  ^c 
( 1  /  U
) ) ) ) )
9889, 42, 75, 97syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  <  if ( U  <_ 
( E  ^c 
( 1  /  U
) ) ,  U ,  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )  <-> 
( a  <  U  /\  a  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) ) )
9996, 98mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  <  U  /\  a  < 
( E  ^c 
( 1  /  U
) ) ) )
10099simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  <  U )
101 rehalfcl 10772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
10252, 101mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
103 min2 11401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( ( Re
`  A )  <_ 
1 ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  <_  1
)
10450, 52, 103sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  if (
( Re `  A
)  <_  1 , 
( Re `  A
) ,  1 )  <_  1 )
105 lediv1 10414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( if ( ( Re
`  A )  <_ 
1 ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  <_  1  <->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  /  2 )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
10656, 90, 58, 60, 105syl112anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  <_  1  <->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  /  2 )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
107104, 106mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( if ( ( Re `  A )  <_  1 ,  ( Re `  A ) ,  1 )  /  2 )  <_  ( 1  / 
2 ) )
1082, 107syl5eqbr 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  U  <_  ( 1  /  2 ) )
109 halflt1 10764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  /  2 )  <  1
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( 1  /  2 )  <  1 )
11142, 102, 90, 108, 110lelttrd 9743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  U  <  1 )
11289, 42, 90, 100, 111lttrd 9746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  <  1 )
11328, 42, 112, 38cxplt3d 23091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( U  <  ( Re `  b
)  <->  ( a  ^c  ( Re `  b ) )  < 
( a  ^c  U ) ) )
11488, 113mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  ( Re `  b ) )  < 
( a  ^c  U ) )
11541rpcnne0d 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( U  e.  CC  /\  U  =/=  0 ) )
116 recid 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  CC  /\  U  =/=  0 )  -> 
( U  x.  (
1  /  U ) )  =  1 )
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( U  x.  ( 1  /  U
) )  =  1 )
118117oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  ( U  x.  ( 1  /  U
) ) )  =  ( a  ^c 
1 ) )
11941rpreccld 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( 1  /  U )  e.  RR+ )
120119rpcnd 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( 1  /  U )  e.  CC )
12128, 42, 120cxpmuld 23093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  ( U  x.  ( 1  /  U
) ) )  =  ( ( a  ^c  U )  ^c 
( 1  /  U
) ) )
12228rpcnd 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  e.  CC )
123122cxp1d 23065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  1 )  =  a )
124118, 121, 1233eqtr3d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
a  ^c  U )  ^c  ( 1  /  U ) )  =  a )
12599simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  a  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )
126124, 125eqbrtrd 4457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
a  ^c  U )  ^c  ( 1  /  U ) )  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) )
12743rprege0d 11274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
a  ^c  U )  e.  RR  /\  0  <_  ( a  ^c  U ) ) )
12845rprege0d 11274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( E  e.  RR  /\  0  <_  E ) )
129 cxplt2 23057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( a  ^c  U )  e.  RR  /\  0  <_  ( a  ^c  U )
)  /\  ( E  e.  RR  /\  0  <_  E )  /\  (
1  /  U )  e.  RR+ )  ->  (
( a  ^c  U )  <  E  <->  ( ( a  ^c  U )  ^c 
( 1  /  U
) )  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) )
130127, 128, 119, 129syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( (
a  ^c  U )  <  E  <->  ( (
a  ^c  U )  ^c  ( 1  /  U ) )  <  ( E  ^c  ( 1  /  U ) ) ) )
131126, 130mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  U )  <  E )
13240, 44, 46, 114, 131lttrd 9746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( a  ^c  ( Re `  b ) )  < 
E )
13337, 132eqbrtrd 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D )  /\  ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )
)  ->  ( abs `  ( a  ^c 
b ) )  < 
E )
1341333expia 1199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  D ) )  ->  ( (
( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
135134anassrs 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  b  e.  D )  ->  (
( ( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
136135ralrimiva 2857 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  ->  A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
13727, 136sylan2br 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR  /\  0  <  a ) )  ->  A. b  e.  D  ( (
( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
138137expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ( 0  < 
