Theorem cxpcn3 23767

Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpcn3.d	|- D = ( `' Re " RR+ )
cxpcn3.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
cxpcn3.k	|- K = ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) )
cxpcn3.l	|- L = ( J ↾t D )

Assertion

Ref	Expression
cxpcn3	|- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, D, y

Allowed substitution hints:   K( x, y)   L( x, y)

Proof of Theorem cxpcn3

Dummy variables a b d e u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 11766	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
2		ax-resscn 9614	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
3	1, 2	sstri 3427	. . . . . 6 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
4	3	sseli 3414	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) -> x e. CC )
5		cxpcn3.d	. . . . . . 7 |- D = ( `' Re " RR+ )
6		cnvimass 5194	. . . . . . . 8 |- ( `' Re " RR+ ) C_ dom Re
7		ref 13252	. . . . . . . . 9 |- Re : CC --> RR
8	7	fdmi 5746	. . . . . . . 8 |- dom Re = CC
9	6, 8	sseqtri 3450	. . . . . . 7 |- ( `' Re " RR+ ) C_ CC
10	5, 9	eqsstri 3448	. . . . . 6 |- D C_ CC
11	10	sseli 3414	. . . . 5 |- ( y e. D -> y e. CC )
12		cxpcl 23698	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x ^c y ) e. CC )
13	4, 11, 12	syl2an 485	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. D ) -> ( x ^c y ) e. CC )
14	13	rgen2 2818	. . 3 |- A. x e. ( 0 [,) +oo ) A. y e. D ( x ^c y ) e. CC
15		eqid 2471	. . . 4 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) = ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) )
16	15	fmpt2 6879	. . 3 |- ( A. x e. ( 0 [,) +oo ) A. y e. D ( x ^c y ) e. CC <-> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC )
17	14, 16	mpbi 213	. 2 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC
18		cxpcn3.j	. . . . . . . . . . . . 13 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
19	18	cnfldtopon 21881	. . . . . . . . . . . 12 |- J e. (TopOn ` CC )
20		rpre 11331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
21		rpge0 11337	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> 0 <_ x )
22		elrege0 11764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
23	20, 21, 22	sylanbrc 677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR+ -> x e. ( 0 [,) +oo ) )
24	23	ssriv 3422	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR+ C_ ( 0 [,) +oo )
25	24, 3	sstri 3427	. . . . . . . . . . . 12 |- RR+ C_ CC
26		resttopon 20254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ RR+ C_ CC ) -> ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ ) )
27	19, 25, 26	mp2an 686	. . . . . . . . . . 11 |- ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ )
28	27	toponunii 20024	. . . . . . . . . . . 12 |- RR+ = U. ( J ↾t RR+ )
29	28	restid 15410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ ) -> ( ( J ↾t RR+ ) ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ ) )
30	27, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J ↾t RR+ ) ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ )
31	30	eqcomi 2480	. . . . . . . . 9 |- ( J ↾t RR+ ) = ( ( J ↾t RR+ ) ↾t RR+ )
32	27	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ ) )
33		ssid 3437	. . . . . . . . . 10 |- RR+ C_ RR+
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> RR+ C_ RR+ )
35		cxpcn3.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( J ↾t D )
36	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> J e. (TopOn ` CC ) )
37	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> D C_ CC )
38		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( J ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ )
39	18, 38	cxpcn2 23765	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ , y e. CC |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J ↾t RR+ ) tX J ) Cn J )
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. RR+ , y e. CC |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J ↾t RR+ ) tX J ) Cn J ) )
41	31, 32, 34, 35, 36, 37, 40	cnmpt2res 20769	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) Cn J ) )
42		elrege0 11764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( u e. RR /\ 0 <_ u ) )
43	42	simplbi 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( 0 [,) +oo ) -> u e. RR )
44	43	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> u e. RR )
45	44	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> u e. RR )
46		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> 0 < u )
47	45, 46	elrpd 11361	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> u e. RR+ )
48		simplr 770	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> v e. D )
49		opelxp 4869	. . . . . . . . 9 |- ( <. u , v >. e. ( RR+ X. D ) <-> ( u e. RR+ /\ v e. D ) )
50	47, 48, 49	sylanbrc 677	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> <. u , v >. e. ( RR+ X. D ) )
51		resttopon 20254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( J ↾t D ) e. (TopOn ` D ) )
52	19, 10, 51	mp2an 686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J ↾t D ) e. (TopOn ` D )
53	35, 52	eqeltri 2545	. . . . . . . . . . 11 |- L e. (TopOn ` D )
54		txtopon 20683	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ ) /\ L e. (TopOn ` D ) ) -> ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) e. (TopOn ` ( RR+ X. D ) ) )
55	27, 53, 54	mp2an 686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) e. (TopOn ` ( RR+ X. D ) )
56	55	toponunii 20024	. . . . . . . . 9 |- ( RR+ X. D ) = U. ( ( J ↾t RR+ ) tX L )
57	56	cncnpi 20371	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) Cn J ) /\ <. u , v >. e. ( RR+ X. D ) ) -> ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
58	41, 50, 57	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
59		ssid 3437	. . . . . . . 8 |- D C_ D
60		resmpt2 6413	. . . . . . . 8 |- ( ( RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ D C_ D ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) = ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) )
61	24, 59, 60	mp2an 686	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) = ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) )
62		cxpcn3.k	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) )
63		resttopon 20254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ CC ) -> ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) )
