MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn3 Structured version   Unicode version

Theorem cxpcn3 22850
Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d  |-  D  =  ( `' Re " RR+ )
cxpcn3.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cxpcn3.k  |-  K  =  ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )
cxpcn3.l  |-  L  =  ( Jt  D )
Assertion
Ref Expression
cxpcn3  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K 
tX  L )  Cn  J )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, D, y
Allowed substitution hints:    K( x, y)    L( x, y)

Proof of Theorem cxpcn3
Dummy variables  a 
b  d  e  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9592 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2 pnfxr 11317 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
3 icossre 11601 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
41, 2, 3mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
5 ax-resscn 9545 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
64, 5sstri 3513 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
76sseli 3500 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  CC )
8 cxpcn3.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( `' Re " RR+ )
9 cnvimass 5355 . . . . . . . 8  |-  ( `' Re " RR+ )  C_ 
dom  Re
10 ref 12904 . . . . . . . . 9  |-  Re : CC
--> RR
1110fdmi 5734 . . . . . . . 8  |-  dom  Re  =  CC
129, 11sseqtri 3536 . . . . . . 7  |-  ( `' Re " RR+ )  C_  CC
138, 12eqsstri 3534 . . . . . 6  |-  D  C_  CC
1413sseli 3500 . . . . 5  |-  ( y  e.  D  ->  y  e.  CC )
15 cxpcl 22783 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  ^c 
y )  e.  CC )
167, 14, 15syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  y  e.  D )  ->  ( x  ^c 
y )  e.  CC )
1716rgen2 2889 . . 3  |-  A. x  e.  ( 0 [,) +oo ) A. y  e.  D  ( x  ^c 
y )  e.  CC
18 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )
1918fmpt2 6848 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,) +oo ) A. y  e.  D  (
x  ^c  y )  e.  CC  <->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC )
2017, 19mpbi 208 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC
21 cxpcn3.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
2221cnfldtopon 21025 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
23 rpre 11222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
24 rpge0 11228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_  x )
25 elrege0 11623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
2623, 24, 25sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2726ssriv 3508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR+  C_  (
0 [,) +oo )
2827, 6sstri 3513 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR+  C_  CC
29 resttopon 19428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  RR+  C_  CC )  ->  ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ ) )
3022, 28, 29mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ )
3130toponunii 19200 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR+  =  U. ( Jt  RR+ )
3231restid 14685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Jt 
RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ )  ->  (
( Jt  RR+ )t  RR+ )  =  ( Jt 
RR+ ) )
3330, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Jt 
RR+ )t  RR+ )  =  ( Jt 
RR+ )
3433eqcomi 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( Jt  RR+ )  =  ( ( Jt  RR+ )t 
RR+ )
3530a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ ) )
36 ssid 3523 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  C_  RR+
3736a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  RR+  C_  RR+ )
38 cxpcn3.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( Jt  D )
3922a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
4013a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  D  C_  CC )
41 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
4221, 41cxpcn2 22848 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  J
)  Cn  J )
4342a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  J
)  Cn  J ) )
4434, 35, 37, 38, 39, 40, 43cnmpt2res 19913 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)  Cn  J ) )
45 elrege0 11623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( u  e.  RR  /\  0  <_  u ) )
4645simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  u  e.  RR )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )  ->  u  e.  RR )
4847adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  u  e.  RR )
49 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  0  <  u )
5048, 49elrpd 11250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  u  e.  RR+ )
51 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  v  e.  D )
52 opelxp 5028 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  ( RR+  X.  D
)  <->  ( u  e.  RR+  /\  v  e.  D
) )
5350, 51, 52sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  <. u ,  v >.  e.  ( RR+  X.  D ) )
54 resttopon 19428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
5522, 13, 54mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D )
5638, 55eqeltri 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  L  e.  (TopOn `  D )
57 txtopon 19827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  ->  ( ( Jt  RR+ )  tX  L )  e.  (TopOn `  ( RR+  X.  D ) ) )
5830, 56, 57mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( RR+  X.  D ) )
5958toponunii 19200 . . . . . . . . 9  |-  ( RR+  X.  D )  =  U. ( ( Jt  RR+ )  tX  L )
6059cncnpi 19545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L )  Cn  J
)  /\  <. u ,  v >.  e.  ( RR+  X.  D ) )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )  e.  ( ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
6144, 53, 60syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
62 ssid 3523 . . . . . . . 8  |-  D  C_  D
63 resmpt2 6382 . . . . . . . 8  |-  ( (
RR+  C_  ( 0 [,) +oo )  /\  D  C_  D )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  =  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) )
6427, 62, 63mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  =  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )
65 cxpcn3.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )
66 resttopon 19428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  (
0 [,) +oo )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) ) )
6722, 6, 66mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Jt  ( 0 [,) +oo )
)  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) )
6865, 67eqeltri 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) )
69 ioorp 11598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
70 iooretop 21008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,) +oo )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
7169, 70eqeltrri 2552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
72 retop 21003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
73 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,) +oo )  e. 
