MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn3 Structured version   Unicode version

Theorem cxpcn3 22987
Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d  |-  D  =  ( `' Re " RR+ )
cxpcn3.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cxpcn3.k  |-  K  =  ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )
cxpcn3.l  |-  L  =  ( Jt  D )
Assertion
Ref Expression
cxpcn3  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K 
tX  L )  Cn  J )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, D, y
Allowed substitution hints:    K( x, y)    L( x, y)

Proof of Theorem cxpcn3
Dummy variables  a 
b  d  e  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 11632 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
2 ax-resscn 9547 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
31, 2sstri 3495 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
43sseli 3482 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  CC )
5 cxpcn3.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( `' Re " RR+ )
6 cnvimass 5343 . . . . . . . 8  |-  ( `' Re " RR+ )  C_ 
dom  Re
7 ref 12919 . . . . . . . . 9  |-  Re : CC
--> RR
87fdmi 5722 . . . . . . . 8  |-  dom  Re  =  CC
96, 8sseqtri 3518 . . . . . . 7  |-  ( `' Re " RR+ )  C_  CC
105, 9eqsstri 3516 . . . . . 6  |-  D  C_  CC
1110sseli 3482 . . . . 5  |-  ( y  e.  D  ->  y  e.  CC )
12 cxpcl 22920 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  ^c 
y )  e.  CC )
134, 11, 12syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  y  e.  D )  ->  ( x  ^c 
y )  e.  CC )
1413rgen2 2866 . . 3  |-  A. x  e.  ( 0 [,) +oo ) A. y  e.  D  ( x  ^c 
y )  e.  CC
15 eqid 2441 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )
1615fmpt2 6848 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,) +oo ) A. y  e.  D  (
x  ^c  y )  e.  CC  <->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC )
1714, 16mpbi 208 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC
18 cxpcn3.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1918cnfldtopon 21156 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
20 rpre 11230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
21 rpge0 11236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_  x )
22 elrege0 11631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
2320, 21, 22sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2423ssriv 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR+  C_  (
0 [,) +oo )
2524, 3sstri 3495 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR+  C_  CC
26 resttopon 19528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  RR+  C_  CC )  ->  ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ ) )
2719, 25, 26mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ )
2827toponunii 19300 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR+  =  U. ( Jt  RR+ )
2928restid 14703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Jt 
RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ )  ->  (
( Jt  RR+ )t  RR+ )  =  ( Jt 
RR+ ) )
3027, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Jt 
RR+ )t  RR+ )  =  ( Jt 
RR+ )
3130eqcomi 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( Jt  RR+ )  =  ( ( Jt  RR+ )t 
RR+ )
3227a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ ) )
33 ssid 3505 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  C_  RR+
3433a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  RR+  C_  RR+ )
35 cxpcn3.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( Jt  D )
3619a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
3710a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  D  C_  CC )
38 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
3918, 38cxpcn2 22985 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  J
)  Cn  J )
4039a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  J
)  Cn  J ) )
4131, 32, 34, 35, 36, 37, 40cnmpt2res 20044 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)  Cn  J ) )
42 elrege0 11631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( u  e.  RR  /\  0  <_  u ) )
4342simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  u  e.  RR )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )  ->  u  e.  RR )
4544adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  u  e.  RR )
46 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  0  <  u )
4745, 46elrpd 11258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  u  e.  RR+ )
48 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  v  e.  D )
49 opelxp 5015 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  ( RR+  X.  D
)  <->  ( u  e.  RR+  /\  v  e.  D
) )
5047, 48, 49sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  <. u ,  v >.  e.  ( RR+  X.  D ) )
51 resttopon 19528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
5219, 10, 51mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D )
5335, 52eqeltri 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  L  e.  (TopOn `  D )
54 txtopon 19958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  ->  ( ( Jt  RR+ )  tX  L )  e.  (TopOn `  ( RR+  X.  D ) ) )
5527, 53, 54mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( RR+  X.  D ) )
5655toponunii 19300 . . . . . . . . 9  |-  ( RR+  X.  D )  =  U. ( ( Jt  RR+ )  tX  L )
5756cncnpi 19645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L )  Cn  J
)  /\  <. u ,  v >.  e.  ( RR+  X.  D ) )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )  e.  ( ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
5841, 50, 57syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
59 ssid 3505 . . . . . . . 8  |-  D  C_  D
60 resmpt2 6381 . . . . . . . 8  |-  ( (
RR+  C_  ( 0 [,) +oo )  /\  D  C_  D )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  =  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) )
6124, 59, 60mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  =  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )
62 cxpcn3.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )
63 resttopon 19528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  (
0 [,) +oo )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) ) )
6419, 3, 63mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Jt  ( 0 [,) +oo )
)  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) )
6562, 64eqeltri 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) )
66 ioorp 11606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
67 iooretop 21139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,) +oo )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
6866, 67eqeltrri 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
69 retop 21134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
70 ovex 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,) +oo )  e. 