64	19, 3, 63	mp2an 686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) )
65	62, 64	eqeltri 2545	. . . . . . . . . . 11 |- K e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) )
66		ioorp 11737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
67		iooretop 21864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) )
68	66, 67	eqeltrri 2546	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR+ e. ( topGen ` ran (,) )
69		retop 21860	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
70		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 [,) +oo ) e. _V
71		restopnb 20268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( 0 [,) +oo ) e. _V ) /\ ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) /\ RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ RR+ C_ RR+ ) ) -> ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) <-> RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ) )
72	69, 70, 71	mpanl12 696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) /\ RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ RR+ C_ RR+ ) -> ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) <-> RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ) )
73	68, 24, 33, 72	mp3an 1390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) <-> RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) ) )
74	68, 73	mpbi 213	. . . . . . . . . . . 12 |- RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) )
75		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
76	18, 75	rerest 21900	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 [,) +oo ) C_ RR -> ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) ) )
77	1, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) )
78	62, 77	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) )
79	74, 78	eleqtrri 2548	. . . . . . . . . . 11 |- RR+ e. K
80		toponmax 20020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. (TopOn ` D ) -> D e. L )
81	53, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- D e. L
82		txrest 20723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ L e. (TopOn ` D ) ) /\ ( RR+ e. K /\ D e. L ) ) -> ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) = ( ( K ↾t RR+ ) tX ( L ↾t D ) ) )
83	65, 53, 79, 81, 82	mp4an 687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) = ( ( K ↾t RR+ ) tX ( L ↾t D ) )
84	62	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K ↾t RR+ ) = ( ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ↾t RR+ )
85		restabs 20258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) e. _V ) -> ( ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ ) )
86	19, 24, 70, 85	mp3an 1390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ )
87	84, 86	eqtri 2493	. . . . . . . . . . 11 |- ( K ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ )
88	53	toponunii 20024	. . . . . . . . . . . . 13 |- D = U. L
89	88	restid 15410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. (TopOn ` D ) -> ( L ↾t D ) = L )
90	53, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( L ↾t D ) = L
91	87, 90	oveq12i 6320	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K ↾t RR+ ) tX ( L ↾t D ) ) = ( ( J ↾t RR+ ) tX L )
92	83, 91	eqtri 2493	. . . . . . . . 9 |- ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) = ( ( J ↾t RR+ ) tX L )
93	92	oveq1i 6318	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) = ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) CnP J )
94	93	fveq1i 5880	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) = ( ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. )
95	58, 61, 94	3eltr4g 2566	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) e. ( ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
96		txtopon 20683	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ L e. (TopOn ` D ) ) -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ) )
97	65, 53, 96	mp2an 686	. . . . . . . . 9 |- ( K tX L ) e. (TopOn ` ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) )
98	97	topontopi 20023	. . . . . . . 8 |- ( K tX L ) e. Top
99	98	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( K tX L ) e. Top )
100		xpss1 4948	. . . . . . . 8 |- ( RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) -> ( RR+ X. D ) C_ ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) )
101	24, 100	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( RR+ X. D ) C_ ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) )
102		txopn 20694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ L e. (TopOn ` D ) ) /\ ( RR+ e. K /\ D e. L ) ) -> ( RR+ X. D ) e. ( K tX L ) )
103	65, 53, 79, 81, 102	mp4an 687	. . . . . . . . 9 |- ( RR+ X. D ) e. ( K tX L )
104		isopn3i 20175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K tX L ) e. Top /\ ( RR+ X. D ) e. ( K tX L ) ) -> ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) = ( RR+ X. D ) )
105	98, 103, 104	mp2an 686	. . . . . . . 8 |- ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) = ( RR+ X. D )
106	50, 105	syl6eleqr 2560	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> <. u , v >. e. ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) )
107	17	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC )
108	65	topontopi 20023	. . . . . . . . 9 |- K e. Top
109	53	topontopi 20023	. . . . . . . . 9 |- L e. Top
110	65	toponunii 20024	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,) +oo ) = U. K
111	108, 109, 110, 88	txunii 20685	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) = U. ( K tX L )
112	19	toponunii 20024	. . . . . . . 8 |- CC = U. J
113	111, 112	cnprest 20382	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K tX L ) e. Top /\ ( RR+ X. D ) C_ ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ) /\ ( <. u , v >. e. ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC ) ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) e. ( ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) )
114	99, 101, 106, 107, 113	syl22anc 1293	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) e. ( ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) )
115	95, 114	mpbird 240	. . . . 5 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
