Theorem cxpcn3 23290

Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpcn3.d	|- D = ( `' Re " RR+ )
cxpcn3.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
cxpcn3.k	|- K = ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) )
cxpcn3.l	|- L = ( J ↾t D )

Assertion

Ref	Expression
cxpcn3	|- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, D, y

Allowed substitution hints:   K( x, y)   L( x, y)

Proof of Theorem cxpcn3

Dummy variables a b d e u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 11631	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
2		ax-resscn 9538	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
3	1, 2	sstri 3498	. . . . . 6 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
4	3	sseli 3485	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) -> x e. CC )
5		cxpcn3.d	. . . . . . 7 |- D = ( `' Re " RR+ )
6		cnvimass 5345	. . . . . . . 8 |- ( `' Re " RR+ ) C_ dom Re
7		ref 13027	. . . . . . . . 9 |- Re : CC --> RR
8	7	fdmi 5718	. . . . . . . 8 |- dom Re = CC
9	6, 8	sseqtri 3521	. . . . . . 7 |- ( `' Re " RR+ ) C_ CC
10	5, 9	eqsstri 3519	. . . . . 6 |- D C_ CC
11	10	sseli 3485	. . . . 5 |- ( y e. D -> y e. CC )
12		cxpcl 23223	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x ^c y ) e. CC )
13	4, 11, 12	syl2an 475	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. D ) -> ( x ^c y ) e. CC )
14	13	rgen2 2879	. . 3 |- A. x e. ( 0 [,) +oo ) A. y e. D ( x ^c y ) e. CC
15		eqid 2454	. . . 4 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) = ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) )
16	15	fmpt2 6840	. . 3 |- ( A. x e. ( 0 [,) +oo ) A. y e. D ( x ^c y ) e. CC <-> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC )
17	14, 16	mpbi 208	. 2 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC
18		cxpcn3.j	. . . . . . . . . . . . 13 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
19	18	cnfldtopon 21456	. . . . . . . . . . . 12 |- J e. (TopOn ` CC )
20		rpre 11227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
21		rpge0 11233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> 0 <_ x )
22		elrege0 11630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
23	20, 21, 22	sylanbrc 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR+ -> x e. ( 0 [,) +oo ) )
24	23	ssriv 3493	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR+ C_ ( 0 [,) +oo )
25	24, 3	sstri 3498	. . . . . . . . . . . 12 |- RR+ C_ CC
26		resttopon 19829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ RR+ C_ CC ) -> ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ ) )
27	19, 25, 26	mp2an 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ )
28	27	toponunii 19600	. . . . . . . . . . . 12 |- RR+ = U. ( J ↾t RR+ )
29	28	restid 14923	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ ) -> ( ( J ↾t RR+ ) ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ ) )
30	27, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J ↾t RR+ ) ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ )
31	30	eqcomi 2467	. . . . . . . . 9 |- ( J ↾t RR+ ) = ( ( J ↾t RR+ ) ↾t RR+ )
32	27	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ ) )
33		ssid 3508	. . . . . . . . . 10 |- RR+ C_ RR+
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> RR+ C_ RR+ )
35		cxpcn3.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( J ↾t D )
36	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> J e. (TopOn ` CC ) )
37	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> D C_ CC )
38		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( J ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ )
39	18, 38	cxpcn2 23288	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ , y e. CC |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J ↾t RR+ ) tX J ) Cn J )
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. RR+ , y e. CC |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J ↾t RR+ ) tX J ) Cn J ) )
41	31, 32, 34, 35, 36, 37, 40	cnmpt2res 20344	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) Cn J ) )
42		elrege0 11630	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( u e. RR /\ 0 <_ u ) )
43	42	simplbi 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( 0 [,) +oo ) -> u e. RR )
44	43	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> u e. RR )
45	44	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> u e. RR )
46		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> 0 < u )
47	45, 46	elrpd 11256	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> u e. RR+ )
48		simplr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> v e. D )
49		opelxp 5018	. . . . . . . . 9 |- ( <. u , v >. e. ( RR+ X. D ) <-> ( u e. RR+ /\ v e. D ) )
50	47, 48, 49	sylanbrc 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> <. u , v >. e. ( RR+ X. D ) )
51		resttopon 19829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( J ↾t D ) e. (TopOn ` D ) )
52	19, 10, 51	mp2an 670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J ↾t D ) e. (TopOn ` D )
53	35, 52	eqeltri 2538	. . . . . . . . . . 11 |- L e. (TopOn ` D )
54		txtopon 20258	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ ) /\ L e. (TopOn ` D ) ) -> ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) e. (TopOn ` ( RR+ X. D ) ) )
55	27, 53, 54	mp2an 670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) e. (TopOn ` ( RR+ X. D ) )
56	55	toponunii 19600	. . . . . . . . 9 |- ( RR+ X. D ) = U. ( ( J ↾t RR+ ) tX L )
57	56	cncnpi 19946	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) Cn J ) /\ <. u , v >. e. ( RR+ X. D ) ) -> ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
58	41, 50, 57	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
59		ssid 3508	. . . . . . . 8 |- D C_ D
60		resmpt2 6373	. . . . . . . 8 |- ( ( RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ D C_ D ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) = ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) )
61	24, 59, 60	mp2an 670	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) = ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) )
62		cxpcn3.k	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) )
63		resttopon 19829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ CC ) -> ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) )