_V
71 restopnb 19542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( 0 [,) +oo )  e.  _V )  /\  ( RR+  e.  ( topGen `
 ran  (,) )  /\  RR+  C_  ( 0 [,) +oo )  /\  RR+  C_  RR+ ) )  -> 
( RR+  e.  ( topGen `
 ran  (,) )  <->  RR+ 
e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
7269, 70, 71mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
RR+  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  RR+  C_  (
0 [,) +oo )  /\  RR+  C_  RR+ )  -> 
( RR+  e.  ( topGen `
 ran  (,) )  <->  RR+ 
e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
7368, 24, 33, 72mp3an 1323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  RR+ 
e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,) +oo ) ) )
7468, 73mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR+  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,) +oo ) )
75 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
7618, 75rerest 21175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 [,) +oo )  C_  RR  ->  ( Jt  (
0 [,) +oo )
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,) +oo )
) )
771, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Jt  ( 0 [,) +oo )
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,) +oo )
)
7862, 77eqtri 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,) +oo ) )
7974, 78eleqtrri 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  RR+  e.  K
80 toponmax 19296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  (TopOn `  D
)  ->  D  e.  L )
8153, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  D  e.  L
82 txrest 19998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  /\  ( RR+  e.  K  /\  D  e.  L ) )  -> 
( ( K  tX  L )t  ( RR+  X.  D
) )  =  ( ( Kt  RR+ )  tX  ( Lt  D ) ) )
8365, 53, 79, 81, 82mp4an 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  =  ( ( Kt 
RR+ )  tX  ( Lt  D ) )
8462oveq1i 6287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Kt  RR+ )  =  ( ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )t  RR+ )
85 restabs 19532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  RR+  C_  (
0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  e.  _V )  ->  ( ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )t  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
)
8619, 24, 70, 85mp3an 1323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )t  RR+ )  =  ( Jt 
RR+ )
8784, 86eqtri 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Kt  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
8853toponunii 19300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  = 
U. L
8988restid 14703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  (TopOn `  D
)  ->  ( Lt  D
)  =  L )
9053, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lt  D )  =  L
9187, 90oveq12i 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Kt 
RR+ )  tX  ( Lt  D ) )  =  ( ( Jt  RR+ )  tX  L )
9283, 91eqtri 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  =  ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)
9392oveq1i 6287 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  tX  L
)t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
)  =  ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L
)  CnP  J )
9493fveq1i 5853 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  tX  L )t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. )  =  ( ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L )  CnP 
J ) `  <. u ,  v >. )
9558, 61, 943eltr4g 2547 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L
)t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
96 txtopon 19958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( ( 0 [,) +oo )  X.  D
) ) )
9765, 53, 96mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( K 
tX  L )  e.  (TopOn `  ( (
0 [,) +oo )  X.  D ) )
9897topontopi 19299 . . . . . . . 8  |-  ( K 
tX  L )  e. 
Top
9998a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( K  tX  L )  e.  Top )
100 xpss1 5097 . . . . . . . 8  |-  ( RR+  C_  ( 0 [,) +oo )  ->  ( RR+  X.  D
)  C_  ( (
0 [,) +oo )  X.  D ) )
10124, 100mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( RR+  X.  D )  C_  (
( 0 [,) +oo )  X.  D ) )
102 txopn 19969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  /\  ( RR+  e.  K  /\  D  e.  L ) )  -> 
( RR+  X.  D
)  e.  ( K 
tX  L ) )
10365, 53, 79, 81, 102mp4an 673 . . . . . . . . 9  |-  ( RR+  X.  D )  e.  ( K  tX  L )
104 isopn3i 19449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  Top  /\  ( RR+  X.  D )  e.  ( K  tX  L ) )  -> 
( ( int `  ( K  tX  L ) ) `
 ( RR+  X.  D
) )  =  (
RR+  X.  D )
)
10598, 103, 104mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( int `  ( K 
tX  L ) ) `
 ( RR+  X.  D
) )  =  (
RR+  X.  D )
10650, 105syl6eleqr 2540 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  <. u ,  v >.  e.  (
( int `  ( K  tX  L ) ) `
 ( RR+  X.  D
) ) )
10717a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC )
10865topontopi 19299 . . . . . . . . 9  |-  K  e. 
