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Theorem cxpcn3 20585
Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d  |-  D  =  ( `' Re " RR+ )
cxpcn3.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cxpcn3.k  |-  K  =  ( Jt  ( 0 [,) 
+oo ) )
cxpcn3.l  |-  L  =  ( Jt  D )
Assertion
Ref Expression
cxpcn3  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, D, y
Allowed substitution hints:    K( x, y)    L( x, y)

Proof of Theorem cxpcn3
Dummy variables  a 
b  d  e  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9047 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2 pnfxr 10669 . . . . . . . 8  |-  +oo  e.  RR*
3 icossre 10947 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
41, 2, 3mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
5 ax-resscn 9003 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
64, 5sstri 3317 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
76sseli 3304 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  CC )
8 cxpcn3.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( `' Re " RR+ )
9 cnvimass 5183 . . . . . . . 8  |-  ( `' Re " RR+ )  C_ 
dom  Re
10 ref 11872 . . . . . . . . 9  |-  Re : CC
--> RR
1110fdmi 5555 . . . . . . . 8  |-  dom  Re  =  CC
129, 11sseqtri 3340 . . . . . . 7  |-  ( `' Re " RR+ )  C_  CC
138, 12eqsstri 3338 . . . . . 6  |-  D  C_  CC
1413sseli 3304 . . . . 5  |-  ( y  e.  D  ->  y  e.  CC )
15 cxpcl 20518 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  ^ c 
y )  e.  CC )
167, 14, 15syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  D )  ->  (
x  ^ c  y )  e.  CC )
1716rgen2 2762 . . 3  |-  A. x  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. y  e.  D  ( x  ^ c 
y )  e.  CC
18 eqid 2404 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )
1918fmpt2 6377 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. y  e.  D  ( x  ^ c  y )  e.  CC  <->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D
) --> CC )
2017, 19mpbi 200 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) --> CC
21 cxpcn3.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
2221cnfldtopon 18770 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
23 rpre 10574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
24 rpge0 10580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_  x )
25 elrege0 10963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
2623, 24, 25sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2726ssriv 3312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR+  C_  (
0 [,)  +oo )
2827, 6sstri 3317 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR+  C_  CC
29 resttopon 17179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  RR+  C_  CC )  ->  ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ ) )
3022, 28, 29mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ )
3130toponunii 16952 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR+  =  U. ( Jt  RR+ )
3231restid 13616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Jt 
RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ )  ->  (
( Jt  RR+ )t  RR+ )  =  ( Jt 
RR+ ) )
3330, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Jt 
RR+ )t  RR+ )  =  ( Jt 
RR+ )
3433eqcomi 2408 . . . . . . . . 9  |-  ( Jt  RR+ )  =  ( ( Jt  RR+ )t 
RR+ )
3530a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ ) )
36 ssid 3327 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  C_  RR+
3736a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  RR+  C_  RR+ )
38 cxpcn3.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( Jt  D )
3922a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
4013a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  D  C_  CC )
41 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
4221, 41cxpcn2 20583 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  J
)  Cn  J )
4342a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  J
)  Cn  J ) )
4434, 35, 37, 38, 39, 40, 43cnmpt2res 17662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)  Cn  J ) )
45 elrege0 10963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( u  e.  RR  /\  0  <_  u ) )
4645simplbi 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  u  e.  RR )
4746adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D )  ->  u  e.  RR )
4847adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  u  e.  RR )
49 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  0  <  u )
5048, 49elrpd 10602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  u  e.  RR+ )
51 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  v  e.  D )
52 opelxp 4867 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  ( RR+  X.  D
)  <->  ( u  e.  RR+  /\  v  e.  D
) )
5350, 51, 52sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  <. u ,  v >.  e.  ( RR+  X.  D ) )
54 resttopon 17179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
5522, 13, 54mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D )
5638, 55eqeltri 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  L  e.  (TopOn `  D )
57 txtopon 17576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  ->  ( ( Jt  RR+ )  tX  L )  e.  (TopOn `  ( RR+  X.  D ) ) )
5830, 56, 57mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( RR+  X.  D ) )
5958toponunii 16952 . . . . . . . . 9  |-  ( RR+  X.  D )  =  U. ( ( Jt  RR+ )  tX  L )
