Theorem cxpcn3 22987

Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpcn3.d	|- D = ( `' Re " RR+ )
cxpcn3.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
cxpcn3.k	|- K = ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) )
cxpcn3.l	|- L = ( J ↾t D )

Assertion

Ref	Expression
cxpcn3	|- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, D, y

Allowed substitution hints:   K( x, y)   L( x, y)

Proof of Theorem cxpcn3

Dummy variables a b d e u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 11632	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
2		ax-resscn 9547	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
3	1, 2	sstri 3495	. . . . . 6 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
4	3	sseli 3482	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) -> x e. CC )
5		cxpcn3.d	. . . . . . 7 |- D = ( `' Re " RR+ )
6		cnvimass 5343	. . . . . . . 8 |- ( `' Re " RR+ ) C_ dom Re
7		ref 12919	. . . . . . . . 9 |- Re : CC --> RR
8	7	fdmi 5722	. . . . . . . 8 |- dom Re = CC
9	6, 8	sseqtri 3518	. . . . . . 7 |- ( `' Re " RR+ ) C_ CC
10	5, 9	eqsstri 3516	. . . . . 6 |- D C_ CC
11	10	sseli 3482	. . . . 5 |- ( y e. D -> y e. CC )
12		cxpcl 22920	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x ^c y ) e. CC )
13	4, 11, 12	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. D ) -> ( x ^c y ) e. CC )
14	13	rgen2 2866	. . 3 |- A. x e. ( 0 [,) +oo ) A. y e. D ( x ^c y ) e. CC
15		eqid 2441	. . . 4 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) = ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) )
16	15	fmpt2 6848	. . 3 |- ( A. x e. ( 0 [,) +oo ) A. y e. D ( x ^c y ) e. CC <-> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC )
17	14, 16	mpbi 208	. 2 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC
18		cxpcn3.j	. . . . . . . . . . . . 13 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
19	18	cnfldtopon 21156	. . . . . . . . . . . 12 |- J e. (TopOn ` CC )
20		rpre 11230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
21		rpge0 11236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> 0 <_ x )
22		elrege0 11631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
23	20, 21, 22	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR+ -> x e. ( 0 [,) +oo ) )
24	23	ssriv 3490	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR+ C_ ( 0 [,) +oo )
25	24, 3	sstri 3495	. . . . . . . . . . . 12 |- RR+ C_ CC
26		resttopon 19528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ RR+ C_ CC ) -> ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ ) )
27	19, 25, 26	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ )
28	27	toponunii 19300	. . . . . . . . . . . 12 |- RR+ = U. ( J ↾t RR+ )
29	28	restid 14703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ ) -> ( ( J ↾t RR+ ) ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ ) )
30	27, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J ↾t RR+ ) ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ )
31	30	eqcomi 2454	. . . . . . . . 9 |- ( J ↾t RR+ ) = ( ( J ↾t RR+ ) ↾t RR+ )
32	27	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ ) )
33		ssid 3505	. . . . . . . . . 10 |- RR+ C_ RR+
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> RR+ C_ RR+ )
35		cxpcn3.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( J ↾t D )
36	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> J e. (TopOn ` CC ) )
37	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> D C_ CC )
38		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- ( J ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ )
39	18, 38	cxpcn2 22985	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ , y e. CC |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J ↾t RR+ ) tX J ) Cn J )
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. RR+ , y e. CC |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J ↾t RR+ ) tX J ) Cn J ) )
41	31, 32, 34, 35, 36, 37, 40	cnmpt2res 20044	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) Cn J ) )
42		elrege0 11631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( u e. RR /\ 0 <_ u ) )
43	42	simplbi 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( 0 [,) +oo ) -> u e. RR )
44	43	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> u e. RR )
45	44	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> u e. RR )
46		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> 0 < u )
47	45, 46	elrpd 11258	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> u e. RR+ )
48		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> v e. D )
49		opelxp 5015	. . . . . . . . 9 |- ( <. u , v >. e. ( RR+ X. D ) <-> ( u e. RR+ /\ v e. D ) )
50	47, 48, 49	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> <. u , v >. e. ( RR+ X. D ) )
51		resttopon 19528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( J ↾t D ) e. (TopOn ` D ) )
52	19, 10, 51	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J ↾t D ) e. (TopOn ` D )
53	35, 52	eqeltri 2525	. . . . . . . . . . 11 |- L e. (TopOn ` D )
54		txtopon 19958	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J ↾t RR+ ) e. (TopOn ` RR+ ) /\ L e. (TopOn ` D ) ) -> ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) e. (TopOn ` ( RR+ X. D ) ) )
55	27, 53, 54	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) e. (TopOn ` ( RR+ X. D ) )
56	55	toponunii 19300	. . . . . . . . 9 |- ( RR+ X. D ) = U. ( ( J ↾t RR+ ) tX L )