Top
10953topontopi 19299 . . . . . . . . 9  |-  L  e. 
Top
11065toponunii 19300 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,) +oo )  = 
U. K
111108, 109, 110, 88txunii 19960 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0 [,) +oo )  X.  D )  =  U. ( K  tX  L )
11219toponunii 19300 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. J
113111, 112cnprest 19656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  tX  L )  e.  Top  /\  ( RR+  X.  D
)  C_  ( (
0 [,) +oo )  X.  D ) )  /\  ( <. u ,  v
>.  e.  ( ( int `  ( K  tX  L
) ) `  ( RR+  X.  D ) )  /\  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC ) )  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. )  <->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L
)t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) ) )
11499, 101, 106, 107, 113syl22anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. )  <->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L
)t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) ) )
11595, 114mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  <. u ,  v >.
) )
11617a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  D  ->  (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC )
117 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  /  2 )  =  ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 )
118 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  / 
2 )  <_  (
e  ^c  ( 1  /  ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  /  2 ) ) ) ,  ( if ( ( Re
`  v )  <_ 
1 ,  ( Re
`  v ) ,  1 )  /  2
) ,  ( e  ^c  ( 1  /  ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 ) ) ) )  =  if ( ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 )  <_ 
( e  ^c 
( 1  /  ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  /  2 ) ) ) ,  ( if ( ( Re
`  v )  <_ 
1 ,  ( Re
`  v ) ,  1 )  /  2
) ,  ( e  ^c  ( 1  /  ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 ) ) ) )
1195, 18, 62, 35, 117, 118cxpcn3lem 22986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  D  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  e
) )
120119ralrimiva 2855 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  e
) )
121 0e0icopnf 11634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
123 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  a  e.  ( 0 [,) +oo ) )
124122, 123ovresd 6424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  =  ( 0 ( abs  o.  -  ) a ) )
125 0cn 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  CC
1263, 123sseldi 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  a  e.  CC )
127 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
128127cnmetdval 21144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) a
)  =  ( abs `  ( 0  -  a
) ) )
129125, 126, 128sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) a )  =  ( abs `  (
0  -  a ) ) )
130 df-neg 9808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u a  =  ( 0  -  a )
131130fveq2i 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs `  -u a )  =  ( abs `  (
0  -  a ) )
132126absnegd 13254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  -u a )  =  ( abs `  a
) )
133131, 132syl5eqr 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  ( 0  -  a ) )  =  ( abs `  a
) )
134124, 129, 1333eqtrd 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  =  ( abs `  a ) )
135134breq1d 4443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  (
0 [,) +oo )
) ) a )  <  d  <->  ( abs `  a )  <  d
) )
136 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  v  e.  D )
137 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  b  e.  D )
138136, 137ovresd 6424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
v ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) b )  =  ( v ( abs  o.  -  ) b ) )
13910, 136sseldi 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  v  e.  CC )
14010, 137sseldi 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  b  e.  CC )
141127cnmetdval 21144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( v ( abs 
o.  -  ) b
)  =  ( abs `  ( v  -  b
) ) )
142139, 140, 141syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
v ( abs  o.  -  ) b )  =  ( abs `  (
v  -  b ) ) )
143138, 142eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
v ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) b )  =  ( abs `  ( v  -  b ) ) )
144143breq1d 4443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d  <->  ( abs `  ( v  -  b
) )  <  d
) )
145135, 144anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  <->  ( ( abs `  a )  < 
d  /\  ( abs `  ( v  -  b
) )  <  d
) ) )
146 oveq12 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  v )  ->  ( x  ^c  y )  =  ( 0  ^c 
v ) )
147 ovex 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  ^c  v )  e.  _V
148146, 15, 147ovmpt2a 6414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )  ->  ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v )  =  ( 0  ^c  v ) )
149121, 136, 148sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v )  =  ( 0  ^c  v ) )
1505eleq2i 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  D  <->  v  e.  ( `' Re " RR+ )
)
151 ffn 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Re : CC --> RR  ->  Re  Fn  CC )
152 elpreima 5988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Re  Fn  CC  ->  (
v  e.  ( `' Re " RR+ )  <->  ( v  e.  CC  /\  ( Re `  v )  e.  RR+ ) ) )
1537, 151, 152mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  ( `' Re "
RR+ )  <->  ( v  e.  CC  /\  ( Re
`  v )  e.  RR+ ) )
154150, 153bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  D  <->  ( v  e.  CC  /\  ( Re
`  v )  e.  RR+ ) )
155154simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  D  ->  v  e.  CC )