6059cncnpi 17296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L )  Cn  J
)  /\  <. u ,  v >.  e.  ( RR+  X.  D ) )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c 
y ) )  e.  ( ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
6144, 53, 60syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
62 ssid 3327 . . . . . . . 8  |-  D  C_  D
63 resmpt2 6127 . . . . . . . 8  |-  ( (
RR+  C_  ( 0 [,) 
+oo )  /\  D  C_  D )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c 
y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  =  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) )
6427, 62, 63mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  =  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )
65 cxpcn3.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( Jt  ( 0 [,) 
+oo ) )
66 resttopon 17179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( 0 [,)  +oo )
)  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) ) )
6722, 6, 66mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Jt  ( 0 [,)  +oo )
)  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) )
6865, 67eqeltri 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) )
69 ioorp 10944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  RR+
70 iooretop 18753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,)  +oo )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
7169, 70eqeltrri 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
72 retop 18748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
73 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,)  +oo )  e.  _V
74 restopnb 17193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( 0 [,)  +oo )  e.  _V )  /\  ( RR+  e.  ( topGen `
 ran  (,) )  /\  RR+  C_  ( 0 [,)  +oo )  /\  RR+  C_  RR+ )
)  ->  ( RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  RR+ 
e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) )
7572, 73, 74mpanl12 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
RR+  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  RR+  C_  (
0 [,)  +oo )  /\  RR+  C_  RR+ )  ->  ( RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  RR+  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,)  +oo ) ) ) )
7671, 27, 36, 75mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  RR+ 
e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,) 
+oo ) ) )
7771, 76mpbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR+  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,)  +oo ) )
78 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
7921, 78rerest 18788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 [,)  +oo )  C_  RR  ->  ( Jt  (
0 [,)  +oo ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,) 
+oo ) ) )
804, 79ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Jt  ( 0 [,)  +oo )
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,)  +oo ) )
8165, 80eqtri 2424 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,)  +oo ) )
8277, 81eleqtrri 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  RR+  e.  K
83 toponmax 16948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  (TopOn `  D
)  ->  D  e.  L )
8456, 83ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  D  e.  L
85 txrest 17616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  /\  ( RR+  e.  K  /\  D  e.  L ) )  -> 
( ( K  tX  L )t  ( RR+  X.  D
) )  =  ( ( Kt  RR+ )  tX  ( Lt  D ) ) )
8668, 56, 82, 84, 85mp4an 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  =  ( ( Kt 
RR+ )  tX  ( Lt  D ) )
8765oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Kt  RR+ )  =  ( ( Jt  ( 0 [,)  +oo ) )t  RR+ )
88 restabs 17183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  RR+  C_  (
0 [,)  +oo )  /\  ( 0 [,)  +oo )  e.  _V )  ->  ( ( Jt  ( 0 [,)  +oo ) )t  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
)
8922, 27, 73, 88mp3an 1279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Jt  ( 0 [,)  +oo ) )t  RR+ )  =  ( Jt 
RR+ )
9087, 89eqtri 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Kt  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
9156toponunii 16952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  = 
U. L
9291restid 13616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  (TopOn `  D
)  ->  ( Lt  D
)  =  L )
9356, 92ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lt  D )  =  L
9490, 93oveq12i 6052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Kt 
RR+ )  tX  ( Lt  D ) )  =  ( ( Jt  RR+ )  tX  L )
9586, 94eqtri 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  =  ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)
9695oveq1i 6050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  tX  L
)t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
)  =  ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L
)  CnP  J )
9796fveq1i 5688 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  tX  L )t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. )  =  ( ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L )  CnP 
J ) `  <. u ,  v >. )
9861, 64, 973eltr4g 2487 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
99 txtopon 17576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  D
) ) )
10068, 56, 99mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( K 
tX  L )  e.  (TopOn `  ( (
0 [,)  +oo )  X.  D ) )
101100topontopi 16951 . . . . . . . 8  |-  ( K 
tX  L )  e. 