64	19, 3, 63	mp2an 670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) )
65	62, 64	eqeltri 2538	. . . . . . . . . . 11 |- K e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) )
66		ioorp 11605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
67		iooretop 21439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) )
68	66, 67	eqeltrri 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR+ e. ( topGen ` ran (,) )
69		retop 21434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
70		ovex 6298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 [,) +oo ) e. _V
71		restopnb 19843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( 0 [,) +oo ) e. _V ) /\ ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) /\ RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ RR+ C_ RR+ ) ) -> ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) <-> RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ) )
72	69, 70, 71	mpanl12 680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) /\ RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ RR+ C_ RR+ ) -> ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) <-> RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ) )
73	68, 24, 33, 72	mp3an 1322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) <-> RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) ) )
74	68, 73	mpbi 208	. . . . . . . . . . . 12 |- RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) )
75		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
76	18, 75	rerest 21475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 [,) +oo ) C_ RR -> ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) ) )
77	1, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) )
78	62, 77	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) )
79	74, 78	eleqtrri 2541	. . . . . . . . . . 11 |- RR+ e. K
80		toponmax 19596	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. (TopOn ` D ) -> D e. L )
81	53, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- D e. L
82		txrest 20298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ L e. (TopOn ` D ) ) /\ ( RR+ e. K /\ D e. L ) ) -> ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) = ( ( K ↾t RR+ ) tX ( L ↾t D ) ) )
83	65, 53, 79, 81, 82	mp4an 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) = ( ( K ↾t RR+ ) tX ( L ↾t D ) )
84	62	oveq1i 6280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K ↾t RR+ ) = ( ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ↾t RR+ )
85		restabs 19833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) e. _V ) -> ( ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ ) )
86	19, 24, 70, 85	mp3an 1322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ )
87	84, 86	eqtri 2483	. . . . . . . . . . 11 |- ( K ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ )
88	53	toponunii 19600	. . . . . . . . . . . . 13 |- D = U. L
89	88	restid 14923	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. (TopOn ` D ) -> ( L ↾t D ) = L )
90	53, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( L ↾t D ) = L
91	87, 90	oveq12i 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K ↾t RR+ ) tX ( L ↾t D ) ) = ( ( J ↾t RR+ ) tX L )
92	83, 91	eqtri 2483	. . . . . . . . 9 |- ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) = ( ( J ↾t RR+ ) tX L )
93	92	oveq1i 6280	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) = ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) CnP J )
94	93	fveq1i 5849	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) = ( ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. )
95	58, 61, 94	3eltr4g 2560	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) e. ( ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
96		txtopon 20258	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ L e. (TopOn ` D ) ) -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ) )
97	65, 53, 96	mp2an 670	. . . . . . . . 9 |- ( K tX L ) e. (TopOn ` ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) )
98	97	topontopi 19599	. . . . . . . 8 |- ( K tX L ) e. Top
99	98	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( K tX L ) e. Top )
100		xpss1 5099	. . . . . . . 8 |- ( RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) -> ( RR+ X. D ) C_ ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) )
101	24, 100	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( RR+ X. D ) C_ ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) )
102		txopn 20269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ L e. (TopOn ` D ) ) /\ ( RR+ e. K /\ D e. L ) ) -> ( RR+ X. D ) e. ( K tX L ) )
103	65, 53, 79, 81, 102	mp4an 671	. . . . . . . . 9 |- ( RR+ X. D ) e. ( K tX L )
104		isopn3i 19750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K tX L ) e. Top /\ ( RR+ X. D ) e. ( K tX L ) ) -> ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) = ( RR+ X. D ) )
105	98, 103, 104	mp2an 670	. . . . . . . 8 |- ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) = ( RR+ X. D )
106	50, 105	syl6eleqr 2553	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> <. u , v >. e. ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) )
107	17	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC )
108	65	topontopi 19599	. . . . . . . . 9 |- K e. Top
109	53	topontopi 19599	. . . . . . . . 9 |- L e. Top
110	65	toponunii 19600	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,) +oo ) = U. K
111	108, 109, 110, 88	txunii 20260	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) = U. ( K tX L )
112	19	toponunii 19600	. . . . . . . 8 |- CC = U. J
113	111, 112	cnprest 19957	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K tX L ) e. Top /\ ( RR+ X. D ) C_ ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ) /\ ( <. u , v >. e. ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC ) ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) e. ( ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) )
114	99, 101, 106, 107, 113	syl22anc 1227	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) e. ( ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) )
115	95, 114	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
116	17	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( v e. D -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC )
