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Theorem cxpcn3 22161
Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d  |-  D  =  ( `' Re " RR+ )
cxpcn3.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cxpcn3.k  |-  K  =  ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )
cxpcn3.l  |-  L  =  ( Jt  D )
Assertion
Ref Expression
cxpcn3  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K 
tX  L )  Cn  J )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, D, y
Allowed substitution hints:    K( x, y)    L( x, y)

Proof of Theorem cxpcn3
Dummy variables  a 
b  d  e  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9378 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2 pnfxr 11084 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
3 icossre 11368 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
41, 2, 3mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
5 ax-resscn 9331 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
64, 5sstri 3360 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
76sseli 3347 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  CC )
8 cxpcn3.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( `' Re " RR+ )
9 cnvimass 5184 . . . . . . . 8  |-  ( `' Re " RR+ )  C_ 
dom  Re
10 ref 12593 . . . . . . . . 9  |-  Re : CC
--> RR
1110fdmi 5559 . . . . . . . 8  |-  dom  Re  =  CC
129, 11sseqtri 3383 . . . . . . 7  |-  ( `' Re " RR+ )  C_  CC
138, 12eqsstri 3381 . . . . . 6  |-  D  C_  CC
1413sseli 3347 . . . . 5  |-  ( y  e.  D  ->  y  e.  CC )
15 cxpcl 22094 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  ^c 
y )  e.  CC )
167, 14, 15syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  y  e.  D )  ->  ( x  ^c 
y )  e.  CC )
1716rgen2 2807 . . 3  |-  A. x  e.  ( 0 [,) +oo ) A. y  e.  D  ( x  ^c 
y )  e.  CC
18 eqid 2438 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )
1918fmpt2 6636 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,) +oo ) A. y  e.  D  (
x  ^c  y )  e.  CC  <->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC )
2017, 19mpbi 208 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC
21 cxpcn3.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
2221cnfldtopon 20337 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
23 rpre 10989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
24 rpge0 10995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_  x )
25 elrege0 11384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
2623, 24, 25sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2726ssriv 3355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR+  C_  (
0 [,) +oo )
2827, 6sstri 3360 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR+  C_  CC
29 resttopon 18740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  RR+  C_  CC )  ->  ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ ) )
3022, 28, 29mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ )
3130toponunii 18512 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR+  =  U. ( Jt  RR+ )
3231restid 14364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Jt 
RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ )  ->  (
( Jt  RR+ )t  RR+ )  =  ( Jt 
RR+ ) )
3330, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Jt 
RR+ )t  RR+ )  =  ( Jt 
RR+ )
3433eqcomi 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( Jt  RR+ )  =  ( ( Jt  RR+ )t 
RR+ )
3530a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ ) )
36 ssid 3370 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  C_  RR+
3736a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  RR+  C_  RR+ )
38 cxpcn3.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( Jt  D )
3922a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
4013a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  D  C_  CC )
41 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
4221, 41cxpcn2 22159 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  J
)  Cn  J )
4342a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  J
)  Cn  J ) )
4434, 35, 37, 38, 39, 40, 43cnmpt2res 19225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)  Cn  J ) )
45 elrege0 11384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( u  e.  RR  /\  0  <_  u ) )
4645simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  u  e.  RR )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )  ->  u  e.  RR )
4847adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  u  e.  RR )
49 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  0  <  u )
5048, 49elrpd 11017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  u  e.  RR+ )
51 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  v  e.  D )
52 opelxp 4864 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  ( RR+  X.  D
)  <->  ( u  e.  RR+  /\  v  e.  D
) )
5350, 51, 52sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  <. u ,  v >.  e.  ( RR+  X.  D ) )
54 resttopon 18740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
5522, 13, 54mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D )
5638, 55eqeltri 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  L  e.  (TopOn `  D )
57 txtopon 19139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  ->  ( ( Jt  RR+ )  tX  L )  e.  (TopOn `  ( RR+  X.  D ) ) )
5830, 56, 57mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( RR+  X.  D ) )
5958toponunii 18512 . . . . . . . . 9  |-  ( RR+  X.  D )  =  U. ( ( Jt  RR+ )  tX  L )
6059cncnpi 18857 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L )  Cn  J
)  /\  <. u ,  v >.  e.  ( RR+  X.  D ) )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )  e.  ( ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
6144, 53, 60syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
62 ssid 3370 . . . . . . . 8  |-  D  C_  D
63 resmpt2 6183 . . . . . . . 8  |-  ( (
RR+  C_  ( 0 [,) +oo )  /\  D  C_  D )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  =  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) )
6427, 62, 63mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  =  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )
65 cxpcn3.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )
66 resttopon 18740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  (
0 [,) +oo )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) ) )
6722, 6, 66mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Jt  ( 0 [,) +oo )
)  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) )
6865, 67eqeltri 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) )
69 ioorp 11365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
70 iooretop 20320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,) +oo )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
7169, 70eqeltrri 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
72 retop 20315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
73 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,) +oo )  e. 
