MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn2 Unicode version

Theorem cxpcn2 20583
Description: Continuity of the complex power function, when the base is real. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn2.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cxpcn2.k  |-  K  =  ( Jt  RR+ )
Assertion
Ref Expression
cxpcn2  |-  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J )
Distinct variable group:    x, y, J
Allowed substitution hints:    K( x, y)

Proof of Theorem cxpcn2
StepHypRef Expression
1 cxpcn2.k . . . 4  |-  K  =  ( Jt  RR+ )
2 cxpcn2.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtopon 18770 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
4 rpcn 10576 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
5 ax-1 5 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) )
6 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
76ellogdm 20483 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
84, 5, 7sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
98ssriv 3312 . . . . 5  |-  RR+  C_  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
10 cnex 9027 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
11 difss 3434 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  C_  CC
1210, 11ssexi 4308 . . . . 5  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  e. 
_V
13 restabs 17183 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  RR+  C_  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )  /\  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )  e.  _V )  -> 
( ( Jt  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) )t  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
)
143, 9, 12, 13mp3an 1279 . . . 4  |-  ( ( Jt  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )t 
RR+ )  =  ( Jt 
RR+ )
151, 14eqtr4i 2427 . . 3  |-  K  =  ( ( Jt  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) )t  RR+ )
163a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
17 resttopon 17179 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
1816, 11, 17sylancl 644 . . 3  |-  (  T. 
->  ( Jt  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
199a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  RR+  C_  ( CC  \  (  -oo (,] 0
) ) )
203toponunii 16952 . . . . . 6  |-  CC  =  U. J
2120restid 13616 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( Jt  CC )  =  J )
223, 21ax-mp 8 . . . 4  |-  ( Jt  CC )  =  J
2322eqcomi 2408 . . 3  |-  J  =  ( Jt  CC )
24 ssid 3327 . . . 4  |-  CC  C_  CC
2524a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  CC  C_  CC )
26 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Jt  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  =  ( Jt  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) )
276, 2, 26cxpcn 20582 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( Jt  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  tX  J )  Cn  J )
2827a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( Jt  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) ) 
tX  J )  Cn  J ) )
2915, 18, 19, 23, 16, 25, 28cnmpt2res 17662 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
3029trud 1329 1  |-  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    -oocmnf 9074   RR+crp 10568   (,]cioc 10873   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242    tX ctx 17545    ^ c ccxp 20406
This theorem is referenced by:  cxpcn3  20585
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408
  Copyright terms: Public domain W3C validator