Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cxpcn3 23767
 Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d
cxpcn3.j fld
cxpcn3.k t
cxpcn3.l t
Assertion
Ref Expression
cxpcn3
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem cxpcn3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 11766 . . . . . . 7
2 ax-resscn 9614 . . . . . . 7
31, 2sstri 3427 . . . . . 6
43sseli 3414 . . . . 5
5 cxpcn3.d . . . . . . 7
6 cnvimass 5194 . . . . . . . 8
7 ref 13252 . . . . . . . . 9
87fdmi 5746 . . . . . . . 8
96, 8sseqtri 3450 . . . . . . 7
105, 9eqsstri 3448 . . . . . 6
1110sseli 3414 . . . . 5
12 cxpcl 23698 . . . . 5
134, 11, 12syl2an 485 . . . 4
1413rgen2 2818 . . 3
15 eqid 2471 . . . 4
1615fmpt2 6879 . . 3
1714, 16mpbi 213 . 2
18 cxpcn3.j . . . . . . . . . . . . 13 fld
1918cnfldtopon 21881 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
20 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 rpge0 11337 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 elrege0 11764 . . . . . . . . . . . . . . 15
2320, 21, 22sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . 14
2423ssriv 3422 . . . . . . . . . . . . 13
2524, 3sstri 3427 . . . . . . . . . . . 12
26 resttopon 20254 . . . . . . . . . . . 12 TopOn t TopOn
2719, 25, 26mp2an 686 . . . . . . . . . . 11 t TopOn
2827toponunii 20024 . . . . . . . . . . . 12 t
2928restid 15410 . . . . . . . . . . 11 t TopOn t t t
3027, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 t t t
3130eqcomi 2480 . . . . . . . . 9 t t t
3227a1i 11 . . . . . . . . 9 t TopOn
33 ssid 3437 . . . . . . . . . 10
3433a1i 11 . . . . . . . . 9
35 cxpcn3.l . . . . . . . . 9 t
3619a1i 11 . . . . . . . . 9 TopOn
3710a1i 11 . . . . . . . . 9
38 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 t t
3918, 38cxpcn2 23765 . . . . . . . . . 10 t
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 t
4131, 32, 34, 35, 36, 37, 40cnmpt2res 20769 . . . . . . . 8 t
42 elrege0 11764 . . . . . . . . . . . . 13
4342simplbi 467 . . . . . . . . . . . 12
4443adantr 472 . . . . . . . . . . 11
4544adantr 472 . . . . . . . . . 10
46 simpr 468 . . . . . . . . . 10
4745, 46elrpd 11361 . . . . . . . . 9
48 simplr 770 . . . . . . . . 9
49 opelxp 4869 . . . . . . . . 9
5047, 48, 49sylanbrc 677 . . . . . . . 8
51 resttopon 20254 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn t TopOn
5219, 10, 51mp2an 686 . . . . . . . . . . . 12 t TopOn
5335, 52eqeltri 2545 . . . . . . . . . . 11 TopOn
54 txtopon 20683 . . . . . . . . . . 11 t TopOn TopOn t TopOn
5527, 53, 54mp2an 686 . . . . . . . . . 10 t TopOn
5655toponunii 20024 . . . . . . . . 9 t
5756cncnpi 20371 . . . . . . . 8 t t
5841, 50, 57syl2anc 673 . . . . . . 7 t
59 ssid 3437 . . . . . . . 8
60 resmpt2 6413 . . . . . . . 8
6124, 59, 60mp2an 686 . . . . . . 7
62 cxpcn3.k . . . . . . . . . . . 12 t
63 resttopon 20254 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn t TopOn
6419, 3, 63mp2an 686 . . . . . . . . . . . 12 t TopOn
6562, 64eqeltri 2545 . . . . . . . . . . 11 TopOn
66 ioorp 11737 . . . . . . . . . . . . . 14
67 iooretop 21864 . . . . . . . . . . . . . 14
6866, 67eqeltrri 2546 . . . . . . . . . . . . 13
69 retop 21860 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15
71 restopnb 20268 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
7269, 70, 71mpanl12 696 . . . . . . . . . . . . . 14 t
7368, 24, 33, 72mp3an 1390 . . . . . . . . . . . . 13 t
7468, 73mpbi 213 . . . . . . . . . . . 12 t
75 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
7618, 75rerest 21900 . . . . . . . . . . . . . 14 t t
771, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 t t
7862, 77eqtri 2493 . . . . . . . . . . . 12 t
7974, 78eleqtrri 2548 . . . . . . . . . . 11
80 toponmax 20020 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
8153, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
82 txrest 20723 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn t t t
8365, 53, 79, 81, 82mp4an 687 . . . . . . . . . 10 t t t
8462oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . 12 t t t
85 restabs 20258 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn t t t
8619, 24, 70, 85mp3an 1390 . . . . . . . . . . . 12 t t t
8784, 86eqtri 2493 . . . . . . . . . . 11 t t
8853toponunii 20024 . . . . . . . . . . . . 13
8988restid 15410 . . . . . . . . . . . 12 TopOn t
9053, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 t
9187, 90oveq12i 6320 . . . . . . . . . 10 t t t
9283, 91eqtri 2493 . . . . . . . . 9 t t
9392oveq1i 6318 . . . . . . . 8 t t
9493fveq1i 5880 . . . . . . 7 t t
9558, 61, 943eltr4g 2566 . . . . . 6 t
96 txtopon 20683 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn TopOn
9765, 53, 96mp2an 686 . . . . . . . . 9 TopOn
9897topontopi 20023 . . . . . . . 8
9998a1i 11 . . . . . . 7
100 xpss1 4948 . . . . . . . 8
10124, 100mp1i 13 . . . . . . 7
102 txopn 20694 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
10365, 53, 79, 81, 102mp4an 687 . . . . . . . . 9
104 isopn3i 20175 . . . . . . . . 9
10598, 103, 104mp2an 686 . . . . . . . 8
10650, 105syl6eleqr 2560 . . . . . . 7
10717a1i 11 . . . . . . 7
10865topontopi 20023 . . . . . . . . 9
10953topontopi 20023 . . . . . . . . 9
11065toponunii 20024 . . . . . . . . 9
111108, 109, 110, 88txunii 20685 . . . . . . . 8
11219toponunii 20024 . . . . . . . 8
113111, 112cnprest 20382 . . . . . . 7 t
11499, 101, 106, 107, 113syl22anc 1293 . . . . . 6 t
11595, 114mpbird 240 . . . . 5
11617a1i 11 . . . . . . . 8
117 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
118 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
1195, 18, 62, 35, 117, 118cxpcn3lem 23766 . . . . . . . . . 10
120119ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9
121 0e0icopnf 11768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
124122, 123ovresd 6456 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125 0cn 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1263, 123sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
127 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