_V
74 restopnb 18754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( 0 [,) +oo )  e.  _V )  /\  ( RR+  e.  ( topGen `
 ran  (,) )  /\  RR+  C_  ( 0 [,) +oo )  /\  RR+  C_  RR+ ) )  -> 
( RR+  e.  ( topGen `
 ran  (,) )  <->  RR+ 
e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
7572, 73, 74mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
RR+  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  RR+  C_  (
0 [,) +oo )  /\  RR+  C_  RR+ )  -> 
( RR+  e.  ( topGen `
 ran  (,) )  <->  RR+ 
e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
7671, 27, 36, 75mp3an 1314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  RR+ 
e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,) +oo ) ) )
7771, 76mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR+  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,) +oo ) )
78 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
7921, 78rerest 20356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 [,) +oo )  C_  RR  ->  ( Jt  (
0 [,) +oo )
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,) +oo )
) )
804, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Jt  ( 0 [,) +oo )
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,) +oo )
)
8165, 80eqtri 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,) +oo ) )
8277, 81eleqtrri 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  RR+  e.  K
83 toponmax 18508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  (TopOn `  D
)  ->  D  e.  L )
8456, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  D  e.  L
85 txrest 19179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  /\  ( RR+  e.  K  /\  D  e.  L ) )  -> 
( ( K  tX  L )t  ( RR+  X.  D
) )  =  ( ( Kt  RR+ )  tX  ( Lt  D ) ) )
8668, 56, 82, 84, 85mp4an 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  =  ( ( Kt 
RR+ )  tX  ( Lt  D ) )
8765oveq1i 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Kt  RR+ )  =  ( ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )t  RR+ )
88 restabs 18744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  RR+  C_  (
0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  e.  _V )  ->  ( ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )t  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
)
8922, 27, 73, 88mp3an 1314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )t  RR+ )  =  ( Jt 
RR+ )
9087, 89eqtri 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Kt  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
9156toponunii 18512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  = 
U. L
9291restid 14364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  (TopOn `  D
)  ->  ( Lt  D
)  =  L )
9356, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lt  D )  =  L
9490, 93oveq12i 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Kt 
RR+ )  tX  ( Lt  D ) )  =  ( ( Jt  RR+ )  tX  L )
9586, 94eqtri 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  =  ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)
9695oveq1i 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  tX  L
)t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
)  =  ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L
)  CnP  J )
9796fveq1i 5687 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  tX  L )t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. )  =  ( ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L )  CnP 
J ) `  <. u ,  v >. )
9861, 64, 973eltr4g 2521 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L
)t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
99 txtopon 19139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( ( 0 [,) +oo )  X.  D
) ) )
10068, 56, 99mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( K 
tX  L )  e.  (TopOn `  ( (
0 [,) +oo )  X.  D ) )
101100topontopi 18511 . . . . . . . 8  |-  ( K 
tX  L )  e. 