116	17	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( v e. D -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC )
117		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) = ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 )
118		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) <_ ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) , ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) , ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) ) = if ( ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) <_ ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) , ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) , ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) )
119	5, 18, 62, 35, 117, 118	cxpcn3lem 23766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. D /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) )
120	119	ralrimiva 2809	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) )
121		0e0icopnf 11768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
123		simprl 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> a e. ( 0 [,) +oo ) )
124	122, 123	ovresd 6456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) = ( 0 ( abs o. - ) a ) )
125		0cn 9653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. CC
126	3, 123	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> a e. CC )
127		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
128	127	cnmetdval 21869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. CC /\ a e. CC ) -> ( 0 ( abs o. - ) a ) = ( abs ` ( 0 - a ) ) )
129	125, 126, 128	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( abs o. - ) a ) = ( abs ` ( 0 - a ) ) )
130		df-neg 9883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u a = ( 0 - a )
131	130	fveq2i 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( abs ` -u a ) = ( abs ` ( 0 - a ) )
132	126	absnegd 13588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` -u a ) = ( abs ` a ) )
133	131, 132	syl5eqr 2519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` ( 0 - a ) ) = ( abs ` a ) )
134	124, 129, 133	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) = ( abs ` a ) )
135	134	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d <-> ( abs ` a ) < d ) )
136		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> v e. D )
137		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> b e. D )
138	136, 137	ovresd 6456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) = ( v ( abs o. - ) b ) )
139	10, 136	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> v e. CC )
140	10, 137	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> b e. CC )
141	127	cnmetdval 21869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. CC /\ b e. CC ) -> ( v ( abs o. - ) b ) = ( abs ` ( v - b ) ) )
142	139, 140, 141	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( v ( abs o. - ) b ) = ( abs ` ( v - b ) ) )
143	138, 142	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) = ( abs ` ( v - b ) ) )
144	143	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d <-> ( abs ` ( v - b ) ) < d ) )
145	135, 144	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) <-> ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) ) )
146		oveq12 6317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = 0 /\ y = v ) -> ( x ^c y ) = ( 0 ^c v ) )
147		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 ^c v ) e. _V
148	146, 15, 147	ovmpt2a 6446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) = ( 0 ^c v ) )
149	121, 136, 148	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) = ( 0 ^c v ) )
150	5	eleq2i 2541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. D <-> v e. ( `' Re " RR+ ) )
151		ffn 5739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Re : CC --> RR -> Re Fn CC )
152		elpreima 6017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Re Fn CC -> ( v e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( v e. CC /\ ( Re ` v ) e. RR+ ) ) )
153	7, 151, 152	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( v e. CC /\ ( Re ` v ) e. RR+ ) )
154	150, 153	bitri 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. D <-> ( v e. CC /\ ( Re ` v ) e. RR+ ) )
155	154	simplbi 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v e. D -> v e. CC )
156	154	simprbi 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. D -> ( Re ` v ) e. RR+ )
157	156	rpne0d 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. D -> ( Re ` v ) =/= 0 )
158		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = 0 -> ( Re ` v ) = ( Re ` 0 ) )
159		re0 13292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Re ` 0 ) = 0
160	158, 159	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = 0 -> ( Re ` v ) = 0 )
161	160	necon3i 2675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Re ` v ) =/= 0 -> v =/= 0 )
162	157, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v e. D -> v =/= 0 )
163	155, 162	0cxpd 23734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. D -> ( 0 ^c v ) = 0 )
164	163	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ^c v ) = 0 )
165	149, 164	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) = 0 )
166		oveq12 6317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( x ^c y ) = ( a ^c b ) )
167		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a ^c b ) e. _V
168	166, 15, 167	ovmpt2a 6446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) -> ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) = ( a ^c b ) )
169	168	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) = ( a ^c b ) )
170	165, 169	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) = ( 0 ( abs o. - ) ( a ^c b ) ) )
171	126, 140	cxpcld 23732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( a ^c b ) e. CC )
172	127	cnmetdval 21869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. CC /\ ( a ^c b ) e. CC ) -> ( 0 ( abs o. - ) ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) ) )
173	125, 171, 172	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( abs o. - ) ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) ) )
174		df-neg 9883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -u ( a ^c b ) = ( 0 - ( a ^c b ) )
175	174	fveq2i 5882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( abs ` -u ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) )