Top
102101a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( K  tX  L )  e.  Top )
103 xpss1 4943 . . . . . . . 8  |-  ( RR+  C_  ( 0 [,)  +oo )  ->  ( RR+  X.  D
)  C_  ( (
0 [,)  +oo )  X.  D ) )
10427, 103mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( RR+  X.  D )  C_  (
( 0 [,)  +oo )  X.  D ) )
105 txopn 17587 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  /\  ( RR+  e.  K  /\  D  e.  L ) )  -> 
( RR+  X.  D
)  e.  ( K 
tX  L ) )
10668, 56, 82, 84, 105mp4an 655 . . . . . . . . 9  |-  ( RR+  X.  D )  e.  ( K  tX  L )
107 isopn3i 17101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  Top  /\  ( RR+  X.  D )  e.  ( K  tX  L ) )  -> 
( ( int `  ( K  tX  L ) ) `
 ( RR+  X.  D
) )  =  (
RR+  X.  D )
)
108101, 106, 107mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( int `  ( K 
tX  L ) ) `
 ( RR+  X.  D
) )  =  (
RR+  X.  D )
10953, 108syl6eleqr 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  <. u ,  v >.  e.  (
( int `  ( K  tX  L ) ) `
 ( RR+  X.  D
) ) )
11020a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D
) --> CC )
11168topontopi 16951 . . . . . . . . 9  |-  K  e. 
Top
11256topontopi 16951 . . . . . . . . 9  |-  L  e. 
Top
11368toponunii 16952 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,)  +oo )  =  U. K
114111, 112, 113, 91txunii 17578 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D )  =  U. ( K  tX  L )
11522toponunii 16952 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. J
116114, 115cnprest 17307 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  tX  L )  e.  Top  /\  ( RR+  X.  D
)  C_  ( (
0 [,)  +oo )  X.  D ) )  /\  ( <. u ,  v
>.  e.  ( ( int `  ( K  tX  L
) ) `  ( RR+  X.  D ) )  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D
) --> CC ) )  ->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. )  <->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) ) )
117102, 104, 109, 110, 116syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. )  <->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) ) )
11898, 117mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  <. u ,  v >.
) )
11920a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  D  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) --> CC )
120 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  /  2 )  =  ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 )
121 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  / 
2 )  <_  (
e  ^ c  ( 1  /  ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  /  2 ) ) ) ,  ( if ( ( Re
`  v )  <_ 
1 ,  ( Re
`  v ) ,  1 )  /  2
) ,  ( e  ^ c  ( 1  /  ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 ) ) ) )  =  if ( ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 )  <_ 
( e  ^ c 
( 1  /  ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  /  2 ) ) ) ,  ( if ( ( Re
`  v )  <_ 
1 ,  ( Re
`  v ) ,  1 )  /  2
) ,  ( e  ^ c  ( 1  /  ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 ) ) ) )
1228, 21, 65, 38, 120, 121cxpcn3lem 20584 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  D  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^ c  b ) )  <  e
) )
123122ralrimiva 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^ c  b ) )  <  e
) )
124 0le0 10037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <_  0
125 elrege0 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
1261, 124, 125mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
128 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  a  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
129127, 128ovresd 6173 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) a )  =  ( 0 ( abs  o.  -  ) a ) )
130 0cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  CC
1316, 128sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  a  e.  CC )
132 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
133132cnmetdval 18758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) a
)  =  ( abs `  ( 0  -  a
) ) )
134130, 131, 133sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) a )  =  ( abs `  (
0  -  a ) ) )
135 df-neg 9250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u a  =  ( 0  -  a )
136135fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs `  -u a )  =  ( abs `  (
0  -  a ) )
137131absnegd 12206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  -u a )  =  ( abs `  a
) )
138136, 137syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  ( 0  -  a ) )  =  ( abs `  a
) )
139129, 134, 1383eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) a )  =  ( abs `  a ) )
140139breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) ) a )  < 
d  <->  ( abs `  a
)  <  d )
)
141 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  v  e.  D )
142 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  b  e.  D )
143141, 142ovresd 6173 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
v ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) b )  =  ( v ( abs  o.  -  ) b ) )
14413, 141sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  v  e.  CC )
14513, 142sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  b  e.  CC )
146132cnmetdval 18758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( v ( abs 
o.  -  ) b
)  =  ( abs `  ( v  -  b
) ) )
147144, 145, 146syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
v ( abs  o.  -  ) b )  =  ( abs `  (
v  -  b ) ) )
148143, 147eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
v ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) b )  =  ( abs `  ( v  -  b ) ) )
149148breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d  <->  ( abs `  ( v  -  b
) )  <  d