117		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) = ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 )
118		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) <_ ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) , ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) , ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) ) = if ( ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) <_ ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) , ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) , ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) )
119	5, 18, 62, 35, 117, 118	cxpcn3lem 23289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. D /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) )
120	119	ralrimiva 2868	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) )
121		0e0icopnf 11633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
123		simprl 754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> a e. ( 0 [,) +oo ) )
124	122, 123	ovresd 6416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) = ( 0 ( abs o. - ) a ) )
125		0cn 9577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. CC
126	3, 123	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> a e. CC )
127		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
128	127	cnmetdval 21444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. CC /\ a e. CC ) -> ( 0 ( abs o. - ) a ) = ( abs ` ( 0 - a ) ) )
129	125, 126, 128	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( abs o. - ) a ) = ( abs ` ( 0 - a ) ) )
130		df-neg 9799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u a = ( 0 - a )
131	130	fveq2i 5851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( abs ` -u a ) = ( abs ` ( 0 - a ) )
132	126	absnegd 13362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` -u a ) = ( abs ` a ) )
133	131, 132	syl5eqr 2509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` ( 0 - a ) ) = ( abs ` a ) )
134	124, 129, 133	3eqtrd 2499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) = ( abs ` a ) )
135	134	breq1d 4449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d <-> ( abs ` a ) < d ) )
136		simpl 455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> v e. D )
137		simprr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> b e. D )
138	136, 137	ovresd 6416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) = ( v ( abs o. - ) b ) )
139	10, 136	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> v e. CC )
140	10, 137	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> b e. CC )
141	127	cnmetdval 21444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. CC /\ b e. CC ) -> ( v ( abs o. - ) b ) = ( abs ` ( v - b ) ) )
142	139, 140, 141	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( v ( abs o. - ) b ) = ( abs ` ( v - b ) ) )
143	138, 142	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) = ( abs ` ( v - b ) ) )
144	143	breq1d 4449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d <-> ( abs ` ( v - b ) ) < d ) )
145	135, 144	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) <-> ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) ) )
146		oveq12 6279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = 0 /\ y = v ) -> ( x ^c y ) = ( 0 ^c v ) )
147		ovex 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 ^c v ) e. _V
148	146, 15, 147	ovmpt2a 6406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) = ( 0 ^c v ) )
149	121, 136, 148	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) = ( 0 ^c v ) )
150	5	eleq2i 2532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. D <-> v e. ( `' Re " RR+ ) )
151		ffn 5713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Re : CC --> RR -> Re Fn CC )
152		elpreima 5983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Re Fn CC -> ( v e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( v e. CC /\ ( Re ` v ) e. RR+ ) ) )
153	7, 151, 152	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( v e. CC /\ ( Re ` v ) e. RR+ ) )
154	150, 153	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. D <-> ( v e. CC /\ ( Re ` v ) e. RR+ ) )
155	154	simplbi 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v e. D -> v e. CC )
156	154	simprbi 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. D -> ( Re ` v ) e. RR+ )
157	156	rpne0d 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. D -> ( Re ` v ) =/= 0 )
158		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = 0 -> ( Re ` v ) = ( Re ` 0 ) )
159		re0 13067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Re ` 0 ) = 0
160	158, 159	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = 0 -> ( Re ` v ) = 0 )
161	160	necon3i 2694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Re ` v ) =/= 0 -> v =/= 0 )
162	157, 161	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v e. D -> v =/= 0 )
163	155, 162	0cxpd 23259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. D -> ( 0 ^c v ) = 0 )
164	163	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ^c v ) = 0 )
165	149, 164	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) = 0 )
166		oveq12 6279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( x ^c y ) = ( a ^c b ) )
167		ovex 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a ^c b ) e. _V
168	166, 15, 167	ovmpt2a 6406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) -> ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) = ( a ^c b ) )
169	168	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) = ( a ^c b ) )
170	165, 169	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) = ( 0 ( abs o. - ) ( a ^c b ) ) )
171	126, 140	cxpcld 23257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( a ^c b ) e. CC )
172	127	cnmetdval 21444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. CC /\ ( a ^c b ) e. CC ) -> ( 0 ( abs o. - ) ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) ) )
173	125, 171, 172	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( abs o. - ) ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) ) )
174		df-neg 9799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -u ( a ^c b ) = ( 0 - ( a ^c b ) )
175	174	fveq2i 5851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( abs ` -u ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) )