a  ->  A. b  e.  D  ( (
( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
139 elpreima 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Re  Fn  CC  ->  (
b  e.  ( `' Re " RR+ )  <->  ( b  e.  CC  /\  ( Re `  b )  e.  RR+ ) ) )
1405, 6, 139mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  ( `' Re "
RR+ )  <->  ( b  e.  CC  /\  ( Re
`  b )  e.  RR+ ) )
141140simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( `' Re "
RR+ )  ->  (
Re `  b )  e.  RR+ )
142141, 3eleq2s 2551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  D  ->  (
Re `  b )  e.  RR+ )
143142rpne0d 11272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  D  ->  (
Re `  b )  =/=  0 )
144 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  0  ->  (
Re `  b )  =  ( Re ` 
0 ) )
145 re0 12967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Re
`  0 )  =  0
146144, 145syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  0  ->  (
Re `  b )  =  0 )
147146necon3i 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Re `  b )  =/=  0  ->  b  =/=  0 )
148143, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  D  ->  b  =/=  0 )
14934, 1480cxpd 23069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  D  ->  (
0  ^c  b )  =  0 )
150149adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  (
0  ^c  b )  =  0 )
151150abs00bd 13106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  ( abs `  ( 0  ^c  b ) )  =  0 )
152 simpllr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  E  e.  RR+ )
153152rpgt0d 11270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  0  <  E )
154151, 153eqbrtrd 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  ( abs `  ( 0  ^c  b ) )  <  E )
155 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  =  a  ->  (
0  ^c  b )  =  ( a  ^c  b ) )
156155fveq2d 5860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  =  a  ->  ( abs `  ( 0  ^c  b ) )  =  ( abs `  (
a  ^c  b ) ) )
157156breq1d 4447 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  =  a  ->  (
( abs `  (
0  ^c  b ) )  <  E  <->  ( abs `  ( a  ^c  b ) )  <  E ) )
158154, 157syl5ibcom 220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  (
0  =  a  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
159158a1dd 46 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  /\  b  e.  D )  ->  (
0  =  a  -> 
( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
160159ralrimdva 2861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ( 0  =  a  ->  A. b  e.  D  ( (
( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
161138, 160jaod 380 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ( ( 0  <  a  \/  0  =  a )  ->  A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
16226, 161sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
a  ->  A. b  e.  D  ( (
( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
163162expimpd 603 . . . 4  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( ( a  e.  RR  /\  0  <_ 
a )  ->  A. b  e.  D  ( (
( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
16423, 163syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( a  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
165164ralrimiv 2855 . 2  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  A. a  e.  (
0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
166 breq2 4441 . . . . . 6  |-  ( d  =  T  ->  (
( abs `  a
)  <  d  <->  ( abs `  a )  <  T
) )
167 breq2 4441 . . . . . 6  |-  ( d  =  T  ->  (
( abs `  ( A  -  b )
)  <  d  <->  ( abs `  ( A  -  b
) )  <  T
) )
168166, 167anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( d  =  T  ->  (
( ( abs `  a
)  <  d  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  d )  <->  ( ( abs `  a )  < 
T  /\  ( abs `  ( A  -  b
) )  <  T
) ) )
169168imbi1d 317 . . . 4  |-  ( d  =  T  ->  (
( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
)  <->  ( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  < 
T )  ->  ( abs `  ( a  ^c  b ) )  <  E ) ) )
1701692ralbidv 2887 . . 3  |-  ( d  =  T  ->  ( A. a  e.  (
0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
)  <->  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  T )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) ) )
171170rspcev 3196 . 2  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  (
( ( abs `  a
)  <  T  /\  ( abs `  ( A  -  b ) )  <  T )  -> 
( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
17222, 165, 171syl2anc 661 1  |-  ( ( A  e.  D  /\  E  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  ( A  -  b )
)  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  E
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   ifcif 3926   class class class wbr 4437   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   "cima 4992    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500   +oocpnf 9628    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810    / cdiv 10213   2c2 10592   RR+crp 11231   [,)cico 11542   Recre 12912   abscabs 13049   ↾t crest 14800   TopOpenctopn 14801  ℂfldccnfld 18399    ^c ccxp 22921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249  df-log 22922  df-cxp 22923
This theorem is referenced by:  cxpcn3  23100
  Copyright terms: Public domain W3C validator