) )
150140, 149anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) ) a )  < 
d  /\  ( v
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) b )  <  d
)  <->  ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d ) ) )
151 oveq12 6049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  v )  ->  ( x  ^ c  y )  =  ( 0  ^ c 
v ) )
152 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  ^ c  v )  e.  _V
153151, 18, 152ovmpt2a 6163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v )  =  ( 0  ^ c  v ) )
154126, 141, 153sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v )  =  ( 0  ^ c  v ) )
1558eleq2i 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  D  <->  v  e.  ( `' Re " RR+ )
)
156 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Re : CC --> RR  ->  Re  Fn  CC )
157 elpreima 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Re  Fn  CC  ->  (
v  e.  ( `' Re " RR+ )  <->  ( v  e.  CC  /\  ( Re `  v )  e.  RR+ ) ) )
15810, 156, 157mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  ( `' Re "
RR+ )  <->  ( v  e.  CC  /\  ( Re
`  v )  e.  RR+ ) )
159155, 158bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  D  <->  ( v  e.  CC  /\  ( Re
`  v )  e.  RR+ ) )
160159simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  D  ->  v  e.  CC )
161159simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  D  ->  (
Re `  v )  e.  RR+ )
162161rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  D  ->  (
Re `  v )  =/=  0 )
163 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  0  ->  (
Re `  v )  =  ( Re ` 
0 ) )
164 re0 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Re
`  0 )  =  0
165163, 164syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  0  ->  (
Re `  v )  =  0 )
166165necon3i 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Re `  v )  =/=  0  ->  v  =/=  0 )
167162, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  D  ->  v  =/=  0 )
168160, 1670cxpd 20554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  D  ->  (
0  ^ c  v )  =  0 )
169168adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0  ^ c  v )  =  0 )
170154, 169eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v )  =  0 )
171 oveq12 6049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( x  ^ c 
y )  =  ( a  ^ c  b ) )
172 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  ^ c  b )  e.  _V
173171, 18, 172ovmpt2a 6163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D )  ->  (
a ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b )  =  ( a  ^ c  b ) )
174173adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
a ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b )  =  ( a  ^ c  b ) )
175170, 174oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( 0 ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  =  ( 0 ( abs  o.  -  )
( a  ^ c 
b ) ) )
176131, 145cxpcld 20552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
a  ^ c  b )  e.  CC )
177132cnmetdval 18758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  ( a  ^ c 
b )  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs  o.  -  )
( a  ^ c 
b ) )  =  ( abs `  (
0  -  ( a  ^ c  b ) ) ) )
178130, 176, 177sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) ( a  ^ c  b ) )  =  ( abs `  ( 0  -  (
a  ^ c  b ) ) ) )
179 df-neg 9250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u (
a  ^ c  b )  =  ( 0  -  ( a  ^ c  b ) )
180179fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs `  -u ( a  ^ c  b ) )  =  ( abs `  (
0  -  ( a  ^ c  b ) ) )
181176absnegd 12206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  -u ( a  ^ c  b ) )  =  ( abs `  (
a  ^ c  b ) ) )
182180, 181syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  ( 0  -  ( a  ^ c 
b ) ) )  =  ( abs `  (
a  ^ c  b ) ) )
183175, 178, 1823eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( 0 ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  =  ( abs `  (
a  ^ c  b ) ) )
184183breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e  <->  ( abs `  ( a  ^ c 
b ) )  < 
e ) )
185150, 184imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e )  <->  ( (
( abs `  a
)  <  d  /\  ( abs `  ( v  -  b ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
a  ^ c  b ) )  <  e
) ) )
1861852ralbidva 2706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  D  ->  ( A. a  e.  (
0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  (
( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) ) a )  < 
d  /\  ( v
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) b )  <  d
)  ->  ( (
0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs 
o.  -  ) (
a ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  < 
e )  <->  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^ c  b ) )  <  e
) ) )
187186rexbidv 2687 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  D  ->  ( E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e )  <->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^ c  b ) )  <  e
) ) )
188187ralbidv 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e )  <->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^ c  b ) )  <  e
) ) )
189123, 188mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  D  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e ) )
190 cnxmet 18760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
191190a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  D  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
192 xmetres2 18344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  e.  ( * Met `  (
0 [,)  +oo ) ) )
193191, 6, 192sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) )  e.  ( * Met `  ( 0 [,)  +oo ) ) )