Top
102101a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( K  tX  L )  e.  Top )
103 xpss1 4943 . . . . . . . 8  |-  ( RR+  C_  ( 0 [,) +oo )  ->  ( RR+  X.  D
)  C_  ( (
0 [,) +oo )  X.  D ) )
10427, 103mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( RR+  X.  D )  C_  (
( 0 [,) +oo )  X.  D ) )
105 txopn 19150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  /\  ( RR+  e.  K  /\  D  e.  L ) )  -> 
( RR+  X.  D
)  e.  ( K 
tX  L ) )
10668, 56, 82, 84, 105mp4an 673 . . . . . . . . 9  |-  ( RR+  X.  D )  e.  ( K  tX  L )
107 isopn3i 18661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  Top  /\  ( RR+  X.  D )  e.  ( K  tX  L ) )  -> 
( ( int `  ( K  tX  L ) ) `
 ( RR+  X.  D
) )  =  (
RR+  X.  D )
)
108101, 106, 107mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( int `  ( K 
tX  L ) ) `
 ( RR+  X.  D
) )  =  (
RR+  X.  D )
10953, 108syl6eleqr 2529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  <. u ,  v >.  e.  (
( int `  ( K  tX  L ) ) `
 ( RR+  X.  D
) ) )
11020a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC )
11168topontopi 18511 . . . . . . . . 9  |-  K  e. 
Top
11256topontopi 18511 . . . . . . . . 9  |-  L  e. 
Top
11368toponunii 18512 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,) +oo )  = 
U. K
114111, 112, 113, 91txunii 19141 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0 [,) +oo )  X.  D )  =  U. ( K  tX  L )
11522toponunii 18512 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. J
116114, 115cnprest 18868 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  tX  L )  e.  Top  /\  ( RR+  X.  D
)  C_  ( (
0 [,) +oo )  X.  D ) )  /\  ( <. u ,  v
>.  e.  ( ( int `  ( K  tX  L
) ) `  ( RR+  X.  D ) )  /\  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC ) )  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. )  <->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L
)t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) ) )
117102, 104, 109, 110, 116syl22anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. )  <->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L
)t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) ) )
11898, 117mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  <. u ,  v >.
) )
11920a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  D  ->  (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC )
120 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  /  2 )  =  ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 )
121 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  / 
2 )  <_  (
e  ^c  ( 1  /  ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  /  2 ) ) ) ,  ( if ( ( Re
`  v )  <_ 
1 ,  ( Re
`  v ) ,  1 )  /  2
) ,  ( e  ^c  ( 1  /  ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 ) ) ) )  =  if ( ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 )  <_ 
( e  ^c 
( 1  /  ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  /  2 ) ) ) ,  ( if ( ( Re
`  v )  <_ 
1 ,  ( Re
`  v ) ,  1 )  /  2
) ,  ( e  ^c  ( 1  /  ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 ) ) ) )
1228, 21, 65, 38, 120, 121cxpcn3lem 22160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  D  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  e
) )
123122ralrimiva 2794 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  e
) )
124 0e0icopnf 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
126 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  a  e.  ( 0 [,) +oo ) )
127125, 126ovresd 6226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  =  ( 0 ( abs  o.  -  ) a ) )
128 0cn 9370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  CC
1296, 126sseldi 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  a  e.  CC )
130 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
131130cnmetdval 20325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) a
)  =  ( abs `  ( 0  -  a
) ) )
132128, 129, 131sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) a )  =  ( abs `  (
0  -  a ) ) )
133 df-neg 9590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u a  =  ( 0  -  a )
134133fveq2i 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs `  -u a )  =  ( abs `  (
0  -  a ) )
135129absnegd 12927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  -u a )  =  ( abs `  a
) )
136134, 135syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  ( 0  -  a ) )  =  ( abs `  a
) )
137127, 132, 1363eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  =  ( abs `  a ) )
138137breq1d 4297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  (
0 [,) +oo )
) ) a )  <  d  <->  ( abs `  a )  <  d
) )
139 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  v  e.  D )
140 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  b  e.  D )
141139, 140ovresd 6226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
v ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) b )  =  ( v ( abs  o.  -  ) b ) )
14213, 139sseldi 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  v  e.  CC )
14313, 140sseldi 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  b  e.  CC )
144130cnmetdval 20325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( v ( abs 
o.  -  ) b
)  =  ( abs `  ( v  -  b
) ) )
145142, 143, 144syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
v ( abs  o.  -  ) b )  =  ( abs `  (
v  -  b ) ) )
146141, 145eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
v ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) b )  =  ( abs `  ( v  -  b ) ) )
147146breq1d 4297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d  <->  ( abs `  ( v  -  b
) )  <  d
) )
148138, 147anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  <->  ( ( abs `  a )  < 
d  /\  ( abs `  ( v  -  b
) )  <  d
) ) )
149 oveq12 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  v )  ->  ( x  ^c  y )  =  ( 0  ^c 
v ) )
150 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  ^c  v )  e.  _V
151149, 18, 150ovmpt2a 6216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )  ->  ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v )  =  ( 0  ^c  v ) )
152124, 139, 151sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v )  =  ( 0  ^c  v ) )
1538eleq2i 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  D  <->  v  e.  ( `' Re " RR+ )
)