176	171	absnegd 13362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` -u ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( a ^c b ) ) )
177	175, 176	syl5eqr 2509	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) ) = ( abs ` ( a ^c b ) ) )
178	170, 173, 177	3eqtrd 2499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) = ( abs ` ( a ^c b ) ) )
179	178	breq1d 4449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e <-> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) )
180	145, 179	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) )
181	180	2ralbidva 2896	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. D -> ( A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) )
182	181	rexbidv 2965	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. D -> ( E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) )
183	182	ralbidv 2893	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) )
184	120, 183	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( v e. D -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) )
185		cnxmet 21446	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
186	185	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. D -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
187		xmetres2 21030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) e. ( *Met ` ( 0 [,) +oo ) ) )
188	186, 3, 187	sylancl 660	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) e. ( *Met ` ( 0 [,) +oo ) ) )
189		xmetres2 21030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) )
190	186, 10, 189	sylancl 660	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) )
191	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
192		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> v e. D )
193		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) )
194	18	cnfldtopn 21455	. . . . . . . . . . . . 13 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
195		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
196	193, 194, 195	metrest 21193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ CC ) -> ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) ) )
197	185, 3, 196	mp2an 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
198	62, 197	eqtri 2483	. . . . . . . . . 10 |- K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
199		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) )
200		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) )
201	199, 194, 200	metrest 21193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( J ↾t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
202	185, 10, 201	mp2an 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( J ↾t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) )
203	35, 202	eqtri 2483	. . . . . . . . . 10 |- L = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) )
204	198, 203, 194	txmetcnp 21216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) e. ( *Met ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) /\ ( 0 e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) ) ) )
205	188, 190, 186, 191, 192, 204	syl32anc 1234	. . . . . . . 8 |- ( v e. D -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) ) ) )
206	116, 184, 205	mpbir2and 920	. . . . . . 7 |- ( v e. D -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) )
207	206	ad2antlr 724	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) )
208		simpr 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> 0 = u )
209	208	opeq1d 4209	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> <. 0 , v >. = <. u , v >. )
210	209	fveq2d 5852	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) = ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
211	207, 210	eleqtrd 2544	. . . . 5 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
212	42	simprbi 462	. . . . . . 7 |- ( u e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ u )
213	212	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> 0 <_ u )
214		0re 9585	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
215		leloe 9660	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ u e. RR ) -> ( 0 <_ u <-> ( 0 < u \/ 0 = u ) ) )
216	214, 44, 215	sylancr 661	. . . . . 6 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( 0 <_ u <-> ( 0 < u \/ 0 = u ) ) )
217	213, 216	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( 0 < u \/ 0 = u ) )
218	115, 211, 217	mpjaodan 784	. . . 4 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
219	218	rgen2 2879	. . 3 |- A. u e. ( 0 [,) +oo ) A. v e. D ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. )
220		fveq2 5848	. . . . 5 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) = ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
221	220	eleq2d 2524	. . . 4 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) <-> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) )
222	221	ralxp 5133	. . 3 |- ( A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) <-> A. u e. ( 0 [,) +oo ) A. v e. D ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
223	219, 222	mpbir 209	. 2 |- A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z )
224		cncnp 19948	. . 3 |- ( ( ( K tX L ) e. (TopOn ` ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) ) ) )
225	97, 19, 224	mp2an 670	. 2 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) ) )
226	17, 223, 225	mpbir2an 918	1 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   C_ wss 3461   ifcif 3929   <.cop 4022   class class class wbr 4439   X. cxp 4986   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989   |` cres 4990   "cima 4991   o. ccom 4992   Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   |-> cmpt2 6272   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   +oocpnf 9614   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9796   -ucneg 9797   / cdiv 10202   2c2 10581   RR+crp 11221   (,)cioo 11532   [,)cico 11534   Recre 13012   abscabs 13149   ↾_t crest 14910   TopOpenctopn 14911   topGenctg 14927   *Metcxmt 18598   MetOpencmopn 18603  ℂ_fldccnfld 18615   Topctop 19561  TopOnctopon 19562   intcnt 19685   Cn ccn 19892   CnP ccnp 19893   tX ctx 20227   ^c ccxp 23109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-tan 13889  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-cxp 23111

This theorem is referenced by:  resqrtcn  23291