_V
74 restopnb 19442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( 0 [,) +oo )  e.  _V )  /\  ( RR+  e.  ( topGen `
 ran  (,) )  /\  RR+  C_  ( 0 [,) +oo )  /\  RR+  C_  RR+ ) )  -> 
( RR+  e.  ( topGen `
 ran  (,) )  <->  RR+ 
e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
7572, 73, 74mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
RR+  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  RR+  C_  (
0 [,) +oo )  /\  RR+  C_  RR+ )  -> 
( RR+  e.  ( topGen `
 ran  (,) )  <->  RR+ 
e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
7671, 27, 36, 75mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  RR+ 
e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,) +oo ) ) )
7771, 76mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR+  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,) +oo ) )
78 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
7921, 78rerest 21044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 [,) +oo )  C_  RR  ->  ( Jt  (
0 [,) +oo )
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,) +oo )
) )
804, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Jt  ( 0 [,) +oo )
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,) +oo )
)
8165, 80eqtri 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,) +oo ) )
8277, 81eleqtrri 2554 . . . . . . . . . . 11  |-  RR+  e.  K
83 toponmax 19196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  (TopOn `  D
)  ->  D  e.  L )
8456, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  D  e.  L
85 txrest 19867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  /\  ( RR+  e.  K  /\  D  e.  L ) )  -> 
( ( K  tX  L )t  ( RR+  X.  D
) )  =  ( ( Kt  RR+ )  tX  ( Lt  D ) ) )
8668, 56, 82, 84, 85mp4an 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  =  ( ( Kt 
RR+ )  tX  ( Lt  D ) )
8765oveq1i 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Kt  RR+ )  =  ( ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )t  RR+ )
88 restabs 19432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  RR+  C_  (
0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  e.  _V )  ->  ( ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )t  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
)
8922, 27, 73, 88mp3an 1324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Jt  ( 0 [,) +oo ) )t  RR+ )  =  ( Jt 
RR+ )
9087, 89eqtri 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Kt  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
9156toponunii 19200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  = 
U. L
9291restid 14685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  (TopOn `  D
)  ->  ( Lt  D
)  =  L )
9356, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lt  D )  =  L
9490, 93oveq12i 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Kt 
RR+ )  tX  ( Lt  D ) )  =  ( ( Jt  RR+ )  tX  L )
9586, 94eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  =  ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)
9695oveq1i 6292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  tX  L
)t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
)  =  ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L
)  CnP  J )
9796fveq1i 5865 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  tX  L )t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. )  =  ( ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L )  CnP 
J ) `  <. u ,  v >. )
9861, 64, 973eltr4g 2573 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L
)t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
99 txtopon 19827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( ( 0 [,) +oo )  X.  D
) ) )
10068, 56, 99mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( K 
tX  L )  e.  (TopOn `  ( (
0 [,) +oo )  X.  D ) )
101100topontopi 19199 . . . . . . . 8  |-  ( K 
tX  L )  e. 