57	56	cncnpi 19645	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) Cn J ) /\ <. u , v >. e. ( RR+ X. D ) ) -> ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
58	41, 50, 57	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
59		ssid 3505	. . . . . . . 8 |- D C_ D
60		resmpt2 6381	. . . . . . . 8 |- ( ( RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ D C_ D ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) = ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) ) )
61	24, 59, 60	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) = ( x e. RR+ , y e. D |-> ( x ^c y ) )
62		cxpcn3.k	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) )
63		resttopon 19528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ CC ) -> ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) )
64	19, 3, 63	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) )
65	62, 64	eqeltri 2525	. . . . . . . . . . 11 |- K e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) )
66		ioorp 11606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
67		iooretop 21139	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) )
68	66, 67	eqeltrri 2526	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR+ e. ( topGen ` ran (,) )
69		retop 21134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
70		ovex 6305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 [,) +oo ) e. _V
71		restopnb 19542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( 0 [,) +oo ) e. _V ) /\ ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) /\ RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ RR+ C_ RR+ ) ) -> ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) <-> RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ) )
72	69, 70, 71	mpanl12 682	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) /\ RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ RR+ C_ RR+ ) -> ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) <-> RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ) )
73	68, 24, 33, 72	mp3an 1323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) <-> RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) ) )
74	68, 73	mpbi 208	. . . . . . . . . . . 12 |- RR+ e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) )
75		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
76	18, 75	rerest 21175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 [,) +oo ) C_ RR -> ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) ) )
77	1, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) )
78	62, 77	eqtri 2470	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,) +oo ) )
79	74, 78	eleqtrri 2528	. . . . . . . . . . 11 |- RR+ e. K
80		toponmax 19296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. (TopOn ` D ) -> D e. L )
81	53, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- D e. L
82		txrest 19998	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ L e. (TopOn ` D ) ) /\ ( RR+ e. K /\ D e. L ) ) -> ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) = ( ( K ↾t RR+ ) tX ( L ↾t D ) ) )
83	65, 53, 79, 81, 82	mp4an 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) = ( ( K ↾t RR+ ) tX ( L ↾t D ) )
84	62	oveq1i 6287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K ↾t RR+ ) = ( ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ↾t RR+ )
85		restabs 19532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) e. _V ) -> ( ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ ) )
86	19, 24, 70, 85	mp3an 1323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ )
87	84, 86	eqtri 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( K ↾t RR+ ) = ( J ↾t RR+ )
88	53	toponunii 19300	. . . . . . . . . . . . 13 |- D = U. L
89	88	restid 14703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. (TopOn ` D ) -> ( L ↾t D ) = L )
90	53, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( L ↾t D ) = L
91	87, 90	oveq12i 6289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K ↾t RR+ ) tX ( L ↾t D ) ) = ( ( J ↾t RR+ ) tX L )
92	83, 91	eqtri 2470	. . . . . . . . 9 |- ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) = ( ( J ↾t RR+ ) tX L )
93	92	oveq1i 6287	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) = ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) CnP J )
94	93	fveq1i 5853	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) = ( ( ( ( J ↾t RR+ ) tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. )
95	58, 61, 94	3eltr4g 2547	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) e. ( ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
96		txtopon 19958	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ L e. (TopOn ` D ) ) -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ) )
97	65, 53, 96	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- ( K tX L ) e. (TopOn ` ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) )
98	97	topontopi 19299	. . . . . . . 8 |- ( K tX L ) e. Top
99	98	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( K tX L ) e. Top )
100		xpss1 5097	. . . . . . . 8 |- ( RR+ C_ ( 0 [,) +oo ) -> ( RR+ X. D ) C_ ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) )
101	24, 100	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( RR+ X. D ) C_ ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) )
