MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn2 Structured version   Unicode version

Theorem cxpcn2 22183
Description: Continuity of the complex power function, when the base is real. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn2.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cxpcn2.k  |-  K  =  ( Jt  RR+ )
Assertion
Ref Expression
cxpcn2  |-  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J )
Distinct variable group:    x, y, J
Allowed substitution hints:    K( x, y)

Proof of Theorem cxpcn2
StepHypRef Expression
1 cxpcn2.k . . . 4  |-  K  =  ( Jt  RR+ )
2 cxpcn2.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtopon 20361 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
4 rpcn 10998 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
5 ax-1 6 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) )
6 eqid 2442 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
76ellogdm 22083 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
84, 5, 7sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )
98ssriv 3359 . . . . 5  |-  RR+  C_  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
10 cnex 9362 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
11 difss 3482 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  C_  CC
1210, 11ssexi 4436 . . . . 5  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  e. 
_V
13 restabs 18768 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  RR+  C_  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )  /\  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )  e.  _V )  -> 
( ( Jt  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) )t  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
)
143, 9, 12, 13mp3an 1314 . . . 4  |-  ( ( Jt  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )t 
RR+ )  =  ( Jt 
RR+ )
151, 14eqtr4i 2465 . . 3  |-  K  =  ( ( Jt  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) )t  RR+ )
163a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
17 resttopon 18764 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )
1816, 11, 17sylancl 662 . . 3  |-  ( T. 
->  ( Jt  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )
199a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  RR+  C_  ( CC  \  ( -oo (,] 0
) ) )
203toponunii 18536 . . . . . 6  |-  CC  =  U. J
2120restid 14371 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( Jt  CC )  =  J )
223, 21ax-mp 5 . . . 4  |-  ( Jt  CC )  =  J
2322eqcomi 2446 . . 3  |-  J  =  ( Jt  CC )
24 ssid 3374 . . . 4  |-  CC  C_  CC
2524a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  CC  C_  CC )
26 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( Jt  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  =  ( Jt  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) )
276, 2, 26cxpcn 22182 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( Jt  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  tX  J )  Cn  J )
2827a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( Jt  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) ) 
tX  J )  Cn  J ) )
2915, 18, 19, 23, 16, 25, 28cnmpt2res 19249 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
3029trud 1378 1  |-  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756   _Vcvv 2971    \ cdif 3324    C_ wss 3327   ` cfv 5417  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   CCcc 9279   RRcr 9280   0cc0 9281   -oocmnf 9415   RR+crp 10990   (,]cioc 11300   ↾t crest 14358   TopOpenctopn 14359  ℂfldccnfld 17817  TopOnctopon 18498    Cn ccn 18827    tX ctx 19132    ^c ccxp 22006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359  ax-addf 9360  ax-mulf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-fi 7660  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-ioo 11303  df-ioc 11304  df-ico 11305  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-fl 11641  df-mod 11708  df-seq 11806  df-exp 11865  df-fac 12051  df-bc 12078  df-hash 12103  df-shft 12555  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-limsup 12948  df-clim 12965  df-rlim 12966  df-sum 13163  df-ef 13352  df-sin 13354  df-cos 13355  df-tan 13356  df-pi 13357  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-starv 14252  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-unif 14260  df-hom 14261  df-cco 14262  df-rest 14360  df-topn 14361  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-topgen 14381  df-pt 14382  df-prds 14385  df-xrs 14439  df-qtop 14444  df-imas 14445  df-xps 14447  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-mnd 15414  df-submnd 15464  df-mulg 15547  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-psmet 17808  df-xmet 17809  df-met 17810  df-bl 17811  df-mopn 17812  df-fbas 17813  df-fg 17814  df-cnfld 17818  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-topsp 18506  df-cld 18622  df-ntr 18623  df-cls 18624  df-nei 18701  df-lp 18739  df-perf 18740  df-cn 18830  df-cnp 18831  df-haus 18918  df-cmp 18989  df-tx 19134  df-hmeo 19327  df-fil 19418  df-fm 19510  df-flim 19511  df-flf 19512  df-xms 19894  df-ms 19895  df-tms 19896  df-cncf 20453  df-limc 21340  df-dv 21341  df-log 22007  df-cxp 22008
This theorem is referenced by:  cxpcn3  22185
  Copyright terms: Public domain W3C validator