MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn2 Structured version   Unicode version

Theorem cxpcn2 22986
Description: Continuity of the complex power function, when the base is real. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn2.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cxpcn2.k  |-  K  =  ( Jt  RR+ )
Assertion
Ref Expression
cxpcn2  |-  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J )
Distinct variable group:    x, y, J
Allowed substitution hints:    K( x, y)

Proof of Theorem cxpcn2
StepHypRef Expression
1 cxpcn2.k . . . 4  |-  K  =  ( Jt  RR+ )
2 cxpcn2.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtopon 21158 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
4 rpcn 11240 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
5 ax-1 6 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) )
6 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
76ellogdm 22886 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
84, 5, 7sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )
98ssriv 3513 . . . . 5  |-  RR+  C_  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
10 cnex 9585 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
11 difss 3636 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  C_  CC
1210, 11ssexi 4598 . . . . 5  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  e. 
_V
13 restabs 19534 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  RR+  C_  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )  /\  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )  e.  _V )  -> 
( ( Jt  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) )t  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
)
143, 9, 12, 13mp3an 1324 . . . 4  |-  ( ( Jt  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )t 
RR+ )  =  ( Jt 
RR+ )
151, 14eqtr4i 2499 . . 3  |-  K  =  ( ( Jt  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) )t  RR+ )
163a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
17 resttopon 19530 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )
1816, 11, 17sylancl 662 . . 3  |-  ( T. 
->  ( Jt  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ) )
199a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  RR+  C_  ( CC  \  ( -oo (,] 0
) ) )
203toponunii 19302 . . . . . 6  |-  CC  =  U. J
2120restid 14706 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( Jt  CC )  =  J )
223, 21ax-mp 5 . . . 4  |-  ( Jt  CC )  =  J
2322eqcomi 2480 . . 3  |-  J  =  ( Jt  CC )
24 ssid 3528 . . . 4  |-  CC  C_  CC
2524a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  CC  C_  CC )
26 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Jt  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  =  ( Jt  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) )
276, 2, 26cxpcn 22985 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( Jt  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) )  tX  J )  Cn  J )
2827a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) ) ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( ( Jt  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) ) ) 
tX  J )  Cn  J ) )
2915, 18, 19, 23, 16, 25, 28cnmpt2res 20046 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
3029trud 1388 1  |-  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^c  y ) )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   -oocmnf 9638   RR+crp 11232   (,]cioc 11542   ↾t crest 14693   TopOpenctopn 14694  ℂfldccnfld 18290  TopOnctopon 19264    Cn ccn 19593    tX ctx 19929    ^c ccxp 22809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-tan 13686  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139  df-log 22810  df-cxp 22811
This theorem is referenced by:  cxpcn3  22988
  Copyright terms: Public domain W3C validator