128127cnmetdval 21869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129125, 126, 128sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130 df-neg 9883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131130fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132126absnegd 13588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
133131, 132syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . . . . . 16
134124, 129, 1333eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15
135134breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . 14
136 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
138136, 137ovresd 6456 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13910, 136sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14010, 137sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
141127cnmetdval 21869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
142139, 140, 141syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143138, 142eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15
144143breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . 14
145135, 144anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . 13
146 oveq12 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
147 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148146, 15, 147ovmpt2a 6446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149121, 136, 148sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1505eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
151 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
152 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1537, 151, 152mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
154150, 153bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
155154simplbi 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
156154simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
157156rpne0d 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
158 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
159 re0 13292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
160158, 159syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
161160necon3i 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
162157, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
163155, 1620cxpd 23734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
164163adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
165149, 164eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16
166 oveq12 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
167 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
168166, 15, 167ovmpt2a 6446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
169168adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
170165, 169oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15
171126, 140cxpcld 23732 . . . . . . . . . . . . . . . 16
172127cnmetdval 21869 . . . . . . . . . . . . . . . 16
173125, 171, 172sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . 15
174 df-neg 9883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
175174fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16
176171absnegd 13588 . . . . . . . . . . . . . . . 16
177175, 176syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15
178170, 173, 1773eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14
179178breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13
180145, 179imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12
1811802ralbidva 2831 . . . . . . . . . . 11
182181rexbidv 2892 . . . . . . . . . 10
183182ralbidv 2829 . . . . . . . . 9
184120, 183mpbird 240 . . . . . . . 8
185 cnxmet 21871 . . . . . . . . . . 11
186185a1i 11 . . . . . . . . . 10
187 xmetres2 21454 . . . . . . . . . 10
188186, 3, 187sylancl 675 . . . . . . . . 9
189 xmetres2 21454 . . . . . . . . . 10
190186, 10, 189sylancl 675 . . . . . . . . 9
191121a1i 11 . . . . . . . . 9
192 id 22 . . . . . . . . 9
193 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
19418cnfldtopn 21880 . . . . . . . . . . . . 13
195 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
196193, 194, 195metrest 21617 . . . . . . . . . . . 12 t
197185, 3, 196mp2an 686 . . . . . . . . . . 11 t
19862, 197eqtri 2493 . . . . . . . . . 10
199 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
200 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
201199, 194, 200metrest 21617 . . . . . . . . . . . 12 t
202185, 10, 201mp2an 686 . . . . . . . . . . 11 t
20335, 202eqtri 2493 . . . . . . . . . 10
204198, 203, 194txmetcnp 21640 . . . . . . . . 9
205188, 190, 186, 191, 192, 204syl32anc 1300 . . . . . . . 8
206116, 184, 205mpbir2and 936 . . . . . . 7
207206ad2antlr 741 . . . . . 6
208 simpr 468 . . . . . . . 8
209208opeq1d 4164 . . . . . . 7
210209fveq2d 5883 . . . . . 6
211207, 210eleqtrd 2551 . . . . 5
21242simprbi 471 . . . . . . 7
213212adantr 472 . . . . . 6
214 0re 9661 . . . . . . 7
215 leloe 9738 . . . . . . 7
216214, 44, 215sylancr 676 . . . . . 6
217213, 216mpbid 215 . . . . 5
218115, 211, 217mpjaodan 803 . . . 4
219218rgen2 2818 . . 3
220 fveq2 5879 . . . . 5
221220eleq2d 2534 . . . 4
222221ralxp 4981 . . 3
223219, 222mpbir 214 . 2
224 cncnp 20373 . . 3 TopOn TopOn
22597, 19, 224mp2an 686 . 2
22617, 223, 225mpbir2an 934 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   wss 3390  cif 3872  cop 3965   class class class wbr 4395   cxp 4837  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  cima 4842   ccom 4843   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   cpnf 9690   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  c2 10681  crp 11325  cioo 11660  cico 11662  cre 13237  cabs 13374   ↾t crest 15397  ctopn 15398  ctg 15414  cxmt 19032  cmopn 19037  ℂfldccnfld 19047  ctop 19994  TopOnctopon 19995  cnt 20109   ccn 20317   ccnp 20318   ctx 20652   ccxp 23584 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-tan 14202  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586 This theorem is referenced by:  resqrtcn  23768
 Copyright terms: Public domain W3C validator