154 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Re : CC --> RR  ->  Re  Fn  CC )
155 elpreima 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Re  Fn  CC  ->  (
v  e.  ( `' Re " RR+ )  <->  ( v  e.  CC  /\  ( Re `  v )  e.  RR+ ) ) )
15610, 154, 155mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  ( `' Re "
RR+ )  <->  ( v  e.  CC  /\  ( Re
`  v )  e.  RR+ ) )
157153, 156bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  D  <->  ( v  e.  CC  /\  ( Re
`  v )  e.  RR+ ) )
158157simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  D  ->  v  e.  CC )
159157simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  D  ->  (
Re `  v )  e.  RR+ )
160159rpne0d 11024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  D  ->  (
Re `  v )  =/=  0 )
161 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  0  ->  (
Re `  v )  =  ( Re ` 
0 ) )
162 re0 12633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Re
`  0 )  =  0
163161, 162syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  0  ->  (
Re `  v )  =  0 )
164163necon3i 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Re `  v )  =/=  0  ->  v  =/=  0 )
165160, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  D  ->  v  =/=  0 )
166158, 1650cxpd 22130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  D  ->  (
0  ^c  v )  =  0 )
167166adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0  ^c  v )  =  0 )
168152, 167eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v )  =  0 )
169 oveq12 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( x  ^c 
y )  =  ( a  ^c  b ) )
170 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  ^c  b )  e.  _V
171169, 18, 170ovmpt2a 6216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D )  ->  ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b )  =  ( a  ^c  b ) )
172171adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b )  =  ( a  ^c  b ) )
173168, 172oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs 
o.  -  ) (
a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  =  ( 0 ( abs 
o.  -  ) (
a  ^c  b ) ) )
174129, 143cxpcld 22128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
a  ^c  b )  e.  CC )
175130cnmetdval 20325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  ( a  ^c 
b )  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs  o.  -  )
( a  ^c 
b ) )  =  ( abs `  (
0  -  ( a  ^c  b ) ) ) )
176128, 174, 175sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) ( a  ^c  b ) )  =  ( abs `  ( 0  -  (
a  ^c  b ) ) ) )
177 df-neg 9590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u (
a  ^c  b )  =  ( 0  -  ( a  ^c  b ) )
178177fveq2i 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs `  -u ( a  ^c  b ) )  =  ( abs `  (
0  -  ( a  ^c  b ) ) )
179174absnegd 12927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  -u ( a  ^c  b ) )  =  ( abs `  (
a  ^c  b ) ) )
180178, 179syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  ( 0  -  ( a  ^c 
b ) ) )  =  ( abs `  (
a  ^c  b ) ) )
181173, 176, 1803eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs 
o.  -  ) (
a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  =  ( abs `  (
a  ^c  b ) ) )
182181breq1d 4297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e  <->  ( abs `  ( a  ^c 
b ) )  < 
e ) )
183148, 182imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e )  <-> 
( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  e
) ) )
1841832ralbidva 2750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  D  ->  ( A. a  e.  (
0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e )  <->  A. a  e.  (
0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  e
) ) )
185184rexbidv 2731 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  D  ->  ( E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e )  <->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  e
) ) )
186185ralbidv 2730 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e )  <->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  e
) ) )
187123, 186mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  D  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e ) )
188 cnxmet 20327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
189188a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  D  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
190 xmetres2 19911 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) )  e.  ( *Met `  ( 0 [,) +oo ) ) )
191189, 6, 190sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  (
0 [,) +oo )
) )  e.  ( *Met `  (
0 [,) +oo )
) )
192 xmetres2 19911 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( *Met `  D ) )
193189, 13, 192sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  e.  ( *Met `  D
) )
194124a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
195 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  v  e.  D )
196 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  (
0 [,) +oo )
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) )
19721cnfldtopn 20336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
198 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) )  =  ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  (
0 [,) +oo )
) ) )
199196, 197, 198metrest 20074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  CC )  -> 
( Jt  ( 0 [,) +oo ) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) ) )
200188, 6, 199mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  ( 0 [,) +oo )
)  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
20165, 200eqtri 2458 . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  (
0 [,) +oo )
) ) )
202 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )
203 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
204202, 197, 203metrest 20074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( Jt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
205188, 13, 204mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  D )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
20638, 205eqtri 2458 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) )
207201, 206, 197txmetcnp 20097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) )  e.  ( *Met `  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  e.  ( *Met `  D
)  /\  ( abs  o. 