102		txopn 19969	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. (TopOn ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ L e. (TopOn ` D ) ) /\ ( RR+ e. K /\ D e. L ) ) -> ( RR+ X. D ) e. ( K tX L ) )
103	65, 53, 79, 81, 102	mp4an 673	. . . . . . . . 9 |- ( RR+ X. D ) e. ( K tX L )
104		isopn3i 19449	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K tX L ) e. Top /\ ( RR+ X. D ) e. ( K tX L ) ) -> ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) = ( RR+ X. D ) )
105	98, 103, 104	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) = ( RR+ X. D )
106	50, 105	syl6eleqr 2540	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> <. u , v >. e. ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) )
107	17	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC )
108	65	topontopi 19299	. . . . . . . . 9 |- K e. Top
109	53	topontopi 19299	. . . . . . . . 9 |- L e. Top
110	65	toponunii 19300	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,) +oo ) = U. K
111	108, 109, 110, 88	txunii 19960	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) = U. ( K tX L )
112	19	toponunii 19300	. . . . . . . 8 |- CC = U. J
113	111, 112	cnprest 19656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K tX L ) e. Top /\ ( RR+ X. D ) C_ ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ) /\ ( <. u , v >. e. ( ( int ` ( K tX L ) ) ` ( RR+ X. D ) ) /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC ) ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) e. ( ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) )
114	99, 101, 106, 107, 113	syl22anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) |` ( RR+ X. D ) ) e. ( ( ( ( K tX L ) ↾t ( RR+ X. D ) ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) )
115	95, 114	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 < u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
116	17	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( v e. D -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC )
117		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) = ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 )
118		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) <_ ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) , ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) , ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) ) = if ( ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) <_ ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) , ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) , ( e ^c ( 1 / ( if ( ( Re ` v ) <_ 1 , ( Re ` v ) , 1 ) / 2 ) ) ) )
119	5, 18, 62, 35, 117, 118	cxpcn3lem 22986	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. D /\ e e. RR+ ) -> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) )
120	119	ralrimiva 2855	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) )
121		0e0icopnf 11634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
123		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> a e. ( 0 [,) +oo ) )
124	122, 123	ovresd 6424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) = ( 0 ( abs o. - ) a ) )
125		0cn 9586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. CC
126	3, 123	sseldi 3484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> a e. CC )
127		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
128	127	cnmetdval 21144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. CC /\ a e. CC ) -> ( 0 ( abs o. - ) a ) = ( abs ` ( 0 - a ) ) )
129	125, 126, 128	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( abs o. - ) a ) = ( abs ` ( 0 - a ) ) )
130		df-neg 9808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u a = ( 0 - a )
131	130	fveq2i 5855	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( abs ` -u a ) = ( abs ` ( 0 - a ) )
132	126	absnegd 13254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` -u a ) = ( abs ` a ) )
133	131, 132	syl5eqr 2496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` ( 0 - a ) ) = ( abs ` a ) )
134	124, 129, 133	3eqtrd 2486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) = ( abs ` a ) )
135	134	breq1d 4443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d <-> ( abs ` a ) < d ) )
136		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> v e. D )
137		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> b e. D )
138	136, 137	ovresd 6424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) = ( v ( abs o. - ) b ) )
139	10, 136	sseldi 3484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> v e. CC )
140	10, 137	sseldi 3484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> b e. CC )
141	127	cnmetdval 21144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. CC /\ b e. CC ) -> ( v ( abs o. - ) b ) = ( abs ` ( v - b ) ) )
142	139, 140, 141	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( v ( abs o. - ) b ) = ( abs ` ( v - b ) ) )
143	138, 142	eqtrd 2482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) = ( abs ` ( v - b ) ) )
144	143	breq1d 4443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d <-> ( abs ` ( v - b ) ) < d ) )
145	135, 144	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) <-> ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) ) )
146		oveq12 6286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = 0 /\ y = v ) -> ( x ^c y ) = ( 0 ^c v ) )
147		ovex 6305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 ^c v ) e. _V