156154simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  D  ->  (
Re `  v )  e.  RR+ )
157156rpne0d 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  D  ->  (
Re `  v )  =/=  0 )
158 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  0  ->  (
Re `  v )  =  ( Re ` 
0 ) )
159 re0 12959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Re
`  0 )  =  0
160158, 159syl6eq 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  0  ->  (
Re `  v )  =  0 )
161160necon3i 2681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Re `  v )  =/=  0  ->  v  =/=  0 )
162157, 161syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  D  ->  v  =/=  0 )
163155, 1620cxpd 22956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  D  ->  (
0  ^c  v )  =  0 )
164163adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0  ^c  v )  =  0 )
165149, 164eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v )  =  0 )
166 oveq12 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( x  ^c 
y )  =  ( a  ^c  b ) )
167 ovex 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  ^c  b )  e.  _V
168166, 15, 167ovmpt2a 6414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D )  ->  ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b )  =  ( a  ^c  b ) )
169168adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b )  =  ( a  ^c  b ) )
170165, 169oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs 
o.  -  ) (
a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  =  ( 0 ( abs 
o.  -  ) (
a  ^c  b ) ) )
171126, 140cxpcld 22954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
a  ^c  b )  e.  CC )
172127cnmetdval 21144 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  ( a  ^c 
b )  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs  o.  -  )
( a  ^c 
b ) )  =  ( abs `  (
0  -  ( a  ^c  b ) ) ) )
173125, 171, 172sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) ( a  ^c  b ) )  =  ( abs `  ( 0  -  (
a  ^c  b ) ) ) )
174 df-neg 9808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u (
a  ^c  b )  =  ( 0  -  ( a  ^c  b ) )
175174fveq2i 5855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs `  -u ( a  ^c  b ) )  =  ( abs `  (
0  -  ( a  ^c  b ) ) )
176171absnegd 13254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  -u ( a  ^c  b ) )  =  ( abs `  (
a  ^c  b ) ) )
177175, 176syl5eqr 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  ( 0  -  ( a  ^c 
b ) ) )  =  ( abs `  (
a  ^c  b ) ) )
178170, 173, 1773eqtrd 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs 
o.  -  ) (
a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  =  ( abs `  (
a  ^c  b ) ) )
179178breq1d 4443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e  <->  ( abs `  ( a  ^c 
b ) )  < 
e ) )
180145, 179imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e )  <-> 
( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  e
) ) )
1811802ralbidva 2883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  D  ->  ( A. a  e.  (
0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e )  <->  A. a  e.  (
0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  e
) ) )
182181rexbidv 2952 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  D  ->  ( E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e )  <->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  e
) ) )
183182ralbidv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e )  <->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  e
) ) )
184120, 183mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  D  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e ) )
185 cnxmet 21146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
186185a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  D  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
187 xmetres2 20730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) )  e.  ( *Met `  ( 0 [,) +oo ) ) )
188186, 3, 187sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  (
0 [,) +oo )
) )  e.  ( *Met `  (
0 [,) +oo )
) )
189 xmetres2 20730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( *Met `  D ) )
190186, 10, 189sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  e.  ( *Met `  D
) )
191121a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
192 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  v  e.  D )
193 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  (
0 [,) +oo )
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) )
19418cnfldtopn 21155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
195 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) )  =  ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  (
0 [,) +oo )
) ) )
196193, 194, 195metrest 20893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  CC )  -> 
( Jt  ( 0 [,) +oo ) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) ) )
197185, 3, 196mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  ( 0 [,) +oo )
)  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
19862, 197eqtri 2470 . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  (
0 [,) +oo )
) ) )
199 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )
200 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
201199, 194, 200metrest 20893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( Jt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
202185, 10, 201mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  D )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
20335, 202eqtri 2470 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) )
204198, 203, 194txmetcnp 20916 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) )  e.  ( *Met `  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  e.  ( *Met `  D
)  /\  ( abs  o. 