194 xmetres2 18344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( * Met `  D ) )
195191, 13, 194sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  e.  ( * Met `  D
) )
196126a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
197 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  v  e.  D )
198 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) )
19921cnfldtopn 18769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
200 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) )  =  ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) ) )
201198, 199, 200metrest 18507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC )  -> 
( Jt  ( 0 [,) 
+oo ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) ) ) )
202190, 6, 201mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  ( 0 [,)  +oo )
)  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) )
20365, 202eqtri 2424 . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) ) )
204 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )
205 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
206204, 199, 205metrest 18507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( Jt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
207190, 13, 206mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  D )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
20838, 207eqtri 2424 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) )
209203, 208, 199txmetcnp 18530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,) 
+oo ) ) )  e.  ( * Met `  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  e.  ( * Met `  D
)  /\  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )  /\  (
0  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D ) )  -> 
( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  <. 0 ,  v >.
)  <->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e ) ) ) )
210193, 195, 191, 196, 197, 209syl32anc 1192 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  D  ->  (
( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c 
y ) )  e.  ( ( ( K 
tX  L )  CnP 
J ) `  <. 0 ,  v >. )  <-> 
( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D
) --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e ) ) ) )
211119, 189, 210mpbir2and 889 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  D  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  <. 0 ,  v
>. ) )
212211ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  <. 0 ,  v
>. ) )
213 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  0  =  u )
214213opeq1d 3950 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  <. 0 ,  v >.  =  <. u ,  v >. )
215214fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  (
( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. 0 ,  v >. )  =  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
216212, 215eleqtrd 2480 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
21745simprbi 451 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  u )
218217adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D )  ->  0  <_  u )
219 leloe 9117 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  u  e.  RR )  ->  ( 0  <_  u  <->  ( 0  <  u  \/  0  =  u ) ) )
2201, 47, 219sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D )  ->  (
0  <_  u  <->  ( 0  <  u  \/  0  =  u ) ) )
221218, 220mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D )  ->  (
0  <  u  \/  0  =  u )
)
222118, 216, 221mpjaodan 762 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D )  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
223222rgen2 2762 . . 3  |-  A. u  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. v  e.  D  ( x  e.  (
0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. )
224 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z )  =  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
225224eleq2d 2471 . . . 4  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  z )  <->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  <. u ,  v >.
) ) )
226225ralxp 4975 . . 3  |-  ( A. z  e.  ( (
0 [,)  +oo )  X.  D ) ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  z )  <->  A. u  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. v  e.  D  ( x  e.  (
0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
227223, 226mpbir 201 . 2  |-  A. z  e.  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  D
) ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z )
228 cncnp 17298 . . 3  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  D
) )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J )  <->  ( (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) --> CC  /\  A. z  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  z ) ) ) )
229100, 22, 228mp2an 654 . 2  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J )  <->  ( (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) --> CC  /\  A. z  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  z ) ) )
23020, 227, 229mpbir2an 887 1  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   ifcif 3699   <.cop 3777   class class class wbr 4172    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   Recre 11857   abscabs 11994   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620   * Metcxmt 16641   MetOpencmopn 16646  ℂfldccnfld 16658   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   intcnt 17036    Cn ccn 17242    CnP ccnp 17243    tX ctx 17545    ^ c ccxp 20406
This theorem is referenced by:  resqrcn  20586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408
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