148	146, 15, 147	ovmpt2a 6414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) = ( 0 ^c v ) )
149	121, 136, 148	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) = ( 0 ^c v ) )
150	5	eleq2i 2519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. D <-> v e. ( `' Re " RR+ ) )
151		ffn 5717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Re : CC --> RR -> Re Fn CC )
152		elpreima 5988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Re Fn CC -> ( v e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( v e. CC /\ ( Re ` v ) e. RR+ ) ) )
153	7, 151, 152	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. ( `' Re " RR+ ) <-> ( v e. CC /\ ( Re ` v ) e. RR+ ) )
154	150, 153	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. D <-> ( v e. CC /\ ( Re ` v ) e. RR+ ) )
155	154	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v e. D -> v e. CC )
156	154	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. D -> ( Re ` v ) e. RR+ )
157	156	rpne0d 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. D -> ( Re ` v ) =/= 0 )
158		fveq2 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = 0 -> ( Re ` v ) = ( Re ` 0 ) )
159		re0 12959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Re ` 0 ) = 0
160	158, 159	syl6eq 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = 0 -> ( Re ` v ) = 0 )
161	160	necon3i 2681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Re ` v ) =/= 0 -> v =/= 0 )
162	157, 161	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v e. D -> v =/= 0 )
163	155, 162	0cxpd 22956	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. D -> ( 0 ^c v ) = 0 )
164	163	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ^c v ) = 0 )
165	149, 164	eqtrd 2482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) = 0 )
166		oveq12 6286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( x ^c y ) = ( a ^c b ) )
167		ovex 6305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a ^c b ) e. _V
168	166, 15, 167	ovmpt2a 6414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) -> ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) = ( a ^c b ) )
169	168	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) = ( a ^c b ) )
170	165, 169	oveq12d 6295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) = ( 0 ( abs o. - ) ( a ^c b ) ) )
171	126, 140	cxpcld 22954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( a ^c b ) e. CC )
172	127	cnmetdval 21144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. CC /\ ( a ^c b ) e. CC ) -> ( 0 ( abs o. - ) ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) ) )
173	125, 171, 172	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( 0 ( abs o. - ) ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) ) )
174		df-neg 9808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -u ( a ^c b ) = ( 0 - ( a ^c b ) )
175	174	fveq2i 5855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( abs ` -u ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) )
176	171	absnegd 13254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` -u ( a ^c b ) ) = ( abs ` ( a ^c b ) ) )
177	175, 176	syl5eqr 2496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( abs ` ( 0 - ( a ^c b ) ) ) = ( abs ` ( a ^c b ) ) )
178	170, 173, 177	3eqtrd 2486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) = ( abs ` ( a ^c b ) ) )
179	178	breq1d 4443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e <-> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) )
180	145, 179	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. D /\ ( a e. ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D ) ) -> ( ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) )
181	180	2ralbidva 2883	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. D -> ( A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) )
182	181	rexbidv 2952	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. D -> ( E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) )
183	182	ralbidv 2880	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) <-> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( abs ` a ) < d /\ ( abs ` ( v - b ) ) < d ) -> ( abs ` ( a ^c b ) ) < e ) ) )
184	120, 183	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( v e. D -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) )
185		cnxmet 21146	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
186	185	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. D -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
187		xmetres2 20730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) e. ( *Met ` ( 0 [,) +oo ) ) )
188	186, 3, 187	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) e. ( *Met ` ( 0 [,) +oo ) ) )
189		xmetres2 20730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) )
190	186, 10, 189	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) )
191	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
192		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( v e. D -> v e. D )
193		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) )
194	18	cnfldtopn 21155	. . . . . . . . . . . . 13 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
195		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
196	193, 194, 195	metrest 20893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ CC ) -> ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) ) )