Top
102101a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( K  tX  L )  e.  Top )
103 xpss1 5109 . . . . . . . 8  |-  ( RR+  C_  ( 0 [,) +oo )  ->  ( RR+  X.  D
)  C_  ( (
0 [,) +oo )  X.  D ) )
10427, 103mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( RR+  X.  D )  C_  (
( 0 [,) +oo )  X.  D ) )
105 txopn 19838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  /\  ( RR+  e.  K  /\  D  e.  L ) )  -> 
( RR+  X.  D
)  e.  ( K 
tX  L ) )
10668, 56, 82, 84, 105mp4an 673 . . . . . . . . 9  |-  ( RR+  X.  D )  e.  ( K  tX  L )
107 isopn3i 19349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  Top  /\  ( RR+  X.  D )  e.  ( K  tX  L ) )  -> 
( ( int `  ( K  tX  L ) ) `
 ( RR+  X.  D
) )  =  (
RR+  X.  D )
)
108101, 106, 107mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( int `  ( K 
tX  L ) ) `
 ( RR+  X.  D
) )  =  (
RR+  X.  D )
10953, 108syl6eleqr 2566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  <. u ,  v >.  e.  (
( int `  ( K  tX  L ) ) `
 ( RR+  X.  D
) ) )
11020a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC )
11168topontopi 19199 . . . . . . . . 9  |-  K  e. 
Top
11256topontopi 19199 . . . . . . . . 9  |-  L  e. 
Top
11368toponunii 19200 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,) +oo )  = 
U. K
114111, 112, 113, 91txunii 19829 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0 [,) +oo )  X.  D )  =  U. ( K  tX  L )
11522toponunii 19200 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. J
116114, 115cnprest 19556 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  tX  L )  e.  Top  /\  ( RR+  X.  D
)  C_  ( (
0 [,) +oo )  X.  D ) )  /\  ( <. u ,  v
>.  e.  ( ( int `  ( K  tX  L
) ) `  ( RR+  X.  D ) )  /\  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC ) )  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. )  <->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L
)t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) ) )
117102, 104, 109, 110, 116syl22anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. )  <->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L
)t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) ) )
11898, 117mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  <. u ,  v >.
) )
11920a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  D  ->  (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC )
120 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  /  2 )  =  ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 )
121 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  / 
2 )  <_  (
e  ^c  ( 1  /  ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  /  2 ) ) ) ,  ( if ( ( Re
`  v )  <_ 
1 ,  ( Re
`  v ) ,  1 )  /  2
) ,  ( e  ^c  ( 1  /  ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 ) ) ) )  =  if ( ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 )  <_ 
( e  ^c 
( 1  /  ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  /  2 ) ) ) ,  ( if ( ( Re
`  v )  <_ 
1 ,  ( Re
`  v ) ,  1 )  /  2
) ,  ( e  ^c  ( 1  /  ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 ) ) ) )
1228, 21, 65, 38, 120, 121cxpcn3lem 22849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  D  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  e
) )
123122ralrimiva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  e
) )
124 0e0icopnf 11626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
126 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  a  e.  ( 0 [,) +oo ) )
127125, 126ovresd 6425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  =  ( 0 ( abs  o.  -  ) a ) )
128 0cn 9584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  CC
1296, 126sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  a  e.  CC )
130 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
131130cnmetdval 21013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) a
)  =  ( abs `  ( 0  -  a
) ) )
132128, 129, 131sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) a )  =  ( abs `  (
0  -  a ) ) )
133 df-neg 9804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u a  =  ( 0  -  a )
134133fveq2i 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs `  -u a )  =  ( abs `  (
0  -  a ) )
135129absnegd 13239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  -u a )  =  ( abs `  a
) )
136134, 135syl5eqr 2522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  ( 0  -  a ) )  =  ( abs `  a
) )
137127, 132, 1363eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  =  ( abs `  a ) )
138137breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  (
0 [,) +oo )
) ) a )  <  d  <->  ( abs `  a )  <  d
) )
139 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  v  e.  D )
140 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  b  e.  D )
141139, 140ovresd 6425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
v ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) b )  =  ( v ( abs  o.  -  ) b ) )
14213, 139sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  v  e.  CC )
14313, 140sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  b  e.  CC )
144130cnmetdval 21013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( v ( abs 
o.  -  ) b
)  =  ( abs `  ( v  -  b
) ) )
145142, 143, 144syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
v ( abs  o.  -  ) b )  =  ( abs `  (
v  -  b ) ) )
146141, 145eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
v ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) b )  =  ( abs `  ( v  -  b ) ) )
147146breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d  <->  ( abs `  ( v  -  b
) )  <  d
) )
148138, 147anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  <->  ( ( abs `  a )  < 
d  /\  ( abs `  ( v  -  b
) )  <  d
) ) )
149 oveq12 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  v )  ->  ( x  ^c  y )  =  ( 0  ^c 
v ) )
150 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  ^c  v )  e.  _V
151149, 18, 150ovmpt2a 6415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )  ->  ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v )  =  ( 0  ^c  v ) )
152124, 139, 151sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v )  =  ( 0  ^c  v ) )
1538eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  D  <->  v  e.  ( `' Re " RR+ )
)