-  )  e.  ( *Met `  CC ) )  /\  (
0  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )
)  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. 0 ,  v >. )  <->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC 
/\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e ) ) ) )
205188, 190, 186, 191, 192, 204syl32anc 1235 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  D  ->  (
( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )  e.  ( ( ( K 
tX  L )  CnP 
J ) `  <. 0 ,  v >. )  <-> 
( ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e ) ) ) )
206116, 184, 205mpbir2and 920 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  D  ->  (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. 0 ,  v >. ) )
207206ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. 0 ,  v >. ) )
208 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  0  =  u )
209208opeq1d 4204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  <. 0 ,  v >.  =  <. u ,  v >. )
210209fveq2d 5856 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  (
( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. 0 ,  v >. )  =  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
211207, 210eleqtrd 2531 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
21242simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  <_  u )
213212adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )  ->  0  <_  u )
214 0re 9594 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
215 leloe 9669 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  u  e.  RR )  ->  ( 0  <_  u  <->  ( 0  <  u  \/  0  =  u ) ) )
216214, 44, 215sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )  ->  ( 0  <_  u  <->  ( 0  <  u  \/  0  =  u ) ) )
217213, 216mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )  ->  ( 0  <  u  \/  0  =  u
) )
218115, 211, 217mpjaodan 784 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )  ->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )  e.  ( ( ( K 
tX  L )  CnP 
J ) `  <. u ,  v >. )
)
219218rgen2 2866 . . 3  |-  A. u  e.  ( 0 [,) +oo ) A. v  e.  D  ( x  e.  (
0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )  e.  ( ( ( K 
tX  L )  CnP 
J ) `  <. u ,  v >. )
220 fveq2 5852 . . . . 5  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z )  =  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
221220eleq2d 2511 . . . 4  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z )  <->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  <. u ,  v >.
) ) )
222221ralxp 5130 . . 3  |-  ( A. z  e.  ( (
0 [,) +oo )  X.  D ) ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z )  <->  A. u  e.  ( 0 [,) +oo ) A. v  e.  D  ( x  e.  (
0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )  e.  ( ( ( K 
tX  L )  CnP 
J ) `  <. u ,  v >. )
)
223219, 222mpbir 209 . 2  |-  A. z  e.  ( ( 0 [,) +oo )  X.  D
) ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z )
224 cncnp 19647 . . 3  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( ( 0 [,) +oo )  X.  D
) )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J )  <-> 
( ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC  /\  A. z  e.  ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z ) ) ) )
22597, 19, 224mp2an 672 . 2  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J )  <-> 
( ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC  /\  A. z  e.  ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z ) ) )
22617, 223, 225mpbir2an 918 1  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K 
tX  L )  Cn  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093    C_ wss 3458   ifcif 3922   <.cop 4016   class class class wbr 4433    X. cxp 4983   `'ccnv 4984   dom cdm 4985   ran crn 4986    |` cres 4987   "cima 4988    o. ccom 4989    Fn wfn 5569   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491   +oocpnf 9623    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9805   -ucneg 9806    / cdiv 10207   2c2 10586   RR+crp 11224   (,)cioo 11533   [,)cico 11535   Recre 12904   abscabs 13041   ↾t crest 14690   TopOpenctopn 14691   topGenctg 14707   *Metcxmt 18271   MetOpencmopn 18276  ℂfldccnfld 18288   Topctop 19261  TopOnctopon 19262   intcnt 19384    Cn ccn 19591    CnP ccnp 19592    tX ctx 19927    ^c ccxp 22808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ioc 11538  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-shft 12874  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-ef 13676  df-sin 13678  df-cos 13679  df-tan 13680  df-pi 13681  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-cmp 19753  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22809  df-cxp 22810
This theorem is referenced by:  resqrtcn  22988
  Copyright terms: Public domain W3C validator