197	185, 3, 196	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( J ↾t ( 0 [,) +oo ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
198	62, 197	eqtri 2470	. . . . . . . . . 10 |- K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
199		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) )
200		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) )
201	199, 194, 200	metrest 20893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( J ↾t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) ) )
202	185, 10, 201	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( J ↾t D ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) )
203	35, 202	eqtri 2470	. . . . . . . . . 10 |- L = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) )
204	198, 203, 194	txmetcnp 20916	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) e. ( *Met ` ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) e. ( *Met ` D ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) /\ ( 0 e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) ) ) )
205	188, 190, 186, 191, 192, 204	syl32anc 1235	. . . . . . . 8 |- ( v e. D -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. a e. ( 0 [,) +oo ) A. b e. D ( ( ( 0 ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,) +oo ) X. ( 0 [,) +oo ) ) ) a ) < d /\ ( v ( ( abs o. - ) |` ( D X. D ) ) b ) < d ) -> ( ( 0 ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) v ) ( abs o. - ) ( a ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) b ) ) < e ) ) ) )
206	116, 184, 205	mpbir2and 920	. . . . . . 7 |- ( v e. D -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) )
207	206	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) )
208		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> 0 = u )
209	208	opeq1d 4204	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> <. 0 , v >. = <. u , v >. )
210	209	fveq2d 5856	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. 0 , v >. ) = ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
211	207, 210	eleqtrd 2531	. . . . 5 |- ( ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) /\ 0 = u ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
212	42	simprbi 464	. . . . . . 7 |- ( u e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ u )
213	212	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> 0 <_ u )
214		0re 9594	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
215		leloe 9669	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ u e. RR ) -> ( 0 <_ u <-> ( 0 < u \/ 0 = u ) ) )
216	214, 44, 215	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( 0 <_ u <-> ( 0 < u \/ 0 = u ) ) )
217	213, 216	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( 0 < u \/ 0 = u ) )
218	115, 211, 217	mpjaodan 784	. . . 4 |- ( ( u e. ( 0 [,) +oo ) /\ v e. D ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
219	218	rgen2 2866	. . 3 |- A. u e. ( 0 [,) +oo ) A. v e. D ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. )
220		fveq2 5852	. . . . 5 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) = ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
221	220	eleq2d 2511	. . . 4 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) <-> ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) ) )
222	221	ralxp 5130	. . 3 |- ( A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) <-> A. u e. ( 0 [,) +oo ) A. v e. D ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` <. u , v >. ) )
223	219, 222	mpbir 209	. 2 |- A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z )
224		cncnp 19647	. . 3 |- ( ( ( K tX L ) e. (TopOn ` ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) ) ) )
225	97, 19, 224	mp2an 672	. 2 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J ) <-> ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) : ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) --> CC /\ A. z e. ( ( 0 [,) +oo ) X. D ) ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( ( K tX L ) CnP J ) ` z ) ) )
226	17, 223, 225	mpbir2an 918	1 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) , y e. D |-> ( x ^c y ) ) e. ( ( K tX L ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 972   = wceq 1381   e. wcel 1802   =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093   C_ wss 3458   ifcif 3922   <.cop 4016   class class class wbr 4433   X. cxp 4983   `'ccnv 4984   dom cdm 4985   ran crn 4986   |` cres 4987   "cima 4988   o. ccom 4989   Fn wfn 5569   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   |-> cmpt2 6279   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491   +oocpnf 9623   < clt 9626   <_ cle 9627   - cmin 9805   -ucneg 9806   / cdiv 10207   2c2 10586   RR+crp 11224   (,)cioo 11533   [,)cico 11535   Recre 12904   abscabs 13041   ↾_t crest 14690   TopOpenctopn 14691   topGenctg 14707   *Metcxmt 18271   MetOpencmopn 18276  ℂ_fldccnfld 18288   Topctop 19261  TopOnctopon 19262   intcnt 19384   Cn ccn 19591   CnP ccnp 19592   tX ctx 19927   ^c ccxp 22808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ioc 11538  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-shft 12874  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-ef 13676  df-sin 13678  df-cos 13679  df-tan 13680  df-pi 13681  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-cmp 19753  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22809  df-cxp 22810

This theorem is referenced by:  resqrtcn  22988