154 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Re : CC --> RR  ->  Re  Fn  CC )
155 elpreima 5999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Re  Fn  CC  ->  (
v  e.  ( `' Re " RR+ )  <->  ( v  e.  CC  /\  ( Re `  v )  e.  RR+ ) ) )
15610, 154, 155mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  ( `' Re "
RR+ )  <->  ( v  e.  CC  /\  ( Re
`  v )  e.  RR+ ) )
157153, 156bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  D  <->  ( v  e.  CC  /\  ( Re
`  v )  e.  RR+ ) )
158157simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  D  ->  v  e.  CC )
159157simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  D  ->  (
Re `  v )  e.  RR+ )
160159rpne0d 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  D  ->  (
Re `  v )  =/=  0 )
161 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  0  ->  (
Re `  v )  =  ( Re ` 
0 ) )
162 re0 12944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Re
`  0 )  =  0
163161, 162syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  0  ->  (
Re `  v )  =  0 )
164163necon3i 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Re `  v )  =/=  0  ->  v  =/=  0 )
165160, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  D  ->  v  =/=  0 )
166158, 1650cxpd 22819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  D  ->  (
0  ^c  v )  =  0 )
167166adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0  ^c  v )  =  0 )
168152, 167eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v )  =  0 )
169 oveq12 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( x  ^c 
y )  =  ( a  ^c  b ) )
170 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  ^c  b )  e.  _V
171169, 18, 170ovmpt2a 6415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D )  ->  ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b )  =  ( a  ^c  b ) )
172171adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b )  =  ( a  ^c  b ) )
173168, 172oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs 
o.  -  ) (
a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  =  ( 0 ( abs 
o.  -  ) (
a  ^c  b ) ) )
174129, 143cxpcld 22817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
a  ^c  b )  e.  CC )
175130cnmetdval 21013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  ( a  ^c 
b )  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs  o.  -  )
( a  ^c 
b ) )  =  ( abs `  (
0  -  ( a  ^c  b ) ) ) )
176128, 174, 175sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) ( a  ^c  b ) )  =  ( abs `  ( 0  -  (
a  ^c  b ) ) ) )
177 df-neg 9804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u (
a  ^c  b )  =  ( 0  -  ( a  ^c  b ) )
178177fveq2i 5867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs `  -u ( a  ^c  b ) )  =  ( abs `  (
0  -  ( a  ^c  b ) ) )
179174absnegd 13239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  -u ( a  ^c  b ) )  =  ( abs `  (
a  ^c  b ) ) )
180178, 179syl5eqr 2522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  ( 0  -  ( a  ^c 
b ) ) )  =  ( abs `  (
a  ^c  b ) ) )
181173, 176, 1803eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs 
o.  -  ) (
a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  =  ( abs `  (
a  ^c  b ) ) )
182181breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e  <->  ( abs `  ( a  ^c 
b ) )  < 
e ) )
183148, 182imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e )  <-> 
( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  e
) ) )
1841832ralbidva 2906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  D  ->  ( A. a  e.  (
0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e )  <->  A. a  e.  (
0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  e
) ) )
185184rexbidv 2973 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  D  ->  ( E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e )  <->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  e
) ) )
186185ralbidv 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e )  <->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^c  b ) )  <  e
) ) )
187123, 186mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  D  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e ) )
188 cnxmet 21015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
189188a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  D  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
190 xmetres2 20599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) )  e.  ( *Met `  ( 0 [,) +oo ) ) )
191189, 6, 190sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  (
0 [,) +oo )
) )  e.  ( *Met `  (
0 [,) +oo )
) )
192 xmetres2 20599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( *Met `  D ) )
193189, 13, 192sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  e.  ( *Met `  D
) )
194124a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
195 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  v  e.  D )
196 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  (
0 [,) +oo )
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) )
19721cnfldtopn 21024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
198 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) )  =  ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  (
0 [,) +oo )
) ) )
199196, 197, 198metrest 20762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  CC )  -> 
( Jt  ( 0 [,) +oo ) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) ) )
200188, 6, 199mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  ( 0 [,) +oo )
)  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
20165, 200eqtri 2496 . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  (
0 [,) +oo )
) ) )
202 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )
203 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
204202, 197, 203metrest 20762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( Jt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
205188, 13, 204mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  D )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
20638, 205eqtri 2496 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) )
207201, 206, 197txmetcnp 20785 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) )  e.  ( *Met `  ( 0 [,) +oo ) )  /\  (
( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  e.  ( *Met `  D
)  /\  ( abs  o. 