176	171	absnegd 13588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` -u ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( a ^c b ) ) )
177	175, 176	syl5eqr 2519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) ) = ( abs ` ( a ^c b ) ) )
178	170, 173, 177	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) = ( abs ` ( a ^c b ) ) )
179	178	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e <-> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) )
180	145, 179	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) )
181	180	2ralbidva 2831	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. D -> ( A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) )
182	181	rexbidv 2892	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. D -> ( E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) )
183	182	ralbidv 2829	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) )
184	120, 183	mpbird 240	. . . . . . . 8 |- ( v e. D -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) )
185		cnxmet 21871	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
186	185	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. D -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
187		xmetres2 21454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) e. ( *Met ` ( 0 [,) +oo ) ) )
188	186, 3, 187	sylancl 675	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) e. ( *Met ` ( 0 [,) +oo ) ) )
189		xmetres2 21454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) )
190	186, 10, 189	sylancl 675	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) )
191	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
192		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> v e. D )
193		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) )
194	18	cnfldtopn 21880	. . . . . . . . . . . . 13 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
195		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
196	193, 194, 195	metrest 21617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ CC ) -> ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) ) )
197	185, 3, 196	mp2an 686	. . . . . . . . . . 11 |- ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
198	62, 197	eqtri 2493	. . . . . . . . . 10 |- K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
199		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) )
200		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) )
201	199, 194, 200	metrest 21617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( J ↾t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
202	185, 10, 201	mp2an 686	. . . . . . . . . . 11 |- ( J ↾t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) )
203	35, 202	eqtri 2493	. . . . . . . . . 10 |- L = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) )
204	198, 203, 194	txmetcnp 21640	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) e. ( *Met ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) /\ ( 0 e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) ) ) )
205	188, 190, 186, 191, 192, 204	syl32anc 1300	. . . . . . . 8 |- ( v e. D -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) ) ) )
206	116, 184, 205	mpbir2and 936	. . . . . . 7 |- ( v e. D -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) )
207	206	ad2antlr 741	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) )
208		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> 0 = u )
209	208	opeq1d 4164	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> <. 0 , v >. = <. u , v >. )
210	209	fveq2d 5883	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) = ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
211	207, 210	eleqtrd 2551	. . . . 5 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
212	42	simprbi 471	. . . . . . 7 |- ( u e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ u )
213	212	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> 0 <_ u )
214		0re 9661	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
215		leloe 9738	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ u e. RR ) -> ( 0 <_ u <-> ( 0 < u \/ 0 = u ) ) )
216	214, 44, 215	sylancr 676	. . . . . 6 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( 0 <_ u <-> ( 0 < u \/ 0 = u ) ) )
217	213, 216	mpbid 215	. . . . 5 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( 0 < u \/ 0 = u ) )
218	115, 211, 217	mpjaodan 803	. . . 4 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
219	218	rgen2 2818	. . 3 |- A. u e. ( 0 [,) +oo ) A. v e. D ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. )
220		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) = ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
221	220	eleq2d 2534	. . . 4 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) <-> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) )
222	221	ralxp 4981	. . 3 |- ( A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) <-> A. u e. ( 0 [,) +oo ) A. v e. D ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
223	219, 222	mpbir 214	. 2 |- A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z )
224		cncnp 20373	. . 3 |- ( ( ( K tX L ) e. (TopOn ` ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) ) ) )
225	97, 19, 224	mp2an 686	. 2 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) ) )
226	17, 223, 225	mpbir2an 934	1 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   ifcif 3872   <.cop 3965   class class class wbr 4395   X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   "cima 4842   o. ccom 4843   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   +oocpnf 9690   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   -ucneg 9881   / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   [,)cico 11662   Recre 13237   abscabs 13374   ↾_t crest 15397   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414   *Metcxmt 19032   MetOpencmopn 19037  ℂ_fldccnfld 19047   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   intcnt 20109   Cn ccn 20317   CnP ccnp 20318   tX ctx 20652   ^c ccxp 23584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-tan 14202  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586

This theorem is referenced by:  resqrtcn  23768