-  )  e.  ( *Met `  CC ) )  /\  (
0  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )
)  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. 0 ,  v >. )  <->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC 
/\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e ) ) ) )
208191, 193, 189, 194, 195, 207syl32anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  D  ->  (
( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )  e.  ( ( ( K 
tX  L )  CnP 
J ) `  <. 0 ,  v >. )  <-> 
( ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e ) ) ) )
209119, 187, 208mpbir2and 913 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  D  ->  (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. 0 ,  v >. ) )
210209ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. 0 ,  v >. ) )
211 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  0  =  u )
212211opeq1d 4060 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  <. 0 ,  v >.  =  <. u ,  v >. )
213212fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  (
( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. 0 ,  v >. )  =  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
214210, 213eleqtrd 2514 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
21545simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  <_  u )
216215adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )  ->  0  <_  u )
217 leloe 9453 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  u  e.  RR )  ->  ( 0  <_  u  <->  ( 0  <  u  \/  0  =  u ) ) )
2181, 47, 217sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )  ->  ( 0  <_  u  <->  ( 0  <  u  \/  0  =  u ) ) )
219216, 218mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )  ->  ( 0  <  u  \/  0  =  u
) )
220118, 214, 219mpjaodan 784 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )  ->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )  e.  ( ( ( K 
tX  L )  CnP 
J ) `  <. u ,  v >. )
)
221220rgen2 2807 . . 3  |-  A. u  e.  ( 0 [,) +oo ) A. v  e.  D  ( x  e.  (
0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )  e.  ( ( ( K 
tX  L )  CnP 
J ) `  <. u ,  v >. )
222 fveq2 5686 . . . . 5  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z )  =  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
223222eleq2d 2505 . . . 4  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z )  <->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  <. u ,  v >.
) ) )
224223ralxp 4976 . . 3  |-  ( A. z  e.  ( (
0 [,) +oo )  X.  D ) ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z )  <->  A. u  e.  ( 0 [,) +oo ) A. v  e.  D  ( x  e.  (
0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )  e.  ( ( ( K 
tX  L )  CnP 
J ) `  <. u ,  v >. )
)
225221, 224mpbir 209 . 2  |-  A. z  e.  ( ( 0 [,) +oo )  X.  D
) ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z )
226 cncnp 18859 . . 3  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( ( 0 [,) +oo )  X.  D
) )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J )  <-> 
( ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC  /\  A. z  e.  ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z ) ) ) )
227100, 22, 226mp2an 672 . 2  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J )  <-> 
( ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC  /\  A. z  e.  ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z ) ) )
22820, 225, 227mpbir2an 911 1  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K 
tX  L )  Cn  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   ifcif 3786   <.cop 3878   class class class wbr 4287    X. cxp 4833   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   ran crn 4836    |` cres 4837   "cima 4838    o. ccom 4839    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   +oocpnf 9407   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   -ucneg 9588    / cdiv 9985   2c2 10363   RR+crp 10983   (,)cioo 11292   [,)cico 11294   Recre 12578   abscabs 12715   ↾t crest 14351   TopOpenctopn 14352   topGenctg 14368   *Metcxmt 17776   MetOpencmopn 17781  ℂfldccnfld 17793   Topctop 18473  TopOnctopon 18474   intcnt 18596    Cn ccn 18803    CnP ccnp 18804    tX ctx 19108    ^c ccxp 21982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-tan 13349  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-cmp 18965  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-log 21983  df-cxp 21984
This theorem is referenced by:  resqrcn  22162
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