-  )  e.  ( *Met `  CC ) )  /\  (
0  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )
)  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. 0 ,  v >. )  <->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC 
/\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e ) ) ) )
208191, 193, 189, 194, 195, 207syl32anc 1236 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  D  ->  (
( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )  e.  ( ( ( K 
tX  L )  CnP 
J ) `  <. 0 ,  v >. )  <-> 
( ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,) +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) +oo )  X.  ( 0 [,) +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  ) ( a ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) b ) )  <  e ) ) ) )
209119, 187, 208mpbir2and 920 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  D  ->  (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. 0 ,  v >. ) )
210209ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. 0 ,  v >. ) )
211 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  0  =  u )
212211opeq1d 4219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  <. 0 ,  v >.  =  <. u ,  v >. )
213212fveq2d 5868 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  (
( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. 0 ,  v >. )  =  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
214210, 213eleqtrd 2557 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
21545simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  <_  u )
216215adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )  ->  0  <_  u )
217 leloe 9667 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  u  e.  RR )  ->  ( 0  <_  u  <->  ( 0  <  u  \/  0  =  u ) ) )
2181, 47, 217sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )  ->  ( 0  <_  u  <->  ( 0  <  u  \/  0  =  u ) ) )
219216, 218mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )  ->  ( 0  <  u  \/  0  =  u
) )
220118, 214, 219mpjaodan 784 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  v  e.  D )  ->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )  e.  ( ( ( K 
tX  L )  CnP 
J ) `  <. u ,  v >. )
)
221220rgen2 2889 . . 3  |-  A. u  e.  ( 0 [,) +oo ) A. v  e.  D  ( x  e.  (
0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )  e.  ( ( ( K 
tX  L )  CnP 
J ) `  <. u ,  v >. )
222 fveq2 5864 . . . . 5  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z )  =  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
223222eleq2d 2537 . . . 4  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z )  <->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  <. u ,  v >.
) ) )
224223ralxp 5142 . . 3  |-  ( A. z  e.  ( (
0 [,) +oo )  X.  D ) ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z )  <->  A. u  e.  ( 0 [,) +oo ) A. v  e.  D  ( x  e.  (
0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c 
y ) )  e.  ( ( ( K 
tX  L )  CnP 
J ) `  <. u ,  v >. )
)
225221, 224mpbir 209 . 2  |-  A. z  e.  ( ( 0 [,) +oo )  X.  D
) ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z )
226 cncnp 19547 . . 3  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( ( 0 [,) +oo )  X.  D
) )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J )  <-> 
( ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC  /\  A. z  e.  ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z ) ) ) )
227100, 22, 226mp2an 672 . 2  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J )  <-> 
( ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) ) : ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) --> CC  /\  A. z  e.  ( ( 0 [,) +oo )  X.  D ) ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z ) ) )
22820, 225, 227mpbir2an 918 1  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K 
tX  L )  Cn  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   ifcif 3939   <.cop 4033   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002    o. ccom 5003    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   -ucneg 9802    / cdiv 10202   2c2 10581   RR+crp 11216   (,)cioo 11525   [,)cico 11527   Recre 12889   abscabs 13026   ↾t crest 14672   TopOpenctopn 14673   topGenctg 14689   *Metcxmt 18174   MetOpencmopn 18179  ℂfldccnfld 18191   Topctop 19161  TopOnctopon 19162   intcnt 19284    Cn ccn 19491    CnP ccnp 19492    tX ctx 19796    ^c ccxp 22671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-tan 13665  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-cxp 22673
This theorem is referenced by:  resqrtcn  22851
  Copyright terms: Public domain W3C validator